UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

METODOS NUMRICOS

TRABAJO COLABORATIVO 2

UNIVERSIDAD NACIONAL A DISTANCIA (UNAD)

TABLA DE CONTENIDOContenidoINTRODUCCION3DIFERENCIAS DE LOS SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES4CUADRO COMPARATIVO SISTEMAS LINEALES6ELIMINACIN DE GAUSS7GAUSS-JORDAN8MTODO DE GAUSS-SEIDEL10DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON12CONCLUSIONES13REFERENCIAS14

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

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INTRODUCCION

El presente trabajo define los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, con sus respectivos ejemplos explicando los conceptos, adicionalmente se presenta un cuadro comparativo de las ventajas y desventajas de los sistemas lineales; Se presenta el sistema de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel de agua que se presenta en la gua. Se presentan los sistemas de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel de agua por cada mtodo: Eliminacin de gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel. Se presenta el proceso para calcular el polinomio de diferencias divididas de newton.

DIFERENCIAS DE LOS SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES

LinealesTeniendo en cuenta que la matemtica es una ciencia que nos da las herramientas para poder solucionar operaciones, problemas de la vida real, y entre otras situaciones a las que vamos a enfrentarnos en la vida, entonces las ecuaciones lineales son la forma ms comn de resolver problemas, y las no lineales las vemos como ms complicadas y enredadas, pero en realidad es porque no conocemos los conceptos para poder solucionar de esa manera.Tipos de ecuaciones Si tenemos en cuenta el exponente de la variable.EJEMPLO

x - 9 = - 12x - 9 + 9 = -12 + 9x = - 3

-4x = 36-4x/-4 = 36/-4x = -9

x/8 = -28.x/8 = (-2)(8)x=-16

Esta es una ecuacin cubica, podemos analizar que X en la ecuacin es considerada como la entrada y que Y es considerada la salida, la ecuacin lineal, cualquier aumento en la "x" o bien provoca un aumento o una disminucin en "y" dependiendo del valor de la pendiente.

No linealesEjemplos

La relatividad generalLas Ecuaciones de Navier-Stokes de dinmica de fluidosLa ptica no linealEl sistema del clima en la TierraEl balanceo de un uniciclo robotLa ecuacin de transporte de BoltzmannLa ecuacin de Korteweg-de VriesLa ecuacin no lineal de Schroedinger

CUADRO COMPARATIVO SISTEMAS LINEALESEcuaciones linealesEcuaciones no lineales

Es un procedimiento de igualdad.El sistema al menos tiene una ecuacin que no es de primer grado.

Es una ecuacin que involucra suma y restas y de una variable.Cuando se quiere resolver este sistema se hace por medio de sustitucin.

Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y anlisis.Los sistemas no lineales son ms difciles de analizar.

Tiene homogeneidad.Las ecuaciones no lineales son de inters en fsica y matemticas debido a que la mayora de los problemas fsicos son implcitamente no lineales en su naturaleza.

Tiene Aditivita.Para poder resolver cualquier ecuacin se necesita decidir en qu espacio matemtico se encuentra la solucin u.

Tiene invariabilidad en el tiempo.Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones.

Es un sistema que permite a los investigadores hace suposiciones matemticas y aproximaciones.Representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable con una suma de los comportamientos de sus descriptores.

Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposicin de otras soluciones de la misma ecuacin.existen muchas herramientas para analizar ecuaciones no lineales, por mencionar algunas tenemos: dinmica de sistemas, teorema de la funcin implcita y la teora de la bifurcacin

MTODO ELIMINACIN DE GAUSSTIEMPO4914X

NIVEL DEL AGUA %145079P(X)

Sistemas de ecuaciones del problema:

Obtenemos un nuevo sistema con las siguientes ecuaciones: (1)

(2)

(3)

De la ecuacin 3 del sistema se obtiene con la variable

De la ecuacin 2 del sistema se obtiene con la variable

De la ecuacin 1 del sistema se obtiene con la variable

Respuesta:

METODO GAUSS JORDAN

TIEMPO4914X

NIVEL DEL AGUA %145079P(X)

Sistemas de ecuaciones del problema:

Solucin:

Escribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz.

Matriz Original

141614

198150

11419679

La Fila 1 se divide por 1

141614

198150

11419679

A la Fila 2 le sumo la Fila 1 multiplicada por -1

141614

056536

11419679

A la Fila 3 le sumo la Fila 1 multiplicada por -1

141614

056536

01018065

La Fila 2 se divide por 5

141614

01137.2

01018065

A la Fila 3 le sumo la Fila 2 multiplicada por -10

141614

01137.2

0050-7

La Fila 3 la divido por 50

141614

01137.2

001-0.14

A la Fila 2 le sumo la Fila 3 multiplicada por -13

141614

0109.02

001-0.14

A la Fila 1 le sumo la Fila 3 multiplicada por -16

14016.24

0109.02

001-0.14

A la Fila 1 se le suma la Fila 2 multiplicada por -4

100-19.84

0109.02

001-0.14

Resultado:

x1= -19.84

x2= 9.02

x3= -0.14

MTODO DE GAUSS-SEIDEL. OPCION 1

Despejar X

Despejar Y

Despejar Z

Primera iteracin se sustituye con el valor 0

Segunda iteracin

Tercera iteracin

Cuarta iteracin

Se cumple la condicin a la 4 iteracin.IteracinXYZ

000

1

2

30,358

40,358

METODO GAUSS SEIDEL. OPCION 2Sistemas de Ecuaciones:

Despejando la variable de cada ecuacin

Primera Iteracin:Valores Arbitrarios:

Errores:

Se toma el mximo valor % en esta caso es 100, el mximo valor debe ser cercano a cero para que cumpla la condicin. Segunda IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-2,7346944

x25,446144889

x30,028003398

ERRORES

E X16,119402007 X 100611,9402

E X20,265535515 X 10026,553552

E X30,639743878 X 10063,974388

No se cumple la condicinSegunda IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-8,232633919

x26,218262078

x30,000902882

ERRORES

E X10,667822664 X 10066,782266

E X20,12416929 X 10012,416929

E X330,01557573 X 1003001,5576

No se cumple la condicinTercera IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-10,88749442

x26,757151222

x3-0,024043993

ERRORES

E X10,243844947 X 10024,384495

E X20,079750937 X 1007,9750937

E X31,03755124 X 100103,75512

No se cumple la condicinCuarta IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-12,643901

x27,176829384

x3-0,045059747

ERRORES

E X10,138913344 X 10013,891334

E X20,05847682 X 1005,847682

E X30,466397506 X 10046,639751

No se cumple la condicinQuinta IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-13,98636159

x27,515133453

x3-0,062375034

ERRORES

E X10,095983547 X 1009,5983547

E X20,045016375 X 1004,5016375

E X30,277599649 X 10027,759965

No se cumple la condicin

Sexta IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-15,06253326

x27,790545673

x3-0,076556664

ERRORES

E X10,071446924 X 1007,1446924

E X20,035352109 X 1003,5352109

E X30,185243568 X 10018,524357

No se cumple la condicinSptima IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-15,93727607

x28,015373984

x3-0,088152856

ERRORES

E X10,054886594 X 1005,4886594

E X20,028049635 X 1002,8049635

E X30,131546409 X 10013,154641

No se cumple la condicinOctava IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-16,65105024

x28,19904795

x3-0,09763072

ERRORES

E X10,042866616 X 1004,2866616

E X20,022401865 X 1002,2401865

E X30,097078707 X 1009,7078707

No se cumple la condicin

Novena IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-17,23410029

x28,349132065

x3-0,105376268

ERRORES

E X10,033831185 X 1003,3831185

E X20,017976014 X 1001,7976014

E X30,07350373 X 1007,350373

No se cumple la condicin todava, se va acercando pero se necesitan mas iteraciones.Dcima IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:

Y se realiza el mismo procedimientoITERACION

x1-17,71050796

x28,47177619

x3-0,111705912

ERRORES

E X10,026899718 X 1002,6899718

E X20,01447679 X 1001,447679

E X30,056663458 X 1005,6663458

No se cumple la condicin todava, se va acercando pero se necesitan ms iteraciones.DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

Realizar aportes que permitan en las condiciones ideales calcular el polinomio de diferencias divididas de newton.

TiempoX4914

Nivel de agua %P(X)145079

xPx

414

(50-14)/9-4=7,2

9505,8-7,2/14-4=-0,14

(79-50)/14-9=5,8

1479

Nivel de agua %P(X)145079

POLINOMIO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTONPolinomio de segundo orden con n=2

4

9

14

Los resultados representan los coeficientes junto a La ecuacin

Se evala en x=2 y se tiene

Los coeficientes Ai del polinomio interpolador de Newton,

Son:

En general

Es decir, son las diferencias divididas de la primera fila de la tabla.Conocido esto, el polinomio interpolador para los datos del ejercicio planteado ser:

Los coeficientes de x y x2 son:

-

CONCLUSIONES

Se comprenden los sistemas lineales y no lineales Se realizan ejemplos y ventajas de los sistemas lineales y no lineales Se realiza el sistema de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel del agua. Se realiza y comprenden cada uno de los temas de ecuaciones por medio de la tabla de tiempo por cada mtodo: Eliminacin de gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel. Se realiza y comprende el proceso de diferencias divididas de newton

REFERENCIAS

Articulo tomado desde la web el 25 de marzo de 2015. http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/GUIA_2.pdf Articulo tomado de la web el 27 de marzo de 2015 desde. http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/Modulo_Unidad2.pdf Recurso tomado el 29 de marzo de 2015 desde la web. https://www.youtube.com/watch?v=wPmUW9KY0GQ