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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER

Facultad de Ingeniera de Minas

CURSO: Investigacin de Operaciones TEMA: Mtodo grfico de solucin de un Programa Lineal

2015 - IDocente: Jos AVELLANEDA PURI avellaneda7@hotmail.comEJERCICIOSMTODO GRFICO DE SOLUCIN DE UN PROGRAMA LINEAL

Maximizar Z = x2 - 0.75x1 s.a. x1 - x2 0 ... (1) -0.5x1 + x2 1 .. (2) x1,x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): x1 x2 0m = tg = -c1 = -(1) = 1 = x2 ; m positivo: x2=-1, x1=1 c2 (-1) 1 x1Si: x2=0; , Si: x1=0; x20x10Funcin econmica o funcin objetivoRestricciones estructuralesRestriccin de no-negatividadm = tg = -c1 = x2 c2 x1Si m:Positivo (-) x2 (+) x1Negativo (+) x2 (-) x1x20x10123456-1-2-354321-1-212Z ptimoPolgono Convexo NO Acotado(Abierto)x2x1P(x1,x2)P(x1,x2)=P(2,2)Maximizar Z = x2 0.75x1 =2-0.75(2)=0.5Z11x1-2x21Inecuacin (2): -0.5x1 + x2 1Si: x2=0; -0.5x1 1, , Si: x1=0;

Grfico de las restricciones de no-negatividad:X1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Maximizar Z = x2 0.75x1 = 0.75x1 + x2m = tg = -c1 = -(-0.75) = 0.75 = x2 ; m positivo: x2=-0.75*2=-1.5, x1=1*2=2 c2 (1) 1 x1

Resolviendo la interseccin de (1) y (2): x1 x2 = 0 .. (1)-0.5x1 + x2 = 1 .. (2)

Se obtiene la siguiente solucin ptima nica:Maximizar Z = x2 0.75x1 = 2-0.75(2) = 0.5x10x20x2=-1.5x1=2x1=2x2=22) Minimizar Z = x1 - 10x2s.a. x1 - 0.5x2 0 .... (1) x1 - 5x2 -5 .. (2) x1,x2 0 Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): x1 0.5x2 0m = tg = -c1 = -(1) = 1 = 2 = x2 ; m positivo: x2=-2, x1=1 c2 (-0.5) 0.5 1 x1Si: x2=0; , Si: x1=0; o x1x2

Inecuacin (2): x1 - 5x2 -5Si: x2=0; , Si: x1=0; -5x2-5,

x10x20x1-5x21x20x10123456-1-2-354321-1-212Polgono Convexo NO Acotado(abierto)x2x1Minimizar Z = x1 10x2-4-5Z11Z3Solucin NO FACTIBLE oProblema NO SOLUBLEZ2Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Minimizar Z = x1 - 10x2m = tg = -c1 = -(1) = 0.5 = x2 ; m positivo: x2=-0.5, x1=5 c2 (-10) 5 x1

Es un caso excepcional, la recta Z en todo momento es secante al Polgono Convexo NO Acotado (abierto). x10x203) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 10 ... (1) x1 + x2 + 2x3 9 .. (2) 2x1 - x3 12 ... (3) x1,x2,x3 0

Solucin:

x2x1x3Aqu debemos acudir a un espacio tridimensional, y como se deduce el tratar de resolverlo grficamente resulta muy complicado. Por lo que es menester la solucin por otro mtodo y que ser uno analtico como veremos en el prximo captulo.4) Maximizar Z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 = 8 .. (1) 2x1 + 3x2 12 .. (2) x1,x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Ecuacin (1): x1 + x2 = 8Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): 2x1 + 3x2 12 Si: x2=0; , Si: x1=0;

Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; yx1=8x2=8x16x24x10x20Grfico de la funcin objetivo:Maximizar Z = 2x1 + 3x2m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; m negativo: x2=2, x1=3 c2 (3) 3 x1

Del grfico se deduce: La interseccin del semiplano (2x1 + 3x2 12) con la recta (x1 + x2 = 8) viene a constituir la misma recta y es en ella donde se encuentra la solucin ptima.

Resolviendo la interseccin de: x1 + x2 = 8 .. (1) x1 = 0 .. (2) Se obtiene la siguiente solucin ptima nica:Maximizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(8) = 24x1=0x2=8x20x10123456-15432112Z ptimox2x1P(x1,x2)=P(0,8)Maximizar Z = 2x1 + 3x2 =2(0)+3(8)=24Z178678Z2115) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 s.a. x1 + x2 1 ... (1) x2 - 5x1 0 ... (2) 5x2 x1 0 ... (3) x1 x2 -1 ... (4) x1 + x2 6 ... (5) x1 3 ... (6) x1,x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): x1 + x2 1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): -5x1 + x2 0m = tg = -c1 = -(-5) = 5 = x2 ; m positivo: x2=-5, x1=1 c2 1 1 x1x11x211 punto1 puntoPrctica calificada (23.04.2015)Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (3): x1 + 5x2 0m = tg = -c1 = -(-1) = 1 = x2 ; m positivo: x2=-1, x1=5 c2 5 5 x1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (4): x1 - x2 -1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (5): x1 + x2 6Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (6): x1 3Si: x2=0;

x10x20x10x20x1-1x21x16x26x131 punto1 punto1 punto1 punto1 punto1 puntoGrfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Maximizar Z = 3x1 + 2x2m = tg = -c1 = -(3) = -3 = x2 ; m negativo: x2=3, x1=2 c2 2 2 x1

Resolviendo la interseccin de (5) y (6):x1 + x2 = 6 ... (5) x1 = 3 ... (6) Se obtiene la siguiente solucin ptima nica:Maximizar Z = 3x1 + 2x2 = 3(3) + 2(3) = 15x10x1=3x20x2=31 punto2 puntos1 punto1 puntox20x10123456-15432112Z ptimox2x1P(x1,x2)=P(3,3)Maximizar Z = 3x1 + 2x2 =3(3)+2(3)=15Z1786345-26Z21 punto6 puntos6) Maximizar Z = 8x1 + 5x2 s.a. 2x1 + x2 10 ... (1) x1 + 3x2 18 ... (2) 5x1 + x2 4 .. (3) x1,x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): 2x1 + x2 10Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): x1 +3 x2 18Si: x2=0 , Si: x1=0

X210X15X118X26Inecuacin (3): 5x1 + x2 4

Si: x2=0; , Si: x1=0

Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Maximizar Z = 8x1 + 5x2m = tg = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; m negativo: x2=8, x1=5 c2 5 5 x1Resolviendo la interseccin de:5x1 + x2 = 4 x1 = 0 x1 0.8x2 4x10x20x1=0x2=4x20x1024681012-210864213x1P(x1,x2)=P(0,4)Maximizar Z = 8x1 + 5x2 =8(0)+5(4)=20Z OPTIMO1416122-418x27) Maximizar Z = 8x1 + 5x2 s.a. 2x1 + x2 10 ... (1) x1 + 3x2 18 ... (2) 5x1 + x2 4 .. (3) x1,x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): 2x1 + x2 10Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): x1 +3 x2 18Si: x2=0 , Si: x1=0

X210X15X118X26Inecuacin (3): 5x1 + x2 4

Si: x2=0; , Si: x1=0

Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Maximizar Z = 8x1 + 5x2m = tg = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; m negativo: x2=8, x1=5 c2 5 5 x1Resolviendo la interseccin de 1 y 2:2x1 + x2 = 10 ... (1) x1 + 3x2 =18 ... (2)

x1 0.8x2 4x10x20x1=2.4x2=5.2x20x1024681012-210864213x1P(x1,x2)=P(2.4,5.2)Maximizar Z = 8x1 + 5x2 =8(2.4)+5(5.2)=45.2Z1416122-418x28).Maximizar Z = -5x2s.a. x1 + x2 1 ... (1) -0.5x1 - 5x2 -10 ... (2) x1,x2 0

Solucin Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): x1 + x2 1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): -0.5x1 - 5x2 -10Si: x2=0; , Si: x1=0;

x21x1 1x120x2 2Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Maximizar Z = -5x2m = tg = -c1 = -(0) = 0 (pendiente) c2 5Se obtiene la siguiente solucin ptima nica:Maximizar Z = -5x2 = -5(1) = -5x10x2024681012141210862Z ptimox2x114161611820222418Z1P(x1,x2)=P(0,1)x20x10 9) Minimizar Z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 13 ... (1) 2x1 + x2 18 ... (2) x1 + 3x2 21 ... (3) x1 + 2x2 18 ... (4) x1,x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): x1 + x2 13Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): 2x1 + x2 18Si: x2=0; , Si: x1=0;

x113x213x19x118Inecuacin (3): x1 + 3x2 21Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (4): x1 + 2x2 18Si: x2=0; , Si: x1=0;

x1 21x27x118x2 9Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Grfico de la funcin objetivo:Minimizar Z = 2x1 + 3x2m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; m negativo: x2=2, x1=3 c2 3 3 x1

Se obtiene la siguiente solucin ptima nica:Minimizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(8) + 3(5) = 31x10x20x20x1024681012141210862

3Z ptimox2x1141616411820222418Z1P(x1,x2)=P(8,5)10) Una compaa posee dos minas: la Mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La Mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operacin es de 2.000 dlares en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el costo sea mnimo?

Solucin mediante el mtodo grfico:

MINA AMINA B PRODUCCION MINIMAALTA CALIDAD 1 TM/da2 TM/da80 TMCALIDAD MEDIA 3 TM/da2 TM/da160 TMBAJA CALIDAD 5 TM/da2 TM/da200 TMPARA MINERAL DE ALTA CALIDAD x1 + 2x2 80 ... (1)PARA EL MINERAL DE CALIDAD MEDIA3x1 + 2 x2 160 ... (2)PARA MINERAL DE BAJA CALIDAD5x1 + 2 x2 200 .. (3)RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDADx1, x2 0

Solucin:Grfico de las restricciones estructurales:Inecuacin (1): x1 + 2x2 80 Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuacin (2): 3x1 + 2x2 160 Si: x2=0; , Si: x1=0;

x180x240x153.33x280FUNCION OBJETIVOMinimizar Z = 2000x1 + 2000x2Inecuacin (3): 5x1 + 2x2 200 Si: x2=0; , Si: x1=0; Grfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x2 0; y Grfico de funcin objetivo:Minimizar Z = 2000x1 + 2000x2m = tg = -c1 = -(2000) = -1 = x2 ; m negativo: x2=-1, x1=1 c2 2000 1 x1

x1 0x2 0x140x2100102030405060-105040302010x2708060100807090123x1 0x2 0P(x1,x2)=P(40,20)Minimizar Z = 2000x1 + 2000x2= 2000(40) + 2000(20)Minimizar Z =120000

Z ptimoZ ptimo33