TRABAJO DE SECCIONES CONICAS

MARIA CAMILA POLANCO ROJASJOSE LUIS SOTO QUINTERO ingeniería civil

SECCIONES CONICASSe definió en unidades antaeriores como la intersección de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen propiedades geométricas específicas. Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en los siguientes:Foco: Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se desprenden varias líneas importantes que en el desarrollo de la unidad se irán estudiando.Directriz: Es una recta fija dentro de la cónica, que desarrollando diferentes relaciones entre las distancias que genera esta recta, da origen a una sección cónica determinada.

CIRCUNFERENCIALa circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozan de las mismas propiedades; y que para el caso, se trata, de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de un plano de ejes coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radio de la circunferencia. Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).

Ecuación general de la circunferencia

PARÁBOLA Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y el eje x

ELIPSEUna elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, y pertenecientes al plano, es siempre igual a una constante, (longitud del eje máximo), mayor que la distancia entre los dos focos.

Ecuación general de la elipse

HIPÉRBOLAUna hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y menor que la distancia entre los focos. Toda ecuación de la forma  , donde a puede ser igual a b, representa una hipérbola.

la ecuación general de la hipérbola

LA GEOMETRIA La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

Hay varios tipos de geometría, las cuales las definiremos a continuación:

Geometría analítica

La geometría analítica es el estudio y representación de los elementos y figuras geométricas mediante expresiones numéricas y algebraicas en un sistema de coordenadas. Permite la representación de figuras a través de fórmulas. Este tipo de geometría se aplica, por ejemplo, en la Física para representar elementos como los vectores en un sistema de coordenadas.

Geometría descriptiva

La geometría descriptiva es el estudio y representación gráfica de las figuras a través de la proyección ortogonal en un plano. Permite identificar y analizar las propiedades geométricas y la relación espacial de las figuras. Los elementos geométricos que la forman son el punto, la línea, el plano y el volumen.

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. También se conoce como geometría euclídea y en ocasiones geometría parabólica. Se basa en los postulados del matemático griego Euclides. Engloba la geometría plana (dos dimensiones) y la geometría del espacio o espacial (tres dimensiones).

ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA

La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y plano. • Punto El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y C.

Recta El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos. Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l.

• Plano

El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.

ECUACIONES PARAMETRICASUna ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.

• CircunferenciaUna circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que  .Una expresión paramétrica es x = rcost y y = rsint

• ElipseUna elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verifica que   + = 1

Una expresión paramétrica es x = acost y y = bsint

• Otras curvasLa expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se describe la función paramétrica: x= (a-b)cost(t) + bcos(t((a/b) – 1)) y y= (a-b)sin(t) – (t((a/b) -1)

Dependiendo del ratio k=a/b pueden obtenerse formas muy diversas.

En esta otra función se puede ver una gran variedad de exponentes j y k, variando los parámetros a,b,c y d

X= cos(at) – cos

Y= sin(ct) – sin

EJERCICIOS DE APLICACION1.La tienda el sol que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final del mes, el propietario se entera que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. ¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos?

SOLUCIÓN

Sea x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las libras correspondientes de almendras. Dado que el peso total es de 45 libras,

X + y = 45

El ingreso de x libras de cacahuate a $0.70 la libra es de 0.7x dólares, y el ingreso de y libras de almendras a $1.60 la libra es de 1.6y dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1.00 la libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la ecuación siguiente.

Ingreso de los cacahuates + ingreso de las almendras = ingreso de la mezcla

0.7x + 1.6y = 45

7x +16y = 450

Libras de cacahuate + libras de almendras = libras de mezcla

X + Y = 45

De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente.

X + Y = 45 7x +16y = 450

De la primera ecuación, obtenemos que x = 45 – y. luego sustituimos este valor de x en la ecuación de abajo y despejamos y.

7(45–y)+16y=450315–7y+16y=450

9y = 450 -315 =135Y =15

Por tanto, x = 45 – y = 45 – 15 = 30.

En consecuencia 30 libras de cacahuate deberán mezclarse con 15 libras de almendras para formar la mezcla.

2. Una máquina de cambiar monedas, cambia los billetes de $1.000  en monedas de $50 y de $20. Si usted recibe 29 monedas, después de introducir un billete de $1.000, ¿Cuántas monedas de cada tipo recibe?

SOLUCION:

Sean             X = Numero de monedas de $50

                     Y = Numero de monedas de $20

Luego           (1)       X + Y = 29

                     (2)       50X + 20Y = 1.000

Despejamos  X en la ecuación (1)

                                   X = 29 – Y

Reemplazamos X en la ecuación (2)

                                     50(29 – Y) + 20Y = 1.000

                                   1.450 – 50Y + 20Y = 1.000

   – 50Y + 20Y = 1.000-1.450

               -30Y = -450

             Y = 15

Si Y=15 entonces X=14 para que  X+Y=29

Comprobamos 

                                   50(14) +20(15) = 700 + 300 = 1.000