TRABAJO COLABORATIVO

CALCULO DIFERENCIAL - LÍMITES Y CONTINUIDAD

Presentado por:

Delcy Yadira Álvarez Guerrero

Cód.1053684291

Paula Andrea Bastidas Huertas

Cód.97040506474

Briyith Rubiano Pedraza

Cód.1054374054

Justo Rafael Tovar

Tutor:

Juan Gabriel Cabrera

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ESCUELA DE CIENCIAS AGRARIAS PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

(ECAPMA)

TUNJA

Introducción

Los limites y la continuidad hacen parte básica del cálculo diferencial, los limites

actúan en una función como el valor que la misma cuando las variables tienden a

un número real o infinito, todo limite debe tener una función (f ) definida para que

el limite se presente.

Este trabajo colaborativo 2 se trata de reforzar los conocimientos adquiridos

durante el proceso de aprendizaje de los temas de la unidad 2 mediante la

realización del taller N°2, con el fin de identificar las fortalezas y mejorar las

falencias de nosotros los participantes y así comprender la teoría general de los

límites y el análisis de una función g(t) f(x) así como aprender al desarrollar este

tipo de operaciones que permitan plantear una estrategia de análisis para llegar

finalmente a la comprensión del verdadero sentido del cálculo matemático y es

poder entender la derivada.

Desarrollo del problema

1. ¿Qué valor de n hace que la siguiente función sea contínua?

𝑂𝑥 {(590)𝑛𝑥 − 32 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 20

20𝑥2 − 𝑛𝑥 − (590) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 20

Para que la función sea continua se debe cumplir que la imagen de la función

𝑓(𝑥) = 590𝑛𝑥 − 32 acercándose por la derecha a x = 20 sea la misma imagen de

la función 𝑔(𝑥) = 20𝑥2 − 𝑛𝑥 − (590) acercándose por la izquierda a x= 20

La función 𝑓(𝑥) = 590𝑛𝑥 − 32 es lineal de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, el punto de corte

con el eje y es -32 y la pendiente de la línea depende de n.

La función 𝑔(𝑥) = 20𝑥2 − 𝑛𝑥 − (590) es una función de segundo grado.

Entonces, para que la función sea continua debe cumplirse:

lim𝑥→20

590𝑛𝑥 − 32 = lim𝑥→20

20𝑥2 − 𝑛𝑥 − (590)

590𝑛(20) − 32 = 20(20)2 − 𝑛(20) − (590)

590𝑛(20) − 32 = 20(20)2 − 𝑛(20) − (590)

11800𝑛 − 32 = 8000 − 20𝑛 − 590

11800𝑛 − 32 = 7410 − 20𝑛

11800𝑛 + 20𝑛 = 7410 + 32

11820𝑛 = 7442

𝑛 =7442

11820= 0.6296

2. Resuelva los siguientes límites:

lim𝑥→2

𝑥3 − 2𝑥2 − 6𝑥 + 12

𝑥2 + 3𝑥 − 10

lim𝑥→2

23 − 2(2)2 − 6(2) + 12

(2)2 + 3(2) − 10

lim𝑥→2

8 − 8 − 12 + 12

4 + 6 − 10

lim𝑥→2

0

0

Eliminamos la indeterminación por método de división sintética.

lim𝑥→2

𝑥3 − 2𝑥2 − 6𝑥 + 12

𝑥2 + 3𝑥 − 10= lim

𝑥→2

(𝑥 − 2) ∗ (𝑥2 − 6)

(𝑥 − 2) ∗ (𝑥 + 5)

lim𝑥→2

𝑥2 − 6

𝑥 + 5

lim𝑥→2

22 − 6

2 + 5

lim𝑥→2

4 − 6

7

lim𝑥→2

−2

7

lim𝑥→2

1𝑥3 −

18

𝑥 − 2

lim 𝑥→2

123 −

18

2 − 2

lim𝑥→2

18 −

18

0=

0

0

Solucionamos la indeterminación

lim𝑥→2

1𝑥3 −

18

𝑥 − 2

lim𝑥→2

8 − 𝑥3

𝑥3 ∗ 8𝑥 − 2

lim𝑥→2

8 − 𝑥3

(𝑥3 ∗ 8)(𝑥 − 2)

lim𝑥→2

(−1) ∗ (𝑥3 − 8)

8 ∗ 𝑥3 ∗ (𝑥 − 2)

lim𝑥→2

(−1) ∗ (𝑥3 − 8)

8 ∗ (𝑥3) ∗ (𝑥 − 2)

lim𝑥→2

(−1) ∗ (𝑥2 + 2𝑥 + 4) ∗ (𝑥 − 2)

8 ∗ (𝑥3)(𝑥 − 2)

lim𝑥→2

(−1)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)

8 ∗ (𝑥3)

lim𝑥→2

(−1)(22 + 2(2) + 4)

8 ∗ (23)

lim𝑥→2

(−1) ∗ (4 + 4 + 4)

8 ∗ 8

lim𝑥→2

(−1) ∗ 4 ∗ 3

8 ∗ 8

lim𝑥→2

(−1) ∗ 4 ∗ 3

4 ∗ 2 ∗ 8

lim𝑥→2

−3

2 ∗ 8

lim𝑥→2

−3

16

c.

d.

e.

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 2

(ℎ + 𝑥)3

𝑥2

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 2

(ℎ3 + 3ℎ2𝑥 + 3ℎ𝑥2 + 𝑥3) − ℎ3

𝑥2

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 2

3ℎ2𝑥 + 3ℎ𝑥2 + 𝑥2

𝑥2

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 2

𝑥2(3ℎ𝑥2 + 3ℎ𝑥 + 𝑥2

𝑥2

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 23ℎ2 + 3ℎ𝑥 + 𝑥2

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 23ℎ(ℎ) + (ℎ)2 = 3ℎ2

f.

lim

𝑥 → −1 =

𝑥2 − 𝑥(𝑏 − 1) − 𝑏

𝑥3 − 𝑏3

𝑙𝑖𝑚

𝑥 → −1 =

𝑥2 − 𝑥 − 𝑏 − 𝑏

𝑥3 − 𝑏3

𝑙𝑖𝑚

𝑥 → −1 =

𝑥2 − 𝑥 − 2𝑏

𝑥3 − 𝑏3

𝑙𝑖𝑚

𝑥 → −1 =

𝑥 − 2𝑏

𝑥3 − 𝑏3

𝑙𝑖𝑚

𝑥 → −1 =

( −1) − 2𝑏

(−1)3 − 𝑏3

𝑙𝑖𝑚

𝑥 → −1 =

( −1)

(−1)3

2𝑏

𝑏3

𝑙𝑖𝑚

𝑥 → −1 = 1 − 2𝑏−3

g

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → ∞{

3𝑥3 − 3

𝑥 − 𝑥3}

𝑥2

1−𝑥2

3. Hallar el valor de b que hace que las siguientes funciones sean continuas.

a)

𝑓(𝑥) = 2𝑏𝑥 + 3 𝑆𝑖𝑥 ≤ 3

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 − 1 𝑆𝑖 𝑥 > 3

Solución 𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 3(2𝑏𝑥 + 3) =

𝐿𝑖𝑚

𝑥 → 3(𝑥2 + 𝑏𝑥 − 1)

2𝑏(3) + 3 = 𝑥(3)2 + 𝑏(3) − 1

6𝑏 + 3 = 9 + 3𝑏 − 1 =

6𝑏 − 3𝑏 = 9 − 1 − 3

3𝑏 = 5

𝑏 =5

3= 1.7

b)

𝑔(𝑡) = {9𝑏 − 𝑡2 𝑆𝑖 𝑡 ≤ 2

3𝑏𝑡 + 2 𝑆𝑖 𝑡 > 2

𝐿𝑖𝑚

𝑡 → 2 −9𝑏 − 𝑡2 = 9𝑏 − 4

𝐿𝑖𝑚

𝑡 → 2 +3𝑏𝑡 + 3 = 3(2) = 6 + 2

9𝑏 + 6𝑏 = 2 + 4

𝑏 =6

3= 2

𝒃 = 𝟐

La función es continua

Comprobando

𝑔(𝑡) = 9(2) − 22 = 18

18 − 4 = 14

𝑔(𝑡) = 3(2)(2) + 2 = 14

Conclusiones:

Durante el desarrollo de este trabajo se adquirió el conocimiento del concepto de límite

de una función, aplicándolo en la solución del ejercicio propuesto en la guía caso.

De igual manera los participantes fortalecimos las falencias mediante las correcciones del

tutor y los aportes de cada uno de los compañeros de grupo

Referencias

http://www.iesayala.com/selectividadmatematicas/ficheros/teoria/analisis/06_FUNCIONES_CONT

INUAS.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=HI0q18Jfwaw&feature=related

https://www.youtube.com/watch?v=VvILwqxWG8g