178

Al iniciar la unidad• En la lectura se cuenta cómo los egipcios utilizaban la geometría de for-

ma pragmática.

• Se pone un ejemplo de la necesidad de restaurar las lindes de los cam-pos de cultivo después de que la crecida del Nilo las borrara.

Aprendizaje cooperativo Si el profesorado lo considera oportuno, se sugiere, para enfocar estas actividades hacia el aprendizaje cooperativo, que los estudiantes, en pe-queño grupo, comenten y resuelvan las actividades. Después, en gran grupo, que contrasten opiniones y acuerden conclusiones. El docente o un estudiante, puede hacer de moderador.

Interdisciplinariedad/TIC Se sugiere realizar la siguiente actividad:

Buscar información sobre el nacimiento e historia de la “agrimensura” y la relación de esta ciencia con la geometría.

Después, redactar un pequeño trabajo de diez líneas sobre ese tema.

Soluciones de las actividades

1 A: Isósceles y obtusángulo.

B: Escaleno y acutángulo.

C: Equilátero y acutángulo.

D: Isósceles y rectángulo.

2 a) Acutángulos: C, F, G b) Rectángulos: D, E

c) Obtusángulos isósceles: B, H d) Rectángulos escalenos: E

e) Obtusángulos escalenos: A f ) Rectángulos isósceles: D

3 a) Sector circular → III b) Trapecio circular → VI

c) Diámetro → II d) Cuerda → IV

e) Radio → VIII f ) Segmento circular → I

g) Corona circular → V h) Arco → VII

4 Bandas del mismo ancho perpendiculares → cuadrado

Bandas del mismo ancho no perpendiculares → rombo

Bandas de anchos distintos perpendiculares → rectángulo

Bandas de anchos distintos no perpendiculares → romboide

5 Bandas con aristas perpendiculares a un lado del triángulo → trape-cio rectángulo

Bandas que forman el mismo ángulo con dos lados del trián- gulo → trapecio isósceles

En torno al Nilo se desarrolló una potente civilización en la cual la geome-tría evolucionó con fuerza. Era una geometría de tipo práctico con la que, además de medir terrenos, calculaban efi cazmente áreas y volúmenes de fi guras geométricas.

Del antiguo Egipto es muy conocido el hecho de que cada año, en primavera, el Nilo se desbordaba inundan-

do las tierras de labor. Las lindes de los campos de cultivo se borraban y, cuando las aguas volvían a su cauce, debían ser restauradas.

Funcionarios del faraón, agrimensores, se encargaban de volver a delimitar las parcelas.

Esta actividad repetida año tras año en infi nidad de parcelas propició grandes avances en la práctica de la geometría.

Clasifi cación de los triángulos

1 Di cómo son, según sus lados y según sus ángulos, los triángulos siguientes:

A B DC

2 Di cuáles de estos triángulos son:a) Acutángulos. b) Rectángulos.c) Obtusángulos isósceles. d) Rectángulos escalenos.e) Obtusángulos escalenos. f ) Rectángulos isósceles.

AB

E

D F

GCH

Figuras circulares

3 Asocia los nombres a cada una de las fi-guras dibujadas:

a) Sector circular.

b) Trapecio circular.

c) Diámetro.

d) Cuerda.

e) Radio.

f ) Segmento circular.

g) Corona circular.

h) Arco.

V

VI

VII

VIII

I

IIIV

III

Cuadriláteros con bandas de papel

Cruzando bandas de papel transparentes, se pueden encontrar paralelogramos. Según su ancho y la posición en que se colo-quen, aparecen todos los tipos.

4 Describe el tipo de paralelo-gramo que se obtiene según que las bandas sean del mis-mo o de distinto ancho, y se-gún se sitúen perpendicular-mente o inclinadas como en la figura.

También se pueden conseguir trapecios cruzando bandas de papel transparente sobre un triángulo.

5 Describe el tipo de trapecio que se obtiene en cada uno de los casos que aparecen en la imagen. Relaciónalos con las posiciones de las bandas.

12 Figuras geométricas

GGHH

Cuadriláteros con bandas de papel

ANOTACIONES

179

Sugerencias• En esta primera página se formaliza el concepto de polígono y se pre-

sentan, también de manera más formal, sus elementos, ya conocidos por el alumnado de cursos anteriores.

• En la segunda página, creemos que es relevante que los alumnos to-men conciencia de la importancia de la simetría en la naturaleza y el arte como propiedad de las cosas que nos ofrecen una cierta armonía. En la colocación de cuadros y muebles, y en el diseño de infinidad de obje-tos, estamos, aun sin advertirlo, tomando opciones de simetría o asime-tría como consecuencia de nuestra educación estética.

• Recomendamos, como excelente material de consulta y ampliación, el libro Simetría dinámica, de Alsina, C.; Pérez, R. y Ruíz, C., de la Editorial Síntesis.

• Un material muy interesante para el estudio no solo de la simetría, sino de todos los contenidos de esta unidad, son los espejos, tanto de una sola hoja como uniendo dos de ellos mediante una tira de cinta adhesi-va y formando lo que se llama “libro de espejos”.

• Por su sencillez, se puede utilizar el doblado y recorte para las activida-des de simetría. Muchos estudiantes ya conocen este sistema de obte-ner figuras con varios ejes de simetría por haberlo utilizado en las clases de Educación Plástica o en sus propios juegos. Puede pedirse que trai-gan a clase papeles de revistas de color para un resultado más vistoso.

• Utilizando papel, se puede pedir a los alumnos que doblen triángulos, cua-drados, pentágonos, hexágonos y que comprueben los ejes de simetría.

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan:

•Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la ficha A.

Ampliación: Ejercicio 1 de la ficha B.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 Construcción.

a) 4; los ejes contiguos forman 45º.

b) 5; los ejes contiguos forman 36º.

c) No tiene.

d) Un solo eje.

e) No tiene.

f ) 3; los ejes contiguos forman 60º.

g) 2; los ejes contiguos forman 90º.

h) Un solo eje.

12UNIDAD

215214

De todas las fi guras planas representadas arriba, son polígonos las siguientes: 2 , 4 , 6 y 9 . Pero antes de defi nir polígono, recordaremos algunos conceptos.

La fi gura de la derecha es una línea poligonal, pues está formada por una concatenación de segmentos, cada dos de los cuales tienen un extremo común. Es abierta, porque dos de los segmentos tienen su extre-mo libre.

Las dos líneas poligonales del margen son cerradas, porque no dejan extremos libres. La azul es simple, porque los segmentos que la forman no se cortan entre sí. La verde es compleja, porque algunos segmentos se cortan.

Polígono es una porción de plano limita-da por una línea poligonal cerrada simple.Los segmentos de la poligonal son los lados del polígono, los ángulos entre cada dos segmentos consecutivos son sus ángulos, y los extremos, sus vérti-ces.

Como sabes, los polígonos se clasifi can por el número de sus lados (o ángulos) en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Trabajaremos con ellos en apartados posteriores.

De las fi guras de arriba, la número 7 es una poligonal cerrada compleja. Se lla-ma pentágono estrellado. Los “polígonos” estrellados, aunque los llamemos así, no son propiamente polígonos según la defi nición anterior.

Las fi guras 1 , 3 y 5 están formadas por arcos de circunferencias y segmentos. También les prestaremos atención en esta unidad y en la siguiente.

La fi gura 8 es una elipse. ¿Quieres verla en la realidad? Pues corta un salchichón inclinando el cuchillo. O echa agua en un vaso e inclínalo.

Polígono viene del griego:poli: varios.gono: ángulo.

Etimología

1 2 3 4

56 8 97

En la naturaleza, en la tecnología, en el arte, en nuestro mundo cotidiano, esta-mos rodeados de fi guras simétricas. Su estudio es interesante.

Eje de simetría de una fi gura

Una fi gura plana es simétrica respecto a un eje (una recta) si al doblarla por ella, las dos mitades coinciden.

En una simetría respecto a un eje o simetría axial:

• La recta e se llama eje de simetría.

• A y A' son simétricos respecto a e, porque e es la mediatriz del segmento AA'. Lo mismo ocurre con B y B'.

• Cada punto del eje es simétrico de sí mismo: C = C'.

La simetría de las fi guras planas se aprecia a simple vista, y su eje de simetría suele ser sencillo de identifi car. No obstante, puede ser de gran ayuda valerse de un espejo para comprobar si una cierta recta es o no eje de simetría de una fi gura.Las siguientes fi guras tienen dos, tres y cinco ejes de simetría, respectivamente:

90°

60°36°

Si una fi gura tiene n ejes de simetría, estos se cortan en un punto, y cada dos

ejes contiguos forman un ángulo de °n

180 .

Recorta cualquier motivo.

Al desplegar, obtendrás una figura si-métrica.

Pliega una hoja de papel.

A'A

e

B'C = C'

B

2 Simetrías en las fi guras planas1 Polígonos y otras fi guras planas

1. Di cuáles de las siguientes figuras son simétricas respecto a algún eje. Dibuja cada eje de simetría y, si tienes un pequeño espejo a mano, comprueba que lo es. Si tiene más de un eje de simetría, averigua qué ángulo forman cada dos de ellos contiguos. a) b) c) d) e) f ) g) h)

Piensa y practicaEn la web Practica encontrando ejes de simetría.

ANOTACIONES

216

Relación entre los lados y los ángulos

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Estos elementos, como es natural, están estrechamente relacionados. Por ejemplo: Los triángulos equiláteros también son equiángulos. Cada uno de sus ángulos mide, pues, 60°.

Los triángulos isósceles tienen dos lados iguales. Pues bien, sus ángulos opues-tos también son iguales.

Los triángulos escalenos tienen los lados desiguales y, también, los ángulos des-iguales. Y se cumple que a mayor lado se opone mayor ángulo.

En un triángulo ABC, de lados a, b, c, si a = b, entonces A^ = B^, y si a < b, entonces A^ < B^.

a b

c AB

Ca b

c AB

Ca = bA^

= B^

a < b < c

A^

< B^

< C^

Construcción de triángulos

Un triángulo queda perfectamente defi nido conociendo solamente tres de sus elementos, al menos uno de los cuales ha de ser un lado.Por tanto, podremos construir un triángulo si conocemos los tres lados; o dos lados y un ángulo; o un lado y dos ángulos. Veamos aquí el primero de los casos:

■ CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIR DE SUS TRES LADOS

ab

c

DATOS CONSTRUCCIÓN RESULTADO

a a

Ab bc c

C^ B^A^

En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos. Por tanto, para que tres segmentos puedan formar un triángulo han de cumplir esta propiedad.

equilátero y equiángulo

3 Triángulos

1. ¿Verdadero o falso?a) Un triángulo con dos ángulos rectos es birrectángulo.b) Un triángulo puede ser escaleno y rectángulo.c) Un triángulo isósceles siempre es acutángulo.d) Un triángulo equilátero siempre es acutángulo.e) Cuanto más grandes sean los lados de un triángulo

equilátero, más grandes son sus ángulos.

2. Construye con regla y compás un triángulo cuyos la-dos miden:a) a = 6 cm, b = 6 cm y c = 6 cm.b) a = 6 cm, b = 6 cm y c = 3 cm.c) a = 6 cm, b = 6 cm y c = 8 cm.d) a = 7 cm, b = 5 cm y c = 8 cm.Estudia, en cada caso, la relación entre sus ángulos.

Piensa y practica

Construye triángulos.En la web

12UNIDAD

217

Medianas de un triángulo. Baricentro

C

C

B'

C' Baricentro

MedianaA'

C

A

B

A

B'

Se llama mediana de un triángulo a un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.

Alturas de un triángulo. Ortocentro

La altura de un triángulo es un segmento que va, perpendicular-mente, desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Altura

Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto llamado ortocentro.

En los triángulos rectángulos, el ortocentro es el vértice del ángulo recto; en los acutángulos está en el interior del triángulo, y en los obtusángulos, el ortocentro está en el exterior del triángulo.

Circunferencias asociadas a un triángulo

R R

R

r

r

r

circunferencia circunscrita. Pasa por los tres vértices. Su centro, cir-cuncentro, es el punto donde se cor-tan las mediatrices de sus lados.

circunferencia inscrita. Es tan-gente a los tres lados. Su centro, in-centro, es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos.

Un triángulo de cartulina, chapa o madera se mantiene en equilibrio si lo sostenemos en el baricentro.bari-centro: centro de gravedad.

Equilibrio

circun-scrita: dibujada alrededor de.in-scrita: dibujada dentro de.

Etimología

Ortocentro

Ortocentro

3. Dibuja el triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 12 cm. Observa que es acutángulo. Traza sus tres alturas y señala su ortocentro.

4. Dibuja el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm. Observa que es obtusángulo. Traza sus medianas y señala su baricentro.

5. Dibuja el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm. Observa que es rectángulo. Localiza su ortocentro y su circuncentro. Traza la circunferencia circunscrita.

6. Dibuja el triángulo equilátero de lado 6 cm. Traza la circunferencia inscrita y la circunferencia circuns-crita.

Piensa y practica

Practica con las rectas y puntos notables de un triángulo.

En la web

218

Cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.Recuerda que sus cuatro ángulos suman 360°.Tienen dos diagonales.

Clasifi cación de los cuadriláteros

RECTÁNGULOS

PARALELOGRAMOS

(lados opuestosparalelos)

NOPARALELOGRAMOS

(ángulos rectos)CUADRADOS

ROMBOS

(lados iguales)

ROMBOIDES

TRAPECIOS

(solo dos ladosparalelos)

OTROS CUADRILÁTEROS(TRAPEZOIDES)

Paralelogramos. Diagonales. Ejes de simetría

Se llama paralelogramo al cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Diagonales

Las diagonales de un paralelogramo cualquiera se cortan en sus puntos medios.

En el cuadrado y en el rombo, las diagonales son perpendiculares. En el cuadra-do y en el rectángulo, las diagonales son iguales.

Ejes de simetría

El romboide no tiene ejes de simetría. El rectángulo y el rombo tienen dos ejes

de simetría. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría.

Los cuadrados son rectángulos, por-que tienen los cuatro ángulos rectos.Y también son rombos, porque tienen los cuatro lados iguales.

Atención

4 Cuadriláteros12UNIDAD

219

Trapecios

Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados pa-ralelos y otros dos no paralelos.Los lados paralelos se llaman bases, y la distancia entre ellos, altura.

Base

Altura

Base

Un trapecio con dos ángulos rectos se llama trapecio rectángulo.

Un trapecio con los dos lados no paralelos iguales se llama isósceles. El tra-pecio isósceles tiene los ángulos iguales dos a dos. Pero, ¡atención!, los ángulos iguales son contiguos, no opuestos. Tiene un eje de simetría.

Trapezoides

Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos se llaman tra-pezoides.

Ejemplos

Este trapezoide, con forma de cometa, tiene los lados iguales dos a dos, pero los lados iguales son contiguos, no opuestos (si fueran iguales los lados opuestos, sería un paralelogramo).

Además, sus diagonales son perpendiculares, como las del rombo, pero no se cortan en sus puntos medios. Solo tiene un eje de simetría, su diagonal mayor.

Este también tiene los lados iguales dos a dos. Sus diagona-les, aunque tienen direcciones perpendiculares, no se cortan, pues una de ellas está fuera del polígono.

Estos cuadriláteros, en los que una diagonal queda fuera, se llaman cóncavos.

e

TRAPECIORECTÁNGULO

TRAPECIOISÓSCELES

1. ¿Verdadero o falso?a) Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos iguales, entonces es un paralelogramo.b) Si un cuadrilátero tiene los lados iguales dos a dos, entonces es un paralelogramo.c) Si un cuadrilátero tiene las diagonales perpendiculares, entonces es un rombo.d) Si un cuadrilátero tiene los ángulos iguales dos a dos, es rombo, romboide o trapecio isósceles.

2. Observa los cuadriláteros siguientes:a) ¿Cuáles son paralelogramos, cuáles trapecios y cuáles

trapezoides?b) Ponle un nombre adecuado a cada uno. Por ejemplo,

cuadrado, trapezoide…c) Di cuántos ejes de simetría tiene cada figura.d) ¿Cuáles de estas figuras tienen las diagonales perpen-

diculares? ¿Cuáles las tienen iguales?

I

V

IX X XI XII

VI VII VIII

II III IV

Piensa y practica

220

Polígono regular es el que tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales. Al trián-gulo regular lo hemos llamado triángulo equilátero, y al cuadrilátero regular, cuadrado.

Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita.

lOar O

ar

l

l O

ar

lO

ar

Se llaman centro, O, y radio, r, de un polígono regular al centro y al radio de la circunferencia circunscrita.Apotema, a, es el segmento perpendicular desde el centro, O, al lado, l. La apotema siempre corta al lado en su punto medio.En todos los polígonos regulares, r, a y l/2 son los lados de un triángulo rec-tángulo.

Ejes de simetría

Todos los polígonos regulares tienen tantos ejes de simetría como lados.

5 Polígonos regulares

1. Calca en tu cuaderno las figuras siguientes:

Dibuja en rojo todos sus ejes de simetría.

2. Calca las figuras del ejercicio anterior y recórta-las. Señala, mediante pliegues, todos sus ejes de simetría.Observa que en el cuadrado puedes realizarlo median-te tres pliegues, y en el octógono, mediante cuatro.

3. ¿Verdadero o falso?a) Este octógono tiene todos sus ángulos

iguales. Pero no es regular porque sus lados no son iguales.

b) Si un polígono tiene sus lados iguales, entonces

seguro que sus ángulos son también iguales y, por tanto, es regular.

Piensa y practica

12UNIDAD

221

La circunferencia es la línea que rodea al círculo.El círculo es la figura plana más perfecta: Cualquier recta que pase por su centro es eje de simetría. Por tanto, tiene infi-nitos ejes de simetría.

Su área es la mayor posible entre todas las figuras que tienen su mismo períme-tro. Es decir, si con una cuerda queremos delimitar un terreno cuya superficie sea la mayor posible, deberemos construir una circunferencia.

Posiciones relativas de recta y circunferencia

O

rd

O

r

d

d > r

EXTERIORES TANGENTES SECANTES

d = r d < r

O

r

d

Posiciones relativas de dos circunferencias

Observa cómo varía la posición de dos circunferencias en función de la distancia que separa sus centros: al principio, sus centros distan más que la suma de sus radios, y se van acercando hasta que sus centros coinciden.

TANGENTES INTERIORES INTERIORES CONCÉNTRICAS

EXTERIORES TANGENTES EXTERIORES SECANTES

d

d > R + r d = R + r R – r < d < R + r

d = R – r 0 < d < R – r d = 0

d d

d

d = distancia entre los centros.R = radio de la circunferencia mayor.r = radio de la circunferencia menor.La expresión R – r < d < R + r sig-nifica:

d es mayor que R – r…… pero menor que R + r.

Interpreta cada una de las demás ex-presiones y relaciónalas con la posi-ción correspondiente.

Exprésate

6 Circunferencia

1. Traza una circunferencia de 5 cm de radio y tres rec-tas que pasen a 3 cm, 5 cm y 8 cm, respectivamente, del centro de la circunferencia.

2. Dibuja en tu cuaderno dos circunferencias secantes y una circunferencia interior a otra.Mide, en ambos casos, la distancia entre sus centros y compárala con sus radios.

3. Si trazaras dos circunferencias de radios 7 cm y 4 cm con sus centros a 10 cm de distancia, ¿en qué posición relativa quedarían? Trázalas y comprueba tu respuesta.

4. Traza dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm tan-gentes exteriores. ¿A qué distancia están sus centros?Traza dos circunferencias de 5 cm y 3 cm de radio tangentes interiores. ¿Cuánto distan sus centros?

Piensa y practica

222

En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto. Se llaman catetos. El lado mayor se llama hipotenusa.

b y c son los catetos. a es la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras dice que:a2 = b 2 + c 2

Es decir, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.Y esto es verdad solamente si el triángulo es rectángulo.

DEMOSTRACIÓN. Para ver que es cierto, analiza este curioso puzle construido a partir del triángulo anterior de lados a, b, c :

b2

a2

c2

bc

b

b c

c

c b

b

c

c

c

b

c

b

b

aa

aaa

a

Los dos cuadrados grandes, de lado b + c, son iguales. Si a cada uno de ellos le suprimimos cuatro triángulos iguales al triángulo inicial, queda:

ab c

en el primeroen el segundo

2

2 2+4 Por tanto, ha de ser a2 = b 2 + c 2.

Si el triángulo no es rectángulo, ¿cómo se relacionan los cuadrados de sus lados?

ba

c

a2

b2 c2

ba

c

a2

b2c2

ba

c

a2

b2 c2

RECTÁNGULO: a2 = b2 + c2 OBTUSÁNGULO: a2 > b2 + c2 ACUTÁNGULO: a2 < b2 + c2

¿Recuerdas el triángulo de cuerda con el que los egipcios construían ángulos rectos?

Puedes comprobar que, efectivamen-te, al sumar los cuadrados de los lados menores se obtiene el cuadrado del lado mayor:

32 + 42 = 52

Lo mismo ocurre con el triángulo que usaban los indios:

52 + 122 = 132

Son triángulos rectángulos

Si en un triángulo rectángulo abrimos el ángulo que forman los dos catetos, el lado opuesto aumenta y, por tanto, su cuadrado también aumenta.Si cerramos dicho ángulo (lo hacemos agudo), el lado opuesto es menor de lo que era la hipotenusa.

Justificación

b

a

c

7 Teorema de Pitágoras

1. Averigua si cada uno de los siguientes triángulos es acutángulo, rectángulo u obtusángulo (com-para el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los dos menores):a) a = 26 cm, b = 24 cm, c = 10 cm. b) a = 20 cm, b = 17 cm, c = 19 cm.c) a = 17 m, b = 8 m, c = 15 m. d) a = 17 m, b = 6 m, c = 14 m.e) a = 20 km, b = 30 km, c = 40 km. f ) a = 1 m, b = 84 cm, c = 57 cm.

Piensa y practica

12UNIDAD

223

Si sabemos que un triángulo es rectángulo, basta conocer dos de sus lados para poder obtener, a partir de ellos, la longitud del tercero. Veamos cómo:

Conociendo los dos catetos, calcular la hipotenusa

Si de un triángulo rectángulo conocemos los dos catetos, podemos calcular la hipotenusa: a b c a b c2 2 2 2 2"= + = + .

Para sostener un poste de 3,8 m de alto, lo sujetamos con una cuerda atada a 5,3 m de la base del poste. ¿Cuál es la longitud, l, de la cuerda?

l 2 = 3,82 + 5,32 = 14,44 + 28,09 = 42,53, ,l 42 53 6 52= = m

La cuerda ha de ser de 6,52 m más el comple-mento necesario para atarla al poste y al suelo.

Problema resuelto

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro

Si de un triángulo rectángulo conocemos la hipotenusa y un cateto, podemos calcular el otro cateto:

a2 = b 2 + c 2 c a b c a bb a c b a c

– –– –

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2"

"

= == =

La cuerda de una cometa mide 85 m, y esta se encuentra volando sobre una caseta que está a 63 m de Lucía. ¿A qué altura sobre el suelo está la cometa?

h2 + 632 = 852 h2 = 852 – 632 = 7 225 – 3 969 = 3 256h = 3256 ≈ 57 m La altura es aproximadamente 57 m más la altu-ra de la mano de Lucía.

Problema resuelto

¿a?

c

b

a2 = b 2 + c 2

↓a = b c2 2+

a

¿c?

b

c 2 = a2 – b 2

↓c = a b–2 2

l3,8 m

5,3 m

h 85 m

63 m

8 Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Halla la longitud de la hipote-nusa.

15 cm

8 cm

2. Halla la longitud del cateto des-conocido.

29 dam

20 dam

3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 33 m y 27 m. Halla la longitud de la hipotenusa aproximan-do hasta los decímetros.

4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 24 dm, y un cateto, 19 dm. Halla la longitud del otro cateto aproximando hasta los centímetros.

Piensa y practica

188

Sugerencias

• Se completa el tratamiento del teorema de Pitágoras con una exposi-ción sistemática de sus aplicaciones a las figuras planas estudiadas en las primeras páginas de esta unidad. La secuencia “breve exposi-ción”  → “ejercicios resueltos” → “ejercicios propuestos” que se si-gue en estas dos páginas, se completa con los ejercicios del final de unidad, entre los cuales se incluyen, además, aplicaciones del teorema de Pitágoras en algunas figuras espaciales.

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:

•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 4, 5, 6 y 7 de la página 34. Ejercicios 8 y 9 de la pági-na 35.

Soluciones de “Piensa y practica”

5 P = 178 cm

6 P = 388 cm

7 P = 100 cm

8 3,5 m

9 13 m

10 32,04 cm

11 P = 123,3 cm

12 90 cm

13

7

3

x

y

8

x = 7 82 2+ = 10,63 dm

y = 3 82 2+ = 8,54 dm

P = 2 · 10,63 + 2 · 8,54 = 38,34 dm

12UNIDAD

225224

El teorema de Pitágoras en las figuras planas

Hay multitud de figuras planas en las que aparecen triángulos rectángulos. Esto permite relacionar algunos de sus elementos mediante el teorema de Pitágoras.Por ejemplo, en un trapecio rectángulo, conociendo las bases, b y b', y la altura, a, podemos calcular la lon-gitud del lado oblicuo a partir del triángulo rectángulo señalado.Veamos varias situaciones de este tipo.

a a

b'

b – b'

l

b

5. La diagonal de un rectángulo mide 65 cm, y uno de sus lados, 33 cm.Halla su perímetro.

6. Las diagonales de un rombo miden 130 cm y 144 cm. Calcula su perímetro.

7. En un trapecio rectángulo, las bases miden 45 cm y 30 cm, y su altura, 8 cm.Halla su perímetro.

8. Halla la altura de un trapecio isósceles cuyas bases mi-den 8,3 m y 10,7 m, y el otro lado, 3,7 m.

Piensa y practica

9. Halla la altura de un triángulo equilátero cuyo perí-metro mide 45 m.

10. Calcula la apotema de un hexágono regular de 37 cm de lado.

11. Calcula el perímetro de un pentágono regular de ra-dio 21 cm y apotema 17 cm.

12. ¿Cuánto mide una cuerda de una circunferencia de 53 cm de radio si dista del centro 28 cm?

13. Halla el perímetro de este trapezoide con forma de ala delta sabiendo que sus diagonales miden 16 dm y 4 dm.

7 dm4 dm

16 dm

Piensa y practica

Ejercicios resueltos

1. Las dimensiones de un rec-tángulo son a = 10 cm, b = 24 cm. Calcular la lon-gitud de la diagonal.

d = 24 10 676 262 2+ = =La diagonal mide 26 cm.

d

24 cm

10 cm

2. El lado de un rombo mide 14 cm, y una de sus diagona-les, 20 cm. Hallar la longi-tud de la otra diagonal.

El lado del rombo es la hipotenusa de un trián-gulo rectángulo cuyos catetos son las semidiago-nales.x = , …14 10 96 9 797958–2 2 = =x ≈ 9,8 cm → d' = 2 · 9,8 = 19,6 cmLa otra diagonal mide 19,6 cm.

d'

x

20 cm

10 cm

14 cm

3. Hallar la altura de un tra-pecio rectángulo cuyas bases miden 43 m y 28 m, y el lado oblicuo, 25 m.

Un cateto es la diferencia de las bases: 43 – 28 = 15 mLa hipotenusa es el lado oblicuo, 25 m.Por tanto: a = 25 15 400 20–2 2 = = mLa altura mide 20 m.

a

43 m

28 m

25 m

15 m

4. Las bases de un trapecio isósceles miden 23 m y 37 m. Su altura es de 11 m. Hallar su perímetro.

La diferencia de las bases, 37 – 23 = 14 m, se reparte en los dos triángulos de los extremos. En cada uno de ellos, el cateto horizontal mide 14/2 = 7 m.

l

23 m

11 m

37 m7 m

Por tanto: l = , …11 7 170 13 0382 2+ = = ≈ 13 mPerímetro = 23 + 37 + 13 + 13 = 86 mEl perímetro es de 86 m.

Ejercicios resueltos

1. Hallar la altura de un trián-gulo equilátero de 12 m de lado.

a = 12 6 108–2 2 = ≈ 10,4 mLa altura mide 10,4 m.a

6 m

12 m

2. Hallar la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado.

En un hexágono regular, el radio es igual al lado: r = la = 8 4 48–2 2 = ≈ 6,9 cmLa apotema mide 6,9 cm.

a

4 cm

8 cm

8 cm

3. En un octógono regular, el radio mide 13 cm, y la apo-tema, 12 cm. Hallar su perí-metro.

x = 13 12 25–2 2 = = 5 cmLado l = 2 · 5 = 10 cm; 10 · 8 = 80 cmEl perímetro es 80 cm.

x

13 cm12 cm

4. En una circunferencia de radio 29 cm trazamos una cuerda de 40 cm. ¿Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda?

c = 40 cm → c/2 = 20 cmd = 29 20 441 21–2 2 = = cmLa distancia es de 21 cm.

29 cm20 cm

d

5. Las dos diagonales de este trapezoide con forma de co-meta miden 16 dm y 10 dm, y se cortan a 4 dm de un ex-tremo de la mayor. Hallar su perímetro.

Cálculo del lado pequeño: l1 = 4 5 412 2+ = ≈ 6,4 dm

Cálculo del lado grande:l2 = 5 12 169 132 2+ = = dm

Perímetro = 2 · 6,4 + 2 · 13 = 38,8 dm

l1

l2

12 dm5 dm

5 dm4 dm

ANOTACIONES

189

Sugerencias• Una sencillísima aproximación al reconocimiento de cuerpos geométri-

cos. En principio, solo se distinguen poliedros, cuerpos de revolución y figuras que no sean ni lo uno ni lo otro.

• Es muy interesante, entre estas últimas, reconocer “trozos” de figuras de revolución (como por ejemplo, la figura 4 de esta página), sectores esféricos (gajo de naranja), figuras en las que participan ambos tipos de cuerpos geométricos (por ejemplo, un ortoedro con un orificio cilíndrico o un prisma hexagonal rematado con un casquete esférico, como ocu-rre con algunos modelos de lápices).

• También es recomendable reconocer figuras poliédricas o cuerpos de revolución en el entorno del alumnado (edificios, objetos de uso diario, frutas…).

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) Falso. No se puede generar haciendo girar una figura plana alrede-dor de un eje.

b) Falso. Para ser un poliedro debe tener todas las caras planas.

2 Son poliedros, además del 2 y el 3, el 5 y el 8.

3 Son cuerpos de revolución, además del 1 y el 6, el 7 y el 9.

1 6 7 9

Sugerencias

• Además de aprender a distinguir y a representar prismas, pirámides, troncos, poliedros regulares…, así como sus elementos y sus caracterís-ticas, los estudiantes pueden entrenarse en reconocer en otros cuerpos qué tienen que ver con esas figuras, bien porque son un trozo de alguna de ellas, bien porque se obtienen adosando dos o más, o bien porque se obtienen suprimiendo de una de ellas un trozo cuya forma es otra de ellas.

También será muy formativo que los alumnos identifiquen estas figuras en su entorno.

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:

•Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

Refuerzo: Ejercicio 5 de la ficha B.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 A es una pirámide hexagonal regular. La base es un hexágono regu-lar y las caras laterales son triángulos isósceles. Tiene 7 caras, 12 aris-tas y 7 vértices.

B es un octaedro regular. Sus caras son triángulos equiláteros. Tiene 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

C es un ortoedro (prisma). Sus caras son 4 rectángulos y 2 cuadra-dos. Tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

12UNIDAD

227226

Los cuerpos geométricos son, como sabes, figuras de tres dimensiones, es decir, figuras que ocupan una porción de espacio.

2

10

1

3

45

6 7 8

9

Todas estas figuras recuerdan diferentes objetos de nuestro entorno. Son cuerpos geométricos. Entre ellos, distinguiremos dos grandes tipos:• Poliedros: Están limitados por caras planas poligonales. La figura 2 es un

poliedro que tiene cinco caras triángulos y una cara pentágono. También es poliedro la figura 3 .

• Cuerpos de revolución: Son el resultado del giro de una figura plana en torno a un eje. Por ejemplo, el 1 y el 6 de arriba.

Las figuras 4 y 10 no son poliedros pues sus caras no son polígonos. Tampoco son cuerpos de revolución, pues no se pueden obtener haciendo girar alguna figura plana. Esta categoría de cuerpos no reciben ningún nombre especial.

El cono es un cuerpo de revolución porque se obtiene haciendo girar el triángulo naranja alrededor del eje e.

e

Los cuerpos geométricos limitados por polígonos se llaman poliedros.

• Caras del poliedro son los polígonos que lo forman.• Aristas son los lados de las caras. En cada arista se

juntan dos caras.• Vértices del poliedro son los vértices de las caras.

En cada vértice concurren tres o más caras.

CARAVÉRTICE

ARISTA

■ prismas

Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos, lla-mados bases, y varios paralelogramos llamados caras laterales.

Si las bases son polígonos regulares y las caras laterales son rectángulos, el pris-ma se llama regular.

Los prismas cuyas caras son todas rectángulos se llaman ortoedros.

■ pirámides

Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vérti-ce común, que se denomina vértice de la pirámide. La distancia del vértice a la base es la altura.

Una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se pro-yecta sobre el centro de ese polígono.

PIRÁMIDECUADRANGULARREGULAR

■ poliedros regulares

Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y en cada vértice concurren el mismo número de caras. Hay 5 poliedros regulares:

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Este poliedro no es regular, porque en unos vértices concurren tres triángu-los, y en otros, cuatro.

No te confundas

PRISMAPENTAGONAL

REGULAR

ORTOEDRO

10 Poliedros9 Cuerpos geométricos

1. ¿Verdadero o falso?a) Esta figura es cuerpo de revolu-

ción porque es redondita.

b) Esta figura es un poliedro por-que algunas de sus caras son po-lígonos.

2. Señala, entre los cuerpos de arriba, dos poliedros (aparte del 2 y el 3).

3. Entre los cuerpos de arriba, señala dos cuerpos de re-volución (aparte del 1 y el 6).Dibuja la figura plana y el eje que generan cada cuer-po.

Piensa y practica

1. Describe los poliedros siguien-tes: nombre, cómo son sus caras y cuántas tienen, número de aristas, de vértices…

A B C

Piensa y practica

228

Los cuerpos de revolución se originan haciendo girar una fi gura plana alrededor de un eje.

■ CILINDROS

Un cilindro es un cuerpo de revolución generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

■ CONOS

Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de los catetos.

■ ESFERAS

Una esfera es un cuerpo de revolución generado por un círculo que gira alrededor de cualquiera de sus diámetros.

altura

BASE

BASE

altura generatriz

BASE

VÉRTICE

11 Cuerpos de revolución

1. Utilizando las palabras cilindro, cono y esfera, describe los siguientes cuerpos geométricos:

A B C D E

Piensa y practica

12UNIDAD

229

Ejercicios y problemas

Simetrías

1. Señala, cuando existan, todos los ejes de simetría en estas figuras. Si hay más de dos, halla el ángulo que forman dos de los ejes contiguos.

eA B C

D E F

2. Observa las letras del abecedario:

Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay 13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría.Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.Representa las 10 cifras de nuestro sistema de nume-ración e indica cuáles de ellas tienen ejes de simetría.

3. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se indican: e1

e2

4. Imagina que pones un espejo sobre la línea azul de las siguientes figuras:

A B C

a) Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mi-rando por cada una de sus dos caras.

b) ¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por las dos caras?

Polígonos. Clasificación

5. Pon nombre a cada uno de estos cuadriláteros:

F G H I

E

C

DAB

6. Indica qué propiedades de la derecha tienen las figuras de la izquierda:

cuadradorectángulo (no cuadrado)rombo (no cuadrado)romboideparalelogramotrapezoide

1 Cuatro lados iguales.2 Cuatro ángulos rectos.3 Ángulos opuestos iguales.4 Diagonales perpendiculares.5 Diagonales que se cortan

en sus puntos medios.6 Diagonales no

perpendiculares.7 Cuatro ejes de simetría.8 Dos ejes de simetría.

7. ¿Cuáles de estos polígonos son regulares?

A B C D E

Construcciones

8. Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 5 cm y 7 cm, y traza sus medianas. ¿Cómo se llama el punto donde se cortan?

9. Dibuja estos triángulos, clasifícalos y encuentra el circuncentro de cada uno:a) 4 cm, 6 cm y 5 cm. c) 8 cm, 6 cm y 12 cm.b) 12 cm, 13 cm y 5 cm. d) 5 cm, 5 cm y 5 cm.Intenta formular una propiedad que relacione la po-sición del circuncentro y el tipo de triángulo.

10. Haz lo mismo que en la actividad anterior pero en lugar del circuncentro, encuentra el ortocentro.

230

Ejercicios y problemas

Propiedades de las figuras planasPara resolver las siguientes actividades, te puedes ayu-dar de un dibujo.11. ¿Por qué no pueden construirse estos triángulos?:

a) Sus lados miden 15,3 cm, 8,6 cm y 5,2 cm.b) Dos de sus ángulos miden 95° y 88°.

12. Si dibujas dos segmentos que sean perpendicula-res en sus puntos medios y unes sus extremos, obtie-nes un cuadrilátero. ¿De qué tipo es…a) … si los dos segmentos tienen distinta longitud?b) … si los dos segmentos tienen la misma longitud?

13. Imagina dos segmentos que se cortan en sus pun-tos medios y no son perpendiculares. Al unir sus ex-tremos se obtiene un cuadrilátero. ¿Cuál es…a) … si los dos segmentos son iguales?b) … si un segmento es más largo que el otro?

14. Dibuja y clasifica, cuando sea posible, un ejem-plo de cada cuadrilátero:a) Con dos ejes de simetría.b) Con cuatro ejes de simetría.c) Con un eje de simetría.d) Paralelogramo sin ejes de simetría.e) No trapecio con un eje de simetría.

15. Escribe el nombre de cada cuadrilátero:a) Paralelogramo con diagonales perpendiculares.b) No paralelogramo con diagonales perpendiculares.c) Paralelogramo con diagonales iguales.d) No paralelogramo con diagonales iguales.

16. ¿De qué cuadrilátero se trata?a) Dos pares de lados iguales y paralelogramo.b) Dos pares de lados iguales y no paralelogramo.c) Dos pares de ángulos iguales y paralelogramo.d) Dos pares de ángulos iguales y no paralelogramo.

17. Dibuja dos trapecios que, al unirlos, den lugar a las siguientes figuras:a) Un cuadrado. b) Un rombo.Te puedes ayudar, en cada caso, de un dibujo de la figura e intentar dividirla en dos trapecios.

Posiciones relativas

18. Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y un triángulo cuyos lados sean: uno secante a la circunfe-rencia, otro tangente y otro exterior.

19. Indica en cada caso la posición relativa de dos cir-cunferencias de radios 7 cm y 10 cm, respectivamen-te, cuyos centros se encuentran a:a) 9 cm b) 20 cm c) 3 cm d) 17 cm e) 0 cm

20. Dibuja dos circunferencias, C y C', de radios 5 cm y 3 cm que sean tangentes interiores. Traza tres circunferencias distintas, de 2 cm de radio, tales que cada una de ellas sea tangente a C y a C'.

Cuerpos geométricos

21. Observa estos cuerpos:A

E F G H I

B C D

a) ¿Cuáles son poliedros? De ellos, nombra los pris-mas y la pirámide. ¿Hay alguno que no sea prisma ni pirámide?

b) ¿Cuáles son cuerpos de revolución? Nómbralos.c) ¿Hay alguno que no sea poliedro ni cuerpo de re-

volución?

22. ¿Cuáles de estas figuras son cuerpos de revolu-ción? ¿De cuáles conoces el nombre?a) b) c) d)

e) f ) g) h)

23. Si giras estas figuras en torno al eje indicado, se generan figuras del ejercicio anterior. Identifícalas.

A B C D E

12UNIDAD

231

Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

24. Di el valor del área de cada cuadrado azul:

144 m2a) b)

196 m2

16 m2

9 m2

25. Calcula el lado desconocido de estos triángulos rectángulos, aproximando hasta las décimas:

15 km

23 km??

?

7 m4 cm

5 cm

16 mB CA

26. Dibuja cada situación y marca el triángulo rec-tángulo que debes resolver para hallar lo que te piden:a) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado cuya diagonal

mide 6 cm?b) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm, y uno

de sus lados, 8 cm. Halla la longitud del otro lado.c) Halla el lado de un rombo cuyas diagonales miden

6 cm y 8 cm.d) De un rombo se conocen una de sus diagonales,

16 cm, y el lado, 17 cm. Calcula la otra diagonal.

27. ¿Cómo es la longitud de la apotema de un cua-drado con relación a su lado?Halla el radio de un cuadrado cuyo lado mida 10 cm, con dos cifras decimales.

28. El lado de un pentágono regular mide 12 cm, y su radio, 10,2 cm. Ha-lla su apotema con una cifra decimal.

12 cm

a

10,2 cm

29. El lado de un octógono regular mide 8 cm, y su apotema, 9,6 cm. Halla el radio de la circunferencia cir-cunscrita al polígono.

8 cm

9,6

cm r

30. En el hexágono regular, el lado es igual al radio. Calcula la longitud de la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm, con una cifra decimal.

31. Halla, con una cifra decimal, la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. ¿Cuánto mi-den su apotema y su radio?

En un triángulo equilátero, la apotema es 1/3 de la altura.

32. El lado del hexágono exterior mide 8 cm.

Halla el radio, la apotema y el lado del triángulo azul.

8 cm

33. Una recta pasa a 9 cm del centro de una circunfe-rencia de radio 15 cm. ¿Se llegan a cortar?

Halla la longitud de la cuerda que determina en ella.

34. Una circunferencia de 17 cm de radio corta a una recta. La cuerda originada mide 16 cm. ¿A qué dis-tancia de la recta está el centro de la circunferencia?

35. Ejercicio resuelto

Averiguar si cada triángulo es rectángulo, acu-tángulo u obtusángulo:

a) a = 22 m, b = 17 m, c = 10 m.

b) a = 37 m, b = 35 m, c = 12 m.

c) a = 42 m, b = 31 m, c = 30 m.

a) a2 = 484; b 2 + c 2 = 289 + 100 = 389 Como a2 > b 2 + c 2, el triángulo es obtusángulo.b) a2 = 1 369; b 2 + c 2 = 1 225 + 144 = 1 369 Como a2 = b 2 + c 2, el triángulo es rectángulo.c) a2 = 1 764; b 2 + c 2 = 961 + 900 = 1 861 Como a2 < b 2 + c 2, el triángulo es acutángulo.

36. Di si los triángulos siguientes son rectángulos, acutángulos u obtusángulos:

a) a = 61 m, b = 60 m, c = 11 m

b) a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm

c) a = 30 m, b = 24 m, c = 11 m

d) b = 25 m, c = 20 m, d = 30 m

194

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

37 El ángulo del pentágono regular es de 108º que no es divisor de 360º, por lo que no encajarán un número entero de pentágonos sin dejar huecos o producirse solapamientos.

38 Figura I: sí es regular.

Figura II: no es regular.

39 Está a 24 m de altura.

40 Se necesitan 120 m de cable.

41 Cada uno de los tres lados de la finca es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Las calculamos aproximando a los centímetros:

AC = 10 152 2+ = 18,03 m

BC = 20 52 2+ = 20,62 m

BA = 10 102 2+ = 14,14 m

18,03 + 20,62 + 14,14 = 52,79 m

La valla mide 52,79 metros.

B

A

5 m

5 m

10 m

10 m

20 m

10 m

10 m

C

42 El caracol tardará por este nuevo camino 8 62 2+ = 10 minutos.

43 a), b) y c) Experiencia personal.

d)

44 Sí es posible obtener el cuadrado: Se corta la tapa por una cuerda de la circunferencia de longitud igual a la altura del cilindro y así se obtie-ne un cuadrado.

Para obtener el rectángulo, buscamos una cuerda de longitud mayor que la altura del cilindro.

45 a) Es un rectángulo de dimensiones 6,7 cm × 6 cm.

b) Es un rectángulo de dimensiones 6 cm × 8,5 cm.

c) Es un rombo de 6,7 cm de lado. La diagonal menor mide 8,5 cm.

d) Es un trapecio isósceles. Sus bases miden 8,5 cm y 4,2 cm. Cada uno de los lados no paralelos mide 6,7 cm.

12UNIDAD

232 233

Ejercicios y problemas

232

Aprende a resolver problemasAprende a resolver problemas

Piensa, justifica, describe

37. Podemos embaldosar el suelo con losetas cuadra-das o triangulares regulares. También encajan bien, unas con otras, las losetas hexagonales regulares. Sin embargo, los pentágonos regulares no sirven para embaldosar el suelo. Explica qué tiene que ver esto con el ángulo de estos polígonos regulares.

60°

90°

120°108°

38. Justifica si son regulares los siguientes polígonos:

FIGURA I FIGURA II

A

l = 12 cml

Figura I: Sobre cada uno de los lados del hexágono regular construimos un cuadrado. Unimos los vér-tices sueltos mediante segmentos. Se obtiene así un dodecágono (polígono de 12 lados).

Demuestra que el ángulo A es de 60º para así probar que el triángulo es equilátero.

Figura II: Sobre cada uno de los lados del cuadrado construimos otro cuadrado. Unimos los vértices suel-tos mediante segmentos.

Resuelve problemas (con el teorema de Pitágoras)

39. Un globo cautivo está sujeto con una cuerda. Ayer, que no había viento, el globo estaba a 51 m de altura. Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 45 m del punto de amarre. ¿A qué altura está hoy el globo?

40. Para afianzar una antena de 24 m de altura, se van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantes que se amarrarán en tierra, a 18 m de la base. ¿Cuán-tos metros de cable se necesitan para los tirantes?

41. En una foto aérea se puede ver la finca de María. Si cada cuadrado tiene 5 m de lado, ¿cuántos metros mide la valla que la protege?

B

A5 m

5 m

C

42. Un caracol sale todos los días de su escondite y va a comer brotes tiernos de un árbol. Para ello, se desplaza por el suelo durante 8 minutos y luego, sin variar su velocidad, trepa durante 6 minutos por el tronco recto del árbol. Pero un buen día se encuentra con que alguien ha co-locado un tablón justo desde su guarida hasta la base de la copa del árbol. ¿Cuánto tardará si decide subir por el tablón? Eso sí, él avanza, siempre, imperturbable, a la misma velocidad.

Problemas “+”

43. Construye un cubo de plastilina.a) Señala sobre él cómo hay que cortarlo para obtener

un triángulo equilátero. ¿Cuál es el mayor posible?b) ¿Y un cuadrado?c) ¿Y un hexágono regular?d) Dibuja el cubo y el corte que darías para obtener

un trapecio isósceles.

44. ¿Será posible conseguir un cuadrado cortando por un plano este cilindro? ¿Y un rectángulo? Dibuja en tu cuaderno los cortes que hay que hacer sobre el cilindro para obtener cada una de las figuras.

45. Describe las figuras que se obtienen con los si-guientes cortes hechos a un cubo de 6 cm de arista y represéntalas en tu cuaderno. Di qué tipo de polígo-no se obtiene y halla sus dimensiones:a) El corte contiene a una arista y

pasa por los puntos medios de otras dos aristas.

63

b) El corte contiene a dos aristas opuestas.

6

c) Observa que los cuatro lados son iguales. Halla su longitud y la de la diagonal menor.

63

3

d) El plano pasa por los puntos medios de dos aristas contiguas y por dos vértices. 6

3 3

¿Qué quiere hacer Esther? ¿Qué le falta para construir la cometa?¿Qué elementos del cuadrilátero son las varillas. ¿Qué te preguntan?

Puedes empezar dibujando la cometa con las medidas que hay que calcularpara hallar lasdos diagonales.

Observa que se han formado varios triángulos rectángulos. ¿Puedes usar algún teorema que conozcas para hallar longitudes desconocidas? ¡Ten cuidado con las unidades que utilices!

¿Ya has hallado lo que te pe-dían? ¿Puedes dar la solución del problema?

— ¿Qué tal algo así?

1 m

1 m

50 cm

50 cmd

d/2

d/2c

— Claro. Puedo usar el teorema de Pitágoras para hallar d y c:,8d d50 50 5000 5000 70 7 cm2 2 2= + = = =

d/2 = 70,7 : 2 = 35,35 cmc 2 = 1002 – (d/2)2 = 1002 – 35,352 = 8 750,4 →→ c = ,8750 4 = 93,5 cm

— Todavía no. Me falta la diagonal mayor: c + d/2 = 93,5 + 35,35 = 128,85 cmSolución: Las varillas deben medir 70,7 cm y 128,9 cm, aproximadamente.

Esther quiere construir a su sobrino una cometa como la de la fi gura. Ya tiene la tela de la cometa. Ahora necesita las dos varillas para que quede rígida con el ángulo recto.¿Qué longitud tiene que tener cada varilla?

Comprueba que has entendido el enunciado.

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

1 m

1 m

50 cm

50 cm

45 m

ANOTACIONES

234

Taller de matemáticas

La estética de los mosaicosLos mosaicos geométricos son confi guraciones con las que se tapiza una superfi cie plana. Para ello, se utilizan unas pocas piezas (teselas) que se repiten una y otra vez.Hay mosaicos con un solo tipo de tesela. Si esta es un polígono regular, el mosaico se llama re-gular.La forma de las teselas, su disposición y su colori-do permiten formar mosaicos muy bellos.

Lee y comprende

aprenderemprender

Observa algunas sugerencias para construir mosaicos sobre papel pautado. Desarróllalas tú en hojas de papel cua-driculado y triangulado.

Tantea, prueba otras formas, colorea… ¡diviértete con los mosaicos!

Experimenta y disfruta

Los mosaicos regulares son muy sosos. Sin embargo, con un pequeño dibujo en cada tesela (siempre el mismo), el cambio y la mejora pueden ser extraordinarios.

Creatividad y belleza

234

12UNIDAD

235

Autoevaluación

Realiza esta actividad sobre papel cuadriculado. Sin ocupar más que un cuadrado de 5 × 5 y apoyándote en los vértices de la cuadrícula…

a) Representa tantos tipos de rombos que no sean cuadrados como puedas.

b) Representa algunos tipos de trapecios que no sean rectángulos ni isósceles.¡Hay muchísimos!

c) Inventa cuadriláteros distintos, pero todos ellos con el mismo perímetro.

d) ¿Puedes delimitar varios cuadriláteros con la misma área pero con distinto perímetro?

e) Representa algunos cuadriláteros cón-cavos.

Entrénate resolviendo problemas

1. Observa los siguientes polígonos:

A

B

CD

E

H

F

JK

I

G

a) Clasifica los cuadriláteros y escribe las característi-cas de cada uno.

b) Identifica los polígonos regulares y nómbralos.

c) ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada figura?

2. Dibuja en tu cuaderno dos triángulos escalenos. En-cuentra el circuncentro y la circunferencia circunscri-ta de uno de ellos y el baricentro del otro.

3. Dadas dos circunferencias de radios r1 = 5 m y r2 = 8 m, indica sus posiciones relativas para cada una de las siguientes distancias de sus centros:a) d = 6 m b) d = 13 mc) d = 15 m d) d = 3 mDibuja esquemáticamente cada uno de los casos.

4. Calcula la longitud desconocida en cada caso:

D

x

y

9 m

m

16 k

m

12 mm

6 m

17 km

13 cm

5 cm

a

5. Entre los siguientes cuerpos geométricos, determina los poliedros, los poliedros regulares y los cuerpos de revolución. Pon nombre a los que conozcas.

A

F G H

I

J

B C D E

235

En la web Resoluciones de estos ejercicios.