Trabajo 2 de Topologia
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Topolog´ ıa Trabajo No. 1 (A entregar: Mi´ ercoles 24 de agosto, 10 a.m.) Los trabajos se elaboran en grupos de tres estudiantes y se presentan escritos (a mano o en L A T E X) en hojas blancas tama˜ no carta que deben estar numeradas. 1.1. En cada uno de los casos siguientes, compruebe que la colecci´on indicada es una topolog´ ıa sobre el conjunto dado. a) X un conjunto arbitrario, S ⊆ X un subconjunto fijo. τ = {∅, S, X }. Demostraci´on1. i) ∅,X ∈ τ , es decir, el conjunto vac´ ıo y el espacio completo son abiertos en τ . ii) Si {S i } i∈I ⊆ τ entonces ∪ i∈I S i ∈ τ . Sea {S i } i∈I una familia de abiertos. (a) Si S i 6= X para todo i,y S i = S para todo i, entonces ∪ i∈I S i = S ∈ τ. (b) Si S i 6= X para todo i,y S i 6= S para todo i, entonces S i = ∅ para todo i, luego ∪ i∈I S i = ∅ ∈ τ.
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Topologa
Trabajo No. 1
(A entregar: Miercoles 24 de agosto, 10 a.m.)
Los trabajos se elaboran en grupos de tres estudiantesy se presentan escritos (a mano o en LATEX) en hojasblancas tamano carta que deben estar numeradas.
1.1. En cada uno de los casos siguientes, compruebe que la coleccion indicada
es una topologa sobre el conjunto dado.
a) X un conjunto arbitrario, S X un subconjunto fijo. = {, S, X}.
Demostracion 1. i) , X , es decir, el conjunto vaco y el espaciocompleto son abiertos en .
ii) Si {Si}iI entonces iI Si . Sea {Si}iI una familia deabiertos.
(a) Si Si 6= X para todo i, y Si = S para todo i, entonces iISi =S .
(b) Si Si 6= X para todo i, y Si 6= S para todo i, entonces Si = para todo i, luego iISi = .
-
iii) Si A,B entonces A B .
A B A B S X S S S S
S X S
X X S S
X X X
Como i) , ii) y iii) cumplen, entonces es un topologa sobre X. .
b) X un conjunto arbitrario, S X un subconjunto fijo. Se convieneque A si A = o si S A; es decir, contiene todos los subconjuntosque contienen a S (ademas del vaco); es decir, = {}{A X : S A}.
Demostracion 2. i) porque as se definio. X porque S X.
ii) Si {Ai} y S Ai0 para algun ndice i0 entonces como Ai0 iIAievidentemente S iIAi y por lo tanto iIAi . El caso excepcional ocurre cuando Ai = para todo i, pero en-tonces iIAi = .
iii) Si A,B y S A, S B entonces tambien S A B de dondeA B . Ahora el caso excepcional es cuando A = o B = , pero entoncesA B = .
Como i) , ii) y iii) cumplen, entonces es un topologa sobre X. .
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c) En el plano R2, A si para cada punto a A se tiene la A,siendo la la recta horizontal con ecuacion y = a (elabore un dibujo).
a
La
(p,q)
p
q
Demostracion 3. i) ,R2 . Evidente.
ii) Si {Ai}iI entonces
iI Ai .Dado a iI Ai entonces a Ai0 para algun ndice i0 I. Puestoque Ai0 es abierto, la Ai0 pero como Ai0
iI Ai, evidentemente
la
iI Ai.
iii) Si A,B entonces A B .Dado a A B, a A luego la A; a B luego la B.As que la A B.
Como i) , ii) y iii) cumplen, entonces es un topologa sobre X. .
1.2. a) Demuestre que la interseccion de dos topologas sobre el mismo
conjunto X constituye una topologa sobre X.
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La interseccion 12 de dos topologas cualesquiera tambien es una topologade X, porque:
Demostracion 4. i) , X pertenecen de manera simultanea a 1 y 2,por tanto ,X pertenece a la interseccion 1 2.
ii) Sea {Ai}iI una coleccion de conjuntos abiertos que pertenecen a 12.Donde {Ai}iI 1 y {Ai}iI 2, ademas iIAi 1 y iIAi 2,por tanto iIAi 1 2.
iii) Sea A,B 1 2, donde A 1 2 y B 1 2. Como 1 y 2 sontopologas entonces AB 1 y AB 2, por lo tanto AB 12.
Como i) , ii) y iii) cumplen, entonces es un topologa sobre X. .
b) Encuentre dos topologas sobre el conjunto X = {a, b, c} cuya unionno es una topologa sobre X.
Demostracion 5. Sea 1 = {X,, {a}} y 2 = {X,, {a}} siendouna topologa sobre X.
Entonces, 1 2 = {X,X,, {b}}
i) , X pertenecen tanto a 1 como a 2, por tanto, , X pertenecen a1 2.
ii) Sea {a} 1 2 y {b} 1 2 pero {a} {b} = {a, b} / 1 2.
Como no se cumple ii) , entonces 1 2 no es una topologa sobre X. .
1.3. Demuestre que, en un espacio metrico, cualquier disco abierto B(x) es
abierto para la topologa inducida por la metrica.
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Demostracion 6. En un espacio metrico (X,d) si x X y R, > 0entonces:
B(X) = {y Xd(x, y) < },
Como y B(X) y d(x, y) < , existe = d(x, y) con > 0. Debemosprobar que B(y) B(X).
Sea z B(y); aplicando desigualdad triangular tenemos:d(x, z) d(x, y) + d(y, z)
< d(x, y) +
< d(x, y) + d(x, y)<
X
Como d(x, z) < entonces z B(X), es decir, que B(y) B(X). Por lotanto B(X) es abierto para la topologa inducida por la metrica. .
1.4. Para cada una de las topologas del ejercicio 1.1:
Demostracion 6. 1.1a) Sea X un conjunto arbitrario, S X un subcon-junto fijo. = {, S, X}.
a) Conjuntos cerrados.
C = {, X, Sc}
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b) La adherencia de cualquier subconjunto.
Sea A X, entonces:
A =
X Si A = X
Si A =
Sc Si A Sc
X Si A S.c) El interior de cualquier subconjunto.
Sea A X, entonces:
Ao =
X Si A = X
Si A =
Si A Sc
Si A S.Demostracion 7. 1.1b) Sea X un conjunto arbitrario, S X un subcon-
junto fijo. Se conviene que A si A = o si S A; es decir, contiene todos los subconjuntos que contienen a S (ademas del vaco);
es decir,
= {} {A X : S A}.
a) Conjuntos cerrados.
C = {X} {B X : S B = }b) La adherencia de cualquier subconjunto.
Sea M X, entonces:
M =
X Si M = X
Si M =
M Si M {B X : S B = }X Si M S.
-
c) El interior de cualquier subconjunto.
Sea M X, entonces:
M o =
X Si M = X
Si M =
M Si M {A X : S A} Si {M S.
