Trabajo de Programacion de Obras

Huaytalla Cajavilca, Miguel Ángel Lugo Curi, Elvis Antony Sayán Morales, María Jimena Ascoy Flores, Kevin Arturo Pérez Bruno Jorge Antonio

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHEZ

CARRIONFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

INTEGRANTES:

PLANIFICACION Y CONTROL DE PROYECTOS CON PERT - CPM

HUACHO, JULIO DEL 2014

CICLO: DECIMO CICLO

INTRODUCCIÓN

A medida que la ciencia y la tecnología se van desarrollando e innovando, van surgiendo nuevas inquietudes y necesidades, haciendo que el hombre moderno viva congestionado de múltiples problemas, problemas que se incrementan si es que él no sabe dosificarse u ordenarse en el empleo del tiempo. Ello quiere decir, que toda persona, cualquiera sea su profesión o especialidad, necesita para el buen desempeño de sus funciones y responsabilidades, realizar cierto planeamiento, control y evaluación de sus actividades de tal forma que cubra sus requerimientos, y de esa manera lograr alcanzar rentabilidad y beneficios, sea en provecho propio o en la prestación de servicios a terceros.

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Página 2

OBJETIVOSOBJETIVO GENERAL

Comprender los métodos PERT y CPM en la planificación y control de Proyectos

Comprender la probabilidad de terminación de un proyecto

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Determinar las diferencias entre los métodos Explicar la metodología del CPM con ejemplos de

aplicación Explicar la metodología del PERT con ejemplos de

aplicación Determinar el método de probabilidades de

terminación de un proyecto. Explicar la metodología y llevarlo a cabo en campo de

la carrera.


GLOSARIO.

Para lograr una adecuada comprensión del tema a desarrollar se consideró prioritario desarrollar un glosario que sirva como guía para comprender la terminología empleada.

PERT. Las traducción de las siglas en inglés significan: técnica de revisión y evaluación de programas, es una técnica de redes desarrollado en la década de los 50, utilizada para programar y controlar programas a realizar. Cuando hay un grado extremo de incertidumbre y cuando el control sobre el tiempo es más importante sobre el control del costo, PERT es mejor opción que CPM.

CPM. La traducción de las siglas en inglés significan: método del camino crítico, es uno de los sistemas que siguen los principios de redes, que fue desarrollado en 1957 y es utilizado para planear y controlar proyectos, añadiendo el concepto de costo al formato PERT. Cuando los tiempos y costos se pueden estimar relativamente bien, el CPM puede ser superior a PERT.Actividad. Es un trabajo que se debe llevar a cabo como parte de un proyecto, es simbolizado mediante una rama de la red de PERT.Lista de actividades. Es una lista cuidadosa y ordenada donde se recopilan todas las diferentes actividades que intervienen en la realización de un proyecto.Evento. Se dice que se realiza un evento, cuando todas las actividades que llegan a un mismo nodo han sido terminadas. Son los círculos numerados que forman parte del diagrama de red y representan el principio y el fin de las actividades que intervienen en el proyecto.Rama. Son las flechas que forman Parte del diagrama de red y significan las actividades en el proyecto.Ruta crítica o camino crítico. Camino es una secuencia de actividades conectadas, que conduce del principio del proyecto al final del mismo, por lo que aquel camino que requiera el mayor trabajo, es decir, el camino más largo dentro de la red, viene siendo la ruta crítica o el camino crítico de la red del proyecto.Predecesor Inmediato. Es una actividad que debe Preceder (estar antes) inmediatamente a una actividad dada en un proyecto, también nombradas prioridades inmediatas.Diagrama de red. Es una red de círculos numerados y conectados con flechas, donde se muestran todas las actividades que intervienen en un determinado proyecto y la relación de prioridad entre las actividades en la red.


Actividad ficticia. Actividades imaginarias que existen dentro del diagrama de red, sólo con el Propósito de establecer las relaciones de precedencia y no se les asigna tiempo alguno, es decir, que la actividad ficticia Permite dibujar redes con las relaciones de Precedencia apropiadas, se representa por medio de una línea punteada.Holgura. Es el tiempo libre en la red, es decir, la cantidad de tiempo que puede demorar una actividad sin afectar la fecha de terminación del, proyecto total. Distribución beta. Distribución utilizada para la estimación del tiempo de actividad esperado en el PERT, esta estimación se basa en el supuesto de que el tiempo de la actividad es una variable aleatoria cuya Probabilidad tiene una distribución beta unimodal.Tiempo optimista. Es el tiempo mínimo o más corto posible en el cual es probable que sea terminada una actividad si todo marcha a la Perfección, utilizado en el PERT y simbolizado con a.Tiempo más probable. Es el tiempo que esta actividad sea más probable que tome sí se repitiera una y otra vez, en otras palabras, es el tiempo normal que se necesita en circunstancias ordinarias, utilizado en el PERT y simbolizado con m.Tiempo pesimista. Es el tiempo máximo o más largo posible en el cual es probable sea terminada una actividad bajo las condiciones más desfavorables, utilizado en el PERT y simbolizado con b.Tiempo esperado para una actividad. Es el tiempo calculado en el PERT usando el promedio ponderado (a+4m+b)/6.Tiempo normal. Es el tiempo en el CPM requerido para terminar una actividad si esta se realiza en forma normal. Es el tiempo máximo para terminar una actividad con el uso mínimo de recurso, el tiempo normal se aproxima al tiempo estimado probable en PERT.Tiempo acelerado. Tiempo en el CPM que sería requerido si no se evita costo alguno con tal de reducir el tiempo del proyecto. Tiempo mínimo posible para terminar una actividad con la concentración máxima de recursos.


PLANEACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS CON PERT-CPM

¿Qué es un proyecto?

Se entiende por proyecto al conjunto de ideas, escritos, dibujos, cálculos y programas que se hacen para dar una idea de cómo ha de ser, como se va a desarrollar y de que va a constar una obra o una actividad que deseamos realizar.

1. PLANIFICACIÓN Consiste en el análisis de las actividades que deben de intervenir en el proyecto y el orden en que se correlacionan al desarrollarse y como serán controlados.1.1 EL PLANEAMIENTO

Es el conjunto de decisiones que deben tenerse en cuenta para lograr realizar los objetivos del proyecto de manera más eficiente posible.En esta etapa se deberá contestar una gama de preguntas a fin de visualizar todos los factores que incidirán en el proyecto: para qué?, como?, por qué? Qué?, cuando?, donde?, cuanto?....,concretamente “se proyectara el pensamiento hacia adelante” siguiendo los lineamientos que se describen:

a. Hacer una lista de actividades (operaciones) para obtener el resultado final)

b. Imaginar la continuidad de los procesos estableciendo alguna relación entre las actividades (operaciones)

c. Describir la manera de ejecutar cada una de las actividades (operaciones) o las posibles alternativas de ejecución.

d. Determinar las fechas de inicio y terminación de cada actividad (operaciones) y la duración del proyecto.

e. Análisis de los costos: directo, indirecto y total.f. Determinación de las cantidades y características de los

materiales que serán necesarios en cada una de las actividades (operaciones).


g. Determinación de las maquinas y herramientas que serán empleados en los trabajos.

h. Designación y nivelación de la mano de obra.

1.2 PROGRAMACIÓNEs la elaboración de tablas y gráficos en los que se muestran los tiempos de duración, de inicio y de terminación de cada una de las actividades (operaciones) que forman el proyecto en general en armonía con los recursos disponibles.

1.3 CONTROL Y EVALUACIONConsiste en establecer parámetros comparativos entre lo que estaba planeado y lo que está sucediendo en “el campo”.Estos resultados facilitaran la corrección de posibles desviaciones y su consiguiente optimización.La planificación grafica de un proyecto, se puede desarrollar mediante varios métodos, uno de los más comunes es el Método PERT-CPM.

2. EL GRAFO PERT-CPM EN LA PLANIFICACÓN DE PROYECTOS

2.1 SINOPSIS HISTÓRICA

PERT CPM

AUTORES

Ideado y Aplicado por los Representantes de

la Navy Special Proyects Office, La Loockheeh Aircraft

Corporation y la firma consultora Booz-Allen &

Hamilton de Chicago

Morgan R. Walker, de la división de estudios de

ingenieros de la Du Pont de Nemours y Co

FUNDAMENTOEsta técnica de

planeamiento y control tiene como fundamento

el grafo o red

Esta técnica de planeamiento y control tiene como fundamento

el grafo o red

OBJETIVOS

El PERT está orientado hacia los sucesos de un proyecto es decir hacia

el inicio y la terminación de las

actividades y para ello introduce el cálculo de probabilidades en la

estimación de las duraciones y en las

fechas de terminación.

El CPM se desarrollo como una técnica

orientadora hacia la ejecución optima de las

actividades de un proyecto

APLICACIÓN Una de las primeras aplicaciones del PERT, fue en el desarrollo del

Proyecto Balístico

Las primeras aplicaciones de esta

técnica de un proyecto importante lo realizo la


Polaris de la Armada de lo Estados Unidos.

Mediante este método de planificación,

pudieron controlar a 250 contratistas directos y 9000

subcontratistas quienes ejecutaron más de

3000 actividades. Se atribuye al PERT, el

haber reducido en mas de un año la duración del proyecto Polaris

Du Pont en la erección de sus complejos industriales, con

buenos resultados

2.2 MÉTODOS PERT-CPM

Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, criticaI path method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa, program evaluation and review technique) se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades.

En la figura 1 se resumen los pasos de estas técnicas. Primero se definen las actividades del proyecto, sus relaciones de precedencia y sus necesidades de tiempo.


A continuación, el proyecto se traduce en una red que muestre las relaciones de precedencia entre las actividades. El tercer paso implica cálculos específicos de redes, que forman la base del desarrollo del programa del proyecto en función del tiempo.

Durante la ejecución del proyecto, podría no cumplirse el programa que estaba planeado, causando que algunas de las actividades se adelanten o se atrasen. En este caso será necesario actualizar el programa para que refleje la realidad. Ésta es la razón de incluir un bucle, lazo o ciclo de retroalimentación entre la fase de programa y la fase de red, como se ve en la figura 3

Representación en red

Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto.


FIGURA 1

Fases de planeación de un proyecto con CPM o PERT

FIGURA 2

Lógica seguida para la construcción de una red

Para configurar la red se dispone de dos reglas:

Regla 1. Cada actividad se representa con un arco, y uno sólo.Regla 2. Cada actividad se debe identificar con dos nodos distintos.

Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las siguientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad:¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual?¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual?¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea con la actividad actual?


Para contestar estas preguntas se podrá necesitar el uso de actividades ficticias, para asegurar las precedencias correctas entre las actividades.

ACTIVIDAD FICTICIA: Es una actividad que no consume tiempo o recursos y normalmente se representa con un arco de línea interrumpida (-----). La inserción de una actividad ficticia en una de las cuatro formas que se ven en la figura 3, mantiene la concurrencia de A y B, y también proporciona nodos finales únicos para las dos actividades (para satisfacer la regla 2).

FIGURA 3

Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades concurrentes A y B

Por ejemplo, considere al siguiente segmento de un proyecto:

1. La actividad C comienza de inmediato después de haber terminado A y B.

2. La actividad E se inicia después de que sólo terminó la actividad B.


FIGURA 4: Uso de Una actividad ficticia para asegurar una relación de precedencia correcta.

DEB

CA

(b)(a)

B E

CA

A

A1

2

3

B

A1

2

3

B

A

1

2

3B

1

2

3

B

B

A

La parte (a) de la figura 4 muestra la representación incorrecta de esta relación de Precedencia, porque pide que A y B terminen antes de poder iniciar E. En la parte B se Corrige la situación con el uso de la actividad ficticia.EJEMPLO N°1

Un proyecto consta de 10 actividades, conforme se indica. Grafique la red asociada al proyecto.

ACTIVIDAD PRECEDENTE

A -

B -

C A

D A

E C,D

F B,E

G E

H C,D

I C,D

J C,D

K F,G,H,IJ

SOLUCIÓN

La figura 5 muestra la red que describe las relaciones de precedencia entre las diversas actividades. La numeración de los nodos se hace en forma que indique el avance en el proyecto.

FIGURA 5


H

F

I

J

E

1A

3

2 4

5

6

8

9

7

C

B

D

G

K100

Red del proyecto para el ejemplo 1

EJEMPLO N°2

Elabore una red de actividades, si las relaciones entre las actividades son las siguientes.a) A es la primera actividad del proyectob) B,C,L, son las actividades que se desarrollan simultáneamente y

dependen de la realización de Ac) D, E Se desarrollan en paralelo y dependen de la realización de C y

M.d) F sigue a H y precede a G.e) H, I, M deben iniciarse después de la terminación de B.f) O sigue a H y precede a Z.g) D, G, I, L, O, deben estar terminadas antes de iniciarse Z, que es la

última actividad del proyecto.

SOLUCIÓN

La figura 6 muestra la red que describe las relaciones de precedencia entre las diversas actividades.

FIGURA 6

Red del proyecto para el ejemplo

EJEMPLO N°3Una empresa desea introducir un nuevo producto al mercado p3 cada unidad de este producto se realiza ensamblando una unidad de p1 con una unidad p2. Las actividades que se requieren para producir este nuevo producto son capacitar a los trabajadores, comprar las materias necesarias para producir p1 y p2 y realizar una inspección física de p2. La precedencia y duración de las actividades esta dada por la tabla siguiente, se pide hallar la red asociada al proyecto.


M

OI

1 2

3 64

7

5

8A

B

C

L

DE

H F

G

Z

Actividad predecesora Duración (días)

A Capacitación - 6

B Compra de materia prima - 9

C Producir P1 A,B 8D Producir P2 A,B 7E Inspección P1 D 10F Ensamblaje de P3 C,E 12

SOLUCIÓN

FIGURA 7

Red del proyecto para el ejemplo 3

2.2.1 CÁLCULOS PARA LA RUTA CRÍTICA (CPM)

El resultado final de CPM es la formulación o construcción del programa del proyecto (véase la figura N°1). Para lograr este objetivo en una forma adecuada, se hacen cálculos especiales con los que se obtiene la siguiente información:

1. Duración total necesaria para terminar el proyecto.

2. Clasificación de las actividades del proyecto en críticas y no críticas.

Actividad crítica: si no hay margen en la determinación de sus tiempos de inicio y de término.

Actividad no crítica: permite alguna holgura en su programa-ción, de modo que el tiempo de inicio de la actividad se puede adelantar o retrasar dentro de ciertos límites, sin afectar la fecha de terminación de todo el proyecto.Para efectuar los cálculos necesarios, se define un evento como un momento en el tiempo en el que se terminan actividades y otras se inician. En términos de redes, un evento corresponde a un nodo. Se define lo siguiente:


F

EDB

CA

76

5

4

3

2

1

▭ j= Tiempo más temprano de ocurrencia del

evento j∆ j = Tiempo más tardío de ocurrencia del evento

j

Dij= Duración de la actividad (i, j)

Las definiciones de la tiempos más temprana y más tardía del evento j se especifican en relación con las fechas de inicio y terminación de todo el proyecto.

Los cálculos de ruta crítica implican dos pasos:

El paso hacia adelante determina los tiempos más tempranos o de ocurrencia de los eventos.

EL paso hacia atrás calcula sus tiempos más tardíos de ocurrencia.

Paso hacia adelante (tiempos más tempranos de ocurrencia o tiempos más próximos, de ocurrencia, ▭)

Los cálculos se inician en el nodo 1 y avanzan en forma recursiva hasta el nodo final n.

Paso Inicial: Poner = 0, para indicar que el proyecto se inicia cuando el tiempo es 0.

Paso general j: Dado que los nodos p, q, ..., y v están enlazados directamente con el nodo j por las actividades de entrada (p,j), (q, j),..., y (v,j) y que los tiempos más tempranos de ocurrencia de los eventos (nodos) p, q,..., y v ya se han calculado, entonces se calcula el tiempo más temprano de ocurrencia del evento j como sigue:

▭ j=max {▭p+D pj ,▭q+Dqj ,…,▭v+D vj }

El paso hacia adelante se termina cuando se calcula □n en el nodo n. Por definición, □j representa la ruta (duración) más larga al nodo j.

Paso hacia atrás (tiempos más tardíos de ocurrencia o tiempos más lejanos de ocurren cia ∆).

Después de terminar el paso hacia adelante, los cálculos del paso hacia atrás comienzan en el nodo n y terminan en el nodo 1.

Paso inicial. Igualar∆n=▭n para indicar que las ocurrencias más temprano y más tardío del último nodo en el proyecto son iguales.

Paso general j. Dado que los nodos p, q, ..., y v están enlazados en forma directa con el nodo j por actividades de salida (j, p), (j, q),..., y (/', v), y que ya se calcularon los tiempos


más tardíos de los nodos p, q, ..., y v, el tiempo tardío del nodo j se calcula como sigue:

∆ j=min {∆p+D jp ,∆q+D jp ,…,∆v+D jv }

El paso hacia atrás se termina cuando se calcula ∆1, en el nodo 1.

Con base en los cálculos anteriores, una actividad (i, j) será crítica si satisface tres condiciones:

∆ i¿▭i

∆ j ¿▭ j

∆ i−∆ j=▭ j−▭i=Dij

Las tres condiciones indican que:

- Los tiempos más tempranos y más tardíos de ocurrencia de los nodos i y j son iguales.

- La duración Di j se ajusta exactamente al intervalo especificado de tiempo.

Una actividad que no satisface las tres condiciones es no crítica. Las actividades críticas de una red deben formar una trayectoria no interrumpida que abarque toda la red, desde el inicio hasta el final.

EJEMPLO N°4

Determinar la ruta crítica para la red del proyecto de la figura 8. Todas las duraciones están en días.

SOLUCIÓN

PASO HACIA ADELANTE:

Nodo 1. Hacer o definir □1 = 0

Nodo 2. □2 = □1 + D12= 0 + 5 = 5

Nodo 3. □3 =máx {□1 + D13 , □2 + D23} = máx {0 + 6, 5 + 3} = 8

Nodo 4. □4= □2 + D24 = 5 + 8 = 13

Nodo 5. □5 =máx {□3 + D35 , □4+ D45 } = máx {8 + 2, 13 + 0} = 13

Nodo 6. □6 = máx {□3, + D36 , □4 +D46 , □5 + D56}


=máx {8 + 11, 13 + 1, 13 + 12}=25

Los cálculos indican que el proyecto se puede terminar en 25 días.

PASO HACIA ATRAS:

Nodo 6. Hacer ∆6=□6= 25

Nodo 5. ∆5 = ∆6 - D56 = 25 - 12 = 13

Nodo 4.∆4= mín {∆6 - D46, ∆5 - D45} = mín {25 - 1, 13 - 0} = 13

Nodo 3.∆3= mín {∆6- D36, ∆5 - D35} = mín {25 - 11, 13 - 2} = 11

Nodo 2. ∆2 = mín {∆4 - D24, ∆3 - D23} = mín {13 - 8, 11 - 3} = 5

Nodo 1. ∆1= mín {∆3 - D3, ∆6- D12} = mín {11 - 6, 5 - 5} = 0

Si los cálculos fueron correctos, siempre terminarán con ∆1 = 0.

Los cálculos en los pasos hacia adelante y hacia atrás se resumen en la figura 8.

Las reglas para determinar las actividades críticas indican que la ruta crítica es:

1—>2—>4—>5—>6, que abarca la red desde el inicio (nodo 1) hasta el fin (nodo 6). La suma de las duraciones de las actividades críticas [(1,2), (2,4), (4, 5) y (5,6)] es igual a la duración del proyecto (= 25 días), Observe que la actividad (4, 6) satisface las dos primeras condiciones para que la actividad sea crítica (∆4= □4 = 13 y ∆5 = □5

= 25), pero la tercera no (□6 - □4 ≠ D46 ¿Por consiguiente, esa

actividad no es crítica.


2.2.2 CONSTRUCCIÓN DEL CRONOGRAMA

Se reconoce que □j representa el tiempo más temprano de iniciación de una actividad (i, j), y que ∆ j representa el tiempo más tardío de terminación. Esto quiere decir que (□j , ∆ j ¿ limita el intervalo máximo de tiempo durante el cual se puede programar la actividad (i, j).

Construcción de un cronograma preliminar. Se ilustrará con un ejemplo el método para construir un cronograma preliminar.

EJEMPLO N°5

Determinar el cronograma para el proyecto del Ejemplo N°4 (Figura 8).

Se puede tener un cronograma preliminar para las distintas actividades del proyecto poniendo sus intervalos de tiempo respectivos como se ve en la figura 7. Es necesario hacer dos observaciones.

1. Las actividades críticas (representadas por las líneas llenas) se deben programar una inmediatamente después de la otra, para asegurar que el proyecto se termine en la duración especificada de 25 días.


2. Las actividades no críticas (representadas por líneas interrumpidas) abarcan intervalos que tienen duraciones mayores y que por tanto permiten holguras en su programación dentro de sus intervalos asignados.

FIGURA 9

Programa preliminar para el proyecto del ejemplo 3

¿Cómo se deben programar las actividades no críticas dentro de sus intervalos respectivos? En el caso normal es preferible comenzar toda actividad no critica lo más temprano posible. De este modo quedarán periodos de holgura en el momento oportuno al final del intervalo asignado, que se pueden usar para absorber demoras inesperadas en la ejecución de la actividad. Sin embargo, podrá ser necesario demorar el inicio de una actividad no crítica, después de su tiempo temprano. Por ejemplo, en la figura 9 suponga que cada una de las actividades no críticas E y F requiere de una conformadora, y que sólo se dispone de una. Si se programan E y F lo más temprano posible se requerirán dos conformadoras entre los tiempos 8 y 10. Se puede eliminar el traslape comenzando E en el tiempo 8 y demorando el tiempo de inicio de F hasta cierto momento entre los tiempos 10 y 14.

Si se pueden programar todas las actividades no críticas lo más temprano posible, el programa resultante es factible, automáticamente. En caso contrario, se pueden violar algunas relaciones de precedencia si se demoran actividades no críticas después de su tiempo temprano. Es el caso, por ejemplo, de las actividades C y E en la figura 9. En la red del proyecto (Figura 8), aunque se debe terminar C antes que E, los intervalos de C y E en la figura 9 permiten programar a C entre los tiempos 6 y 9, y a E entre los tiempos 8 y 10. Sin embargo, esos intervalos no aseguran que C anteceda a E. Hay una necesidad de "bandera roja" que indique en forma automática un conflicto en el


programa. Esta información se obtiene calculando las flotaciones u hol-guras para las actividades no críticas.

Determinación de las holguras. Son las holguras de tiempo disponibles dentro del intervalo asignado para la actividad no crítica. Las dos más comunes son la holgura total y la holgura libre.

En la figura 1o se ve un resumen adecuado para calcular la holgura total (TFij) y la holgura libre (FFij) de la actividad (i, j). La holgura total es el exceso del intervalo de tiempo definido por el tiempo más temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo más tardío de ocurrencia del evento j en la duración de (i, j)\ esto es,

TF ij=∆ j−▭i−Dij

FIGURA 10Cálculo de las holguras totales y libres

La holgura libre es el exceso del intervalo de tiempo definido desde el tiempo más temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo más temprano de ocurrencia del elemento j durante la duración de (i, j), esto es:

FFij=▭ j−▭i−D ij

Por definición, FFij ≤TF ij

Regla de la bandera roja. Para una actividad (i, j) no crítica:

a) Si FFij = TF ij entonces se puede programar la actividad en cualquier lugar dentro de su intervalo (□,, Aj) sin causar conflicto con el programa.

b) Si FFij < TF ij, entonces el inicio de la actividad (i, j) se puede demorar cuando mucho hasta FF ij a partir de su tiempo más temprano de inicio (▭i) sin causar conflicto con el programa. Toda demora mayor que FFij (pero no mayor que TF ij,) se debe acompañar por una demora igual a partir de (▭ j

j j) en el tiempo de iniciación de todas las actividades que

salen del nodo j.

La implicación de la regla es que una actividad (i, j) no crítica tendrá bandera roja si su FFij < TF ij. Esta bandera roja sólo importa si se decide


demorar el inicio de la actividad respecto a su tiempo temprano de inicio, (▭i) en cuyo caso se debe poner atención a los tiempos de inicio de las actividades que salen del nodo j, para evitar conflictos en el programa.

EJEMPLO N° 6

Calcular las holguras de las actividades no críticas de la red en el ejemplo 4, y describir su uso en la finalización de un cronograma para el proyecto.

La tabla siguiente resume los cálculos de las holguras totales y libres. Conviene más hacer los cálculos en forma directa sobre la red, usando el procedimiento de la figura 8

Actividad no crítica

Duración

Holgura total (TF)

Holgura libre (FF)

B(1.3) 6 11 - 0 - 6 = 5

8 - 0 - 6 = 2

C( 2,3) 3 11 - 5 - 3 = 3

8 - 5 - 3 = 0

E(3, 5) 2 13 - 8 - 2 = 3

13 - 8 - 2 = 3

F(3. 6) 11 25 - 8 - 11 = 6

25 - 8 - 11 = 6

G(4,6) 1 25 - 13 - 1 = 11

25 - 13 - 1 = 11

Los cálculos ponen bandera roja en las actividades B y C, porque sus FF < TF. Las actividades restantes (E, F y G) tienen FF = TF, por lo que se pueden programar en cualquier momento entre su inicio más temprano y su terminación más tardía.

Para investigar la importancia de las actividades con bandera roja, veamos la actividad B. Como su TF = 5 días, esta actividad puede iniciarse ya desde el tiempo 0, o cuando mucho en el tiempo 5 (Figura 9). Sin embargo, como su FF = 2 días, si se inicia B en algún momen-to entre el tiempo 0 y el tiempo 2 no tendrá efecto sobre las actividades posteriores E y F. Sin embargo, si la actividad B debe iniciarse en el tiempo 2 + d (< 5), entonces los tiempos de inicio de las actividades inmediatas siguientes E y F deben correrse respecto a su tiempo más temprano de inicio (= 8), cuando menos d unidades de tiempo. De esta manera se conserva la relación de precedencia entre B y sus siguientes E y F.

En cuanto a la actividad C con bandera roja, se ve que su FF = 0. Eso quiere decir que cualquier demora en el inicio de C después de su tiempo más temprano de inicio (= 5) se debe acoplar con una demora al menos igual en el inicio de sus actividades posteriores E y F.


2.2.3 REDES DE PERT

El PERT difiere del CPM en que basa la duración de una actividad en tres estimaciones:

Tiempo optimista a, donde se supone que la ejecución va extremadamente bien.

Tiempo más probable m, donde se supone que la ejecución se hace bajo condiciones normales.

Tiempo pesimista b, donde se supone que la ejecución va extremadamente mal.

Se supone que el intervalo (a, b) abarca todas las estimaciones posibles de la duración de una actividad. Por consiguiente, el estimado m debe estar en algún lugar dentro del intervalo (a, b). Con base en los estimados (o estimaciones), el tiempo promedio de duración d, y la varianza v, se calculan como sigue:

D=(a+4m+b) ⁄ 6

v=( b−a6 )

2

Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo j en la red suceda en un tiempo programado especificado con anterioridad, Sj. Sea e¡ el tiempo más temprano de ocurrencia del nodo j. Como las duraciones de las actividades que van del nodo de inicio al nodo j son variables aleatorias, ej también debe ser una variable aleatoria. Suponiendo que todas las actividades en la red sean estadísticamente independientes, se puede determinar la media, E{ ej } y la varianza, var{ ej } como sigue.

Si sólo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta el nodo j, la media es la suma de las duraciones esperadas D , para todas las actividades a lo largo de esa ruta, y la varianza es la suma de las varianzas v de las mismas actividades. Por otra parte, si hay más de una ruta que llegue al nodo j, será necesario calcular primero la distribución estadística de la duración de la ruta más larga, antes de calcular la media y la varianza correctas. Este problema es bastante difícil, porque equivale a determinar la distribución del máximo de varias variables aleatorias. Por consiguiente, una hipótesis simplificadora es calcular la media y la varianza, , E{ ej } y var{ ej } como el de la ruta al nodo j que tenga la suma mayor de duraciones esperadas de las actividades. Si hay dos o más


rutas que tienen la misma media (o promedio), se selecciona la que tenga la varianza mayor, porque refleja la máxima incertidumbre y en consecuencia conduce a un estimado más conservador de las probabilidades.

Una vez calculados la media y la varianza E{ej} y var{ ej } de la ruta al nodo j, la probabilidad que se realice el nodo j en un tiempo Sj preestablecido, se calcula con la siguiente fórmula:

P j {e j≤S j }=P {e j−E {e j }

√var {e j}≤S j−E {e j }

√var {e j } }=P {z≤ K j }

En donde

z = Variable aleatoria normal estándar

K j=S j−E {e j }

√var {e j }

La variable aleatoria normal estándar z tiene media 0 y desviación estándar 1. La justificación para usar la distribución normal es que e¡ es la suma de variables aleatorias independientes. De acuerdo con el teorema del límite central (o ley de la distribución de los errores), ej está distribuida normalmente, en forma aproximada.

EJEMPLO N°7

Se tiene el proyecto del ejemplo 4. Para evitar repetir los cálculos de ruta crítica, se seleccionaron los valores de a, m y b en la tabla siguiente, de tal modo que D= Dij para toda i y j en el ejemplo 4.

La media Dij y la varianza V ij de las distintas actividades se ve en la

tabla de abajo. Observe que para una actividad ficticia (a, b, m) = (0,


Actividad

i-j (a, m, b) Actividad i-j (a, m, h)

A 1-2

(3,5,7) E 3-5

(1,2, 3)

B 1-3

(4, 6, 8) F 3-6

(9, 11, 13)

C 2-3

(1,3,5) G 4-6

(1,1,1)

D 2-4

(5,8, 11) H 5-6

(10, 12. 14)

0, 0), y en consecuencia su media y varianza también son iguales a cero.

La

tabla siguiente muestra la trayectoria más larga del nodo 1 a los distintos nodos, junto con su media y varianza asociados.

Por último, en la tabla siguiente se calcula la probabilidad de que cada nodo se realice en un tiempo Sj preestablecido, especificado por el analista.

Nodo j

Ruta más larga

Media de la ruta

Desviación estándar de la

ruta

Si K, P{z≤K}

2 1-2 5.00 0.67 5.00 0 .5000

3 1-2-3 8.00 0.94 11.00

3.19

.9993

4 1-2-4 13.00 1.20 12.00

-.83 .2033

5 1-2-4-5 13.00 1.20 14.00

.83 .7967

6 1-2-4-5-6

25.00 1.37 26.00

.73 .7673

PERT EN INCERTIDUMBREExtensión o variante del método PERT en la que en vez de suponer ciertas las

duraciones de las diferentes actividades que integran un proyecto complejo se

las considera como variables aleatorias que siguen una

determinada de probabilidad que habrá que descubrir. En general, se suele

suponer que las duraciones de todas las actividades siguen una misma

distribución de probabilidad, la beta simplificada, que queda completamente


Actividad i-j Dij V ij Actividad i-j Di j V ij

A 1-2 5 0.444 E 3-5 2 0.111

B 1-3 6 0.444 F 3-6 II 0.444

C 2-3 3 0.444 G 4-6 1 0.000

D 2-4 8 1.000 H 5-6 12 0.444

http://www.economia48.com/spa/d/beta/beta.htm

http://www.economia48.com/spa/d/probabilidad/probabilidad.htm

http://www.economia48.com/spa/d/distribucion/distribucion.htm

http://www.economia48.com/spa/d/actividad/actividad.htm


http://www.economia48.com/spa/d/variable/variable.htm

http://www.economia48.com/spa/d/proyecto/proyecto.htm

http://www.economia48.com/spa/d/actividad/actividad.htm

http://www.economia48.com/spa/d/pert/pert.htm

http://www.economia48.com/spa/d/metodo/metodo.htm

http://www.economia48.com/spa/d/extension/extension.htm

descrita por tres parámetros: la duración optimista, la más probable y la

pesimista. En el PERT-Tiempo con incertidumbre todos los caminos pueden ser

críticos, si bien unos con más probabilidad que otros.

Cuando es difícil conocer el tiempo que va a llevar la ejecución de cada

actividad, se consideran las duraciones en términos de probabilidad.

Primero se establecen los márgenes temporales entre los que se moverá la

duración de cada actividad:

Tiempo mínimo to (optimista): suponiendo que todo marcha bien.

Tiempo máximo tp (pesimista): aparecen todos los problemas

posibles.

Entre ellos estará el tiempo medio tm (más probable): la tarea se

realiza en circunstancias normales.

la duración de una actividad se considera una variable aleatoria que se

ajusta a una distribución de probabilidad del tipo β (beta).

La esperanza matemática (E (d )=

T o+4Tm+T p

6 ) se utiliza como

duración en el método pert.

la varianza (σ2(d )=(T p−T o

6 )2)

también es útil para evaluar la

reducción en la duración del proyecto.

Si las duraciones de las actividades son variables aleatorias, entonces la

duración del camino crítico será otra variable aleatoria, compuesta por la

suma de los valores asignados a las variables aleatorias, que definen las

duraciones de las actividades que componen el camino crítico.

Si llamamos tn a la variable aleatoria “duración del camino crítico”, siendo n

el número de actividades que lo componen, tendremos que:



http://www.economia48.com/spa/d/bien/bien.htm

http://www.economia48.com/spa/d/incertidumbre/incertidumbre.htm

http://www.economia48.com/spa/d/tiempo/tiempo.htm

http://www.economia48.com/spa/d/pert/pert.htm

http://www.economia48.com/spa/d/duracion/duracion.htm

la esperanza matemática de tn es igual a la sumatoria de las

esperanzas matemáticas de las actividades que componen el camino

crítico.

E(T n )= ∑ij ∈U

¿

E (d ij)

la varianza de tn es igual a la sumatoria de las varianzas de las

actividades que componen el camino crítico.

σ 2(T n )= ∑ij∈U

¿

σ2 (d ij )

Donde u* representa el conjunto de flechas que conforman el camino crítico.

en principio, se considera que la esperanza matemática del camino crítico

e(tn) es la duración esperada del proyecto, pero, en ocasiones, esta

duración se ha comprobado que es demasiado optimista y se suele corregir

al alza añadiendo un margen de seguridad entre el 10 y el 20%.

cuando el número de actividades que integran el camino crítico de un

proyecto es suficientemente grande como para poder aplicar el teorema

central del límite (si tenemos un grupo numeroso de variables

independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución,

independientemente del que sea, la suma de ellas se distribuye según una

distribución normal), podemos aceptar que la variable aleatoria “duración

del proyecto” sigue una distribución normal de parámetros [e(tn), σ(tn)] que

podemos transformar en una normal estandarizada de parámetros [e=1,

σ=0], lo que nos permitirá calcular la probabilidad asociada a que el

proyecto tenga una duración superior o inferior a un cierto número de

unidades de tiempo o de que se encuentre comprendida en un cierto

intervalo.

Tabla de la distribución normal

desv. normal x

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00.500

00.496

00.492

00.488

00.484

00.480

10.476

10.472

10.468

10.464

1


0.10.460

20.456

20.452

20.448

30.444

30.440

40.436

40.432

50.428

60.424

7

0.20.420

70.416

80.412

90.409

00.405

20.401

30.397

40.393

60.389

70.385

9

0.30.382

10.378

30.374

50.370

70.366

90.363

20.359

40.355

70.352

00.348

3

0.40.344

60.340

90.337

20.333

60.330

00.326

40.322

80.319

20.315

60.312

1

0.50.308

50.305

00.301

50.298

10.294

60.291

20.287

70.284

30.281

00.277

6

0.60.274

30.270

90.267

60.264

30.261

10.257

80.254

60.251

40.248

30.245

1

0.70.242

00.238

90.235

80.232

70.229

60.226

60.223

60.220

60.217

70.214

8

0.80.211

90.209

00.206

10.203

30.200

50.197

70.194

90.192

20.189

40.186

7

0.90.184

10.181

40.178

80.176

20.173

60.171

10.168

50.166

00.163

50.161

1

1.00.158

70.156

20.153

90.151

50.149

20.146

90.144

60.142

30.140

10.137

9

1.10.135

70.133

50.131

40.129

20.127

10.125

10.123

00.121

00.119

00.117

0

1.20.115

10.113

10.111

20.109

30.107

50.105

60.103

80.102

00.100

30.098

5

1.30.096

80.095

10.093

40.091

80.090

10.088

50.086

90.085

30.083

80.082

3

1.40.080

80.079

30.077

80.076

40.074

90.073

50.072

10.070

80.069

40.068

1

1.50.066

80.065

50.064

30.063

00.061

80.060

60.059

40.058

20.057

10.055

9

1.60.054

80.053

70.052

60.051

60.050

50.049

50.048

50.047

50.046

50.045

5

1.70.044

60.043

60.042

70.041

80.040

90.040

10.039

20.038

40.037

50.036

7

1.80.035

90.035

10.034

40.033

60.032

90.032

20.031

40.030

70.030

10.029

4

1.90.028

70.028

10.027

40.026

80.026

20.025

60.025

00.024

40.023

90.023

3

2.0 0.022 0.022 0.021 0.021 0.020 0.020 0.019 0.019 0.018 0.018


8 2 7 2 7 2 7 2 8 3

2.10.017

90.017

40.017

00.016

60.016

20.015

80.015

40.015

00.014

60.014

3

2.20.013

90.013

60.013

20.012

90.012

50.012

20.011

90.011

60.011

30.011

0

2.30.010

70.010

40.010

20.009

90.009

60.009

40.009

10.008

90.008

70.008

4

2.40.008

20.008

00.007

80.007

50.007

30.007

10.006

90.006

80.006

60.006

4

2.50.006

20.006

00.005

90.005

70.005

50.005

40.005

20.005

10.004

90.004

8

2.60.004

70.004

50.004

40.004

30.004

10.004

00.003

90.003

80.003

70.003

6

2.70.003

50.003

40.003

30.003

20.003

10.003

00.002

90.002

80.002

70.002

6

2.80.002

60.002

50.002

40.002

30.002

30.002

20.002

10.002

10.002

00.001

9

2.90.001

90.001

80.001

80.001

70.001

60.001

60.001

50.001

50.001

40.001

4

3.00.001

30.001

30.001

30.001

20.001

20.001

10.001

10.001

10.001

00.001

0


Ejemplo:

El camino crítico de un proyecto que consta de 13 actividades es el

constituido por la secuencia a-d-e-f-i-k-m. las duraciones esperadas de

dichas actividades son, respectivamente, 7, 8, 6, 11, 7, 11 y 9 días y las

varianzas de las variables aleatorias son, respectivamente, 1, 1.77, 0.11,

2.77, 4, 1.77 y 0.44.

Suponiendo que el número de actividades es lo suficientemente grande

como para aceptar el teorema central del límite y, por tanto, considerar que

la variable aleatoria “duración del camino crítico” (d(tn)) sigue una

distribución normal, tendríamos el siguiente caso:

d(tn) → n[e(tn), σ(tn)] → n[59, 3.4438]

el valor de la esperanza matemática de la variable aleatoria d(tn)

representa la duración asociada a una equiprobabilidad (50%) de acabar el

proyecto antes o después de esa fecha; es decir, habría un 50% de

probabilidades de acabar el proyecto antes de 59 días y otro 50% de

acabarlo después de los 59 días. teniendo en cuenta esto, si nos piden

determinar la probabilidad asociada al hecho de terminar el proyecto en

más de 65 días, haremos lo siguiente:

Como admitimos la aplicación del teorema central del límite, podemos

establecer la relación que existe entre la variable d(tn) y la función de

densidad normal estandarizada (ε). nuestra función está definida por la

expresión anterior y la normal estandarizada se define por la expresión:

ε → n[e(0), σ(1)]

Y entre las dos se establece la siguiente relación:

d(tn) = σ(d) x ε + e(d)

Que en nuestro caso toma el siguiente valor:

d(tn) = σ(d) x ε + e(d) = 3.4438 x ε + 59


Despejando ε tenemos que:

ε=d (Tn )−59

3 .4438

Teniendo esto en cuenta, y sabiendo que nos piden calcular la

probabilidad que existe de terminar el proyecto en un tiempo mayor

de 65 días, dicha probabilidad la podemos representar así:

p[d(tn) > 65] = p(3.4438 x ε + 59 > 65)

Si despejamos ε del paréntesis de esta última expresión, resulta:

P(ε>65−593.4438 )=P (ε>1 .7422 )

Sólo nos queda recurrir a la tabla de la distribución normal para

verificar que la probabilidad de acabar el proyecto en más de 65 días

es del 4.09% (magnitud que encontramos en la intersección de la fila

1.7 con la columna 0.04 de la tabla).

Si nos hubieran pedido la probabilidad de terminar el proyecto como

máximo en 65 días, la calcularíamos restándole la probabilidad

anterior al porcentaje total (100%), es decir, 100-4.09 = 95.91%.


3. CONCLUSIÓNES

Las técnicas de planificación por redes son únicas en su forma, especialmente por lo que respecta a los conceptos de la ruta crítica.

CPM surgió de las operaciones de ingeniería de mantenimiento, donde se tenía mucha experiencia y los tiempos de actividad eran relativamente bien conocidos; de manera que evolucionó como un modelo determinista.

En cambio, PERT surgió en un ambiente de investigación y desarrollo, donde existe una gran incertidumbre con respecto a los tiempos de actividad, resultado de esto un modelo probabilista.

Las técnicas de PERT y del CPM son de tal manera semejante que no han resistido las innumerables tentativas de diversificarlas y de mantenerlas en campos opuestos. El CPM, originado en la empresa privada, dio énfasis a las evaluaciones deterministas y al factor costo, en tanto que el PERT, por lo menos inicialmente, sólo dio importancia al factor tiempo y a las técnicas probabilísticas para estimarlo.

Una vez establecidas la red de actividades, la ruta crítica y los datos estadísticos del programa se tiene un plan de proyecto. De la información se puede extraer datos adicionales con respecto a la demanda de recursos del programa inicial; es posible la formulación de programas alternativos, con el fin de nivelar las cargas. La distribución del tiempo que se supone para la actividad se define por tres estimados, ( estimado de tiempo probable, tiempo optimista, tiempo pesimista ) tomado en cuenta que el tiempo de terminación del proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica, de ese modo se sabe que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes y la varianza del proyecto es la es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.


El PERT y CPM han sido aplicados a numerosos proyectos. Empezando con su aplicación inicial al proyecto Polaris y al mantenimiento de plantas químicas, hoy ellos (y sus variantes) se aplican a la construcción de carreteras y de edificios, y al desarrollo y producción de artículos de alta tecnología tales como aviones, vehículos espaciales, barcos y computadores.

4. BIBLIOGRAFIA

Taha Hamdy-Investigación de Operaciones. Séptima Edición. Editorial Pretince Hall.

Hilario Lopez y Carlos Moran. Programación Pert-Cpm Y Control de Proyectos. Editorial CAPECO.

HILLIER, Frederick S. Investigación de Operaciones . Séptima Edición. Editoral Mac Graw Hill. Mexico, D.F.

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/ fulldocs/ger/pertcpm.htm


http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/pertcpm.htm

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/pertcpm.htm

Trabajo de Programacion de Obras

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