Tp1-Guia Laplace.doc (3)

UTN-FRCIngeniería Química

Fecha Revisión:25/03/2015Hoja: 1 de 8

Confeccionó: Ing. Pablo A. Guerrero Laplace-FT

Introducción.

¿Que es el control automático y para que se utiliza?

El control automático es la técnica de medir una variable física y producir una respuesta tal que limite la desviación de dicha variable respecto a un valor de referencia.Se utiliza comúnmente para mejorar la eficiencia de los procesos y el uso de los recursos.

Análisis Dinámico de los Instrumentos

El bucle de regulación típico se compone del proceso, del instrumento de transmisión, del controlador y del elemento final de control. Un ejemplo típico es el intercambiador de temperatura de la figura siguiente.

(Ver Simbología ISA para instrumentación). 1) Se puede observar un indicador-transmisor de temperatura capta la variable de proceso y la envía bajo una forma neumática, eléctrica, hidráulica, digital o mecánica a la siguiente etapa de control.2) El controlador- grabador permite al proceso realizar las funciones de:

a) Compara variable medida con la referencia o deseada para determinar el error.b) Mediante circuitos especiales estabilizar el bucle.

3) Elemento final de control, (válvula) actúa sobre la variable de proceso que hace evolucionar la variable controlada.

Para el análisis dinámico se hace uso de los diagramas de bloques que representan cada parte del bucle de control y que describen la relación que existe entre la señal de entrada y la respuesta a la excitación en cada bloque.




Las señales de entrada y salida pueden expresarse mediante ecuaciones diferenciales lineales. Donde lo que se busca es realizar una simplificación del sistema llamada función de transferencia.

Caso Práctico de Aplicación.

Esquema del sistema de un pasteurizador.

La transformada de Laplace.

El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas, usado para resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Se pueden convertir muchas funciones comunes, tales como funciones senoidales amortiguadas, exponenciales, en funciones algebraicas de una variable compleja s. También las operaciones de integración y diferenciación se sustituyen mediante operaciones algebraicas en el plano complejo. De esta manera nos permite tratar a ciertos sistemas como funciones algebraicas, fáciles de manipular y ensayar.




Transformada de Laplace utilizando Matlab.

Las rutinas de matemáticas simbólicas de matlab son utilizadas para poder escribir ecuaciones con variables genéricas sin necesidad de crear vectores.De esta manera se puede realizar la transformada de laplace y su inversa en forma simbólica.Como ya es sabido, la transformada de laplace tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas es que, la derivación e integración se convierten en un producto de la variable s, así como también algunas de las funciones trigonométricas, se vuelven ecuaciones algebraicas fácilmente interpretadas y de las que se puede obtener la respuesta a diferentes estímulos de entrada.

Definición de objetos simbólicos.

Se define al inicio de cualquier cálculo simbólico, los objetos a utilizar. Variables s y t utilizadas correspondientemente para los dominios de tiempo y frecuencia.

syms s t; (definir símbolos)laplace(f); (transformada)ilaplace(F); (antitransformada)pretty(F); (mejorar la representación)simplify(F); (resuelve las fracciones parciales combinadas )

Ejemplo:

syms tf=exp(t);F=laplace(f) F = 1/(s-1) pretty(F) 1 ----- s - 1




Utilizando Mathcad.

Para realizar la transformada de Laplace de una función de transferencia, o su inversa, desde Mathcad se realizan los siguientes pasos:

1) Presionar [Ctrl]+[Shift]+[.]2) Escribimos el tipo de transformada deseada:

Keywords for Transforms:

Keyword Transform Default Variables

Function Transformed Function

fourier Fourier transform t ω

invfourier Inverse Fourier transform ω t

laplace Laplace transform t s

invlaplace Inverse Laplace transform s t

ztrans Z transform n z

invztrans Inverse Z transform z n

3) Escribimos la función a transformar4) Presionamos [enter]

Ejemplo:

Ejemplos.




Volviendo a Matlab.

Se puede obtener la factorización de la función de transferencia cero-polo-ganancia, partiendo del cociente de polinomios. De esta manera obtener partiendo de la FT de polinomios obtener la FT de fracciones parciales.

[r, p]=residue(num, den);

Ejemplo:Supongamos realizar la transformación a fracciones parciales de la siguiente función.

num=[1 2 3];den=[1 3 3 1];[r p]=residue(num, den)

r =

1.0000 0.0000 2.0000

p =

-1.0000 -1.0000 -1.0000

De lo que obtenemos la siguiente expresión.

De esta manera a partir de la misma se puede aplicar la función de antitransformación y obtener la función en el dominio temporal.

Funciones de transferencia.




MatLab es una potente herramienta para el análisis de sistemas descriptos por funciones de transferencia. La función de transferencia lineal e invariante en el tiempo, relaciona la transformada de Laplace de la salida y la entrada en un sistema de ecuaciones diferenciales a condiciones iniciales nulas. De esta manera se obtiene una función de transferencia del sistema.Para la creación de funciones de transferencia se utilizan los siguientes comandos:

g=tf(num, den)num=vector de los coeficientes del pol numeradorden= vector de los coeficientes del pol denominador

Ejemplo:

num=[1 2 3];den=[1 3 3 1];g=tf(num,den) Transfer function:

s^2 + 2 s + 3---------------------s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1

g=zpk(z, p, k)z=ceros de la función de transferenciap=polos de la función de transferenciak=ganancia de la función de transferencia

Ejemplo:

Cargar una G(s) que tiene ceros en [-1 -2], polos en [-10 -3+3i -3-3i] y ganancia estática igual a 5.

k=5;z=[-1, -2];p=[-10 -3+3i -3-3i];g=zpk(z, p, k)




Zero/pole/gain:

5 (s+1) (s+2)-----------------------(s+10) (s^2 + 6s + 18)

Con el siguiente comando se puede obtener numerador y denominador de la función de transferencia.

[num, den]=zp2tf(z, p, k)

Con el siguiente comando se puede obtener ceros, polos, ganancia del numerador y denominador de la función de transferencia.

[z, p, k]=tf2zpk(num, den)

Con el siguiente comando se puede obtener raices de un polinomio de la función de transferencia.den (S)=S3−6 S2−72 S−27

p=[1 -6 -72 -27];r=roots(p)r=

12.1229-5.7345-0.3884

Ordenes de propósito general para matlab.

*La sentencia clc limpia la ventana de comando. (Se puede limpiar con botón derecho sobre la ventana y eligiendo clear).*La sentencia clear me sirve para limpiar (borrar), las variables utilizadas en el espacio de trabajo, hay q volver a cargarlas en el caso de tener que utilizarlas.*Ingresando nombre de una variable y enter puedo conocer su contenido*Utilización de las flecha para volver a un comando anteriormente ingresado.*Cualquier texto iniciando con % es un comentario, ya sea en archivo m o en consola.*Matlab distingue entre mayúsculas y minúsculas (para nombres de variables).*Siempre que se termine una línea de comando con (;) no se mostrara el resultado en pantalla de la operación, pero el calculo lo realiza igual.*Tipeando help aparece un listado de los tópicos de ayuda o help a continuado por una función aparece un resumen de ayuda de la función. (Presionando F1 sobre la función abre una ventana de ayuda de la misma).*Las variables INF y NaN, son utilizadas para los valores infinito e indeterminación respectivamente.*j e i son los operadores complejos, cuando acompañan a un número (2i ó 2*i).




Ejercicios.Obtener utilizando matlab y mathcad la función en el dominio del tiempo de la siguiente función de transferencia y compararlo con el método de resolución de fracciones simples:

F ( S )= (S+1)S∗(S2+S+1)

F ( S )= (4 S+3)(S2+3 S+2)

*Copiar en Word la resolución utilizando editor de ecuaciones y pegar el código de ambos editores para la comparativa.*Correo electrónico: [email protected]*Expansión en fracciones parciales con matlab (K.Ogata pag. 41, tercera edición).

mailto:[email protected]

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