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Integrantes:

Boldrini, MarianoNavarro, MartínNiro, NicolásThibaud, Soledad

Cálculo de Elementos de Máquinas

Cálculo de los Engranajes Rectos

Es necesario conocer la velocidad de avance del tronco de madera para determinar la velocidad angular del rodillo que lo impulsa (Apéndice-Figura2, pág 21). Por observación en maquinas similares se infirió una velocidad de avance de v t=25 mm /s.

Entonces como:v t=w1× R1

Siendo w1 la velocidad angular del rodillo y R1 su radio.

w1=vt ÷ R1=25 mm/s

(125 mm )/2=0,4

1s

❑⇒

w1=0,41s

× 60 s=24 rpm

Siendo w1 también la velocidad angular del engranaje superior (rueda).

Como se puede ver el (Apéndice-Figura 1, pág 20) la relación de transmisión entre los

engranajes rectos es de 2:1, por lo que w2=2×w1=48 rpm. La transmisión de los engranajes

cónicos es 1:1 por lo que la velocidad de rotación es la misma (w2). La relación en el reductor

sin fin corona se adopto de 10:1, entonces w3=10 × w2=480 rpm. Y la transmisión del

engranaje helicoidal se adopto 3:1, por lo que w4=3× w3=1440 rpm, que son las revoluciones por minuto del motor.

Se adopto un ángulo de presión de α=20º por ser el comúnmente usado. De acuerdo con este ángulo y teniendo en cuenta que se trata de un engranaje recto, se eligió un numero de dientes igual a 18 para el piñón, para evitar la interferencia (Apéndice-Tabla 1, pág 23), y con esta cantidad de dientes y 20º se obtuvo un factor de forma de 0,098 (Apéndice-Tabla 2, pág 23).

Para la elección del material a utilizar en los engranajes se tuvo en cuenta la necesidad de resistencia y dureza, eligiéndose un acero aleado SAE 1045 sin tratamiento térmico alguno. Este material tiene las siguientes propiedades (Apéndice-Tabla 3, pág 24):

Tensión admisible: σ adm=30000 lbg / plg2=2109,7 kg /cm2

Dureza Brinell: HB=215

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De acuerdo a la formula de Lewis se calcula el paso del piñón.

p=76.6× 3√ Nρ × y × σadm× n× z

Donde: N : Potencia del motor que le llega al piñónρ: Se adopto un valor de 3y: Factor de forman: Número de vueltas por minuto del piñónz: Número de dientes del piñón

Para el cálculo de N se deben tener en cuenta los rendimientos de los elementos que intervienen entre la salida del motor y el piñón, cuyos valores aproximados son:

Par de engranajes helicoidales: 0,97Par de rodamientos entre dichos engranajes: 0,98Reductor sin fin corona: 0,85Par de engranajes cónicos: 0,99Par de rodamientos antes del piñón: 0,98

Por lo que N=3 HP ×0,97 × 0,98 ×0,85 ×0,99× 0,98=2,3 HP

Para determinar el valor de ρ, en ausencia de consideraciones especiales, se considera buena la siguiente proposición: 2,5 p<b<4 p. Para este diseño, se optó por un valor de ρ de 3 ya que al no haber necesidad de un proceso de fabricación y montaje precisos, el valor pequeño de ρ no contribuye a que se amplifiquen las imperfecciones y desalineaciones que disminuyen el contacto a lo largo del ancho del piñón y la corona.

Los demás valores ya fueron definidos anteriormente.

p=76.6× 3√ 2.33 ×0,098 × 2109,7 Kg /cm2× 48 rpm× 18

=1,245 cm=12,45 mm

Por lo que el módulo vale:

M= pπ=1,245

3,14=0,396 cm=3,96 mm

Se toma un valor normalizado mayor, con lo que queda de 4 mm. Y se re calcula el paso para este nuevo módulo:

p=M × π=4 mm× 3,14=12,6mmNo es necesario realizar el cálculo del paso por Lewis para la corona ya que,

observando la ecuación, lo único que cambia es el factor de forma. Por tener la corona mayor

3

cantidad de dientes se obtiene un factor de forma mayor, consecuentemente un paso menor. Si el paso obtenido en cada caso representa el paso mínimo admisible, es a partir del paso obtenido para el piñón que resulta admisible para ambos engranajes.

Con el dato del módulo y la cantidad de dientes del piñón se continúa con el cálculo de los diámetros de ambos engranajes (piñón y rueda).

Piñón:

Considerando un diente estándar y de altura completa, con h1: altura de cabeza = M y h2: altura de raíz = 1,25M

Diámetro primitivo:D p=M × z=4mm × 18 dientes=72mm

Diámetro exterior:De=D p+2 × M=72 mm+2× 4mm=80 mm

Diámetro interior:Di=D p−2× 1,25× M=72 mm−2× 1,25× 4 mm=62 mm

Radio de la base:

r0=r p× cos∝=72 mm2

× cos20 °=33,8 mm

Diámetro base:D0=33,8mm× 2=67,6 mm

Rueda:

Como la relación de transmisión es de 2:1 entonces la cantidad de dientes de la rueda es del doble que el piñón.

Diámetro primitivo:D p=M × z=4mm × 36 dientes=144 mm

Diámetro exterior:De=D p+2 × M=144 mm+2 × 4mm=152mm

Diámetro interior:Di=D p−2× 1,25× M=144 mm−2 ×1,25 × 4mm=134 mm

Radio de la base primitivo:

r0=r p× cos∝=144 mm2

×cos 20°=67,7 mm

Diámetro de la base:D0=67,6mm ×2=135,2 mm

Con los datos obtenidos se procede a calcular la fuerza tangencial transmitida F t y la fuerza tangencial admisible Fb:

4

F t=71620 ×N

n× r p

=71620×2,3 HP

48 rpm× 3,6 cm=953,3 kg

Siendo rp el radio de la circunferencia primitiva del piñón.

Fb=b× y× p× σadm=3,8 cm ×0,098 × 1,26 cm ×2109,7 kg /cm2=989,9 kg

Siendo b el ancho del engranaje, en este caso b=ρ × p=3× 1,26cm=3,78 cm, se adopta un ancho de 3,8 cm.

Con esto se verifica que la fuerza tangencial transmitida es menor que la admisible.

5

Esfuerzos en los apoyos

F t=953,3 kg

Fn=F t

cos20 °=1014,5 kg

F r=Fn× sen 20°=347 kg

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a=50 mmb=120 mm

Para hallar las reacciones se plantean las sumatorias de momentos.

∑ M XZA=−F r × (a+b )+RBZ × a=0❑

⇒RBZ=

F r× (a+b )a

=347 × (50+120 )

50=1180 kg

∑ M XZB=−Fr × b+RAZ ×a=0❑

⇒RAZ=

F r × b

a=347 ×120

50=833 kg

∑ M XYA=−F t × ( a+b )+RBY × a=0❑

⇒RBY=

F t × (a+b )a

=953 × (50+120 )

50=3240 kg

∑ M XYB=−F t × b+RAY ×a=0❑

⇒RAY=

F t ×b

a=953 ×120

50=2287 kg

7

Observación: en los engranajes montados en voladizo, la distancia entre apoyos (a) debe ser como mínimo 70% del diámetro primitivo de dicho engranaje y la medida del voladizo (b) se recomienda que sea la mitad de esta distancia o menos.

El cálculo de la fuerza transmitida para la rueda se realiza de forma análoga a la del piñón. Para este engranaje se considera que está entre apoyos, y no en voladizo como el caso anterior.

8

Cálculo de los Engranajes Helicoidales

Se cuenta con la velocidad de rotación del piñón helicoidal (1440 rpm), potencia 3 HP, relación de transmisión 3:1.

Se adopto un ángulo de hélice Ψ =30º , ya que dentro de los ángulos recomendados es con el cual se obtiene mayor capacidad de transmisión, y un ángulo de presión α=20 º. De acuerdo a esto se seleccionó un número de dientes para el piñón igual a 12 (Apéndice-Tabla 1, pág 23), a fin de evitar la interferencia. Como la relación de transmisión es de 3, la rueda tendrá 36 dientes.

Se procede a calcular, para el piñón, el número virtual o equivalente de dientes Zv, que es el número de dientes del engranaje recto equivalente en el plano normal.

Zv=Z

cos3 Ψ= 12

0,65=18,5dientes≅ 19 dientes

Con este dato y con el ángulo de presión se obtiene un factor de forma y = 0,1 (Apéndice-Tabla 2, pág 23).

Se eligió un acero SAE 1045 (Apéndice-Tabla 3, pág 24).

Tensión admisible: σ adm=30000 lbg / plg2=2109,7 kg /cm2

Dureza Brinell: HB=215

Con estos datos se procede a calcular cada uno de los pasos presentes.

Paso normal pn: es la distancia entre las hélices determinadas sobre el cilindro primitivo por los flancos homólogos de los dientes consecutivos, medida sobre una normal a las mismas.

pn=76.6 × 3√ N × cosΨρ × y × σadm× n × Z

Donde: N : Potencia del motorρ: Se adopto un valor de 4,5y: Factor de forman: Número de vueltas por minuto del piñónz: Número de dientes del piñón

El valor de ρ adoptado es un valor bajo, ya que cuanto mayor sea este, mayor será el ancho del engranaje, y más preciso deberá ser el proceso de fabricación, y en este caso no es una maquina que lo justifique.

9

pn=76.6 × 3√ 3 HP ×cos30 °4,5× 0,1× 2109,7 kg /cm2×1440 rmp × 12

=0,414 cm=4,14 mm

Se calcula el módulo normal.

M n=pn

π=4,14 mm

3,14=1,32 mm

Se toma un módulo normalizado de 1,5 mm. Y se calculan los distintos pasos para este nuevo módulo.

pn=M × π=1,5× π=4,7 mm

Paso circunferencial o transversal pt: paso de la rueda medido sobre la circunferencia primitiva de una sección normal, no es sino el paso de la rueda frontal equivalente.

pt=pn

cosΨ= 4,7 mm

cos30 °=5,43 mm

Paso axial pa: es la distancia entre los puntos correspondientes sobre dientes adyacentes medida en dirección axial.

pa=pt

tanΨ=5,43mm

tan 30 °=9,4 mm

Luego, el módulo circunferencial es:

M c=p t

π=5,43 mm

3,14=1,73 mm

Por ende, se obtiene el siguiente diámetro primitivo.

M C=D p

Z❑⇒

D p=1,73 mm× 12=20,76 mm

El ancho del engranaje será:

b=ρ × pt=4,5 × 5,43 mm=24,44 mm

Y se toma un ancho de 24,5 mm.

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Lewis

Se procede a calcular la carga tangencial máxima admisible Fb

Fb=b× y× pn× σadm=2,45 cm ×0,1 × 0,47 cm× 2109,7 Kg /cm2=242,9 kg

Esta fuerza debe ser mayor que la fuerza tangencial que está siendo transmitida al engranaje Ft.

F t=71620 ×N

n× r p

=71620×3 HP

1440 rpm ×1,038 cm=143,75 kg

Se verifica que la fuerza transmitida es menor a la admisible.

Lewis-Barth

K v=43

43+√v p

Donde v p[m/min] es la velocidad en la circunferencia primitiva.

v p=2π r p ×n=2 π × 0,01038 m×1440 rpm=94 m /min

K v=43

43+√94=0,816

Fb=b× y× pn× σadm × K v=¿

¿2,45 cm ×0,1 ×0,47cm ×2109,7 Kg /cm2 ×0,816=198,2 kg

Se vuelve a verificar que la fuerza transmitida es menor que la admisible considerando ahora el factor dinámico, pues F t=143,75 kg ≤ Fb=198,2 kg.

Buckingham

Este método para el cálculo de engranajes se basa en la carga dinámica, en el límite de fatiga del material y en el esfuerzo de desgaste.

El esfuerzo máximo total instantáneo sobre el diente, o esfuerzo dinámico, está constituido por la caga transmitida más un incremento de carga.

Pd=Ft +∆ P

11

Siendo:

∆ P=0,113× v p× cosΨ × (F t+b×C × cos2 Ψ )

0,113× v p+√F t+b×C × cos2 Ψ

Donde C es un factor que depende de la magnitud del error y de los módulos de elasticidad de los engranajes (E 1 y E 2[kg /cm2 ]).

C=k × E1 × E2

E1+E2

Siendo k función del error efectivo o total compuesto del diente e, que debe ser menor a velocidades más altas. Se toma k=0,111× e (altura completa y 20º).

Para encontrar el valor del error admisible, se entra al (Apéndice-Gráfico 1, pág 21) con el valor dev p=94 m/min, se corta a la curva y se obtiene el valor del error en el eje vertical. En este caso el error vale e≅ 0,0115cm.

Luego en el (Apéndice-Gráfico 2, pág 21) se entra con el valor del modulo (M n=1,5 mm), y se baja hasta la curva de engranajes comerciales (o la del tipo de engranajes que se quiera utilizar). Cortando al eje vertical se obtiene así el valor del error probable (e≅ 0,0058 cm). Este error es el que se usa para calcular k, siempre que sea menor al obtenido en el Gráfico 1.

k=0,111× 0,005 cm=0,0006 cm

Y como los dos engranajes son de acero, sus módulos de elasticidad longitudinal son iguales (E 1=E 2=E=2100000 kg/cm 2).

C=0,0006 × (2100000 kg /cm2 )2

2 × 2100000 kg/cm2 =630 kg /cm2

∆ P=0,113×94 m /min× cos30 °×(143,75 kg+2,45 cm ×630

kgcm

×cos230 °)0,113× 94 m /min+√143,75 kg+2,45cm ×630

kgcm

× cos2 30°

=256,4 kg

Pd=143,75 kg+256,4 kg=400 kg

A pesar que la fuerza que actúa sobre los dientes del engranaje es constante, la carga que incide sobre cada uno de ellos es variable en el tiempo. Para tener en cuenta este efecto se toma como tensión de comparación el límite de fatiga a la flexión σ lim ¿¿ (Apéndice-Tabla 4). La carga dinámica así determinada se introduce en la formula de Lewis, resultando el estado de tensiones:

12

σ=Pd

b × y × pn

≤ σ adm− lim ¿¿

σ lim ¿=17,5× HB=17,5×215 HB=3762,5 kg / cm2¿

σadm−lim ¿=

σ lim ¿

2=1881,25 kg /cm2¿ ¿

σ= 400 kg2,45 cm× 0,1× 0,47 cm

=3473,7 kg /cm2

Comoσ adm−lim ¿≤σ ¿, no se verifica el método de Buckingham. Más adelante se analizará una alternativa para solucionar esto.

Fatiga superficial

Esta método determina si el engranaje puede soportar los esfuerzos superficiales a lo que se vería sometido en servicio, por esa razón es que se lo compara la carga admisible al desgaste Fw con la carga dinámica Pd.

Para calcular este valor de esfuerzo admisible a la fatiga superficial, se toman en cuenta varios factores. Q es un factor adimensional, Kg es un factor de carga al desgaste que se obtiene ingresando a la Tabla 5 del Apéndice, pág 25 con el ángulo de presión del engranaje y con la dureza superficial.

Para un acero SAE 1045 con dureza superficial de 215 HB, y para un ángulo de presión

α= 20º, por interpolación de la tabla se obtiene un valor de K g≅ 90 lb / plg2=¿6,33kg /cm2¿.

El valor de Q se obtiene de la siguiente fórmula.

Q=2 Dg

D p+D g

=2 Zr

Zr+Zp

= 2 ×3612+36

=1,5

Fw=D p× b×Q × K g

cos2Ψ≥ Pd

Fw=2,076 cm× 2,45 cm× 1,5× 6,33kg /cm2

cos2 30°=64,4 kg

Recordando que el valor obtenido para Pd=400 kg, no se verifica que la carga admisible al desgaste sea mayor que la carga dinámica.

13

Rediseño

El prediseño por Lewis da un paso mínimo para verificar Lewis y Lewis-Barth, lo que no asegura que verifiquen los criterios restantes de Buckingham y fatiga superficial. Por este motivo lo que se buscó fue tener un mayor diámetro y módulo para que verifiquen los criterios que no lo hacían.

Analizando diferentes configuraciones, se llegó a la conclusión que un valor de diámetro y modulo normal que verifiquen todos los criterios, son 50 mm, 1,5 mm respectivamente.

Para la elección del diámetro primitivo del engranaje se tuvo en cuenta el diámetro del eje del motor, que según su potencia del motor debe tener un diámetro de 35 mm, por lo que el diámetro del piñón se considera necesario que sea aproximadamente de 50 mm, ya que se supone que el eje del piñón será mayor o igual al del motor.

Con el módulo normal se calcula el paso normal.

pn=M × π=1,5× π=4,7 mm

pt=pn

cosΨ= 4,7 mm

cos30 °=5,44 mm

Se calcula el módulo circunferencial

M c=p t

π=5,44 mm

π=1,73 mm

Z=D p

M c

=50 mm1,73

=28,9dientes≅ 29 dientes

Se consideran 29 dientes, y se recalcula el diámetro primitivo.

D p=M c × Z=1,73×29=50,22mm

Y el ancho del engranaje será.

b=ρ × pt=4,5 × 5,44 mm=24,48 mm

Se elige un ancho de 25 mm.

14

Lewis

Se obtiene el número virtual de dientes Zv

Zv=Z

cos3 Ψ= 29

0,65=44,6 dientes≅ 47 dientes

Con este dato y con el ángulo de presión se obtiene un factor de forma y=0,104 (Apéndice-Tabla 2, pág 23).

Se procede a calcular la carga tangencial máxima admisible Fb

σ adm=2109,7 kg /cm2

Fb=b× y× pn× σadm=2,5 cm ×0,104 ×0,47 cm ×2109,7 kg/cm2=257,8 kg

Esta fuerza debe ser mayor que la fuerza tangencial que está siendo transmitida al engranaje Ft.

F t=71620 ×N

n× r p

=71620×3 HP

1440 rpm ×2,5 cm=59,4 kg

Se verifica que la fuerza transmitida es menor a la admisible.

Lewis-Barth

K v=43

43+√v p

Donde v p[m/min] es la velocidad en la circunferencia primitiva.

v p=2π r p ×n=2 π × 0,025 m×1440 rpm=227,23 m /min

K v=43

43+√227,23=0,74

Fb=b× y× pn× σadm × K v=¿

¿2,5 cm ×0,041 ×0,471 cm ×1056 Kg /cm2× 0,74

15

Fb=93,83 kg

Se vuelve a verificar que la fuerza transmitida es menor que la admisible considerando ahora el factor dinámico, pues F t=59,4 kg≤ Fb=93,83 kg.

Buckingham

Pd=Ft +∆ P

Con:

∆ P=0,113× v p× cosΨ × (F t+b×C × cos2 Ψ )

0,113× v p+√F t+b×C × cos2 Ψ

Donde C es un factor que depende de la magnitud del error y de los módulos de elasticidad de los engranajes (E1 y E2 [Kg/cm2]).

C=k × E1 × E2

E1+E2

Siendo k función del error efectivo o total compuesto del diente e, que debe ser menor a velocidades más altas. Se toma k=0,111× e(altura completa y 20º).

Para encontrar el valor del error admisible, se entra al (Apéndice-Gráfico 1, pág 22) con el valor dev p=227,23 m /min, se corta a la curva y se lee el valor del error en el eje vertical. En este caso el error vale e≅ 0,008 cm.

Luego en el (Apéndice-Gráfico 2, pág 22) se entra con valor del módulo (M n=1,5 mm), y se baja hasta la curva de engranajes comerciales (o la del tipo de engranajes que se quiera utilizar). Cortando al eje vertical se obtiene así el valor del error probable (e≅ 0,0058 cm). Este error es el que se usa para calcular k, siempre que sea menor al obtenido en el Gráfico 1.

k=0,111× 0,005 cm=0,0006 cm

Y como los dos engranajes son de acero, sus módulos de elasticidad longitudinal son iguales (E 1=E 2=E=2100000 kg/cm 2).

C=0,0006 × (2100000 kg /cm2 )2

2 × 2100000 kg/cm2 =630 kg /cm

∆ P=0,113×227,23 m /min ×cos 30° ×(59,4kg+2,5 cm× 630

kgcm

×cos230 °)0,113×227,23 m /min+√59,4 kg+2,5 cm ×630

kgcm

×cos230 °

∆ P=30,5 kg

16

Pd=59,4 kg+30,5 kg=89,9 kg

A pesar que la fuerza que actúa sobre los dientes del engranaje es constante, la carga que incide sobre cada uno de ellos es variable en el tiempo. Para tener en cuenta este efecto se toma como tensión de comparación el límite de fatiga a la flexión (σ lim ¿¿) (Apéndice-Tabla 4, pág 24). La carga dinámica así determinada se introduce en la formula de Lewis, resultando el estado de tensiones:

σ=Pd

b × y × pn

≤ σ adm− lim ¿¿

σ lim ¿=17,5× HB=17,5×215 HB=3762,5 kg / cm2¿

σadm−lim ¿=

σ lim ¿

2=1881,25 kg /cm2¿ ¿

σ= 89,9 kg2,5 cm× 0,104 ×0,47 cm

=735,7 kg/cm2

Comoσ adm−lim ¿≤σ ¿, se verifica el método de Buckingham.

Fatiga superficial

Para un acero SAE 1045 con dureza superficial de 215 HB, y para un ángulo de presión

α=20 º, de la tabla se obtiene un valor de K g≅ 90 lb / plg2=¿6,33kg /cm2¿.

El valor de Q se obtiene de la siguiente fórmula:

Q=2 Dg

D p+D g

=2 Zr

Zr+Zp

= 2 ×3612+36

=1,5

Fw=D p× b×Q × K g

cos2Ψ≥ Pd

Fw=5,022cm ×2,5 cm ×1,5 ×6,33 kg/cm2

cos230 °=158,9 kg

Recordando que el valor obtenido para Pd=89,9 kg, se verifica que la carga admisible al desgaste es mayor que la carga dinámica.

17

18

Datos de los Engranes

Módulo normal 1,5 mmPaso normal 4,7 mmPaso Circunferencial 5,44 mmPaso axial 9,42 mmRelación del ancho con el paso 4,5Ancho del engrane 25 mmÁngulo de presión 20º

Piñón helicoidal

Z1 29Diámetro primitivo 43,5 mmDiámetro exterior 46,5 mmDiámetro interior 39,75 mmFabricación Con cuchillas – piñónMaterial Acero 1045

Ángulo de inclinación de hélice (ψ) 30º

Rueda helicoidal

Z2 87Diámetro primitivo 130,5 mmDiámetro exterior 133,5 mmDiámetro interior 126,75 mmFabricación Con cuchillas – piñónMaterial Acero 1045

Ángulo de inclinación de hélice (ψ) 30º

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Esfuerzos en los apoyos

Sea:1: Ángulo de presión normal= α = 20°2: Ángulo de hélice= Ψ = 30ª

F t=59,4 kg

Fn=Ft

(cosψ × cos α )=73 kg

F x=Fn× cosα ×sen ψ=34,2kg

F r=Fn× sen α=24,9 kg

20

a=50 mmb=50 mm

∑ F X=¿−F X+RBX=0❑⇒

RBX=F X=34,2kg¿

∑ M XZA=−F r × a+RBZ × ( a+b )−FX × r=0

❑⇒

RBZ=Fr × a+FX ×r

(a+b )=24,9 ×50+34,2 ×25

(50+50 )=21 kg

∑ M XYA=F t × a−RBY × ( a+b )=0❑

⇒RBY=

F t × a

( a+b )=59,4 ×50

50+50=29,7 kg

∑ FY=−F t−R AY+RBY=0❑⇒

RAY=RBY−Ft=29,7−59,4

❑⇒

R AY=−29,7kg (sentidoopuesto al dibujado)

∑ FZ=¿−F r+RAZ+RBZ=0❑⇒

R AZ=F r−RBZ=24,9−21¿

❑⇒

R AZ=3,9 kg

La carga axial será absorbida por el esfuerzo en el apoyo B.

21

Apéndice

Figura 1

22

helicoidales

i=3:1

rectos

i=2:1

cónicos

i=1:1

reductor sin fin corona

i=10:1

rodamientos

manchones

motor

Figura 2

23

tronco

Rodamientos de la corona

mesa

Rodillo Ф=125mm

Rodamientos del piñón

Piñón Ф=80mm

Corona Ф=152mm

Gráfico 1

24

Gráfico 2

25

Tabla 1

Tabla 2

26

Tabla 3

Tabla 4

27

Tabla 5

28