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TRABAJO FIN DE ESTUDIOS Proporcionalidad numérica y sombras. Técnicas motivadoras en el proceso enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas u otras áreas José Javier Galarreta García MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FP Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS Tutor: Jesús Murillo Ramón Facultad de Letras y de la Educación Curso 2011-2012 MATEMÁTICAS
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TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
Proporcionalidad numérica y sombras. Técnicasmotivadoras en el proceso enseñanza-aprendizaje
de las Matemáticas u otras áreas
José Javier Galarreta García
MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FPY ENSEÑANZA DE IDIOMAS
Tutor: Jesús Murillo RamónFacultad de Letras y de la Educación
Curso 2011-2012
MATEMÁTICAS
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Proporcionalidad numérica y sombras. Técnicas motivadoras en el procesoenseñanza-aprendizaje de las Matemáticas u otras áreas, trabajo fin de estudios
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TRABAJO FIN DE MASTERProporcionalidad numerica y
sombrasTecnicas motivadoras en el proceso ensenanza-aprendizaje de las
Matematicas u otras areas.
Elaborado por: Jose Javier Galarreta Garcıa
Curso: 2011-2012
Indice
1. INTRODUCCION. 4
2. MARCO TEORICO. 4
3. UNIDAD DIDACTICA. 7
3.1. CONTEXTO GENERAL DEL CENTRO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. LOCALIZACION DEL CENTRO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3. FUNCIONAMIENTO DEL CENTRO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4. EQUIPAMIENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5. INSTALACIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6. ALUMNADO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.7. PROGRAMAS Y PROYECTOS EDUCATIVOS: . . . . . . . . . . . . . . 11
3.8. DESCRIPCION DE LOS GRUPOS CLASE. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.8.1. 1o ESO A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.8.2. 1o ESO E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.8.3. CARACTERISTICAS PSICOPEDAGOGICAS Y
PSICOSOCIALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.8.4. CONDICIONAMIENTOS SOCIOCULTURALES. . . . . . . . . . . 14
3.8.5. PRINCIPALES DIFERENCIAS INDIVIDUALES. . . . . . . . . . 15
3.8.6. PROCESOS DE ENSENANZA-APRENDIZAJE. . . . . . . . . . . 15
1
3.9. UNIDAD DIDACTICA: Magnitudes proporcionales. Porcentajes (1o ESO) 16
3.9.1. OBJETIVOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.9.2. COMPETENCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.9.3. CONTENIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.9.4. ESTRATEGIAS DE INTERVENCION Y ADAPTACIONES CU-
RRICULARES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9.5. METODOLOGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9.6. SESIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.9.7. EVALUACION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.10. REFLEXION Y CONCLUSIONES FINALES. . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. PROYECTO DE INNOVACION:
La proporcionalidad numerica y sombras. 31
4.1. DATOS SOBRE EL PROYECTO. INTRODUCCION. . . . . . . . . . . . 31
4.2. JUSTIFICACION DEL PROYECTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. OBJETIVOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4. DESCRIPCION DEL PROYECTO. INNOVACION. . . . . . . . . . . . . 34
4.5. METODOLOGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6. EJEMPLOS DE ACTIVIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA. 39
2
6. ANEXOS. 40
3
1. INTRODUCCION.
El Master en Profesorado de Educacion Secundaria Obligatoria y Bachillerato, For-
macion Profesional y Ensenanzas de Idiomas en la especialidad en Matematicas, como
su nombre indica, tiene como finalidad formar nuevos profesores y para ello se ha dis-
tribuido en dos bloques. En el primero, teorico y formado por 3 asignaturas comunes a
otras especialidades y otras 3 asignaturas mas propias de cada especialidad, se han visto
los contenidos necesarios para se capaces de guiar el aprendizaje de los diferentes tipos
de alumnos y poder desenvolvernos dentro del contexto de una clase de la mejor manera
posible. El segundo bloque consistıa en la realizacion de unas practicas en un instituto de
secundaria, donde se pudieran en practica los contenidos vistos durante las clases teoricas.
La tutela de estas practicas ha contado con dos profesores, uno en la universidad, en mi
caso Jesus Murillo Ramon, director del Master y otro profesor en el centro de secundaria.
2. MARCO TEORICO.
Dentro de las teorıas de aprendizaje mas destacadas senalamos las siguientes: Teorıa
Conductista, Teorıa Cognitivista y Teorıa Constructivista. A continuacion veremos sus
rasgos mas destacados.
La teorıa conductista defiende que el aprendizaje es fruto de la interaccion entre los
estımulos y las respuestas, es decir, aprender es equivalente a adquirir una serie de res-
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puestas sin la intervencion de una estrategia o de un proceso mental mas profundo. El
agente principal en este tipo de aprendizaje es el profesor, quien transmitiendo dichos
estımulos busca obtener las respuestas correctas por parte de los alumnos y afianzarlas
despues por medio de un refuerzo. Esta teorıa tiene varias pegas como favorecer la pa-
sividad del alumno frente al uso del razonamiento logico, ademas al estar centrada en
la recopilacion mecanica de respuestas, se puede confundir el aprendizaje con la simple
memorizacion. Por ultimo se da demasiada relevancia al libro de texto y se evita dedicar
tiempo a temas fuera del mismo.
En la teorıa cognitivista adquieren mayor importancia los procesos internos que realiza
el alumno para almacenar la informacion recogida por los estımulos y planificar y cons-
truir las respuestas. El aprendizaje es la adquisicion de los conocimientos que el profesor
transmite. La desventaja del seguimiento de esta teorıa se encuentra en que no obtiene
resultados inmediatos y son muy difıciles de evaluar.
La teorıa constructivista implica que es el alumno el encargado de construir el nuevo
conocimiento, relacionandolo con sus experiencias e ideas previas para lograr asimilar la
informacion. Ahora el conocimiento que adquiere el alumno no es exactamente lo que
transmite el profesor sino que el profesor debe guiar al alumno para que sea este quien
construya el suyo propio.
Lo idoneo serıa seguir esta ultima teorıa, pero resulta complicada de llevar a la practica
pues requiere de una organizacion algo mas compleja y especializada en cuanto a proce-
dimientos, metodos de ensenanza y evaluacion para, al menos, cada tipo de estudiante y
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lo habitual es que no se disponga del tiempo ni de los recursos necesarios para llevarlo a
cabo. Tambien dificulta la practica de esta teorıa el hecho de que para que se desarrolle
correctamente es necesaria una participacion muy activa del alumno y con la clara in-
tencion de aprender, un aspecto que puede conseguirse en cursos superiores pero que se
complica a medida que nos encontramos con cursos de alumnos mas jovenes.
Por ello, centrandonos en la materia de las Matematicas, de cara a la actividad fun-
damental de la misma, la resolucion de problemas es de especial interes adoptar enfoques
desde distintos niveles de profundidad con el fin de que todos los alumnos lleguen a buen
puerto, empezando por aquellos que presenten mayores dificultades para que ası vean
recompensado el esfuerzo realizado, se sientan mas motivados y, a partir de ahı, ir au-
mentando progresivamente el nivel apurando al maximo su margen de mejora. Tambien
contribuiremos a producir un mayor interes por parte de los alumnos si prestamos un poco
de atencion introduciendo apuntes de tipo historico, si es posible, al comienzo o durante
el desarrollo de nuestras unidades.
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3. UNIDAD DIDACTICA.
Antes de comenzar con el contenido de la unidad repasare los aspectos fundamentales
que observe y recogı tanto del centro en el que realice las practicas como de los alumnos
a los que iba dirigida.
El centro es el IES Tomas Mingot de Logrono y estuve bajo la tutela de Nuria Martınez
Bustamante, profesora de matematicas en cursos tanto de ESO como de Bachillerato,
ademas de tutora del grupo A de 1o de ESO, entre los dıas 13 de Febrero y 7 de Abril de
2012.
3.1. CONTEXTO GENERAL DEL CENTRO.
El Instituto de Educacion Secundaria TOMAS MINGOT, de Logrono, se instituyo en
el ano 1988 para atender a la poblacion estudiantil de la zona sur de la ciudad.
El nombre TOMAS MINGOT se le otorgo en el ano 1991 casi coincidiendo con la inau-
guracion del edificio que se construyo como sede de centro en memoria de un Catedratico
de Instituto de esta ciudad que trabajo para desarrollar la educacion y la cultura en
el aula y fuera de ella y que, con su apoyo institucional como concejal responsable del
area educativa en el Ayuntamiento logrones, impulso el nacimiento de este Instituto y lo
respaldo en sus primeros anos de andadura.
El edifico fue ampliado en 1996, para acomodarlo a las exigencias de la Educacion
Secundaria Obligatoria y a las previsiones de alumnado al incorporarse los alumnos de 1o
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de Secundaria.
La tipologıa de la poblacion del entorno es de clase media trabajadora con buena
calidad de vida, y la cantidad de inmigrantes en la zona es escasa no habiendo problemas
de integracion.
Sin embargo la realidad del IES es bien diferente, ya que tiene colegios de Primaria
adscritos del centro de la ciudad que aportan alumnado inmigrante. Es el caso del colegio
de Primaria Vuelo Madrid-manila, con gran cantidad de alumnado inmigrante.
Si por las caracterısticas de la zona, el nivel de inmigracion no deberıa ser alto, las
cifras indican lo contrario. Pues el ındice de alumnado extranjero en todo el IES esta en un
21 %, disparandose en los cursos inferiores de la Secundaria obligatoria, alcanzado valores
del 35 % con un total de 27 nacionalidades.
3.2. LOCALIZACION DEL CENTRO.
El Centro se encuentra en el corredor sur, en la calle Siete Infantes de Lara, zona
natural de expansion de Logrono. En la misma zona se encuentran otros Centros de
Educacion Secundaria como son: IES DUQUES DE NAJERA, IES COSME GARCIA,
y al lado del Centro de primaria Siete Infantes de Lara, adscrito al IES y de reciente
creacion, lo que nos da una idea clara de la juventud de la zona y por consiguiente de
poblacion con ninos en edad escolar.
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3.3. FUNCIONAMIENTO DEL CENTRO.
En el IES se imparten 6 clases diarias de lunes a viernes en horario de 9:00 a 14:50.
Cada clase tiene una duracion de 50 minutos y entre ellas los alumnos disponen de 5
minutos para el cambio de clase si procede, de lo contrario el alumno debe permanecer
en el aula. Ademas, un recreo de 30 minutos, entre las 3 primeras y las 3 ultimas clases,
en el que los alumnos de Bachillerato podran salir del Centro y volver despues del recreo,
mientras que los alumnos de Secundaria deberan permanecer dentro de las instalaciones.
Como mas adelante mencionare, existen programas de compensacion educativa (Com-
pensatoria), se trata de cursos paralelos a los que van los alumnos con un desfase curricular
de 2 anos para recibir una atencion mas personalizada. Este programa esta incluido en
el Plan de atencion a la diversidad del Centro, que tambien incluye los programas de
Diversificacion y Acnees.
3.4. EQUIPAMIENTO.
Las aulas de docencia usual, ademas del equipamiento ordinario (pizarra, mesas,...),
disponen de taquillas individuales con candado, pantalla y proyector instalado en el techo.
Sin embargo ninguna dispone de ordenador propio, por ello el uso de los proyectores se
realiza utilizando alguno de los ordenadores portatiles de que disponen los departamentos.
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3.5. INSTALACIONES.
29 Aulas para impartir docencia teorica.
4 laboratorios.
1 aula de plastica.
1 aula de musica.
2 aulas de medios informaticos.
1 aula de audiovisuales.
2 aula-taller de tecnologıa.
1 gimnasio.
1 biblioteca con unos 4000 volumenes aproximadamente.
12 departamentos didacticos.
6 despachos.
1 sala de profesores.
2 salas de visitas.
1 aula de usos multiples (hasta 90 personas).
1 cafeterıa-bar.
10
1 despacho para el Centro de informacion de alumnos (CIA).
3.6. ALUMNADO.
El IES cuenta con 63 profesores y 10 personas de administracion y servicios. El total
de 650 alumnos esta repartido en los siguientes grupos:
1o de ESO 5 GRUPOS
2o de ESO 4 GRUPOS
3o de ESO 4 GRUPOS
4o de ESO 4 GRUPOS
1o de BACHILLERATO 4 GRUPOS
2o de BACHILLERATO 4 GRUPOS
3.7. PROGRAMAS Y PROYECTOS EDUCATIVOS:
Los Programas y proyectos en los que actualmente trabaja el Centro son los siguientes:
UTILIZACION Y MEJORA DE BIBLIOTECAS ESCOLARES.
PLAN DE APRENDIZAJE PERMANENTE (COMENIUS).
PROGRAMA ”GLOBE”.
P.R.O.A.
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CENTRO DE INFORMACION DE ALUMNOS.
DESAYUNOS SALUDABLES.
ESCUELAS ASOCIADAS A LA UNESCO.
LEER Y SONAR.
NAVEGANDO JUNTOS.COM.
PROGRAMAS INTERNACIONALES (INTERCAMBIOS).
3.8. DESCRIPCION DE LOS GRUPOS CLASE.
Con caracter general los grupos con los que he trabajado son de un buen nivel academi-
co, pero centrandome en los grupos en los que desarrolle mi unidad didactica.
3.8.1. 1o ESO A
Este es un grupo que esta formado por un total de 28 alumnos. De ellos, 2 son AC-
NEES y por tanto no estan con el resto en las clases de matematicas. Una chica nueva
se incorporo durante las dos ultimas semanas de mis practicas aunque tuvo una ausencia
bastante alta en las clases. Tambien hay 3 repetidores cuyo comportamiento es dispar:
una chica es algo habladora y presenta bastantes retrasos en el horario pero no entorpece
la clase, otra de las chicas tiene un comportamiento muy bueno y el chico es callado y
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apenas participa si no se le obliga. En cuanto a alumnos extranjeros tengo 2, uno de ellos
es repetidor. En general es un grupo muy trabajador y de un buen nivel tanto academico
como humano, es participativo y casi nada hablador. Por estos motivos la practica docente
se vio bastante facilitada.
3.8.2. 1o ESO E
De este grupo estoy con 23 alumnos, pero en el grupo original hay alumnos que en
matematicas acuden a las clases de Compensatoria. Hay 5 alumnos extranjeros de los
cuales 2 se muestran mas pasivos que sus companeros. De nuevo es un grupo que trabaja
bastante bien, en casos concretos se obtienen muy buenas notas. Muy participativo y a la
vez muy hablador, a veces habıa que parar la clase para conseguir silencio.
3.8.3. CARACTERISTICAS PSICOPEDAGOGICAS Y
PSICOSOCIALES.
En estos grupos, al ser de primer curso (11-12 anos), estan en pleno proceso de empezar
a producirse cambios en su fısico a los que deban adaptarse. Sin embargo en general y
sobre todo los chicos no han notado significativamente dichos cambios, ası que todavıa no
muestran ese comportamiento alterado relacionado con estos cambios fısicos y sexuales
que empiezan a producirse. Por el contrario algunas de las chicas sı que han comenzado
este proceso de cambio en su cuerpo, incluso a interaccionar con el sexo opuesto. En
cuanto al nivel de instruccion general de la clase puedo decir que es bastante bueno
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para su edad, como ya he dicho antes, se trata de un grupo que trabaja y no da ningun
problema, acatan las normas del Centro y tienen buen comportamiento. Todavıa no han
desarrollado un pensamiento abstracto sino que utilizan uno mas mecanico y operacional.
En el grupo A un alumno ha tenido que abandonar temporalmente el Centro por motivo
de una delicada operacion de desvıo de columna, asistiendo a clase hasta pocos dıas antes
de la misma. Siempre se le ha visto sonriente, feliz y sin ningun impedimento o lastre para
un aprendizaje como el de sus companeros. En el grupo E hay un alumno al que le falta
una mano, pero ese aspecto no le impide ni mucho menos participar y preguntar cuando
no entiende algo. Es de las personas que mas dudas preguntan, de hecho.
3.8.4. CONDICIONAMIENTOS SOCIOCULTURALES.
Lo primero y principal es que no he observado ningun conflicto entre alumnos relacio-
nado con el tema de pertenecer a diferentes culturas. Y ningun alumno lleva prendas de
ropa diferentes al resto de companeros. En mi caso ademas no tenıa ocasion de ver si se
agrupaban de esa manera en los recreos, desde luego en clase el ambiente es muy positivo
entre alumnos nacionales y extranjeros, estan muy integrados. Partiendo de eso, sı que
varios alumnos de procedencia extranjera se han visto perjudicados. Han sido muchos los
casos en los que la familia de estos chicos y chicas ha decidido pausar los estudios de sus
hijos en el Centro, para viajar a sus respectivos paıses de procedencia por temporadas de
mas de un mes. En principio es muy probable que siga habiendo plaza en el Centro tras
su regreso, a pesar de la normativa de que no se guardan plazas pasado un margen de
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tiempo de 15 dıas. No obstante estos chicos y chicas suelen pertenecer a programas de
inmersion linguıstica y demas proyectos ofertados por el Centro cuyo trabajo y avance se
pierde.
3.8.5. PRINCIPALES DIFERENCIAS INDIVIDUALES.
Las diferencias intelectuales son las que mas condicionan el proceso ensenanza apren-
dizaje. No ası las diferencias fısicas que como ya he mencionado antes en relacion a dos de
mis alumnos, no les impedıa para nada llevar un ritmo y un aprendizaje normales. En el
aspecto intelectual, como digo, me he encontrado con alumnos de todo tipo. Los alumnos
muy inteligentes, que entienden y aprenden con una rapidez mucho mayor a la de sus
companeros, para estos alumnos habıa que tener preparadas actividades de ampliacion
para mantenerlos motivados y no desaprovechar su potencial en la materia en cuestion.
El resto de alumnos seguıan un ritmo de aprendizaje mas normal y con las actividades
propuestas era suficiente para una correcta comprension. En mi experiencia de practicas
estas diferencias intelectuales se aprecian mucho mas en los grupos de Secundaria que
en los de Bachillerato, donde en general los alumnos poseen una inteligencia matematica
similar.
3.8.6. PROCESOS DE ENSENANZA-APRENDIZAJE.
En estos grupos nos hemos cenido a seguir el temario del libro de texto de su curso.
Todos los dıas se revisaban los cuadernos para ver si se han realizado los deberes y si se han
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tenido dudas aisladas o mas extendidas, ademas de controlar que se va adquiriendo una
buena presentacion y orden en el cuaderno. Posteriormente se resolvıan las posibles dudas
bien en la pizarra (si eran generalizadas) o bien puntualmente con el alumno (mientras a
los demas se les mandaba intentar algun nuevo ejercicio para que no estuvieran parados).
Despues se seguıa con la materia siguiendo mas bien un metodo de leccion magistral con
ejemplos y continuas preguntas haciendo participar a los alumnos para comprobar que se
va entendiendo todo desde el principio. Finalmente se realizan individualmente algunos
ejercicios del libro o inventados que pongan en practica lo que se ha explicado y se dejan
deberes para la clase siguiente. A la hora de calificar se les valorara tanto el examen de
tema como la realizacion de los deberes y la actitud en clase.
3.9. UNIDAD DIDACTICA: Magnitudes proporcionales. Por-
centajes (1o ESO)
En este curso se han estudiado ya los conceptos de fraccion equivalente y de por-
centaje. En esta unidad se perseguira afianzar y ampliar los conocimientos sobre estos
conceptos y utilizarlos para introducir el de razon, proporcion y regla de tres; ası como
de las relaciones que guardan entre ellos.
Se pretendera que los alumnos vean de forma clara las magnitudes directamente propor-
cionales. Hacer ver a los alumnos la gran cantidad de situaciones reales en donde aparecen
estos conceptos y utilizarlos de forma aplicada a la resolucion de problemas que pueden
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presentarse en la vida cotidiana.
3.9.1. OBJETIVOS.
1. Reconocer si dos razones forman una proporcion para distinguir si dos magnitudes
son proporcionales o no, ya sea directa o inversamente.
2. Aplicar la regla de tres a la resolucion de problemas sencillos de la vida cotidiana.
3. Usar los tantos por ciento y aplicarlos a problemas reales.
3.9.2. COMPETENCIAS.
1. Reconocer las relaciones de proporcionalidad en distintos sistemas, ası como la po-
sibilidad de representarlas como porcentajes.
Ademas de la Matematica, se corresponde con las competencias basicas:
Competencia en el conocimiento y la interaccion con el mundo fısico.
Tratamiento de la informacion y competencia digital.
Competencia social y ciudadana.
2. Saber calcular magnitudes directamente proporcionales a traves de reglas de tres, y
aplicarlas a sistemas reales.
Ademas de la Matematica, se corresponde con las competencias basicas:
Competencia social y ciudadana.
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Competencia para aprender a aprender.
3. Ser capaz de calcular porcentajes, resolviendo problemas reales en los que se em-
pleen.
Ademas de la Matematica, se corresponde con las competencias basicas:
Tratamiento de la informacion y competencia digital.
Competencia para aprender a aprender.
Autonomıa e iniciativa personal.
3.9.3. CONTENIDOS.
1. Razon entre dos numeros.
2. Proporciones.
3. Propiedad fundamental de las proporciones.
4. Magnitudes directamente proporcionales.
5. Razon de proporcionalidad.
6. Metodo de reduccion a la unidad.
7. Regla de tres simple directa.
8. Relacion entre porcentaje, razon y numero decimal.
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9. Porcentaje de una cantidad.
10. Cantidad total a la que corresponde un porcentaje.
11. Relacion entre porcentaje y regla de tres simple directa.
12. Aumentos porcentuales.
13. Disminuciones porcentuales.
3.9.4. ESTRATEGIAS DE INTERVENCION Y ADAPTACIONES CURRI-
CULARES.
Durante las sesiones se dispone de ejercicios y problemas de ampliacion para aquellos
alumnos que presentan mas altas capacidades que el resto de la clase y que ası puedan
seguir interesados y mas motivados con ejercicios mas acordes a su nivel que los propuestos
como basicos.
3.9.5. METODOLOGIA.
En cada sesion se procede de forma similar, despues de corregir los deberes y resolver
dudas de los contenidos ya vistos, se prosigue con la introduccion de nuevos contenidos a
la vez que se proponen ejercicios y problemas para evaluar la correcta comprension de los
mismos. Antes de terminar la sesion proponer deberes para la siguiente clase propiciando
ası un habito de estudio o al menos de repaso en casa. En el aspecto de resolucion de
problemas se hara hincapie en la lectura comprensiva del enunciado; analizar los datos
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que se piden y los que se tienen; pensar si la solucion tiene sentido; y sobre todo reducir
problemas de datos largos y complicados a problemas con cantidades mas sencillas para
despues generalizar.
3.9.6. SESIONES.
1. Razon y Proporcion numerica.
Los alumnos conocen las fracciones equivalentes, ası que se explica el concepto
de proporcion como la igualdad entre dos razones o fracciones equivalentes.
Los alumnos ya conocen “producto de medios igual a producto de extremos”.
Y ahora lo utilizamos como una forma de comprobar si cuatro numeros forman
una proporcion. Ası los alumnos pueden ver que las razones y proporciones
sirven para comparar datos.
Comentamos los diferentes terminos que componen una proporcion y tratamos
de calcular algun termino desconocido de la misma.
Ejercicios planteados en clase:
- (2.)Comprueba si son ciertas estas proporciones.
• 712
= 67
• 1325
= 13132525
- (4.)Calcula el valor de las letras en las siguientes proporciones.
20
• 615
= 8x
• 615
= z+350
• 615
= y10
• 615
= 2t−1
Ejercicios de ampliacion: 33, 39, 60 y 87.
Ejercicios de deberes: 26, 27, 31, 35, 37, 38 y 75-77.
2. Magnitudes Directamente Proporcionales.
Se trabaja sobre el concepto de razon de proporcionalidad y su utilizacion para
comparar magnitudes.
Para que los alumnos entiendan bien el significado de magnitudes directamente
proporcionales utilizamos las palabras doble, triple, mitad,... en lugar de mas
y menos.
Se utiliza la razon de proporcionalidad para completar tablas de proporciona-
lidad directa.
Ejercicios planteados en clase:
- (6.)Razona si son directamente proporcionales.
• La altura de un arbol y la longitud de su sombra.
• El numero de obreros y el tiempo que tardan en construir un puente.
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- Completa la siguiente tabla que relaciona magnitudes directamente propor-
cionales, e indica la razon de proporcionalidad.
Magnitud 1 1 2 8
Magnitud 2 7 28
Ejercicios de ampliacion: 89.
Ejercicios de deberes: 28, 44 y 85.
3. Calculo con Magnitudes Directamente Proporcionales. Reduccion a la Unidad.
Para el metodo de reduccion a la unidad se utiliza una tabla de proporcio-
nalidad directa donde alguno de los terminos sea 1 y se resuelve a partir de
ahı.
Ejercicios planteados en clase:
- (8.)Pablo compra 3 bocadillos por 2,52 euros.
• ¿Cuantos bocadillos podra comprar con 20 euros?
• ¿Cuanto costaran 7 bocadillos?
- La razon entre los litros de gasolina que consume un coche y los kilometros
andados es 7,1100
¿Cuantos kilometros se pueden hacer con 60 litros?
- Para alimentar a 5 caballos durante 4 dıas, se necesitan 60 kilogramos de
pienso.
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• ¿Cuantos kilogramos de pienso se necesitan para alimentar a 7 caballos en
ese mismo tiempo?
• ¿Cuantos dıas se podra alimentar a los 5 caballos con 150 kilogramos de
pienso?
Ejercicios de ampliacion: 88.
Ejercicios de deberes: 49, 71, 72 y 86.
4. Regla de Tres Simple Directa.
Hacer ver que resolver un problema mediante una regla de tres simple directa
es lo mismo que ya hemos hecho con proporciones igualando los productos de
medios y extremos.
Para aclarar mejor el esquema que representa una regla de tres, proponemos
utilizar palabras tanto en filas como en columnas que nos ayuden a entender
que es cada termino. Por ejemplo, mas adelante en porcentajes, utilizar las
palabras “parteτ “todo”para referirnos a magnitudes que se corresponden con
un porcentaje cualquiera y con el 100 % respectivamente.
Ejercicios planteados en clase:
- (10.)Una maquina fabrica 4000 clavos en 5 horas.
• ¿Cuanto tiempo necesitara para hacer 10000 clavos?
• ¿Cuantos clavos se fabrican en 7 horas?
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• Si un dıa solo funciona 3 horas, ¿cuantos clavos fabrica?
- (11.)Con 200 kilogramos de harina se elaboran 250 kilogramos de pan.
• ¿Cuantos kilogramos de harina se necesitan para hacer un pan de 2 kilo-
gramos?
• ¿Cuantos panecillos de 150 gramos se podran hacer con 500 kilogramos de
harina?
- Un padre reparte 200 euros entre sus hijos, siendo el dinero que reciben
directamente proporcional a sus edades. Si tienen 12, 18 y 20 anos. ¿Cuanto le
corresponde a cada uno?
Ejercicios de ampliacion: 11 y 22.
Ejercicios de deberes: 48
5. Porcentaje o Tanto por Ciento.
Empezamos escribiendo el tanto por ciento como una fraccion en la que el
denominador es 100.
Practicamos el calculo de un porcentaje utilizando el producto por una fraccion
o el producto por numeros decimales.
Vemos la relacion que hay entre porcentaje, razon y numero decimal.
Ejercicios planteados en clase:
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- (12.)Indica el porcentaje expresado por las siguientes razones y numeros de-
cimales.
• 2100
• 99100
• 0,007
• 0,27
- (13.)Encuentra la razon y el numero decimal equivalentes a cada uno de los
siguientes porcentajes.
• 70 %
• 95 %
• 1 %
• 0.09 %
Ejercicios de ampliacion:
Ejercicios de deberes: 40, 41 y 42.
6. Calculo con Porcentajes.
Introducimos ejemplos cotidianos como la rebaja o el IVA de una cantidad.
Utilizamos la regla de tres simple directa para calcular porcentajes.
Explicamos como al trabajar con fracciones, la palabra “de.equivale a una mul-
tiplicacion.
25
Ejercicios planteados en clase:
- Una bote de mayonesa tiene un 75 % de grasa. ¿Cuantos gramos de grasa hay
en 1,2 kilogramos de esta mayonesa?
- (16.)Unos ciclistas han recorrido 45 kilometros de una etapa que tiene 180
kilometros. ¿Que porcentaje de la etapa han recorrido?
Ejercicios de ampliacion: 50, 52, 67 y 69.
Ejercicios de deberes: 30, 51 y 53-57.
7. Problemas de Porcentajes
Hacemos ejemplos para resolver problemas de incrementos y disminuciones.
Primero calculando el incremento/disminucion y aplicandolo a la cantidad
apropiadamente despues. Y mas adelante repetir el ejemplo en un solo paso.
Ejercicios planteados en clase:
- Calcula la cantidad que resulta despues de aplicar los siguientes aumentos a
6800 euros.
• 20 %
• 93 %
• 40 %
• 4 %
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- Andres compra un coche cuyo precio de fabrica es 9000 euros. A ese precio
hay que anadirle un 18 % de I.V.A.
• ¿Cuanto dinero le descuentan?
• ¿Cual sera el precio final del coche?
- Mis padres me han dado 50 euros. Me he gastado un 40 % de ese dinero en
ropa y un 15 % de lo que me quedaba en golosinas.
• ¿Cuanto me he gastado en cada cosa?
• ¿Que porcentaje de lo que me dieron me he gastado?
- ¿Cual sera el precio que hemos de marcar en un artıculo, cuya compra ha
ascendido a 180 euros, para ganar al venderlo el 10 %?
Ejercicios de ampliacion: 23, 74, 90 y 91.
Ejercicios de deberes: 58, 59, 61 y 62.
3.9.7. EVALUACION.
Criterios de Evaluacion:
1. Distinguir si dos razones forman una proporcion o no. (Objetivo 1)
2. Calcular los terminos que faltan en una proporcion. (Objetivo 1)
3. Identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales. (Objetivo 1)
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4. Resolver problemas utilizando la reduccion a la unidad y reglas de tres simples,
directas e inversas. (Objetivo 2)
5. Saber relacionar el porcentaje con su razon y con su numero decimal, ası como
calcular porcentajes de cantidades, problemas con porcentajes y su relacion
con la regla de tres simple directa. (Objetivo 3)
En la tabla siguiente se muestra la relacion entre los criterios de evaluacion pro-
puestos y las preguntas establecidas para el modelo de examen de este tema (en
anexo).
Preguntas Criterios
1 3, 4
2 5
3 3,5
4 3, 4
5 5
6 1, 2
Como y Cuando evaluar:
Como evaluacion inicial se realizaron preguntas sueltas a proposito de que es una
magnitud, decir si dos magnitudes son o no son proporcionales y que entienden por
porcentaje de una cantidad. Se realizara una evaluacion formativa atendiendo a la
28
observacion diaria de su correcto trabajo y participacion en la clase, mas concreta-
mente y mediante preguntas entre las explicaciones, comprobaremos si los alumnos
atienden y si despejan sus posibles dudas preguntando al profesor lo que no entienda
(30 % de la calificacion final en la unidad). Ademas al final del tema y en calidad
de evaluacion sumativa, se realizara una prueba escrita que supondra un 70 % de la
calificacion de la unidad.
Atencion a la diversidad:
En estos grupos hay dos tipos de alumnado, los de nivel medio y los de nivel alto.
No olvidemos que los alumnos de nivel mas bajo acuden al curso de Compensatoria.
Ademas en estos grupos las diferencias entre los alumnos no son excesivamente
significativas ası que a todos los alumnos se les evaluara y calificara igualmente,
aquellos que por su mayor nivel realicen mas actividades de ampliacion que el resto
se les tendra en cuenta en el redondeo de la nota final.
Comentarios:
No se ha realizado la prueba escrita en ninguno de los dos grupos de Secundaria por
terminar las unidades justamente un dıa antes de las vacaciones de Semana Santa.
Sin embargo la unidad se desarrollo por completo y las sesiones segun lo previsto
en el grupo A y con una sesion de retraso en el grupo E.
Recursos:
29
• Libro de 1o de ESO. Editorial SM.
• Pizarra y tiza.
3.10. REFLEXION Y CONCLUSIONES FINALES.
Finalizada mi etapa de practicas en el IES Tomas Mingot de Logrono, puedo decir que
estoy encantado con la experiencia vivida, tanto alumnos como profesores me han acogido
como uno mas y me he sentido una pieza importante en el tiempo que he estado. Se me
ha hecho muy poco tiempo, creo que es en estas practicas donde mas se puede aprender
sobre esta profesion y solo 8 semanas resultan muy poco.
He aprendido de mi tutora a llevar una clase de ESO y Bachillerato ademas de poder
observar el trabajo que hay detras.
He estado presente en las reuniones con la jefa de estudios de 1o y 2o de ESO y he
podido apreciar problemas relacionados con el entorno familiar de los alumnos, sobre todo
los extranjeros, y como eso influye mucho en su formacion.
A pesar de que en los grupos en que he estado ha habido bastante homogeneidad,
gracias a las reuniones de tutores o a las visitas de algunos padres, he podido comprobar
que hay diferencias importantes entre los alumnos de una misma clase (como se organizan
en casa, como estudian, o que intereses tienen). Por todo ello hay que conocer bien a cada
alumno y ası intentar motivarlo lo mejor posible de cara a la asignatura, no basta con
dominar la leccion.
30
4. PROYECTO DE INNOVACION:
La proporcionalidad numerica y sombras.
Tecnicas motivadoras en el proceso ensenanza-aprendizaje de las Matemati-
cas u otras areas.
4.1. DATOS SOBRE EL PROYECTO. INTRODUCCION.
Se ha observado con caracter general que el estudio de la matematica resulta poco
atractivo para los alumnos, los cuales muestran una falta de ilusion preocupante. No
conseguimos nada obligando simplemente a estudiar o realizar ejercicios ya que solo se
consigue que vean las matematicas como algo tedioso que esperan quitarse de en medio
rapidamente y de cualquier forma. El camino hacia un buen aprendizaje pasa por intentar
ilusionarles de tal forma que sean ellos mismos los que sientan esa curiosidad que sentimos
los que conocemos este mundo.
El objetivo de este proyecto es mostrar las matematicas fuera de lo estrictamente
curricular, enfocandolas hacıa intereses mas arraigados al alumnado aprovechando ası sus
propios gustos para motivarles en beneficio de todos. De este modo conseguiremos unas
matematicas diferentes, mas ludicas y relacionadas con la vida cotidiana que permitiran
no solo atraer a alumnos que ven las matematicas aridas e inutiles sino ademas despertar
mayor interes en los alumnos que ya muestren curiosidad e interes por ellas.
31
4.2. JUSTIFICACION DEL PROYECTO.
1. La mayorıa de los alumnos muestra desinteres por el estudio de las matematicas.
2. Los metodos de ensenanza-aprendizaje habituales no proporcionan la motivacion
necesaria para que muchos alumnos sientan curiosidad por el tema y se impliquen
con la materia.
3. Los alumnos no ven la gran utilidad y aplicaciones que tienen las matematicas en
la vida real fuera del aula de ensenanza.
4. Existen formas mas eficaces para motivar el aprendizaje de los alumnos y que estan
basadas en sus propios gustos.
En base a lo anterior y durante el desarrollo del tema de proporcionalidad numerica de
1o de ESO, la actividad que planteamos consiste en la realizacion de un juego-concurso que
se desarrollara fuera del aula, y en el que los alumnos tendran que resolver, por equipos,
problemas relacionados con la proporcionalidad numerica. En el concurso se premiara la
habilidad de los alumnos a la hora de resolver los problemas y tambien su cooperacion
con los componentes de su grupo.
4.3. OBJETIVOS.
1. Facilitar el interes de los alumnos por los contenidos relacionados con las magnitudes
proporcionales.
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2. Potenciar la capacidad de resolucion de problemas de proporcionalidad numerica.
3. Que los alumnos se vean obligados a investigar y a desarrollar la capacidad de pen-
samiento para resolver un problema en el que intervienen magnitudes directamente
proporcionales y cuya resolucion no es trivial.
4. Potenciar determinadas habilidades o estrategias generales (competencia comunica-
tiva, razonamiento, reflexion creativa,...)
5. Ensenar a aprender a los alumnos ya que con esta actividad se pretende en cier-
ta medida que los alumnos adquieran cierta autonomıa a la hora de asimilar los
conceptos.
6. Despertar el interes por el manejo y el calculo de proporciones mediante el formato
de concurso de la actividad y la subsiguiente recompensa ofrecida.
7. Que los alumnos valoren la utilidad del uso de proporciones numericas como herra-
mienta util para la sociedad.
8. Divertirse haciendo matematicas fuera del aula del centro.
9. Fomentar el aprendizaje de tecnicas cientıficas mediante la realizacion de un juego
por equipos que permita una ensenanza mas motivadora, alternativa y dinamica.
33
4.4. DESCRIPCION DEL PROYECTO. INNOVACION.
Este proyecto esta dirigido a la mejora del proceso educativo proponiendo una mo-
dalidad alternativa al aprendizaje. Busca despertar la curiosidad por aspectos de la pro-
porcionalidad numerica en los alumnos, pudiendo ampliarse en cursos posteriores cuando
se introduzca el concepto de semejanza. Tambien posee una componente asociada a la
interaccion social ya que al realizarse la actividad en la calle puede resultar atractiva para
la gente que la vea.
En cuanto a su contribucion al proceso educativo, desarrolla la competencia linguısti-
ca ya que los alumnos deben comunicarse entre sı para realizar la actividad y ademas
deberan redactar correctamente el desarrollo de la misma. Por descontado que se trabaja
la competencia matematica ya que se requieren conocimientos relacionados con aspectos
matematicos como la proporcionalidad numerica, geometrıa, etc. Tambien se trabaja la
competencia social y ciudadana al tratarse de una activad en grupo. Al mismo tiempo, se
mejora la competencia en autonomıa e iniciativa personal debido al formato de la activi-
dad, ya que en ella los alumnos deben proponer ideas originales a sus companeros para
superar el reto al que se enfrentan. Por ultimo se desarrolla tambien la competencia en
el conocimiento y en la interaccion con el mundo fısico pues se intenta que los alumnos
apliquen los conocimientos adquiridos a situaciones reales como la medicion de un edificio
por metodos indirectos.
Como modalidad alternativa de aprendizaje, se busca animar al alumno a que adquiera
34
nuevas destrezas proponiendole un juego-concurso en el que si tiene exito recibira una
recompensa, y esto es algo que resulta poco frecuente dentro de los modos de aprendizaje
tradicionales en el aula. Ademas todo ello proporciona un nuevo enfoque en el proceso de
ensenanza-aprendizaje.
4.5. METODOLOGIA.
Se trata de un concurso en el marco de un periodo lectivo (durante varios dıas) en el
que participan todos los alumnos de la clase. En el se pretende que los alumnos investiguen
en equipos de 4 o 5 como calcular, mediante procedimientos relacionados con la propor-
cionalidad numerica o ideados por ellos mismos, la altura de un edificio o cualquier otra
cosa de la calle que no se puedan medir directamente (como una farola, un monumento,
una iglesia, etc.).
Los procedimientos propuestos por los docentes variaran en funcion de los conocimien-
tos matematicos de los alumnos del curso en el que nos encontremos, adaptandose al nivel
correspondiente; tratandose en nuestro caso de 1o de ESO podremos utilizar procedimien-
tos como la medida de la sombra del objeto o realizar medidas sobre una fotografıa del
objeto contrastado con otros objetos de medidas conocidas (un miembro del grupo, un
ladrillo de la fachada, etc). La tarea del profesor consistira en proponer a los alumnos, si
las requieren, diferentes pistas que sugieran metodos adecuados para la realizacion de la
actividad (desde fichas explicativas hasta herramientas mas concretas de medicion).
35
Los participantes van obteniendo puntos atendiendo a 4 criterios: originalidad del
metodo seguido, precision de la medicion, velocidad de ejecucion del metodo y calidad de
la presentacion del desarrollo del procedimiento. El equipo que mas puntos obtenga sera el
ganador. El premio para los ganadores podrıa consistir en una mejora de sus calificaciones
aunque tambien se puede contemplar la idea de otorgar premios en metalico o trofeos.
Para establecer la puntuacion en el criterio de originalidad se valorara el metodo
utilizado por los participantes y si estos han requerido de alguna pista para llevarlo a
cabo. Para puntuar bajo el criterio de velocidad de ejecucion y sera necesario dar una
medicion razonable (cometiendo a lo sumo un error inferior al 10 % en la medicion del
objeto) y lo que se tendra en cuenta sera el tiempo invertido con lımite hasta el final
de la clase. Finalmente, para puntuar de acuerdo a los criterios de precision y calidad
de presentacion se valorara la mejor aproximacion y el desarrollo por escrito del proceso
seguido respectivamente.
Con el fin de favorecer que los alumnos sigan buscando nuevas alternativas y estrategias
de medicion basadas en sus conocimientos, se les permitira realizar tantas participaciones
como ellos quieran usando metodos diferentes. La puntuacion que se les otorgara sera la
mejor de las que obtuvieron en cada apartado.
36
4.6. EJEMPLOS DE ACTIVIDADES.
Algunas de las actividades que podemos pedir a los equipos de alumnos durante el
transcurso de los dıas dedicados al concurso son los siguientes:
1. Medicion de la altura de un objeto que proyecta una sombra sobre el suelo que sea
accesible para los alumnos.
Para empezar con algo basico propondremos medir la altura de un arbol cuya sombra
sobre el suelo podamos medir facilmente.
Los alumnos deberan medir tanto altura como sombra de otro objeto accesible para
ellos y resolver el problema mediante regla de tres simple directa aplicando sus
conocimientos de proporcionalidad.
2. Medicion de la altura de un objeto en ausencia de su sombra.
Por ejemplo el colegio, pero si no tenemos sombra... ¿Como mediremos la altura del
colegio? Se les plantea esta cuestion para ver si son capaces de encontrar nuevas
herramientas basadas en proporcionalidad numerica y alternativas a la medicion de
sombras.
En caso de que se atasquen en la busqueda de la respuesta se les aconsejara que lo
intenten midiendo trozos mas pequenos y accesibles del objeto pedido.
Tambien existe la posibilidad de, mediante el uso de una camara, tomar una imagen
del objeto junto con uno de ellos y proceder de nuevo por regla de tres ya que las
37
medidas en la imagen son directamente proporcionales a las de la realidad.
3. Medicion de la altura de un objeto sabiendo lo que ha variado su sombra en dos
momentos puntuales.
Por ejemplo, medir la altura de un puente si el extremo de su sombra a las 17:00
esta a 3 metros del mismo extremo a las 18:00.
Con esta actividad podemos asegurarnos de que los alumnos tengan organizarse
para quedar fuera del horario lectivo para ”hacer deberes.al aire libre, ya que para
dar respuesta a este problema deberan ver lo que varıa la sombra de algun objeto
al alcance de ellos entre dichas horas y aplicar la correspondiente proporcionalidad.
4.7. RESULTADOS Y CONCLUSIONES.
Finalizada la realizacion de las actividades se tomaran las puntuaciones de cada una
de ellas en base a los 4 criterios que hemos mencionado y la puntuacion final del equipo
sera la maxima posible. Con estas puntuaciones elaboraremos una clasificacion final que
utilizaremos para hacer un reparto proporcional de una cantidad elegida de puntos que
se sumaran a su nota final de la evaluacion. La cantidad de puntos a repartir variara en
funcion del numero de equipos que tengamos, por ejemplo para una clase de 30 alumnos
en la que haremos entre 6 y 8 grupos podemos repartir tambien en total entre 6 y 8 puntos.
Ademas aprovecharemos la fiesta de final de curso o fiesta del centro mas proxima para
entregar premios como trofeos a los que hayan obtenido mejores puntuaciones y obsequios
38
para todos los participantes.
5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA.
Libro de texto ESFERA MATEMATICAS 1 ESO
De ISABEL DE LOS SANTOS, JOSE LUIS GONZALEZ Y CARLOS RAMON
LACA.
EDICIONES SM.
PEC del IES TOMAS MINGOT de Logrono.
Pagina WEB del IES TOMAS MINGOT: www.iestomasmingot.edurioja.org
Proyecto de Innovacion Pedagogica HYPATIA
IES BARRIO BILBAO 2005-2006.
39
6. ANEXOS.
40
1
1 Si 100 m 2 de solar cuestan 73900 euros. ¿Cuánto costarán 108 m 2? ¿Cuántos m 2 se podrán comprar con50991 euros?
2 Completa la siguiente tabla calculando el 75 % de las cantidades indicadas:
3 Un litro de gasóleo cuesta hoy 0'906 € pero mañana subirá un 1,2%. ¿Cuánto se pagará mañana por 20 l degasóleo?
4 Si 10 obreros tardan 8 días en hacer un trabajo, ¿cuánto obreros serán necesarios para realizar el mismotrabajo en 5 días?
5 En una clase hay 32 alumnos pero hoy no han asistido el 6,25%, ¿cuántos alumnos han faltado?
Examen Magnitudes Proporcionales y Porcentajes. 1º de ESO
200 400 500 800 1000
6 Calcula el valor de x en las siguientes proporciones:
a) x
2535 ====
b) 1620
42x ====
++++
c) 4
14x7 ====
d) 40
1x56 −−−−====
2
