Trabajo Escrito de Taylor

7/24/2019 Trabajo Escrito de Taylor

1/17

ContenidoIntroduccin........................................................................................................ 3

Biografa de Brook Taylor....................................................................................4

Consideraciones iniciales del teorema de Taylor.................................................5

Ejemplo 1.........................................................................................................

!a serie de Taylor................................................................................................ "

#olinomio de Taylor............................................................................................. "

Ejemplo $%........................................................................................................&

Ejemplo 3........................................................................................................... '

(esiduo de un polinomio de Taylor....................................................................1)

TE*(E+, -E T,!*(........................................................................................11

Ejemplo 4.......................................................................................................... 1$

Bibliografa.......................................................................................................... 1


2/17

Introduccin.

Los mtodos numricos son aplicados a diversas ciencias y reas del saber, hay quienes noven la importancia de estudiar cada una de las tcnicas y creen que todo lo pueden resolver

si tiene a mano una calculadora, sin saber, que la calculadora aplica mtodos numricos

para dar las soluciones de una ecuacin por ejemplo!

"iversas funciones no se pueden evaluar fcilmente por lo que se hace necesario buscar

otros caminos que permitan obtener el valor de esta funcin en un punto, sin recurrir

directamente a la funcin como tal, de esto trata el teorema de #aylor uno de los mtodos

ms aplicados en los mtodos numricos legado del gran matemtico Brook Taylor.


3/17

Biogra/0a de Brook Taylor

(Edmonton, Middlesex, 1685 - Londres, 1731) Matemtico ingls.

isc!"#lo de $e%ton, contin#& s# o'ra en el cam"o del anlisis

matemtico.

En 1715 "#'lic& el Methodus incrementorum directa et inversa, donde examin&

los cam'ios de aria'le las di*erencias *initas (las c#ales de*ini& como

incrementos), "resent& el desarrollo en serie de #na *#nci&n de #na

aria'le. +ales est#dios no se icieron *amosos enseg#ida, sino #e

"ermanecieron "rcticamente desconocidos asta 177, c#ando elmatemtico *rancs Joseph-Louis de Lagranges#'ra& s# im"ortancia "ara

el desarrollo del clc#lo di*erencial.

/roo0 +alor "#'lic& tam'in arios tra'aos so're "ers"ectia (dando el

"rimer tratamiento general de los "#ntos de *#ga), so're los *en&menos

de ca"ilaridad, so're los "ro'lemas de las c#erdas i'rantes so're los

centros de oscilaci&n, a los #e a en 1728 a'!a dado #na sol#ci&n.


4/17

Consideraciones iniciales del teorema de Taylor

El teorema de #aylor y su frmula, la serie de #aylor, es de gran valor en el estudio de los

mtodos numricos! En esencia, laserie de Taylorproporciona un medio para predecir el

valor de una funcin en un punto en trminos del valor de la funcin y sus derivadas en otro

punto! En particular, el teorema establece que cualquier funcin suave puede apro$imarse

por un polinomio!

%na buena manera de comprender la serie de #aylor consiste en construirla trmino por

trmino! &or ejemplo, el primer trmino de la serie es'

Esta relacin, llamada la aproximacin de orden cero, indica que el valor de f en el

nuevo punto es casi el mismo que su valor en el punto anterior! #al resultado tiene un

sentido intuitivo, ya que si xi y x i+1 estn muy pr$imas, se puede pensar que

f(xi) y f(xi+1) estarn tambin muy pr$imas!

f(xi+1) f(xi)


5/17

Ejemplo 1' (i sabemos que sen(30 )=0,5 , entonces, si debemos calcular

sen(31) podemos deducir que el valor es muy cercano a ),* +es ),**)-, y si

calculamos sen (30.01) podemos estar casi seguros que el valor es a.n ms cercano a

),*!

/onforme buscamos imgenes de sen(x) para valores ms alejados de 3)0 las imgenes

se distancian de ),* y ya no servir esta apro$imacin, se dice que la apro$imacin se

expande alrededor de 30 o est centrada en 30)!

#ara poder aproimar las im2genes de una /uncin en el interalo [ a , b ]

mediante un polinomio de Taylor la /uncin dee ser continua en este interalo

y deriale en todos los rdenes.


6/17

!a serie de Taylor(i una funcin tiene derivadas de todos los rdenes en x=c entonces la serie

(e llama serie de #aylor para f(x) en c ! 1dems, si c=0 entonces la serie es

serie de 2aclaurin para f !

La serie de #aylor en su forma de sumatoria es'

#olinomio de Taylor.El polinomio que se forma al desarrollar la serie de #aylor hasta un n se llama polinomiode Taylor de grado n paraf en el punto c, este polinomio de grado n centrado en unpunto c permite apro$imar una funcin, a partir de un punto conocido la funcin y de susderivadas +hasta la derivada de orden n-!

(i la funcin est centrada en ) o sea c=0 al polinomio se le conoce como el polinomio

de Maclaurin de grado n paraf, y su desarrollo se simplifica de la siguiente forma

Pn(x )=f( c )+f' (c ) (xc )+

f' ' (c )2 !

(xc)2++f

(n) (c )n !

(xc )n

xc n

n !

Pn(x )=f( c )+f' (c ) (xc )+

f'' (c )2 !

(xc)2++f

( n) (c )n !

(xc )n

Pn(x )=f(0)+ f'(0)x+

f ' '(0)2 !

x2+

f ' ' ' (0)3 !

x3++

f(n )(0)n !

xn


7/17

Ejemplo $

Determine un polinomio de Maclaurin de grado 4 para la funcin f(x)=ex

/omo se va a determinar un polinomio de Maclaurinse asume que c=0 y como debe

de ser de grado , entonces n=4

n=4 por lo tanto se requiere tener hasta la derivada de orden , se debe de evaluar el

valor de c +) en este caso por ser polinomio de Maclaurin- en la funcin y en cada una de

las derivadas

4a podemos determinar el polinomio usando la frmula'

Pn(x )=f(0)+ f'(0)x+

f ' '(0)2 !

x2+

f ' ' ' (0)3 !

x3++

f(n )(0)n !

xn

(ustituyendo los valores en la formula

P4(x )=1+1x+1

2!x

2+ 1

3 !x

3+ 1

4 !x

4

P4(x )=1+1x+

1

2x

2+1

6x

3+ 1

24x

4

+(implificando y e$presando las factoriales-

5rficamente'

+(e utili6ar la notacin f( n)(x ) para hacer

e

/omo se puede apreciar

grfica para valores cerca

x=0 el polinomio apr

perfectamente, pero conform

valores se distancian de

grfica del polinomio

Maclaurin de grado

distancia de la grfica de e

se requiere de una

a ro$imacin se debe

n f(n)

f( n)(c )

) f(x )=ex

f(1)=ex

7 f(2)=ex

3 f(3)=ex

f(4 )=ex


8/17

Ejemplo 3

Determine Un polinomio de Taylor de grado 5 para la funcin

f(x )=sen(x ) y centrado en c=

2

Lo primero es determinar las derivadas hasta orden n en este caso * y evaluar la

funcin y las derivadas en el valor de c en este

caso

2

%na ve6 que tenemos estos datos podemos usar la frmula del polinomio de #aylor'

Pn(x )=f( c )+f' (c ) (xc )+ f

' '

(c )2 !

(xc)2++ f(n)

(c )n !

(xc)n

(ustituyendo los valores se tiene'

P5(x )=1+0(x2 )+12!(x2 )

2

+0

3 !(x

2)3

+ 1

4 !(x

2)4

+0

5!(x

2)5

P5(x )=1

1

2 !(x

2)2

+1

4 !(x

2)4

+(implificando los valores que se hacen )-

P5(x )=1

1

2 (x2 )2

+ 1

24(x2 )4

+E$presando las factoriales-

Es importante ver que es aunque se buscaba un polinomio de grado * se obtiene uno degrado ya que los trminos se anulan cuando n es impar!

n f(n)

f(n)(c )

) f(x )=sen(x )

f(1)=cos(x) )

7 f(2)=sen(x ) 8

3 f(3)=cos(x) )

f(4 )=sen(x)

* f(5)=cos(x ) )


9/17

(esiduo de un polinomio de Taylor

La serie de #aylor puede apro$imar perfectamente una funcin continua y derivable entodos los rdenes, pero sera imposible desarrollar todos sus trminos por lo que se trabajacon un nque determina el grado del polinomio a obtener, es lgico pensar que al dejarinfinitos trminos por fuera del desarrollo se va a dar un error!

(i se toma hasta el n97

%na tcnica de apro$imacin es de poco valor sin alguna idea de su precisin! &ara medir la

precisin de una apro$imacin al valor de una funcinf+x- mediante un polinomio de

#aylor Pn(x) se puede usar el concepto de residuo Rn(x) definido como sigue!

,s06 Rn(x )=f(x )Pn(x ) . El valor absoluto de Rn(x ) se llama error de la

apro$imacin!

f( c )+ f'(c ) (xc )+f

' '(c )2!

(xc)2+f

( 3) (c )3!

(xc )3+

f(4) (c )4 !

(xc )3++

f( n) (c )n!

(xc )n

Error#olinomio de grado

f(x)=P n(x )+R n(x)

7aloreact

(esto7aloraproima


10/17

Es decir,

TE*(E+, -E T,!*(

(i una funcin f es derivable hasta el orden n+1 en un intervalo I que contiene a

c, entonces, para toda x en I , e$iste z entre x y c tal que

-onde

8na consecuencia 9til del teorema de Taylor es :ue

-onde mx|f(n+1)(z)| es el alor m2imo de f( n+1 )(z ) entre x y c

Error; |R n(x )|=|f(x )P n(x)|.

f(x )=f( c )+ f' (c ) (xc )+f

' '( c )2 !

(xc )2++f

( n) ( c)n !

(xc )n+Rn(x)

Rn(x )=f

(n+1) (z )(n+1 ) !

(xc )n+1

|Rn(x )||xc|n+1

(n+1 ) !mx|f(n+1 )(z)|

Esta relacin es la :ue se utipara determinar el error o re

Es importante notar que para determinar la precisin de la apro$imacin se requiere de una derivada d

orden n+1 , para determinar un polinomio de #aylor de grado * hay que derivar hasta la derivada d

orden *, pero para determinar el error m$imo o residuo hay que determinar la derivada de orden :!


11/17

La frmula para determinar el residuo se llama frmula del residuo de Lagrange.


12/17

Ejemplo 4

8tili y ealuar en este polinomio x=0.2

y x=2.5 6 luego determinar el error m2imo cometido en cada caso.

Como el polinomio :ue se determino estaa centrado en cero es lgico suponer

:ue el error ser2 menor al ealuar ).$ :ue al ealuar $.5 ya :ue entre m2s se

alejan los alores de donde se centr el polinomio el error ser2 mayor.

Para x=0.2

?i ealuamos ).$ en el polinomio P4(x )=1+1x+1

2x

2+1

6x

3+ 1

24x

4

P4(0,2 )=1+1 (0,2 )+

1

2(0,2 )2+

1

6(0,2 )3+

1

24(0,2 )4=1,2214

Error mximo para x=0.2

Como el polinomio P4(x )=1+1x+1

2 x2

+1

6 x3

+ 1

24 x4

es de grado 4 @ay :ue

determinar la deriada de orden 5

Ten0amos f(4 ) (x )=ex

Entonces f(5) (x )=ex

En este caso z est2 entre 0 y )6$ =por defnicin z entre x y c -

Tenemos la relacin para determinar el error m2imo.

|Rn(x )||xc|n+1

(n+1 ) !mx|f(n+1 )(z)|

Aay :ue uscar el mayor alor para |f(n+1 )(z

en este caso el mayor alor de ex

entre )

).$.

#odr0amos determinar el alor de e0.2

medi

una calculadora6 pero si estamos utili


13/17

|R4 (x)| ).)))))&

tese :ue el error m2imo cometido es muy pe:ueo

?i ealuamos x=0,2 en la /uncin f(x)=ex

tenemos.

e0.2

;1.$$14)$"5

!o :ue es muy cercano a lo otenido por el polinomio de 2aclaurin de grado

+1.2214)El teorema #aylor dice

f(x )= f( c )+ f' (c ) (xc )+f

' '( c)2 !

(xc )2++f

( n) ( c)n !

(xc )n+Rn(x)

En este caso e0.2

est2 acotada como se indica

P4(0,2 )R4(0.2 ) e0.2

P4(0,2 )+R4 (0.2)

1.221392 e0.2

1.221408

a :ue se sae :ue el error m2imo es de ).)))))& =redondeado> pero no se sa

este error se da @acia arria o @acia aajo


14/17

Para x=2,5

?i ealuamos $.5 en el polinomio P4(x )=1+1x+1

2x

2+1

6x

3+ 1

24x

4

P4(2.5 )=1+1(2.5)+1

2(2.5)2+

1

6(2.5)3+

1

24(2.5)4

P4(2.5 )= 10.85677083...

Error mximo para x=2,5

Como el polinomio P4(x )=1+1x+ 12x2+ 1

6x3+ 1

24x4 es de grado 4 @ay :ue

determinar la deriada de orden 5 :ue ya la ten0amos

f(5) (x )=ex

8tili


15/17

El teorema #aylor dice

f(x )=f( c )+ f' (c ) (xc )+

f' '( c)2 !

(xc )2++f

( n) ( c)n !

(xc )n+Rn(x)

En este caso e2.5

est2 acotada como se indica

Pn(02.5 )Rn(2.5 ) e2.5

Pn(2.5 )+Rn(2.5)

4.85827521 e2.5

19.50671271

a :ue se sae :ue el error m2imo es de ".3$4$1&"5 =redondeado> pero no se

si este error se da @acia arria o @acia aajo

;tese que en este caso el error m$imo posible fue mucho mayor al error verdadero que se da entre

evaluar x=2.5 en el polinomio de 2aclaurin de grado y evaluar x=2.5 en la funcin

f(x )=ex ya que el error cometido fue de !37*?@2= cometido!


16/17

Conclusin./onforme se busca informacin de un teorema o mtodo matemtico nos topamos con

otros que no conocamos, atreves del tiempo grandes matemticos nos ha dejado un legado

que prevalece a travs de los aAos, cada uno de ellos ha colocado una piedra para formar la

sociedad tal como la conocemos! ;o se puede omitir este conocimiento y ceAirse a que la

tecnologa hace todo eso, sabiendo de ante mano que la tecnologa hace solo lo que se le ha

programado del modo que se lo indiquen!

&or eso se debe apelar a su capacidad he inteligencia para que profundice ms en cada una

de las reas matemticas ya que este trabajo sobre el teorema de #aylor es solo una

pincelada y no se pretende jams que se tome como todo lo que se debe saber del tema


17/17

Bibliografa/hapra, (! /! +7))

Trabajo Escrito de Taylor

Documents

Transcript of Trabajo Escrito de Taylor