UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

ALGEBRA LINEAL (MB165)

TEMA: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS

PROFESOR: PIERO LUQUE SECCIÓN: A

NOMBRES

ALANIA URETA JOSE A.

CUESTAS FUENTES RODOLFO

DÁVILA HIDALGO ANDRÉ

2015-I

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS

Llamamos sistema de ecuaciones lineales homogéneo a todo sistema de ecuaciones en el que todos los términos independientes son nulos.

a11x1 + a11x2 + a11x3 + … + a1nxn ═ 0

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn ═ 0

a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn ═ 0

. . . .

. . . .

. . . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn ═ 0

Los sistemas lineales homogéneos son siempre compatibles, ya que siempre tienen una solución, la solución trivial, que es la que se obtiene al tomar x1 = x2 = ... = xn = 0; el resto de soluciones, reciben el nombre de no triviales.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observación: Para un sistema de ecuaciones lineales hay dos casos posibles:

(a) puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial);

(b) puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial.

Aplicaciones. Núcleo de una trasformación lineal

1. Definición (sistema de ecuaciones lineales homogéneas). Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es un sistema de la forma AX=0, esto es, con columna de constantes nula.

2. Observación. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas es compatible, porque el vector cero es una de sus soluciones, llamada solución trivial. Para un sistema de ecuaciones lineales hay dos casos posibles:(a) Puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la

trivial);(b) Puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una

solución no trivial.

Ejercicios de José Alania Ureta

Ejercicio 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas:

3x1 2x2 + x3 + 4x4 = 0;

8x1 5x2 4x3 + x4 = 0;

2x1 + x2 + 6x3 + 7x4 = 0:

Solución:

La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes.

Por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el sistema es compatible y a la vez es indeterminado; por ello expresamos x1 y x2 a través de las variables x3 y x4:

x1 ═ 13x3 + 18x4

x2 ═ 20x3 + 29x4

Solución general: x ═ 13x3 + 18x4

20x3 + 29x4 ; x3, x4 є R

x3

x4

Ejercicio 2: Resolver el sistema de ecuaciones homogeneo determinado.

x + y + z ═ 0

x + 3y + z ═ 0

3x + 3y + 4z ═ 0

Aplicando Gauss:

x + y z ═ 0 1 1 -1 0

x + 3y + z ═ 0 1 3 1 0

3x + 5y + 4z ═ 0 3 5 4 0

1 1 -1 0 F2 - F1 1 1 -1 0 1 1 -1 0

1 3 1 0 F3 - 3F1 0 2 2 0 (1/2)F2 0 1 1 0

3 5 4 0 0 2 7 0 0 2 7 0

1 1 -1 0 1 1 -1 0 x + y – z ═ 0

0 1 1 0 F3 - 7F2 0 1 1 0 y + z ═ 0

0 2 7 0 0 -5 0 0 – 5y ═ 0

Resolvamos el sistema equivalente:

-5y ═ 0 y ═ 0 ; además y + z ═ 0 , entonces z ═ 0, por ello también x ═ 0.

Ejercicio 3: Dar solución al sistema de ecuaciones homogénea.

x + 2y – 4z ═ 0

2x + 7y + 3z ═ 0

Solución: Como la columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones elementales por ende es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes

1 2 -4 F2 – 2F1 1 2 -4 (1/3)F2 1 2 -4

2 7 3 0 3 11 0 1 11/3

1 2 -4 F1 -2F2 1 0 -34/3

0 1 11/3 0 1 11/3

El sistema de ecuaciones es homogéneo y a su vez es indeterminada, donde:

x ═ (34/3)z

y ═ (-11/3)z

La solución general se puede escribir en forma:

(34/3)z 34

X ═ (-11/3)z ═ (z/3) -11 ; z є R

z 3

Cada solución es un múltiplo de la solución básica u ═ [ 34 -11 3]T. Comprobación de la solución básica:

1 2 -4 34 34 – 22 – 12 0

2 7 3 -11 ═ 68 – 77 + 9 ═ 0

3

Ejercicios de Rodolfo Cuestas Fuentes

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x− y+z+t=42 x+ y−3 z+ t=4x−2 y+2 z−t=3x−3 y+3 z−3 t=2

Solución:

1 -1 1 1 4 F2 - 2 F1 1 -1 1 1 4 F2+ 3 F3 1 -1 1 1 42 1 -3 1 4 F3 - F1 0 3 -5 -1 -4 F4- 2 F3 0 0 -2 -7 -7 1 -2 2 -1 3 F4 - F1 0 -1 1 -2 -1 0 -1 1 -2 -11 -3 3 -3 2 0 -2 2 -4 -2 0 0 0 0 0

t¿α t=2α

z= 72−7

2α z=

72−7α

y=92−11

2α y=

92−11α

x=5−3α x=5−6αEl sistema es compatible indeterminado

2. Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.

x− y+z=72 x+my−4 Z=mx+ y−z=1−x+ y−z=3

Solución: (1 −1 1: 72 m −4 : m1 1 −1: 1

−1 1 −1: 3) f 4+ f 1→ (

1 −1 1 : 72 m −4 : m1 1 −1 : 10 0 0 : 10

)Como 0=10 el sistema es incompatible para cualquier valor de m.

3. Determine para que valores de k el sistema tiene infinitas soluciones

x+ y+z=0x− y∓ z=0kx+z=0Solucion:

(1 1 1: 01 −1 1: 0k 0 1: 0) f 2+ f 1→ (1 1 1: 0

2 0 2 : 0k 0 1: 0) → (1 1 1: 0

1 0 1: 0k 0 1: 0)

f 3−f 1→ ( 1 1 1 : 01 0 1 : 0k−1 0 1 : 0)

k−1=0 k=1 El sistema es compatible indeterminado

x+ y+z=0x∓ z=0

x=α→ y=0z=−α

Ejercicios de André Dávila Hidalgo

1).Resolver sistema homogéneo

X + y + z =0X – y =0X +3y+2z =0

Solución

A=(1 1 11 −1 01 3 2) |1 1

1 −1|= -2

r= 2 n=3 Sistema compatible indeterminado

Det(A)=0

X + y =-βX – y = 0 z =β

X=|−β 10 −1|−2

= −β

2 Y=|1 −β

1 0 |−2

=−β

2

2). Resolver sistema homogéneo

x + y +2z =0

3x –y -2z=0

-x+ 2y + z=0

A=( 1 1 23 −1 −2

−1 2 1 )Det(A)=12≠0

r=3 n=3 Sistema compatible determinado

Solucion trivial x=y=z=0

3). Resolver sistema homogéneo

x + 5y- 4z=0

x -2y+ 2z =0

3x+ y- 2z =0

A=(1 5 −41 −2 13 1 −2) |1 5

1 −2|=-7

Det(A)=0

r=2 n=3 Sistema compatible indeterminado

x +5y = 4β z=β

x - 2y =-β

Δ1=|4 β 5−β −2|= -3β Δ2=|1 4 β

2 −β|= -5β

x=3β7

y=5β7

z=β