DISTRIBUCIONES COMUNMENTE USADAS

Carolina Zúñiga Rivera 2B Procesos IndustrialesUniversidad Tecnológica de Torreón

DISTRUBUCIÓN NORMAL

A menudo se llama una “curva de Bell” porque se parece a una campana, Nosotros decimos que los datos se "distribuye normalmente".La distribución normal tiene: media = mediana = modo simetría con respecto al centro 50% de los valores menor que la media y el 50% mayor que la mediaLas desviaciones estándarLa desviación estándar es una medida de qué tan extendido números son (leer esa página para obtener más información sobre la forma de calcular).Al calcular la desviación estándar de los datos, se dará cuenta de que (en general):

La "Curva de Bell" es una Distribución Normal. 

DISTRUBUCIÓN NORMAL

68% de los valores están dentro de 1 desviación estándar de la media

95% se encuentran dentro de 2 desviaciones estándar

99,7% se encuentran dentro de 3 desviaciones estándar

EJEMPLOS

DIS

TR

IBU

CIÓ

N

NO

RM

AL

Xm= 2.0746

Desviaciones-1=1.883 +1=2.2610 =230/300 = 0.7666 = 76.6 %-2=1.7018 +2=2.447 =296/300 = 0.986 =98.6%-3=1.155 +3=2.6338 =300 /300 = 1 =100%

La distribución de estos datos no es normal

Desviaciones-1=1.4700 +1=1.5378 =210/300 = 0.7 = 70 %-2=1.4361 +2=1.5717 =294/300 = 0.98 =98%-3=1.4022 +3=1.6056 =299 /300 = 0.996 =99.6%

Esta distribución es normal porque los valores se encuentran dentro de 1 desviación, 2 desviaciones y 3 desviaciones con porcentaje de 68%, 95% y 99% o se acercan a dichos valores

(Tipificada)

DISTRUBUCIÓN ESTÁNDAR

El numero se desviaciones estándar de la medida también se le llama “Técnica Estándar”, “sigma” o “z-score” Así que para convertir un valor a una puntuación estándar ("z-score"):Primero restar la media, y se divide por la desviación estándar y hacer eso se llama "normalización"

z es la "z-score" (Puntuación estándar) x es el valor a ser estandarizado μ es la media σ es la desviación estándar

Aquí está la fórmula para z-score que hemos estado utilizando:

EJEMPLOS

DIS

TR

IBU

CIÓ

N

ESTÁ

ND

AR

Valor original Cálculo Resultado oficial (z-score)26 (26-38.8) / 11,4 = -1,12 33 (33-38.8) / 11,4 = -0,5165 (65-38.8) / 11,4 = 2.30

Una encuesta sobre el tiempo de viaje al día tuvieron estos resultados (en minutos):26, 33, 65, 28, 34, 55, 25, 44, 50, 36, 26, 37, 43, 62, 35, 38, 45, 32, 28, 34La media es de 38,8 minutos , y la desviación estándar es de 11,4 minutos (puede copiar y pegar los valores en la calculadora de Desviación Estándar si lo desea).Convertir los valores de z-scores (puntuaciones de "estándar"). Para convertir 26 :primero restar la media: 26-38.8 = -12.8,y se divide por la desviación estándar: -12.8/11.4 = -1,12Así que 26 es -1,12 desviaciones estándar de la media Aquí están las tres primeras conversiones

 Xm=53.8

Desv. Estándar = 9.66

a) Determina la probabilidad de que el alumno tenga una probabilidad de 70

b) Determina la probabilidad de que el alumno tenga una calificación ente 52 y 64

c)La probabilidad de que un estudiante tenga una calificación menor a 50

67.166.98.5370 Z %75.447.095251

9525.

Z

1862.066.98.5352

05.166.96.5364

Z

Z

%46.42

4246.04285.08531.0

)6452(

XP

39.066.98.5350 Z %18.656518.03482.01

3482.0

Z

DISTRIBUCIÓN BINOMINAL

En esta practica es posible extraer varios componentes de una gran población y contar el numero de elementos defectuosos. Esto implica hacer varios ensayos de Bernoulli independientes y contar el numero de éxitos. El numero de éxitos es una variable aleatoria, que tiene una Distribución Binominal

Suponga que una población finita contiene elementos de dos tipos, éxitos y fracasos y que se extrae una muestra aleatoria simple de una población. Si el tamaño muestral no es mayor a 5%, se puede utilizar la distribución binominal para modelar el numero de éxitos

La formula para esta distribución es:

P(X=k)= nCk(Pk)(q)n-k

EJEMPLOS

DIS

TR

IBU

CIÓ

N

BIN

OM

INA

L

Se toma una muestra de 5 elementos de una población grande en la cual el 10% de los elementos esta defectuoso.

Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra este defectuoso.

p(x=0)= 5 0.1⁰(1-0.1)⁵⁻⁰=0.59049 0

Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos.

p(x=1)= 5 0.1¹(1-0.1)⁵⁻¹=0.32805 1

Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén defectuosos.p(x=3)= 5 0.1³(1-0.1)⁵⁻³=0.0081 3

p(x=4)= 5 0.1⁴(1-0.1)⁵⁻⁴=0.00045 4

p(x=5)= 5 0.1⁵(1-0.1)⁵⁻⁵=0.00001 5

Se lanza al aire una moneda 10 veces.¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?p(x=0)= 10 0.5³(1-0.5)¹⁰⁻³=0.1171875 3Determine la media del número de caras obtenidas.p(x=2)= 10 0.5²(1-0.5)¹⁰⁻²=0.043945312 2

Un jugador de baloncesto tiene que tirar 3 tiros libres. Su promedio de acierto es de 80% Probabilidad que enceste 0,1,2 o 3 canastas

Éxito= Encestar

P= .8 q=.2n=3k=0

P(X=k)= nCk(Pk)(q)n-k

(1)(1)(0.008)=0.008

P= .8 q=.2n=3k=1

P= .8 q=.2n=3k=2

P= .8 q=.2n=3k=3

(3)(0.08)(0.04)=0.096

(3)(0.64)(0.2)=0.384 (1)(512)(1)=.512

DISTRIBUCIÓN BERNOULLI

El experimento tiene dos resultados, al primero se le llama “éxito” y al otro “fracaso”. La probabilidad de éxito se denota (p). Por consecuencia la probabilidad del fracaso es (1 – p). Esto representa un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito p. El mas sencillo de este tipo es el lanzamiento de una moneda. Los posibles resultados son “cara” o “cruz”.

EJEMPLOS

DIS

TR

IBU

CIÓ

N

BER

NO

ULL

I

En un restaurante de comida básica 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, en 35% una mediana y 40% una grande. Sea X =1 si se escoge aleatoriamente

una orden de una bebida pequeña, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña

o mediana, Z=0 para cualquier otro caso.Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px

Eventos probabilidades X=1 si es una bebida chica 1 0.25 (p)= 1(0.25)= 0.25

X=0 si no lo es 0 0.75 (1-p)=0(0.75)=__0__ Media= 0.25

0.25(1-0.25)=0.1875

Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos sea X= 1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos, Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” en

ambas monedas, Z=0 en cualquier otro caso.Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px

Eventos probabilidades X=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50

X=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25

Se lanzan 2 dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la sume es

6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo numero en los dados y ambos sumen 6 (es decir, que

salgan 3 en los dos dados) y Z=0en cualquier otro caso.•Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px

Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.16 (p)= 1(0.16)= 0.16

X=0 si no 0 0.84 (1-p)=0(0.84)=__0__ Media= 0.16

0.16(1-0.16)=0.1344•Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py

Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.064 (p)= 1(0.064)= 0.064X=0 si no 0 0.936 (1-p)=0(0.036)=__0__ Media= 0.064

0.064(1-0.064)=0.059904

DISTRIBUCIÓN POISSON

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de

ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

La función de masa de la distribución de Poisson es:

Donde:k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

EJEMPLOS

DIS

TR

IBU

CIÓ

N

PO

ISSO

N

En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por 4 horas, encuentre la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas y que en 180 minutos se atiendan 12 pacientes.

Usamos la distribución de Poisson

P(X=x) = exp(-λ) * λ^x / x!

**la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas

λ=16 pacientes en 4 horas --> λ=4 pacientes/hora --> λ=2 pacientes/media hora

debemos calcular P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = exp(-2) * 2^0 / 0! = 0.1353P(X=1) = exp(-2) * 2^1 / 1! = 0.2707P(X=2) = exp(-2) * 2^2 / 2! = 0.2707

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.Solución:a)      x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ....

l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b)      x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ....

l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

  

 

                 =1-(0.367918+0.367918) = 0.26416