Las Matrices Homogeneas

7/24/2019 Las Matrices Homogeneas

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Fundamentos de RobticaHerramientas Matemticas para la Localizacin Espacial

Matrices de Transformacin Homogneas

Ricardo-Franco [email protected]

Escuela Universitaria de Ingeniera MecnicaUniversidad de Tarapac

Arica, Chile

May 12, 2014

R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 1 / 26


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Outline

Outline

1 Coordenadas y matrices homogneas

Coordenadas homogneas

Matriz de transformacin homognea

2 Aplicacin de matrices homogneas

Traslacin

Rotacin

Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin

Traslacin seguida de rotacin

3 Composicin de matrices homogneas

Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil

4 Grficos de transformacin

5 Referencias



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Coordenadas y matrices homogneas Coordenadas homogneas


Permiten la representacin conjunta de traslacin y rotacin.

Un vectorp(x, y, z)ser representado porp(wx, wy, wz, w).

wes un valor arbitrario; factor escala.

As, el vector 2i+3j+4kpuede ser representado en coordenadashomogneas como: [2, 3, 4, 1]T, o tambin como[4, 6, 8, 2]T,[6,9,12,3]T, etc.



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Coordenadas y matrices homogneas Matriz de transformacin homognea


Matriz de dimensin 4x4 que representa la transformacin de unvector de coordenadas homogneas de un sistema de

coordenadas a otro.

Se puede considerar que una matriz homognea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:

R3x3, matriz de rotacin; p3x1, vector de traslacin; f1x3, transformacin de perspectiva; y w1x1, escalado global.


C d d i h M i d f i h


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Coordenadas y matrices homogneas Matriz de transformacin homognea


Matriz de dimensin 4x4 que representa la transformacin de unvector de coordenadas homogneas de un sistema de

coordenadas a otro.

Se puede considerar que una matriz homognea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:

R3x3, matriz de rotacin; p3x1, vector de traslacin; f1x3, transformacin de perspectiva; y w1x1, escalado global.


A li i d t i h


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Aplicacin de matrices homogneas

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Traslacin

Rotacin






5 Referencias




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Aplicacin de matrices homognea

Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escalado

global unitario:

As, una matriz de transformacin puede representar: posicin y orientacin de un sistemaOUVWgirado y trasladado

con respecto aOXYZ;




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Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:

As, una matriz de transformacin puede representar: transformacin de las coordenadas de un vectorrdesde sus

coordenadas enOUVWa sus coordenadas en OXYZ; o




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Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:

As, una matriz de transformacin puede representar: rotacin (R) y traslacin (p) de un vectorrcon respecto a un

sistema de referencia fijoOXYZpara transformarlo enr.




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Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escalado

global unitario:

As, una matriz de transformacin puede representar:


Aplicacin de matrices homogneas Traslacin


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Traslacin

matriz de traslacin

un vectorruvw descritocomorxyz

un vectorrxyzdesplazado segnT




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p g

Ejemplo de traslacin


Aplicacin de matrices homogneas Rotacin


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p g

Rotacin

matrices homogneas bsicas

de rotacin

descrito en OXYZ rotado en OXYZ


Aplicacin de matrices homogneas Rotacin


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Ejemplo de rotacin


Aplicacin de matrices homogneas Traslacin junto con rotacin


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Traslacin junto con rotacin

Cmo ejecutamos una traslacinpjunto a una rotacin de 180o

alrededor del ejeOZ?

Habr que tener en cuentra si primero se realiza la

rotacin y despus la traslacin, o viceversa.


Aplicacin de matrices homogneas Rotacin seguida de traslacin


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Rotacin seguida de traslacin

rotacin(phi) sobre ejeOX

seguida de traslacinpxyz

rotacin (theta) sobre eje

OYseguida de traslacinpxyz

rotacin (psi) sobre ejeOZseguida de traslacinpxyz


Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin


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traslacinpxyzseguida

de rotacin(phi) sobre

ejeOX

traslacinpxyzseguidade rotacin(theta)

sobre ejeOY

traslacinpxyzseguida

de rotacin (psi) sobreejeOZ




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IMPORTANTE

Ntese que las transformaciones se definen con respecto al

sistema fijo. De definirse con respecto al sistema mvil se

deberanintercambiar los resultados!Las matrices que representan traslacin seguida de rotacin

representaran rotacin seguida de traslacin, y viceversa.




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Ejemplo de rotacin seguida de traslacin


Composicin de matrices homogneas


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Traslacin

Rotacin






5 Referencias


Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema fijo


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Considerando que XYZ es el sistemafijo, una

rotacinsobre eje OX; seguida de una

rotacinsobre eje OY; y seguida de una

rotacin sobre eje OZ,

se representa por:




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Lo cual difiere de una

rotacin sobre eje OZ, seguida de una

rotacinsobre eje OY; y seguida de unarotacinsobre eje OX,

que se representa por:

La multiplicacin de matrices no es conmutativa!




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Ejemplo

Ejercicio

Comprobar el resultado de manera grfica en Sage.


Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema mvil


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Considerando que UVW es el sistemamvil, una

rotacinsobre eje OX (o OU); seguida de una

rotacinsobre eje OU; y seguida de una

rotacin sobre eje OW, se representa por:

Es decir, para componer rotaciones bsicas sobre el sistemafijo sepre-multiplican las matrices, y para componer sobre el

sistema mvil sepost-multiplican.


Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema mvil


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Ejemplo

Ejercicio (no es fcil)Comprobar el resultado de manera grfica en Sage

aplicando la matriz a un vector en particular.


Grficos de transformacin


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Sistemas alrededor de robot


Grficos de transformacin


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Sistemas alrededor de robot


Referencias


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Traslacin

Rotacin






5 Referencias


Referencias


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Bibliografa

Barrientos, A., Pen, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007,

Fundamentos de Robtica, 2nd edition, McGraw-Hill.


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