FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y

URBANISMO

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

TEMAS:

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE:

MARIL DELGADO BENUL

CURSO:

MATEMATICA III

INTEGRANTES:

AGUINAGA RAMIREZ, Higeiny Adubel ESPINOZA REQUEJO, Nayla Gissel GERMAN RELUZ, Luis Joel GOMEZ CORDOVA, Miguel Antonny LEGOAS CAPUÑAY, Víctor Manuel Jr MORENO PAREDES, Armando

VILLACREZ ALTAMIRANO, San

ECUACIÓN DE CALOR

Línea con Extremos a Temperatura Cero

Consideremos el problema de valores iniciales y de valores homogéneos en la frontera para la ecuación de calor en una dimensión:

Ut = α 2uxx (2.1)U (0, t) = 0 (2.2)U (L, t) = 0 (2.3)U (x, 0) = f (x) (2.4)

Definido para 0 < x < L y t > 0. Físicamente este problema puede interpretarse como la difusión de calor a través de los extremos de una barra lineal que se encuentra aislada en toda su longitud `. El parámetro a > 0 está relacionado con la difusividad térmica de la línea y depende exclusivamente de las propiedades del material que la conforma. En este contexto a es una constante y la función incógnita u(x, t) representa la temperatura en cada punto x de la línea y en cada tiempo t. En este sentido las condiciones de frontera (2.2) – (2.3), siendo de tipo Dirichlet homogéneas, fijan temperatura cero en los extremos de la línea durante todo el tiempo. La condición inicial (2.4) describe la distribución de temperatura con la que parte la línea al tiempo t = 0. A partir de entonces, la dinámica queda gobernada por la EDP (2.1) y las condiciones de frontera (2.2) – (2.3).

Iniciamos proponiendo como solución una función que sea un producto de una función que sólo depende de x y otra que sólo depende de t. Esto es:

U (x, t) = X(x) T(t) (2.5)

Calculamos sus derivadas parciales:

ut = X(x) T’(t) (2.6)ux = X’(x) T(t) (2.7)uxx = X’’(x) T(t) (2.8)

Y las sustituimos en (2.1) para obtener:

XT’ = α 2X’’T (2.9)

Si dividimos ésta por XT se encuentra:

T ’T

=α2 X’ 'X

(2.10)

Es decir, del lado izquierdo se tiene una función que sólo depende de “t” y del lado derecho una función que sólo depende de “x”. Dado que “x” y “t” son variables independientes, esta igualdad sólo puede ser posible si ambas funciones son iguales a la misma función constante. Esto es:

T ’T

=α2 X’ 'X

=A (2.11)

Donde A es una constante (compleja en general) por determinar. Tomando cada una de las igualdades por separado se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias a resolver:

X ’’X

= A

α 2=B (2.12)

T ’T

=A (2.13)

Ahora, usando la propuesta (2.5) en las condiciones de frontera (2.2) y (2.3), buscando soluciones no triviales X(x) ≢0 y T(t) ≢0, se tiene:

X (0) = 0 (2.14)X (L) = 0 (2.15)

Comencemos por resolver el problema de valores en la frontera para X(x), ecuaciones (2.12), (2.14) y (2.15). De (2.12) se tiene:

X’’ − BX = 0 (2.16)

En el caso más general la constante “B” puede ser compleja ya que “A” puede ser compleja. Se tiene un comportamiento distinto en (2.16) sólo en los casos B = 0 y B ≠ 0.

Caso (i) B = 0. La ecuación (2.16) se escribe como:

X’’ = 0 (2.17)

Integrándola dos veces se obtiene su solución general:

X(x) = C1x + C2 (2.18)

Con C1 y C2 constantes arbitrarias que pueden ser complejas. Usando las condiciones de frontera (2.14) y (2.15) se encuentra:

0 = X (0) = C2 (2.19)0 = X (L) = C1L + C2 (2.20)

Dado que L > 0, la única solución a este sistema es:

C1 = C2= 0 (2.21)

Esto es, la única solución posible para B = 0 es la solución trivial X(x) ≡ 0.

Caso (ii) B ≠ 0. Las soluciones fundamentales de la ecuación (2.16) son:

X1 = e λ1x (2.22)X2 = e λ2x (2.23)

Donde λ1 y λ2 denotan las dos raíces cuadradas distintas del complejo B.Esto es, λ1 y λ2 son números complejos distintos que satisfacen λ1

2= λ22 = B y λ1 + λ2 = 0.

La solución general de (2.16) es en este caso:

X(x) = C1X1 + C2X 2 (2.24) = C1e

λ1x + C2eλ2x (2.25)

Con C1 y C2 constantes arbitrarias (complejas en general).

Usando las condiciones de frontera (2.14) y (2.15) se obtiene respectivamente:

0 = X (0) = C1e0 + C2e

0= C1 + C2 (2.26)

0 = X (L) = C1eλ1L + C2e

λ2L (2.27)

De (2.26) se tiene que C2 = −C1. Al sustituir esto en (2.27) se encuentra:

C1¿ + e λ2L )= 0 (2.28)

Luego, dado que L > 0, las únicas soluciones posibles a esta ecuación son C1 = 0 (por lo tanto

C2 = 0) o bien λ2 = λ1 + 2nπLi para algún entero “n”. Si C1 = C2= 0 entonces de (2.24) se tiene

que X(x) ≡ 0 (i.e. la solución trivial).En el otro caso, dado que λ2 y λ1 son las raíces cuadradas de B, de λ1 + λ2 = 0 se sigue que λ1 =

−λ2. Al introducir esta restricción en λ2 = λ1 + 2nπLi se obtiene λ2 =

nπLi y λ1 = −

nπLi

Finalmente, utilizando λ12= λ2

2 = B se llega a que los únicos valores complejos de B compatibles con la ecuación (2.16) para B ≠ 0 son:

B = −n2π2

L2 (2.29)

Con n = ±1, ±2,. . .

Regresando a las soluciones fundamentales (2.22) y (2.23), utilizando λ2 = nπLi y λ1 =

−nπLi, se

tiene:

X1 = e−nπLix (2.30)

X2 = enπLix (2.31)

Las cuales pueden reemplazarse por las funciones reales:

X̂1=12

( X2+X1 )=cos ( nπLx) (2.32)

X̂2=12 i

(X2−X1 )=sen ( nπLx) (2.33)

Y por lo tanto su solución general es:

X(x) = C1 X̂1+C2 X̂2

= C1cos ( nπL x )+C2 sen (nπLx ) (2.34)

Usando las condiciones de frontera (2.14) y (2.15) se obtiene:

0 = X (0) = C1cos (0 ) + C2 sen(0) = C1 (2.35)0 = X (L) = C1cos (nπ ) + C2 sen(nπ) = (−1)nC1 (2.36)

De ambas se tiene C1 = 0 y C2 = 0 arbitraria. Al introducirlas en (2.34) se encuentra que la única solución no trivial a la ecuación (2.16) que satisface las condiciones de frontera (2.14) y (2.15) es cualquier múltiplo escalar de la función:

X(x) =sen( nπL x ) , n = ±1, ±2,. . . (2.37)

Queda por determinar la función T (t) que satisface (2.13). Esta ecuación diferencial ordinaria de primer orden puede escribirse como:

T’ − AT = 0 (2.38)

Con A = Bα 2 = −n2π2α 2

L2 , fijado por la solución X(x), para n = ±1, ±2,. . . La solución general de

(2.38) es cualquier múltiplo escalar de la función:

T (t) = e At (2.39)

(Se excluye la función constante del caso A = 0). Utilizando A = −n2π2α 2

L2 se encuentra la solución:

T (t) = e

−(n2π 2α2

L2 ) t (2.40)

Puede verificarse sin mayor complicación que el producto X(x) T (t) de las funciones (2.37) y (2.40) es solución de la ecuación (2.1). Como se tiene un producto diferente para cada valor del entero (no cero) “n”, podemos denotar:

U n(X t) = X(x) T (t) (2.41)

=sen( nπL x )e−(n

2π 2α 2

L2 )t, n = ±1, ±2. . . (2.42)

Cada una de las cuales satisface (2.1). Además, como todas ellas satisfacen las condiciones de frontera homogéneas (2.2) y (2.3), entonces la combinación lineal general:

U(x, t) = ∑n=−∞

∞

anun(x, t) (2.43)

= ∑n=−∞

∞

an sen ( nπL x )e−(n

2π 2α 2

L2 )t (2.44)

Satisface tanto la ecuación diferencial parcial (2.1) como las condiciones de frontera (2.2) – (2.3) para constantes arbitrarias an. Nótese que, para simplificar la notación, hemos agregado el

término de la suma correspondiente a n = 0, pero éste es cero pues sen( nπL x )=0.

Podemos simplificar la forma de esta solución. Primero separamos las sumas:

U(x,t)= ∑n=−∞

−1

an sen ( nπL x )e−(n

2π 2α 2

L2 )t+∑n=1

∞

an sen ( nπL x )e−(n

2π 2α2

L2 ) t (2.45)

Ahora, en la primera cambiamos el índice m = −n con lo cual se tiene:

∑n=−∞

−1

an sen ( nπL x )e−(n2π 2α 2

L2 )t=∑m=1

∞

a−m sen(−mπL x )e−( (−m)2π 2α 2

L2 )t (2.46)

¿∑m=1

∞

(−a¿¿−m)sen (mπL x )e−( (m)2π 2α2

L2 ) t¿ (2.47)

Que al combinar con la segunda produce:

U(x,t)=∑n=1

∞

(a¿¿n−a−n)sen( nπL x)e−(n

2 π2α 2

L2 )t¿ (2.48)

Usando el hecho que los coeficientes an son arbitrarios, podemos renombrar an−a−n como nuevos coeficientes bn (también arbitrarios), con lo cual se obtiene:

U(x,t)=∑n=1

∞

bn sen ( nπL x)e−(n

2π 2α2

L2 ) t (2.49)

Falta solamente incluir la condición inicial (2.4). Evaluando (2.49) en t = 0 se tiene:

f ¿) = u(x, 0)= ∑m=1

∞

bm sen(mπL x ) (2.50)

Donde hemos hecho el cambio de índice mudo n = m. Multiplicando esta ecuación por sen( nπL x )

e integrando ambos lados sobre [0, L] se obtiene:

∫0

L

f (x )sen( nπL x)dx=¿∑m=1

∞

bm∫0

L

sen(mπL x )sen ( nπL x)dx ¿ (2.51)

Donde ahora estamos suponiendo que la suma converge y por lo tanto que podemos usar

∫∑❑

∞

¿∫∑❑

∞

❑. Usando el hecho que:

∫0

L

sen(mπL x )sen ( nπL x)dx= L2 δmn (2.52)

Con δmn la delta de Kronecker:

δmn={1 sim=n0 sim≠n

(2.53)

Que mostraremos en un ejercicio posterior, se encuentra de (2.51) que:

∫0

L

f ( x ) sen( nπL x)dx=¿∑m=1

∞

bmL2δmn¿ (2.54)

Llevando a cabo la suma, con ayuda de (2.53), se encuentra:

bn=2L∫

0

L

f ( x ) sen( nπL x)dx (2.55)

Esto es, los coeficientes bn del desarrollo (2.50), llamado serie de Fourier de senos de la función f (x), están dados por (2.55) para toda n = 1, 2,. . .

Concluimos entonces que la solución al problema de valores iniciales y valores homogéneos en la frontera para la ecuación de calor definido en las ecuaciones (2.1) – (2.4) es:

U(x,t)=∑n=1

∞

bn sen ( nπL x)e−(n

2π 2α2

L2 ) t (2.56)

Con los coeficientes bn dados en (2.55).

EJEMPLO

Demuestre que la función u(x, t) dada por (2.56) con los coeficientes bn definidos en (2.55) es solución al problema de valores iniciales y valores homogéneos en la frontera para la ecuación de calor definido en las ecuaciones (2.1) – (2.4).

Solución:

Primero mostremos que (2.56) satisface la ecuación de calor (2.1) para coeficientes arbitrariosbn. Para ello simplemente calculamos las derivadas parciales ut y uxx:

ut=∑n=1

∞

−¿( n2π2α 2

L2 )bn sen ( nπL x)e−(n

2π2α 2

L2 ) t¿ (2.57)

ux=∑n=1

∞

(nπLx¿)bn cos( nπL x)e

−(n2 π2α 2

L2 )t¿ (2.58)

uxx=∑n=1

∞

−(nπLx )

2

bn sen( nπL x)e−(n

2 π2α 2

L2 )t (2.59)

De (2.57) y (2.59) se observa que α 2uxx=u t. Es decir, la función (2.56) satisface la ecuación de calor (2.1) independientemente de los valores de los coeficientes bn .

Ahora mostremos que (2.56) satisface las condiciones de frontera homogéneas (2.2) y (2.3) independientemente de los coeficientes bn .Para ver esto evaluamos u (x, t) respectivamente en x = 0 y en x = L. Se tiene:

U (0,t)=∑n=1

∞

bn sen (0 ) e−(n

2π 2α2

L2 ) t=0 (2.60)

U (L, t)=∑n=1

∞

bn sen (nπ ) e−(n

2π 2α2

L2 ) t=0 (2.61)

Finalmente, mostremos que (2.56), con los coeficientes bn dados por (2.55), satisface la condición inicial (2.4). Para esto simplemente evaluamos u(x, t) en t = 0. Se tiene:

U (x, 0)=∑n=1

∞

bn sen ( nπL x)dx (2.62)

Y como los coeficientes bn están dados por:

bn=2L∫

0

L

f ( x ) sen( nπL x)dx (2.63)

Para toda n = 1, 2,. . . , entonces la suma en (2.62) es precisamente el desarrollo en serie de Fourier de senos de la función f (x) sobre el intervalo [0, L]. Es decir:

u(x, 0) = f (x) (2.64)

Con lo cual mostramos que esta u(x, t) es solución al problema en cuestión.

Gracias