Aplicación EDO a la Economía

Aplicación EDO a la Economía

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Aplicación EDO a la Economía

PRESENTACIÓN

INTEGRANTES:

MARIA ANTONELLA AGUIRRE MENDEZ. JULIO CESAR MITAC QUISPE.

CURSO:

ANALISIS MATEMATICO III

TEMA:

APLICACIÓNES DE EDO A LA ECONOMIA

PROFESORA:

ELVIA PEREZ.

CICLO:

IV

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Aplicación EDO a la Economía

RESUMEN

En este breve artículo aplicaremos ecuaciones diferenciales a la Economía, con una perspectiva a la Ingeniería de Software.

Dado que el modelo de oferta y demanda, utiliza para su explicación matemática y económica, las ecuaciones diferenciales lineales, se lleva a cabo una explicación de cómo obtener una solución analítica y gráfica de dichas ecuaciones. Posteriormente, se explica con detalle los elementos básicos para definir con lenguaje de ecuaciones diferenciales los conceptos de oferta, demanda y el principio económico que los une, a través del planteamiento y solución de varios ejemplos de aplicación.

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PROBLEMA A RESOLVER

Plantearemos a continuación un problema, al cual se les dará solución con el principio de oferta y demanda.

1. La oferta y la demanda de un bien están dados en miles de unidades respectivamente por:D=40+3 p ( t )+ p '( t) Y S=160−5 p (t )−3 p ' (t).

El precio del bien en t=0, es US$ 20.

a) Encontrar el precio en cualquier tiempo t .b) Obtener la gráfica del precio en función del tiempoc) Determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si este existe.

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OBJETIVOS

Aplicar los conceptos de EDO previamente vistos en clase, para obtener un modelo matemático.

Conocer la relación entre oferta y demanda de manera conjunta para ampliar la visión del mercado.

Identificar los factores determinantes en los cambios de la oferta y la demanda.

Analizar el precio en función del tiempo (para saber si el precio aumenta, disminuye o se mantiene constante).

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MARCO TEORICO

OFERTA Y DEMANADA:

Sea p=p ( t )la función precio de un bien en el tiempo. El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo, en cualquier tiempo t se llama demanda y se denota por D=D (t ) . Esta demanda puede depender no sólo del precio p en cualquier tiempo t , sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomarán los precios, esto es, la tasa de cambio del precio p ’( t).

D=f ¿ (1)

f Es la función de demanda.

Análogamente, el número de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo, en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S=S (t ). Como en el caso de la demanda, la oferta depende de p (t )y p ’( t), esto es:

S=g ( p ( t ) , p ’ (t)) (2)

Por tanto, g es la función de oferta.

Para aplicar los conceptos anteriores debemos asumir lo siguiente:

a) Economía competitiva y libre: Significa que los consumidores y productores compiten para determinar los precios.

b) Los precios, demanda y oferta son continuos: Los precios toman valores discretos, pero en la práctica, se pueden aproximar con un buen grado de precisión adoptando valores continuos (más precisos).

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LEY DE LA OFERTA

Ley económica que determina que la cantidad ofrecida de un bien aumenta a medida que lo hace su precio, manteniéndose las restantes variables constantes. La cantidad ofrecida es directamente proporcional al precio.

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LEY DE LA DEMANDA

Esta es una ley económica que determina que la cantidad demandada de un bien disminuye a medida que aumenta su precio. La cantidad demandada es inversamente proporcional al precio.

PRINCIPIO ECONOMICO DE OFERTA Y DEMANDA:

La ley de la oferta y demanda es un modelo económico básico postulado para la formación de precios de mercado de los bienes, usándose para explicar una gran variedad de fenómenos.

El precio de un bien en cualquier tiempo t , es decir p (t ), está determinado por la condición de que la demanda y la oferta en un mismo tiempo son iguales.

f ( p (t ) , p ’ (t))=g( p (t ) , p ’ (t)) (3)

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MODELO MATEMÁTICO

Para encontrar nuestro modelo matemático utilizaremos el principio de oferta y demanda. (D=S)

1. De la ecuación (3) sabemos que:

f ( p ( t ) , p ’ (t))=g( p (t ) , p ’ (t))

Ahora bien, las formas más simples de f y g son funciones lineales en p (t )y p ’( t), esto es:

D=a1 p (t )+a2 p ’ ( t )+a3(4 )

S=b1 p (t )+b2 p ’ (t )+b3 (5 )

En donde a1y b1son constantes reales.

2. Aplicamos (4) y (5) en (3).

a1 p (t )+a2 p ’ (t )+a3=b1 p (t )+b2 p ’ (t )+b3

p ’ ( t ) [ a2−b2 ]+ p ( t ) [ a1−b1 ]=b3−a3

p ’ (t )[ a2−b2a2−b2 ]+ p (t ) [ a1−b1a2−b2 ]= b3−a3a2−b2

¿¿

p ’ (t )+ p (t )[ a1−b1a2−b2 ]= b3−a3a2−b2

¿(6)¿

Donde a1≠b1 ,a2≠b2 , a3≠b3

La EDO (6) es lineal no homogénea, con función desconocida p=¿ p (t ).

Si la ecuación está sujeta a la condición inicial p (0 )=p0 se origina un problema de valores iniciales PVI.

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3. Para hallar la solución debemos multiplicar a todo por el factor integrante.

Recordar que si tenemos: y ’+ p ( x ) y=q ( x ) el factor integrante seria e∫p (x)dx.

Entonces hallemos el factor integrante en la EDO (6).

e∫[ a1−b1a2−b2 ]dt=e[

a1−b1a2−b2 ] t

4. Ahora multiplicamos a (6) por el factor integrante.

e[ a1−b1a2−b2 ]t dp

dt+e

[ a1−b1a2−b2 ] t[ a1−b1a2−b2 ] p= b3−a3

a2−b2¿

e[ a1−b1a2−b2 ] t ¿

5. Procedemos a integrar para hallar nuestra solución general.

ddt

(e[a1−b1a2−b2 ] t p)= b3−a3

a2−b2¿

e[a1−b1a2−b2 ] t ¿

∫ d (e[a1−b1a2−b2 ]t p)=∫ b3−a3

a2−b2¿

e[ a1−b1a2−b2 ]t

dt ¿

e[ a1−b1a2−b2 ]t p=[ b3−a3a2−b2 ][ a2−b2a1−b1 ]e[

a1−b1a2−b2 ] t+C

p (t )=[ b3−a3a1−b1 ]+ C

e[ a1−b1a2−b 2 ]t

p (t )=[ b3−a3a1−b1 ]+Ce−[a1−b1a2−b2 ] t(7)

6. Para hallar C , utilizamos la condición inicial p (0 )=p0 en (7)

p (0 )=[ b3−a3a1−b1 ]+C

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p0=[ b3−a3a1−b1 ]+C

C=p0−[ b3−a3a1−b1 ](8)7. Reemplazando (8) en (7), obtendríamos la solución particular:

p (t )=[ b3−a3a1−b1 ]+[ p0−b3−a3a1−b1 ]e−[ a1−b1a2−b2 ] t (10)

MODELO MATEMATICO

Se presentan varias posibilidades:

Caso 1: Si p0=b3−a3a1−b1

entonces de(10 ) se obtiene que p (t )=p0 situación en la

cual los precios son constantes todo el tiempo.

Caso 2: Aquí el precio p (t ) tiende a b3−a3a1−b1

como el límite cuandot crece,

asumiendo que este límite es positivo. En este caso se tiene estabilidad de

precios y el límite b3−a3a1−b1

se llama precio de equilibrio.

Caso 3: a1−b1a2−b2

<0 En este caso, el precio p (t )crece indefinidamente, a

medida que t crece, asumiendo que p0>b3−a3a1−b1

. Se presenta aquí la

inflación continuada o inestabilidad de precios.

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SOLUCION DEL PROBLEMA

1. Del problema planteado tenemos los siguientes datos D=p ' (t)+3 p (t )+40 Y

S=−3 p ' (t )−5 p (t )+160.El precio del bien en t=0, es US$ 20.

Por el principio económico de oferta y demanda, se tiene

p '(t )+3 p ( t )+40=−3 p ' ( t )−5 p ( t )+1604 p ' (t )+8 p (t )=120

p' (t )+2 p (t )=30 Hallamos el factor integrante.

e∫2dt=e2 t

Multiplicamos a nuestra EDO por el factor integrante.

e2 tdpdt

+e2 t2 p=30e2 t

Integramos para hallar la solución general.

ddt

(e2 t p )=30e2 t

∫ d (e2 t p )=∫30 e2 tdt

e2 t p=30 12e2t+C

p (t )=15+c e−2t

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Sustituimos p (0 )=20 en la expresión.

p (t )=15+c e−2t

p (0 )=15+c20=15+cc=5

De esta manera el precio está definido como:

p (t )=15+5e−2 t

En la figura se puede ver la representación gráfica (curva solución) de p (t ).Por otra parte, cuando t→∞ , p→15. Entonces en este caso se presenta estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es US$15, lo cual corresponde al caso 2, pues p es positivo.

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CONCLUSION

Dado que la economía es una ciencia que estudia cómo se administran recursos escasos con el objeto de producir bienes y servicios, intentar dar solución a problemas de este tipo, a través de un modelo matemático es una tarea bastante difícil, si se tiene en cuenta la amplia gama de factores endógenos y exógenos que rodean al problema en sí mismo. De ahí que, esos modelos deben estar sometidos a permanentes validaciones y ajustes, paralelamente a la determinación de su grado de incertidumbre.

El uso de las ecuaciones diferenciales, facilita enormemente la interpretación económica de los problemas relacionados con la oferta y demanda, sobre todo la representación gráfica de las soluciones de las mismas. De hecho, proporciona un magnífico cuadro visual para determinar si en la situación planteada existe o no estabilidad de precio y el precio de equilibrio, si estos existen.

Hoy en día los software facilitan la aplicación de los modelos económicos.

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RECOMENDACIONES

Es conveniente decir que el modelo matemático de oferta y demanda con ecuaciones diferenciales tiene sentido si se está trabajando en un modelo perfectamente competitivo, esto es, un cambio en la producción, no afecta el precio del producto.

Se insiste en el hecho de que cualquier resultado obtenido teóricamente, debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

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BIBLIOGRAFIA

Dennis ZILL, (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.

SPIEGEL, Murray (1989). Ecuaciones diferenciales aplicadas.

DERRICK /GROSSMAN (1984). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones.

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