Trabajo de matematica
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERIA
Matemática VProf. Dr. Amado Méndez Cruz
APLICACIÓN DE LAS APLICACIONES CONFORMES AL FLUJO DE FLUIDOS
I. INTRODUCCIÓN
•El método de transformación fue usado por primera vez porPtolomeo hace 1800 años.
•El método de la aplicación es utilizado en la solución de problemasde la ciencia y la tecnología.
•Es de fundamental importancia que uno pueda ser capaz deencontrar soluciones a los problemas, es mas, de encontrar unaúnica solución.
•Existen muchas aplicaciones de la aplicaciones conformes.
1. Dejar claro los conceptos que seránnecesarios para el desarrollo del trabajo.
2. Aplicar todo lo aprendido en la solución deproblemas de flujo de fluidos.
3. Dejar en claro la importancia del uso de lamatemática para la solución de problemas enla ingeniería.
1. Flujo bidimensional
2. Flujo estacionario o uniforme
3. Circulación del fluido
4. Flujo incomprensible
5. Flujo viscoso
6. Flujo no viscoso
7. Flujo rotacional
8. Punto de estancamiento
1.FLUJO BIDIMENSIONAL
el movimiento del fluido se supone idéntico en todos los planos paralelos al plano x-y (plano Z).
2.FLUJO ESTACIONARIO, PERMANENTE O
UNIFORME
Cuando la velocidad del fluido depende de la posición(x,y) y no del tiempo; es decir la velocidad en cada punto es la misma para cualquier instante de tiempo.
3. CIRCULACION DEL FLUIDO
La circulación del fluido a lo largo de una curva suave C se define como el valor de la integral, con respecto a la longitud de arco s, de la componente tangencial VT(x,y) del vector velocidad a lo largo de C:
Donde VT es la componente de la velocidad que es tangente a C.
CT dsyxV ),(
4. FLUJO INCOMPRESIBLE:
Cuando la densidad o masa por unidad de volumen del fluido es contante. Ejemplos de este tipo de fluidos son el agua y el aceite en tanto que el aire es comprensible. Más adelante la definiremos matemáticamente.
5. FLUJO VISCOSO:
Un movimiento de un fluidoviscoso tiene a adherirse a lasuperficie de un obstáculocolocado en un camino.
6. FLUJO NO VISCOSO:
Cuando no hay viscosidad, las fuerzas de presiónsobre la superficie son perpendiculares a lasuperficie. Un fluido que es no viscoso eincomprensible, se llama frecuentemente unfluido ideal. Se debe observar que tal fluido essolamente un modelo matemático de un fluidoreal, en el cual seguramente, tales efectos sesupone, son insignificantes.
7. FLUJO ROTACIONAL:
la rotación del fluidoW(x,y), representa la velocidadangular límite de un elementocircular del fluido, cuando sucircunferencia se contrae hacia sucentro (x,y), que es el punto donde wes evaluada
8. PUNTO DE ESTANCAMIENTO
Son todos los puntos de la curva Cdonde la velocidad del fluido escero.
El flujo de fluido esbidimensional, uniforme, irrotacional, incomprensible, no viscoso. Y que eldominio de la curva C es simplementeconexo.
Vector representante de la velocidad de una partícula en cualquier punto:
V=p+iq
La circulación del fluido:
CT dyxV ),(
También:
Por el teorema de Green:
Entonces:
CCT dyyxqdxyxpdyxV ),(),(),(
Ryx
CdAyxpyxqdyyxqdxyxp ),(),(),(),(
C RyxT dAyxpyxqdyxV ),(),(),(
Sea una circunferencia de radio “r” centrada en w0(x0,y0), entonces
W(x0,y0)m=
Esta es también la expresión del valor medio de la función:
se conoce como rotación del fluido.
=0 (por hipótesis), entonces
Ryx dAyxpyxq
r
l),(),(
2
12
),(),(2
1),( yxpyxqyxw yx
),( yxw
),( yxw xy qp
esta relación implica que:
Entre dos puntos y es independiente del camino.
La nueva función:
Tomando derivadas parciales en ambos lados de esta ecuación resulta:
De la ultima ecuación es fácil darse cuenta que el
vector velocidad V es el gradiente de
xy qp
Cdttsqdstsp ),(),(
00 , yx yx,
),(
),( 00
),(),(),(yx
yxdttsqdstspyx
),(),(),,(),( yxqyxyxpyx yx
Por hipótesis es constante, un caso particular del teorema de Bernoulli:
teconsVP
tan2
1 2
Tenemos que la velocidad de un infinitesimal de fluido en un
punto (x,y) es:
Utilizamos una de las suposiciones:
Con lo que se tiene que:
Yyxx VyxVyx ),(),(
0y
V
x
VV
yx
0),(),( yxyx yyxx
Y podemos decir que existe un función que es la conjugada armónica denotada por: de esta función y además también tenemos una función tal que cumple con lo siguiente:
La cual se denomina:
“ LA FUNCIÓN POTENCIAL COMPLEJO”
),( yx
),(),()( yxiyxz
Al derivar la función tenemos que:
De tal manera que la velocidad se puede escribir como
Y su magnitud es:
Los puntos donde: son puntos estacionarios.
dz
dyX iVV
)(zdz
d
)(z
0)(z
Se le llama función corriente y representa las trayectorias que puede tomar un infinitesimal de fluido que va moviéndose a través de un campo potencial dado Ω(z)
Se le llama función velocidad potencial y representa las curvas por las que el infinitesimal de fluido cruza y va adquiriendo una determinada velocidad para cada punto.
),( yx
),( yx
Hasta ahora solo se ha tratado a las funciones que modelan al flujo de un fluido como funciones analíticas sobre la región donde se analizaba el flujo. Pero si ahora consideramos hechos como la existencia de puntos en el plano Z en donde el fluido aparezca o desaparezca, ¿qué sucedería?. Para estudiar esto observamos que las ecuaciones anteriores si valen para regiones que excluyan estos puntos.
FUENTES: Fuente en z=a
Como su nombre lo indica estos son
puntos donde el fluido aparece desde el
punto z=a y se tiene que la función
potencial complejo es:
)()( azkLnz
SUMIDEROS: Sumidero en z=a
Como su nombre también lo indica estos
son puntos donde el fluido desaparece en
el punto z=a y se tiene que la función
potencial complejo es:
)()( azkLnz
ALGUNOS FLUJOS ESPECIALES
FLUJO UNIFORME: Consideramos un fluido con
velocidad constante en una dirección que hace
un ángulo con la dirección x positiva. Su función
potencial compleja viene dada por:
zeVz i
0)(
FLUJO CON CIRCULACIÓN: Si se tiene el
siguiente potencial complejo:
en el que la magnitud de la velocidad del flujo en
un punto es inversamente proporcional a la
distancia de a:
El punto Z=a se llama “Vórtice ” y K se llama
fuerza. También es importante observar que si se
cambia por el movimiento será en la dirección de
las manecillas del reloj.
)()( azikLnz
22 yx
kV
Ademas:
Esto se logra al reemplazar y e integrar de 0 a 2π .
Representación de un flujo con circulación:
kdyyx
kxdx
yx
kydyVdxV
C c
Yx 22222
)cos(rx )(rseny
SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS:
Para el estudio de fluidos mas complejos que se
pueden considerar la combinación de dos flujos y
se puede sumar las potenciales obteniendo la
superposición de flujos como por ejemplo al
considerar el flujo debido a una fuente en Z=-a y un
sumidero de igual fuerza en Z=a
se tiene que el potencial complejo se da por
)()()()(az
azkLnazkLnazkLnz
IX. FLUJO ALREDEDOR DE OBSTACULOS:
Un principio general que interviene en este problema, es diseñar un potencial complejo que tenga la forma:
(esto si el flujo esta en el plano z) donde G(Z) es tal que
EJEMPLO.
X. FLUJO EN TORNO A UNA ESQUINA Y A UN
CILINDRO
),(),()( yxivyxuzfw
Entonces, si es un potencial y una función decorriente Dw del plano uv es la imagen de un dominioDz bajo una transformación
Donde f es analítica.
),(),()( vuivuwF
Sí:
Entonces la función compuesta sera:
),(),,(),(),,()( yxvyxuiyxvyxuzfF
XI. TEOREMA DE BERNOULLI
Si P denota la presión de un fluido y Ves la velocidad del fluido, entonces el teorema de Bernoulli dice que:
donde es la densidad del fluido y K es una constante a lo largo de la trayectoria.
XII. TEOREMA DE BLASIUS Sean X y Y las fuerzas netas, en las direcciones x y y
positivas respectivamente, debidas a la presión de unfluido sobre la superficie de un obstáculo acotado por unacurva simple cerrada C. Entonces, si Ω es el potencialcomplejo para el flujo,
Si M es el momento con respecto al origen de la presiónsobre el obstáculo, entonces
XIII. EJEMPLO:
Encontrar el potencial complejo debido a una fuente en y un sumidero en de iguales fuerzas .
Determinar las líneas equipotenciales y trayectorias y representarlas gráficamente.
Hallar la velocidad del fluido en cualquier punto.
XV. CONCLUSIONES:
El dominio de este tema es de suma importancia ya que tiene muchas aplicaciones a la ingeniería, y su entendimiento nos ayudara a entender muchos fenómenos físicos.
Este trabajo nos sirvió de base para tener nociones de los cursos que llevaremos más adelante, como es el caso de MECÁNICA DE FLUIDOS.
Lo más importante es que nos dimos cuenta de la necesidad que tenemos de aprender matemática, para poder ser excelentes ingenieros.
XVI. EXPOSITORES:
JUSTO ALBERTO GUERRA INCA
LUIS MANTILLA VITON
CARLOS LEON CHACON
OSCAR ROJAS FLORES
ORLANDO CARRILLO ACOSTA
RONY ROBLES RODRIGUEZ
GRACIAS