Aplicaciónes de Las Matrices

1Aplicación de matrices y determinantes

APLICACIÓNES DE LAS MATRICES

Matrices estocásticas

Supongamos una población que puede variar entre un conjunto finito de estados (e1, e2, ..., en). Por ejemplo, los residentes de una determinada localidad los podemos clasificar en un determinado momento como: no fumadores, fumadores de una o menos de una cajetilla de tabaco diario, fumadores de más de una cajetilla diaria. Por supuesto, esta situación no es estable, sino que se producen transiciones entre un estado y otro.

La probabilidad de que un miembro de esa población cambie de un estado e1 a otro e2vendrá dada por un número comprendido entre 0 y 1. Siendo 0 una probabilidad nula de cambio y el 1 supone un cambio seguro del estado e1 a e2.Podemos representar estas probabilidades de transición mediante una matriz como sigue:

Del estado...

e1 e2 ... en

Al estad

o

p11 p12 ... p1n e1p21 p22 ... p2n e2... ... ... ... ...pn1 pn2 ... pnn en

Por ejemplo, la probabilidad del cambio del estado e1 al e2 viene dada por p21.

De igual manera p11es la probabilidad de pasar del estado e1 al mismo e1, es decir de quedarse en el mismo estado.

p12representa la probabilidad de pasar del estado e2 a e1.

pn1es la probabilidad de cambiar de e1 a en

Y pnn representa la probabilidad de no cambiar de en a otro estado.

Esta matriz, que representa las probabilidades de transición de un estado a otro de los miembros de una población, se llama matriz de probabilidades de transición y para interpretarla tienes que hacerlo


fijándote en que es una tabla de doble entrada. En horizontal colocamos los estados actuales y en vertical los estados a los que se puede pasar y ya no nos queda sino colocar las probabilidades de transición de un estado a otro para rellenarla.

Como las probabilidades de transición de un estado a otro oscilan entre 0 y 1, todos los elementos de la matriz de probabilidades de transición están entre estos dos valores. Además, fíjate en las columnas, las probabilidades de transición, por ejemplo del estado e1a todos los demás posibles, están reflejados en la columna 1, con lo cual la suma de todos los valores de esta columna tiene que ser igual a 1(la suma de las todas las probabilidades posibles). Lo mismo ocurre en el resto de las columnas.

De las dos aseveraciones anteriores obtenemos la definición de matriz estocástica (estocástico significa "hábil en conjeturar"):es una matriz en la que todos sus elementos tienen un valor comprendido entre 0 y 1. Además la suma de los elementos de cada columna de una matriz estocástica es igual a 1. Fíjate que se tienen que cumplir las dos condiciones y no basta con una sóla.

Por lo tanto, podemos concluir que la matriz de probabilidades de transición es una matriz estocástica.

Para enfrentarnos a los problemas que vienen a continuación también tenemos que saber a qué llamamos matriz de estado. Dicha matriz representa el estado actual de la población en cada uno de los estados posibles.

EJEMPLO

En una población de 10000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes? ¿Y dentro de dos meses?


Comencemos haciendo el esquema de la situación:

A la vista del esquema ya podemos confeccionar la matriz de probabilidades de transición P y la matriz de estado X (esta última con los

datos del problema).

No fumanFuman 1

paquete o menosFuman más de 1

paquete

Al estado

0,93 0,10 0,05 No fuman

0,05 0,80 0,10Fuman 1 paq. o

menos

0,02 0,10 0,85Fuman más de 1

paquete

Al cabo de un mes, la matriz de estado será P. X y al cabo de dos meses P2 . X

Matriz de estados

Matriz de probabilidades de transición


P= 0.93 0.10 0.050.05 0.80 0.100.02 0.10 0.85

X= 500025002500

PX= 502525002475

Como se ve, al cabo de un mes habrá

5025 no fumadores

2500 fuman 1 paquete, o menos, diarios

2475 fuman más de un paquete diarios.

P^2*X= 0.93 0.10 0.050.05 0.80 0.100.02 0.10 0.85

x 502525002475

P^2*X= 5047

2498.752454.25

Podemos observar que cabo de un mes habrá

5047 no fumadores

2499 fuman 1 paquete, o menos, diarios

2454 fuman más de un paquete diarios.


Criptografía

Encriptación de mensajes

Un criptograma es un mensaje escrito en un código secreto (la palabra griega kryptos significa “oculto”).Empezamos asignando un número a cada letra del abecedario (con 0 asignado al espacio en blanco), como sigue.

Así el mensaje se convierte en una secuencia de números que se parte en matrices fila no codificadas, de n elementos, como ilustra el paso 1.

Paso 1: Formando las matrices filas no codificadasEscribir las matrices fila no codificadas de tamaño 1x3 para el mensaje MEET ME MONDAY.

Solución. Partiendo el mensaje (incluidos los espacios en blanco, pero ignorando otros signos de puntuación) en grupos de tres se obtienen las siguientes matrices fila no codificadas:

Hemos usado un espacio en blanco para completar la última matriz fila.Para codificar el mensaje, elegimos una matriz invertible A n x n y multiplicamos las matrices fila no codificadas por A por la izquierda. Así, se obtienen las matrices fila codificadas, como ilustra el paso 2.


Paso 2: Codificación de un mensaje

Usando la matriz de codificación.Codificar el mensaje MEET ME MONDAYSolución. Las matrices fila codificadas son el resultado de multiplicar a la izquierda por A cada una de las matrices fila no codificadas del ejemplo 4.

Por tanto, la secuencia de matrices filas codificadas es

Finalmente, suprimiendo la notación matricial, queda el siguiente criptograma:


A quien no conozca la matriz A le será muy difícil descifrar ese criptograma del paso 2.Pero a un receptor autorizado, conocedor de la matriz A, le bastará multiplicar el criptograma A por la matriz A-1 para recuperar el mensaje original. En otras palabras, si

Es una matriz 1 X n no codificada diente matriz codificada. El receptor puede decodificar Y multiplicando a la derecha por A, con lo que obtendrá

El paso 3 se muestra como funciona este método.

Paso 3: Decodificación de un mensajeUsar la inversa de la matriz

Para decodificar el criptograma

Solución. En primer lugar, hallamos A por eliminación de Gauss-Jordan.

Ahora para decodificar el mensaje, lo partimos en grupos de tres para formar lasMatrices fila codificadas

Para hallar las matrices fila decodificadas, multiplicamos las codificadas por A (a laDerecha)


Por lo tanto, la secuencia de matrices fila decodificadas es

Y el mensaje


APLICACIONES DE LAS DETERMINANTES

Área de un triángulo en el plano xy

El área de un triángulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) esta dada por

Area = ± ½ x 1 y 1 1x 2 y 2 1x3 y 3 1

Donde el signo ( ±) se elige para obtener un área positiva.

Prueba para determinar si tres puntos en el plano xy son colineales

Tres puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3,y3) son colineales si y solo si

x 1 y 1 1x 2 y 2 1x3 y 3 1

= 0.


Ejempló

Encuentre el área de un triangulo cuyos vértices son los puntos (1,0) (2,2) (4,3)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

2

3

eje x

eje

y

1 0 12 2 14 3 1

=(2+0+6) – (8+3+0) = 3

Área =½ (3) = 3/2 u²


Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro cuyos vértices son (X1,Y1,Z1), (X2,Y2,Z2), (X3,Y3,Z3), (X4,Y4,Z4) está dada por

Volumen = ±16 [X1 Y 1 Z1

X2 Y 2 Z2

X3 Y 3 Z3

111]

Donde el signo ± se elige para obtener un volumen positivo

Ejemplo

Determine el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (0,4,1), (4,0,0), (3,5,2), (2,2,5).

Al aplicar la fórmula de la determinante, el volumen se obtiene así

X4 Y4 Z4 1


16 [0 4

4 04 5

1 10 12 1].

.¿

[A]= a21 +a 22 + a23 + a24

[A]= -(4)a21 +(0)a 22 -(0) a23 +(1) a24

[A]= -(4)a21+(1) a24

[a21]= -4[4 1 15 2 13 5 1]=¿ -4[(8+2+25)-(4+20+5)] = -4(6) = -24

[a24]= 1[0 4 13 5 22 2 5]=¿ 1[(0+6+16)-(10+0+60)] = 1(-48) = -48

[A]= a21+a42

[A]= -24-48=-72

V= ±16

(-72) =726

U3 = 12 U3

2 2 5 1

+ - + -


Tarea

Los refrescos más consumidos de Hidalgo son coca-cola y pepsi; un total de 650,000 personas consumen refresco al año, actualmente 300,000 prefieren coca-cola , 230,000 pepsi y el resto de las personas consumen otro refresco.

¿Cuántos consumidores tendrán coca-cola y pepsi en el transcurso de uno y dos años?

15% 33%

60% 27%

25% 32%

40% 40%

28%

Al cabo de un año, la matriz de estado será P. X y al cabo

de dos años P2 . X

P= 0.60 0.27 0.400.15 0.33 0.320.25 0.40 0.28

X= 300000230000120000

Un año

PX= 0.60 0.27 0.400.15 0.33 0.320.25 0.40 0.28

x 300000230000120000

= 290000159300200600

Coca−cola

PepsiOtro refresco

Dos años

Coca-cola Pepsi

Otro refresco

Matriz de estadosMatriz de probabilidades de transición


P²X= 0.60 0.27 0.400.15 0.33 0.320.25 0.40 0.28

x 290000159300200600

= 297311160276192413

Coca−cola

PepsiOtro refresco

Codificar y decodificar el siguiente mensaje:

"LO MEJOR PARA JUANMA"

2 1 43 −1 20 3 6

A


"LO MEJOR PARA JUANMA"

[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]

Secuencia de matrices fila codificadas

[72,-4,80] [41,38,122] [89,-3,102] [37,73,184] [2,31,64] [47,63,174] [29,12,54]

Después voy multiplicando las matrices filas obtenidas por la inversa de A.

Después recompongo en orden los resultados obtenidos de los anteriores productos

[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]


LO MEJOR PARA JUANMA"

Encuentre el área de un triangulo cuyos vértices son

a) (-1,0), (1,1) (3,3)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.51

1.52

2.53

3.5

0

1

3

eje x

eje

y

−1 0 11 1 13 3 1

=( -1+3) – (3-3) = 2

Área = ½ (2) = 1u²

b) (-1,-3), (-4,7) (2,-13)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-15

-10

-5

0

5

107

-3

-13

eje x

eje

y


−1 −3 1−4 7 1

2 −13 1 = (-7-6+52) – (14+13+12) = 0 no existe àrea y es colineal.

Determine el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (-3,-1,1), (4,-4,4), (1, 1,1), (0,0,1).

Al aplica la fórmula de la determinante, el volumen se obtiene así

16 [−3 −1

4 −41 1

1 14 11 1].

.¿

[A]= a41 +a 42 + a43 + a44

[A]= (0)a1 +(0)a 42 +(1) a43 -(1) a44

[A]= (1)a43+(1) a44

[a43]= 1[3 −1 14 −4 11 1 1]=¿ 1[(-12+4+1)-(4+3-4)] = 1(-2) = -2

[a44]= 1[3 −1 14 −4 41 1 1 ]=¿ 1[(-12+4-4)-(-4+1-4)] = 1(-16) = -16

[A]= a43+a44

[A]= -2-16=-18

V= ±16

(-18) =186

U3 = 3 U3

0 0 1 1

- + - +


EXAMEN

En una ciudad viven 350000 personas, 85000 de ellas se trasladan en trasporte público, 50000 en taxi y el resto en automóvil particular

¿Qué preferencia habrá para cada transporte en el trascurso de un año?

50% 70%

60% 5%

10% 25%

15% 20%

65%

Al cabo de un año, la matriz de estado será P. X

P= 0.40 0.05 0.150.50 0.70 0.200.10 0.25 0.65

X= 8500050000

215000

Un año

PX= 0.40 0.05 0.150.50 0.70 0.200.10 0.25 0.65

x 8500050000

215000 =

68750120500160750

Trasporte público

TaxiAutomóvil particular

Transporte público Taxi

Automóvil particular

Matriz de estadosMatriz de probabilidades de transición


Codificar y decodificar el mensaje

4 2 1−3 −3 −13 2 1

PLEASE SEND MONEY

(PLE) (ASE) (SEN) (D MO) (NEY)

(17 12 5) (1 20 5) (0 20 5) (14 4 0) (13 16 14) (5 26 0)

Secuencia de matrices fila codificadas

(47 8 10)(-41 -48 -14)(-45 -50 -15) (44 16 10) (46 6 11) (-58 -68 -21)

Sacar la inversa de la matriz

4 2 1−3 −3 −13 2 1


A−¹= 1 0 −10 −1 −1

−3 2 6

Suprimiendo la notación matricial, queda el siguiente criptograma

(PLE) (ASE) (SEN) (D MO) (NEY)

(17 12 5) (1 20 5) (0 20 5) (14 4 0) (13 16 14) (5 26 0)

Encuentre el área de los siguientes triángulos que tienen los vértices

a) (1,2) (3,4) (5,6)

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

2

4

6

eje x

eje

y

1 2 13 4 15 6 1

= (4+10+18) – (20+6+12) =0 no existe area, los puntos son colineales

b) (1,1) (2,4) (4,2)


0 1 2 3 4 5 60

0.51

1.52

2.53

3.54

4.5

1

4

2

eje x

eje

y

1 1 12 4 14 2 1

= (4+4+4) – ( 16+2+2) = -8

Área= -1/2 (-8) = 4u²

c) (1,1) (-1,1) (0,-2)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1

-2

1

eje x

eje

y


1 1 1−1 1 10 −2 1

= ( 1+2) – (-2-1) = 6

Área= ½ (6) = 3 u²

Determine el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (1,1,1), (0,0,0), (2, 1,-1), (-1,1,2).

Al aplica la fórmula de la determinante, el volumen se obtiene así

16

=[1 10 02 1

1 10 1

−1 1]..¿

[A]= a21 +a 22 + a23 + a24

[A]= (0)a21 +(0)a 22 +(0) a23 +(1) a24

[A]= (1) a24

-1 1 2 1

+ - + -


[a24]= 1[ 1 1 12 1 −1

−1 1 2 ]=¿ 1[(2+2+1)-(-1-1+4)] = 1(3) = 3

[A]= a44

[A]= 3

V= ±16

(3) =36

U3 = 12

U3

LISTA DE CALIFICACIONES

Equipo 4

Álgebra Lineal

Ing. Miguel Ángel Acosta Jiménez

Nombre 1º evaluació

n

2º evaluación

Calificación

Alamilla Juárez EsliTahlia 95 100 98Aldana Hernández María Guadalupe

90 100 95

Alvarado Sánchez Yuritzin 70 60 65Ángeles Franco Linda Roslin 70 40 55Ángeles Hernández Adhara Marisol

100 40 70

Arteaga Ortiz Ana Andrea 95 N/P 48Ávila Sánchez Adolfo 90 90 90Bello Velázquez Jesús Amauri 80 65 73Cabrera Cruz Felipe 90 N/P 45


Cruz Sánchez Diana Celina 75 5 40De la Torre Olarte Alicia Jennyfer N/P 35 18Duran Pérez José Fernando 100 75 88Domínguez Escudero Rosalía 100 100 100Gómez Castillo Salvador 100 60 80Gutiérrez Meyer Jesús Efraín 50 N/P 25Hernández Daniel Karla Lizet 75 100 88Hernández Ramírez José Luis 100 55 78López García Israel 60 70 65Morales Escamilla Teresa 90 100 95Resendiz Rojas Dulce María 90 100 95Sánchez Ruiz Eleisy Yajaira 75 N/P 38Sánchez Zamora Sandra M. 60 N/P 30Serrano Cornejo Gustavo 90 100 95Talavera Apodaca Jonathan 80 N/P 40Tovar Pardo Karen 100 100 100Trejo Nolasco Karen Giovanna 85 N/P 43Ubaldo García Juan Carlos 70 60 65Vargas Ledezma Aldo Francisco 75 70 73Vargas Sánchez Lluvia Celeste N/P 100 50Vázquez Morales Izamar Lucero 90 100 95Velasco Hernández Francisco Javier

80 N/P 40

Vergara Pérez Leslie Amaya 80 10 45Vizueto Cruz María Moncerrat N/P 50 25PROMEDIO GENERAL 65.15

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