ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

Exposición de Análisis Matemático I

TEMAS: -Integración Numérica -Integración por Regla del Trapecio

-Integración por Regla de Simpson

Integrantes:- Asanza Carolina-Fernández Claudia-Núñez Alonso-Pailacho Valeria-Salazar Gabriel-Sangucho Mayra

Paralelo: 1ro “C” ETE

Objetivos:

-Conocer y aplicar distintos métodos prácticos para la integración de funciones que resultan muy útiles al momento de integrar.

- Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada

-Reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.

- Integrar aproximadamente usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.

-Saber aplicar correctamente la fórmula de los trapecios, y la regla de Simpson.

Integración Numérica:

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

∫a

b

f ( x )dx

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (debida a Thomas no a Homero).

Integración vía interpolación polinomial:Es una estrategia muy útil que consiste en reemplazar f por otra función g, fácil de integrar, que aproxima a f de forma adecuada. Si f g, se deduce que

Regla del trapecio

Regla trapezoidal de aplicación sencilla

La regla del trapecio consiste en representar de forma aproximada a una función f(x) mediante un polinomio de grado uno f1(x), de tal manera que el proceso de integración aproximada de  f(x), viene dado por:

  El polinomio de grado uno corresponde por supuesto a una recta, tal que los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) generan un trapecio:

En consecuencia, el área del trapecio es una aproximación a la integral de f(x). Empleando triángulos semejantes, se tiene que:

 Antes de la integración, la ecuación puede expresarse como:

 

Entonces, para hallar el área, se integra:

Agrupando los últimos dos términos:

 

 

Ahora, integrando para x = a y x = b

 

 

Dado que  b2 – a2 = (b – a )(b + a)

  Obteniendo finalmente la fórmula del trapecio:

 

Puesto que se utiliza el área de un trapecio para aproximar el valor de una integral definida, es claro que el proceso estará asociado a un error que, dependiendo el tipo de función con la que se trabaja, puede ser de una magnitud notable, con las respectivas consecuencias técnicas que esto conlleva para el actuario, el matemático o el ingeniero. La siguiente sección propone una alternativa para sortear esta dificultad.

Regla trapezoidal de aplicación múltiple

Una alternativa al problema de ajuste de un trapecio a una curva, consiste en dividir en n segmentos de longitud h, al intervalo de integración [a,b], y ajustar a cada segmento un polinomio de grado uno f1(x), de tal manera, que se conforman ahora n trapecios:

Lo que significa ahora que se deben calcular las  áreas parciales, es decir, el área de cada sub-trapecio:

 

Esto quiere decir que se aplica a cada uno de los sub-trapecios, la expresión, para, las que sumadas en su totalidad, proporcionan una mejor aproximación a la integral de f(x). Esta estrategia se denomina regla del trapecio de aplicación múltiple:

  Donde:

 

La ecuación puede expresarse en forma compacta por

o por su forma equivalente:

Ejemplos

REGLA DE SIMPSONAdemás de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

REGLA DE SIMPSON 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi)(Xi+1, Yi+1)(Xi+2, Yi+2)

Fig. 2Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación. La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:

(7)

La integración de la ec. (7) desde - hasta proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

(8)

Fig. 3La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:

(9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos , (0, Yi + 1 ),

y deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

(10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

(11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

(12)

Que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho de una faja.

Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho. Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

(13)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

(14)

o bien

(15)

En donde n es par.

La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de

ancho .

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene

derivadas continuas f ' a , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:

(16)

Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real

bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación

de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables)

y valuando para . La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo en la integración.

REGLA DE SIMPSON 3/8

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es:

(17)

Fig. 4En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integración

es de - a , lo que produce:

(18)

Que es la regla de los tres octavos de Simpson.

La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:

(19)

Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.

EJEMPLO

1. Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o fajas para calcular la integral de

Desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es 1.64053334.

SOLUCIÓN n = 4

X f(X)

0.0 0.200

0.2 1.288

0.4 2.456

0.6 3.464

0.8 0.232Usando la fórmula trapezoidal:

ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334

e% = 9.5 %

2. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral del inciso anterior

SOLUCIÓN n = 4

X f(X)

0.0 0.200

0.2 1.288

0.4 2.456

0.6 3.464

0.8 0.232Usando la regla de Simpson de 1/3

ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667

e% = 1.04 %

3. Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:

SOLUCIÓN Como se requieren cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson de 3/8, entonces:

X f(X)

0.0000 0.20000000

0.2667 1.43286366

0.5333 3.48706521

0.8000 0.23200000Usando la ecuación de Simpson de 3/8

ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164

e% = 7.4 %

4. Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando cinco segmentos.

SOLUCIÓN Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = 0.16) son:

X f(X)

0.00 0.20000000

0.16 1.29691904

0.32 1.74339328

0.48 3.18601472

0.64 3.18192896

0.80 0.23200000La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson de 1/3:

Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener:

La integral total se calcula sumando los dos resultados: I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716

ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383

e% = -0.28 %

Conclusiones:

-Los métodos de integración estudiados anteriormente son muy importantes sobre todo porque se usa para simplificar la integración de ciertas funciones-Es necesario conocer los distintos métodos de integración numérica como la integración por regla del trapecio y por regla de Simpson.-Tanto la regla trapezoidal como la regla de Simpson nos da un valor aproximado de la integral con su respectivo error porcentual.-La regla de Simpson 1/3 es, en general el método de preferencia para integrar, no obstante la regla de Simpson 3/8 es algo más exacta que la regla 1/3.

Bibliografía:

- http://luda.azc.uam.mx/curso2/tema5/integ03.html

- es.wikipedia.org/wiki/Integración_numérica –

-es.wikipedia.org/wiki/Integración_numérica –

-http://www.slideshare.net/paulamelissa/regla-del-trapecio

- es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson –

-es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson -