UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

PROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS A DISTANCIASEPTIMO SEMESTRE

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

TRABAJO FINAL

Tutor: Juan Carlos LoraEstudiante:

Yuli Altamiranda Narvaez4141120172

Cartagena de Indias, 21 de noviembre de 2014

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IGRUPO A1 2014 - 2

1. Una fábrica de automóviles se compone de 4 departamentos: Estampado de metales, montaje de motores, soldadura y pintura. En la tabla 1 se muestra la capacidad diaria de trabajo del tiempo de producción para cada departamento expresada en segundos.Se pueden definir 3 procesos o actividades: Producción del automóvil A, producción del automóvil B producción del automóvil C. En la tabla 2 se muestran los tiempos en segundos que requiere cada tipo de automóvil en cada departamento.La posibilidad de elección de la empresa consiste en decidir cuántos automóviles tipo A, tipo B y tipo C se deben producir al día, de tal forma que no se emplee más del 100% de la capacidad expresada en segundos por cada departamento, mostrada en la tabla 1.

Departamento Capacidad Diaria (Segundos)

Estampado de metales 20.000

Montaje de Motores 30.000

Soldadura 35.000

Pintura 40.000

Tabla 1

Departamento Tipo de Automóvil

A B C

Estampado de metales 5 10 8

Montaje de Motores 15 5 6

Soldadura 16 7 15

Pintura 10 8 25

Tabla 2

Si cada unidad de A, B y C dejan unos beneficios totales unitarios de 30.000, 40.000 y 35.000 pesetas respectivamente:

a) Formule el problema como un modelo de P.L. (variables de decisión, función objetivo y restricciones).

b) Determinar la combinación de fabricación de autos que permita maximizar los beneficios totales:a. A través del método simplex.b. A través de la utilización de soluciones SISTEMATIZADAS (solver de Excel o el WIN QSB

el que Uds. escojan). La solución deben pegarla capturando las fotos de la pantalla de la formulación y de las soluciones.

c. Comparar resultados de a y b y sacar sus propias conclusiones.

c) Desarrolle un análisis de sensibilidad modificando la variable que ud escoja (puede hacerlo manual o con una herramienta sistematizada (solver o Win QSB). Emita sus conclusiones.

a. Formule el problema como un modelo de P.L. (variables de decisión, función objetivo y restricciones).

Estampado de Metales

Montaje de Motores

Soldadura Pintura Utilidad

Automóvil A 5 15 16 10 $30.000

Automóvil B 10 5 7 8 $40.000

Automóvil C 8 6 15 25 $35.000

Capacidad 20.000 30.000 35.000 40.000

Variables de decisión

Llamaremos:X1 = No. de automóviles tipo A a producir diariamente.X2 = No. de automóviles tipo B a producir diariamente.X3 = No. de automóviles tipo C a producir diariamente.

Diseño del Modelo

Z (máximo) = 30.000X1 + 40.000X2 + 35.000X3

Sujeto a: 5 X1 + 10 X2 + 8 X3 ≤ 20.00015 X1 + 5 X2 + 6 X3 ≤ 30.00016 X1 + 7 X2 + 15 X3 ≤ 35.00010 X1 + 8 X2 + 25 X3 ≤ 40.000X1, X2, X3 ≥ 0

Se procede a estandarizar el modelo agregando variables de holgura.

Z (Maximo) = 30.000X1 + 40.000X2 + 35.000X3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4Sujeto a = 5 X1 + 10 X2 + 8 X3 + S1 = 20.000

15 X1 + 5 X2 + 6 X3 + S2 = 30.00016 X1 + 7 X2 + 15 X3 + S3 = 35.00010 X1 + 8 X2 + 25 X3 + S4 = 40.000X1, X2, X3, S1, S2, S3, S4 ≥ 0

Se trasladan los datos a la tabla simplex inicial.

Tabla Inicial

Iteración 1

Iteración 2

CJ 30000 40000 35000 0 0 0 0Ci VB Bi x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ð0 S1 20000 5 10 8 1 0 0 0 20000 S2 30000 15 5 6 0 1 0 0 60000 S3 35000 16 7 15 0 0 1 0 50000 S4 40000 10 8 25 0 0 0 1 5000

ZJ 0 0 0 0 0 0 0 0CJ-ZJ 30000 40000 35000 0 0 0 0

CJ 30000 40000 35000 0 0 0 0Ci VB Bi x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ð

40000 x2 2.000 0,5 1 0,8 0,1 0 0 0 40000 S2 20.000 12,5 0 2 -0,5 1 0 0 16000 S3 21.000 12,5 0 9,4 -0,7 0 1 0 16800 S4 24.000 6 0 18,6 -0,8 0 0 1 4000

ZJ 80.000.000 20000 40000 32000 4000 0 0 0CJ-ZJ N/A 10000 0 3000 -4000 0 0 0

Iteración 3

Solución:

Para maximizar la utilidad se debe producir diariamente

Del Vehículo Tipo A hay que producir diariamente 1578,38 unidadesDel Vehículo Tipo B hay que producir diariamente 1102,70 unidadesDel Vehículo Tipo C hay que producir diariamente 135,14 unidades

Se comprueba en la función objetivo

Z= 30000(1578,38) + 40000(1102,70) + 35000(135,14)Z= 96.189.189,19 de pesetas

b) El mismo ejercicio procedemos a solucionarlo a través del Solver de Excel.

CJ 30000 40000 35000 0 0 0 0Ci VB Bi x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ð

40000 x2 1.200 0 1 0,72 0,12 -0,04 0 0 166730000 x1 1.600 1 0 0,16 -0,04 0,08 0 0 10000

0 S3 1.000 0 0 7,4 -0,2 -1 1 0 1350 S4 14.400 0 0 17,64 -0,56 -0,48 0 1 816

ZJ 96.000.000 30.000 40.000 33.600 3.600 800 0 0CJ-ZJ N/A 0 0 1.400 -3.600 -800 0 0

CJ 30000 40000 35000 0 0 0 0CI VB BI X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4

40000 X2 1102,70 0,00 1,00 0,00 0,14 0,06 -0,10 -0,1030000 X1 1578,38 1,00 0,00 0,00 -0,04 0,10 -0,02 -0,0235000 X3 135,14 0,00 0,00 1,00 -0,03 -0,14 0,14 0,14

0 S4 12016,22 0,00 0,00 0,00 -0,08 1,90 -2,38 -1,38ZJ 96.189.189,19 30000 40000 35000 3562,16 610,81 189,19 189,19CJ - ZJ N/A 0 0 0 -3562,16 -610,81 -189,19 -189,19

Se diseña en Excel una tabla con la información necesaria para Solver nos brinde una solución

x1 x2 x3

Z = 30000 40000 35000

Unidades

restricciones

5 10 8 ≤ 0 20000

15 5 6 ≤ 0 3000016 7 15 ≤ 0 3500010 8 25 ≤ 0 40000

Zmax 0

Luego se ingresan las celdas de la función objetivo y las restricciones.

Una vez ingresada toda la información se le da opción de resolver y luego se le da aceptar:

Una vez le damos aceptar Solver alimenta la tabla de excel con la solución:

RESULTADOS METODO SIMPLEX Vs. SOLVER DE EXCEL

El resultado que nos arrojó el método simplex se pudo comprobar a través de Solver de Excel apreciando que arrojó la misma solución pero de una manera más rápida práctica.

c) análisis de sensibilidad a través de la herramienta Win QSB.Se ingresan los datos de la cantidad de restricciones y de variables.

Se registran todos los datos de la función objetivo y las restricciones

Vehiculo "A" Vehiculo "B" Vehículo "C"30000 40000 35000

1578,378378 1102,7027 135,135135Restricciones Estampado de metales 5 10 8 20000 ≤ 20000

Montaje de Motores 15 5 6 30000 ≤ 30000Soldadura 16 7 15 35000 ≤ 35000Pintura 10 8 25 27983,7838 ≤ 40000

Z= 96.189.189,19

Ganancias

unidades a producir diariamente

A continuación el análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo con la opción análisis de sensibilidad para la función objetivo.

Y el análisis de sensibilidad para las restricciones, también con la opción análisis de sensibilidad de las restricciones o recursos.

2. La empresa SAB MILLER con el fin de incrementar las ventas y de posicionarse en el mercado, ha instalado 3 distribuidoras estratificándolas por clases sociales: 1, 2 y 3. La empresa tiene 3 compradores en potencia: Carulla, Olímpica y Jumbo.Las ganancias de los distribuidores se muestran a continuación:

Distribuidores

Compradores

Carulla Olímpica

Jumbo

1 80 70 120

2 50 70 150

3 70 50 140

El departamento de mercadeo realiza un pronóstico de la demanda esperada por parte de los clientes señalados anteriormente, la cual se muestra a continuación:

Compradores Demanda (unid./mes)

Carulla 50.000

Olímpica 40.000

Jumbo 100.000

La capacidad de venta de los distribuidores 1, 2 y 3 son de 80.000, 10.000 y 50.000 unidades por mes respectivamente.

a) Plantee esto como un modelo de Transporte que represente éste problema.

Variables de decisión:

X11 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 1 al cliente CarullaX12 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 1 al cliente Olímpica X13 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 1 al cliente JumboX21 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 2 al cliente CarullaX22 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 2 al cliente Olímpica X23 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 2 al cliente JumboX31 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 3 al cliente CarullaX32 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 3 al cliente Olímpica X33 = cantidad de mercancía a distribuir desde la distribuidora 3 al cliente Jumbo

Presentación del Modelo:Z (max) = 80X11+70X12+120X13+50X21+70X22+150X23+70X31+50X32+140X33

S.A. X11+X21+X31 ≤ 50000 X12+X22+X32 ≤ 40000

X13+X23+X33 ≤ 100000 X11+X12+X13 ≤ 80000 X21+X22+X23 ≤ 10000

X31+X32+X33 ≤ 50000X11, X12, X13, X21, X22, X23, X31, X32, X33 ≥ 0 No negatividad

b) Halle la Solución Factible Inicial (SFI) a través de los tres métodos: Método de la Esquina Noroeste

Hay que crear una distribuidora ficticia debido a que el modelo está desbalanceado hallándose mayor la demanda que la oferta. Llamaremos ð a la distribuidora ficticia y todas las ganancias que surjan de esa distribuidora tendrán valor de 0. .

Según el método de esquina noroeste el resultado inicial es el siguiente:

Z = 50000(80) + 30000(70) + 10000(70) + 50000(140) + 50000(0)Z = 13.800.000 Método de la Celda del mínimo costo.

Como es un problema de maximización debemos seleccionar la celda que tenga la mayor utilidad e iniciar asignando la mayor cantidad de mercancía de acuerdo a las restricciones y continuar seleccionando la celda con mayor utilidad.

Distribuidora Clientes Oferta

80 70 12050000 30000 0

50 70 1500 10000 0

70 50 1400 0 50000

0 0 00 0 50000

Demanda 190000

SOLUCION FACTIBLE INICIAL A TRAVES DEL METODO DE EQUINA NOROESTE

Jumbo

100000

80000

10000

50000

50000

1

2

3

Carulla

50000

Olimpica

40000

ð

Este sería el resultado inicial según el método anterior

Z = 40000(80) + 40000(120) + 10000(150) + 50000(140) + 10000(0) + 40000(0)Z = 16.500.000

Método de Aproximación de Vogel.Este método se resuelve el problema hallando las penalizaciones ΔR y ΔC de acuerdo con las mayores utilidades observadas y escoger la penalización del menor valor para hacer la asignación a la celda con mayor utilidad, continuando así hasta llenar la tabla.

A continuación el resultado inicial a través del método vogel

Z= 40000(80) + 10000(0) + 40000(0) + 10000(150) + 40000 (120) + 50000(140)Z = 16.500.000

Distribuidora Clientes Oferta

80 70 12040000 0 40000

50 70 1500 0 10000

70 50 1400 0 50000

0 0 010000 40000

Demanda 19000050000 40000 100000

210000

350000

ð50000

SOLUCION FACTIBLE INICIAL A TRAVES DEL METODO CELDA DEL MINIMO COSTO

Carulla Olimpica Jumbo

180000

Distribuidora Clientes Oferta ΔR1

80 70 12040000 0 40000

50 70 1500 0 10000

70 50 1400 0 50000

0 0 010000 40000 0

DemandaΔC1

Carulla Olimpica Jumbo

180000

210000

350000

ð50000

50000 40000 100000

40

10

80

70

10 20

c) Demuestre si la SFI es óptima aplicando las dos pruebas a la SFI que le arrojó mejores resultados entre los 3 métodos del punto anterior:

Método de cruce de arroyo

A través de este método podemos encontrar la solución óptima, inicialmente, tomaremos la solución factible inicial arrojada por el método de Celda del Mínimo Costo

Luego verificamos que se cumpla la expresión M + N -1, el número de asignaciones debe ser igual a 6. Para que no haya degeneramiento, es decir, que el número de asignaciones debe ser igual a la suma de las filas más las columnas menos uno.

Hallar las utilidades reducidas de las variables no básicas o celdas vacías haciendo circuitos cerrados con signos más (+) y menos (-), comenzando en una celda vacía con signo (+) y continuando por celdas llenas hasta cerrar el circuito con signo menos, como lo apreciamos en la imagen. Hay que hacerlo con todas las celdas vacías.

X12 = +70 – 0 + 0 – 80 = -10X21 = + 50 – 80 + 120 – 150 = -60X22 = +70 – 150 + 0 – 0 = -80X31 = +70 -80 +120 -140 = -30X32 = +50 -0 + 0 -140 = -90 X43 = +0 -0 +50-140 =-90

Los valores marginales dieron sumas negativas, es decir que la solución es óptima.

Hecho lo anterior. Cuál es la ganancia total que se puede obtener aprovechando al máximo cada recurso?

La ganancia total aprovechando al máximo cada recurso es de 16.500.000

Distribuidora Clientes Oferta ΔR1

80 70 12040000 0 40000

50 70 1500 0 10000

70 50 1400 0 50000

0 0 010000 40000 0

DemandaΔC1

Carulla Olimpica Jumbo

180000

210000

350000

ð50000

50000 40000 100000

40

10

80

70

10 20

d) Por último, suponiendo que la tabla del problema no son ganancias de los distribuidores, si no los costos unitarios, y suponiendo los mismos resultados de la prueba de optimalidad; cuál sería la solución óptima si la función objetivo fuese la de Minimizar los costos?

Hallamos la solución factible inicial a través de la celda del mínimo costo

Utilizando este método el valor de Z = 7.640.000

Optimizamos a través del cruce de arroyo hallando los costos marginales.

X12 = +70 -80 + 70 – 50 = 10X22 = +70 -50 +70 – 50 = 40X23 = +150 – 120 + 80 – 50 = 60X33 = +140 – 0 + 0 – 50 = 90X41 = +0 -80 +120-0 = 40X42 = +0 -50 +140-0 = 90

Todos los costos marginales arrojaron resultado positivo es decir que la solución es óptima.

Distribuidora Clientes Oferta

80 70 12030000 0 50000

50 70 15010000 0 0

70 50 14010000 40000 0

0 0 00 50000

Demanda 19000050000 40000 100000

210000

350000

ð50000

SOLUCION FACTIBLE INICIAL A TRAVES DEL METODO CELDA DEL MINIMO COSTO

Carulla Olimpica Jumbo

180000

CONCLUSIONES

La Investigación de Operaciones nos ayuda en la Administración de organizaciones y se define como la

aplicación de las matemáticas en la solución de problemas en las empresas, creando modelos para representar

los problemas y utiliza diferentes técnicas, como la programación lineal y el análisis de decisiones, para

establecer la solución de los mismos. Esta herramienta tiene gran importancia, porque se puede obtener una

solución cuantitativa a problemas de diversos tipos y nos ayuda a tomar decisiones, basadas en un proceso

analítico. Tomar decisiones es la tarea esencial de toda persona o grupo que tiene su responsabilidad el

funcionamiento de una organización entera o parte de ellas.