TRABAJO FINAL DE GRADO

Atractores Extraños

Una mirada a la

Dimensión topológica, Dimensión

Fraccionaria

Aplicaciones

Fractales en Medicina

Profesor

Malerba Diego Hernán.

Agradecimientos:

Desde ya agradezco a los profesores por el apoyo y el asesoramiento

dado para la realización del trabajo y a mi familia que me empujo a superar esta instancia,

muchas gracias a todos.

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Objetivos generales

Describir los atractores, atractores extraños a través de distintas dimensiones, la dimensión

topológica y fraccional.

Objetivos Específicos

Definir las dimensiones, topológica y fraccional, caracterizando la geometría fractal que

existe en la naturaleza; en los organismos vivos sobre todo. ¿Cómo se utiliza la geometría

fractal en la ciencia médica, en el diagnostico de enfermedades?

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Introducción

El siguiente documento presenta una breve descripción y análisis de la dimensión

matemática, dentro de las cuales nos ocuparemos de la topológica y fraccional, la

dimensión fractal o atractores extraños y sobre todo sus aplicaciones en medicina, y la

naturaleza humana.

La medicina ha tenido un enorme desarrollo tecnológico, alcanzando un profundo nivel en

el conocimiento durante el presente siglo. Para que se diera este proceso, un elemento

fundamental fue la intervención de distintas disciplinas en aplicaciones específicas para

resolver necesidades difíciles de enfrentar. Las matemáticas, han estado involucradas, sin

duda, en estos avances, desde la aplicación de fórmulas sencillas (como el cálculo de la

superficie corporal), hasta el procesamiento digital de imágenes de resonancia magnética.

A pesar de este protagonismo, ellas han sido para la mayoría de los médicos, un tema

espinoso, árido y poco comprendido, mientras que para muchos otros, se ha convertido en

una de sus más valiosas herramientas.

El concepto de dimensión puede ser considerado de gran importancia en la matemática,

porque es fuente de comprensión de otros conceptos de la disciplina misma, pero a la vez

de difícil conceptualización, además considerando que dentro de la matemática se utiliza

de diversas maneras dependiendo de la aérea en el cual se esté trabajando. Entonces, de

manera informal, se puede decir que la dimensión es la forma como se ven las cosas, el

punto de vista como se presenta un fenómeno o acontecimiento en un contexto

determinado. Más estrictamente se puede decir que es unas de las propiedades del espacio;

en matemática y en física se usa un concepto de dimensión más abstracto, donde se utilizan

espacios con cuatro o incluso con un número infinito de dimensiones. Se habla también que

la dimensión se refiere al grado de libertad de movimiento de un objeto en un espacio

determinado, es decir el número de direcciones ortogonales diferentes que se pueden tomar.

De hecho, en la geometría euclidiana las únicas dimensiones que permiten son las que

corresponden a números enteros, pero si nos referimos a la geometría fractal ya no

podemos hablar de dimensiones enteras.

En conclusión el concepto de dimensión tiene un significado matemático muy amplio, y

por lo tanto consta de una pluralidad de definiciones. La medición de formas fractales ha

obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos

clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el

concepto de longitud no está claramente definido.

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Conceptos importantes en la geometría fractal

Las características más destacadas de esta geometría o que de alguna forma la define es la

autosimilitud o autosemejanza y una dimensión extraña.

En este capítulo trataremos de caracterizar estos dos conceptos importantes, asi podremos

entender mas el concepto de fractal.

Autosimilitud o autosemejanza

Este concepto lo vamos a describir o ejemplificar con algo ya conocido para los que alguna

vez sean interesado en el tema; tomemos un triangulo con su superficies o sea su relleno,

unamos los puntos medios de los lados del triángulo (en la parte interior del mismo)

eliminando la parte del medio o central del triángulo, en los tres triangulo que quedan

repetimos dicha construcción (unimos los puntos medios y eliminamos la parte central); así

sucesivamente en todos los triángulos que van quedando, logrando una sucesión de figuras,

donde la última de las figuras expuesta se denomina (ARENAS, 2011) “ El triángulo de

Sierpiński ” fig.1.

Fig. 1.

S1 S2 ………….. Sn

(ARENAS, 2011)

Por supuesto que no es correcto hablar de última figura ya que la construcción anterior es

infinita, pero la sucesión de la figura (Sn)n tiende a una “figura limite”.

Definiéndola formalmente como conjunto en espacio métrico, como la intersección de la

familia de {Sn}n; donde llamamos S al triangulo de Sierpiński; o sea

𝑆 ≔ ⋂ 𝑆𝑛∞𝑛=1

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Si observamos más detalladamente esta sucesión podemos ver que son copias más chicas

de él triángulo original, esta propiedad es denominada autosimilitud o autosemejanza, esta

es una de las propiedades esenciales de los fractales. En nuestro ejemplo podemos ver si lo

agrandamos en diferentes lugares podemos observar que hay copias del triangulo original

pero en diferentes posiciones, las cuales también tienen subcopias de sí mismas, así

sucesivamente, lo cual no importa donde se observe siempre se va encontrar copias

reducidas de la figura original, en consecuencia “el todo está formado por varias copias de

sí mismo, solo que reducidas y puestas en diferentes posiciones”; de otra manera el todo es

igual a sus partes, salvo por un factor de escala. (Sonia., 1999)

Otro claro ejemplo de autosemejanza o autosimilitud, es la carpeta de Sierpiński, es muy

parecida al ejemplo anterior en su construcción per partimos de un cuadrado, con la parte

interna, se divide en nueve cuadraditos iguales y se descarta el cuadrado central, después a

los ocho cuadrados que quedan se repite sucesivamente el mismo proceso, quedando

formado la siguiente sucesión, M0, M1, M2, M3, ……………Mk

Fig. [ S.M. Sabogal & G. Arenas] M0 M2 M3 M4 ……… Mk

En cuanto a la autosemejanza, es claro que la figura está formada por copias a escala de sí

misma, la cual se define como conjunto de la siguiente manera:

𝑀 = ⋂ 𝑀𝑘∞𝑘=0 . Pero se ve que la carpeta “Llena un poco más el espacio que el triangulo

de Sierpiński”

Otro claro ejemplo de autosimilitud es “La Curva de Koch”; la cual se va formando

partiendo de un segmento To, el cual se divide en tres partes iguales, la parte central se

sustituye por dos segmentos de igual tamaño formando una poligonal donde si

agregaríamos el segmento retirado quedaría un triángulo equilátero; donde quedaría

formado la figura o poligonal T1, este proceso se repite con cada segmento de la poligonal

indefinidamente quedando la sucesión (Tj) j e N, el “límite” de la figura seria lo que

llamamos la Curva de Koch.

T0 T1 (Tj) j e N

(Alfaro, Manuel, & Alberto., 2010)

Claramente se ve que la figura a la que se llega es una clara copia maxilar de las anteriores,

es autosemejante a la original, tal como sucedió en las otras figuras que pusimos de

ejemplo.

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No nos olvidemos de otro ejemplo clásico de autosimilitud donde la figura limite son

copias maxilares de el conjunto original, el cual se describe y se denomina de la siguiente

manera “El conjunto de Cantor”

Tomamos un intervalo unidad cerrado C = [0; 1] lR, dividimos el intervalo en tres

partes iguales, despreciamos el intervalo del medio quedándonos con solo los intervalos

cerrado de los extremos, C11 = [0; 1/3] y C12 = [2/3; 1]; cada intervalo de longitud 1/3,

luego cada intervalo se lo divide en tres partes nuevamente quedándonos solo con los

intervalos cerrados de los extremos, C21 [0; 1/9] C22 [2/9; 1/3] C23 [2/3; 7/9] C24 [8/9; 1];

cada uno de de longitud 1/9.

Ahora bien si continuamos así indefinidamente tomando cada intervalo y dividiéndolos en

tres y tomar solo los extremos cerrados, en la etapa n-ésima habremos obtenido 2n

intervalos cerrados Cnj, J = 1, 2, ……., 2n cada uno de ellos de longitud 3-n. (ARENAS,

2011)

Fig. Descripción de la construcción del conjunto de Cantor*

Para n = 1, 2, … sea ⋃ 𝐶𝑛𝐽2𝑛

𝐽=1

Aunque la figura limite no es tan vistosa como el triángulo de Sierpiński, pero sin embargo

constituye un ejemplo muy importante en las matemáticas; en particular en análisis y

topología.

Dimensión extraña

Está claro que para una gran parte de las personas es casi intuitivo, de acuerdo con lo

aprendido o lo que le enseñaron en la escuela primaria o secundaria, que cuando hablamos

de las figuras o entes geométricos más comunes tinen dimensiones 0; 1; 2 o 3. Así el punto

o su conjunto tiene dimensión 0, la línea tiene dimensión 1, una figura en plano un

cuadrado o triangulo tendrían una dimensión 2, y para la dimensión 3 estaríamos en

presencia de una esfera o un cubo. Ahora bien ¿Qué pasaría si digiéranos que un ente tenga

dimensión 0,693; o que tenga 1,0234? Esto le sonaría algo extraño, pero si hablamos del

“El triángulo de Sierpiński” su dimensión es de 1,584 aproximadamente, más preciso

ln3/ln2.

Intentaremos aclarar un poco lo antes mencionado, cebemos saber que existen varios tipo

de dimensiones, por ejemplo la topológica, la de Hausdorff y por supuesto la dimensión

fractal. Analicemos algunas figuras, tanto para el segmento, como el cuadrado se los puede

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subdividir de diferentes formas y siempre vas a lograr obtener la figura original revirtiendo

las subdivisiones que hicimos anteriormente, en conclusión si dividimos al segmento en n

partes congruentes, para volver a tener la figura original tenemos que usar un factor de

ampliación n; si lo hiciéramos con el cuadrado ya sería algo distinto se podría en general

descomponer en n2 copias de si mismo, con un factor de ampliación de n para lograr la

figura original. Para el cubo seria n3 copias y factor n para obtener la figura original.

(ARENAS, 2011)

En consecuencia se puede deducir que en todos los casos se verifica nD = N donde; “n” es

el factor de ampliación, D es la dimensión de la figura y N es el número de copias de la

figura. En consecuencia para calcula la dimensión del triángulo de Sierpiński tenemos

DS= ln 𝑁

ln 𝑛=

ln 3

ln 2= 1,584

Pero debemos aclarar lo siguiente, que no todos los fractales tienen su dimensión no entera,

ejemplo la versión de el triangulo de Sierpiński en R3, que se denomina el tetraedro de

Sierpiński. Donde el cálculo sería DS=ln 4

ln 2= 2, donde la cantidad de copias de sí mismo es

4 y el factor de ampliación es de 2; su construcción geométrica es muy similar al del

triángulo. (Alfaro, Manuel, & Alberto., 2010)

La duda está ahora donde radica la diferencia entre la geometría fractal y la Euclídea#;

bueno en que los objetos con características fractales su dimensión topológica es

estrictamente menor que la dimensión de Hausdorff, por ejemplo; el segmento las dos

dimensiones coinciden en dimensión 1, la del cuadrado coinciden dimensión 2: en cambio

para el triángulo de Sierpiński para la dimensión topológica es 1 y para la de Hausdorff es

ln 3/ ln 2, y para la pirámide ocúrrelo mismo que el triángulo la dimensión topológica es 1

y la de Hausdorff es 2.

De esta manera podemos afirmar que los fractales son figuras autosimilares y que su

dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que su dimensión topológica (Gerald,

2002)

*Cantor Georg (1854-1918). Matematico aleman de origen ruso. Se le considera el creador de la llamada teoria de

conjuntos y de la teoria de numeros transfinitos. Su obra impulso una revisión en profundidad de los fundamentos de las

matematicas. [S.M. Sabogal & G. Arenas]

#Geometría Euclídea: llamada así porque la postulo Euclides en el libro “Los Elementos”, geometría clásica

del plano afín real y plano tridimensional.

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Capitulo 1 Dimensión Topológica.

La dimensión topológica es fácil de comprender ya que nos habla de la conectividad de los

puntos del objeto de medida. En los Elementos de Euclides, ya se define, implícitamente y

de forma inductiva, el concepto de dimensión topológica euclidiana. Se dice que una figura

es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera

está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies.

Profundizando un poco más y desde un punto de vista topológico sabemos que la

circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de

superficie (pues es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua),

ahora bien, desde un punto de vista métrico no son la misma curva, ya que la circunferencia

y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no

encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de

las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y

analizar, por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo, qué

hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. En el

ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión

topológica.

Definición de Dimensión topológica.

La dimensión topológica tiene valores enteros -1; 0; 1; 2; 3;……; por ejemplo, las rectas y

curvas tienen dimensión 1, los planos y superficies tienen dimensión 2, los sólidos como

los cubos tienen dimensión 3 y así sucesivamente, si el objeto tiene dimensión n se

necesitan n variables independientes para describir un entorno en cada punto del objeto.

Dimensión inductiva.

La dimensión cero es caracterizada por la existencia de una base abierta y cerrada para la

topología. Pero la pequeña dimensión inductiva generaliza esto.

La pequeña Dimensión inductiva:

1. Definición; Sea (X; τ) es un espacio topológico, tal que

i. (X; τ) tiene dimensión ≤ -1, si y solo si X = Ø

ii. Sea a ε N, y definimos un espacio (X; τ) de dimensión ≤ k para todos los

enteros k ≤ a-1. Entonces, se dice que el espacio (X; τ) tiene dimensión ≤ a, si

tiene una base β, tal que para cada B ε β, la frontera de B, ósea fr(B) tiene

dimensión ≤ a-1.

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A partir de esto se deduce que si el espacio (X; τ) tiene dimensión ≤ k y b es un entero tal

que k ≤ b, entonces (X; τ) tiene dimensión menor e igual que b.

2. Dimensión de espacios topológicos: Sea (X; τ) un espacio topológico.

i. Si X = Ø, su dimensión es -1.

ii. Si el espacio (X; τ) tiene dimensión ≤ n y no posee dimensión ≤ n-1, entonces se

dice que X tiene dimensión n y lo denotamos como dimtop(X) = n.

iii. Si para todo n ε N y la dimensión de X no sea ≤ n, entonces X posee dimensión

infinita. dimtop(X)= ∞

Estas definiciones desprendes los siguientes ejemplos.

a) (X; τdis) es dimtop (X) = 0

b) (Q; τus) es dimtop (Q) = 0

c) (R; τus) es dimtop (R) = 1

Y podemos enunciar los siguientes lemas;

Lema 1: En (X, τ), las siguientes son expresiones equivalentes

i. dimtop (X) ≤ k

ii. Para cada x ε X y U ε Nx , existe un V ε τ, tal que x ε V ≡ U y

dimtop (fb (V)) ≤ k-1.

Lema 2: Sea (X; τx), e (Y; τy) son espacios homeomorfos, tienen dimensiones

iguales dimtop (X) = dimtop (Y).

De estos lemas se verifica que,

a) En (X; τind), es dimtop(X) = 0

b) En (Qm; τus), es dimtop(Qm) = 0

c) En (Im; τus), es dimtop (Im) = 0

d) En (ϱ, τus), es dimtop(ϱ) = 0

e) En (R2, τus), es dimtop(R2) ≤ 2

También podemos enunciar lo siguiente,

Proposición 1: Sea (X; τ) un espacio topológico, donde se verifica que

i. Si W ≡ X, y la dimtop (X) ≤ k, entonces dimtop (W) ≤ k;

ii. Si la dimtop (X) ≤ k, existe un subespacio B ≡ X, con dimtop (B) = k-1;

iii. Si la dimtop (X) ≤ k, para cada entero n, tal que -1≤ n ≤ k existe un

subespacio Bn ≡ X, con dimtop (Bn) = n.

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Proporción 2: para el caso especial de espacios métricos (X; d) se enunciar lo

siguiente

i. Si H ≡ X, tiene dimtop (H) ≤ k si y solo si para cada x ε H y N ε Nx, existe

un V ε τd tal que x ε V ≡ N y dimtop (H ∩ fb (V) ) ≤ k-1;

ii. Si X = A Ų B, A y B con dimensiones topológicas finitas, entonces la

dimtop(X) ≤ dimtop(A) + dimtop(B) +1;

iii. Si A y B son cerrados disjuntos, entonces la

dimtop(A Ų B) = max{dimtop (A); dimtop(B)};

iv. Si X es conexo con más de un punto entonces dimtop(X) ≤ 1;

v. Si G ≡ X y es contable, entonces tiene dimtop(G) = 0.

Dadas las proposiciones anteriores podemos verificar o deducir los siguientes ejemplos,

i. La esfera (Sm,τus), tiene dimensión menor e igual que “m”;

ii. El espacio euclideo (Rn; τus), tiene dimensión ≤ n;

iii. Si W ≡ Rn y �̇� = Ø en (Rn; τus), entonces la dimtop(Rn) = dimtop(W);

iv. dimtop([0:1]n)= dimtop(Rn).

Algunos de los hechos básicos sobre la dimensión topológica se proporcionan en los

siguientes resultados. Donde probaremos algunos de los anteriores teoremas.

Teorema: Si S y T son homeomorfos entonces tienen dimensiones iguales, o sea

dimtop(S) = dimtop (T).

Demostración: La demostración se hará por inducción sobre dimtop(S). Si la dimtop(S) =

-1, entonces S es vacio, y Como T es homeomorfo a S, entonces también es vacio, y por

lo tanto dimtop (T) = -1.

Supongamos que el teorema es considerado para espacios métricos S, con dimtop(S) ≤ k,

y ahora consideramos un espacio S con dimtop(S) = k+1. Sea H: S→T un

homeomorfismo. Hay una base B para los conjuntos abiertos de S consiste en conjuntos

abiertos de B con dimtop (£B) ≤ k. Ahora si {H(B) : B ε B}es una base para los

conjuntos abiertos de T. Si B ε B, entonces H [£B] = £H [B].

La restricción de H para £B es un homeomorfismo. Por hipótesis inductiva,

H[£B] = £H[B] ≤ k. entonces vemos que hay una base para los conjuntos abiertos de T

que consiste en conjuntos con un límite de dimensión menor que k. Esto muestra que

dimtop(T)≤ k+1. Pero si dimtop(T)≤ k, entonces la hipótesis inductiva mostraría dimtop(S)

≤ k, lo cual es falso. Entonces dimtop(T)= k+, por lo tanto por inducción se ve que si

dimtop(S) es un entero, entonces dimtop(S) = dimtop(T). (Gerald, 2002)

Si dimtop(S) = ∞, entonces dimtop(T) = k, lo cual es falso para cualquier entero, entonces

dimtop(T)=∞. Para cualquier caso se tiene que dimtop(S) = dimtop(T). (Gerald, 2002)

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Teorema: Sea X un espacio métrico, e Y un subconjunto de X. Entonces

dimtop(Y)≤dimtop(X).(Demostración en el anexo)

Teorema: Sea X un espacio métrico no vacio separable. Entonces la dimtop(X) = 0,

si y solo si X es homeomorfico a un subconjunto del espacio {0; 1}w.

(Demostración en anexo)

Lema 3.4.5. Sean S, T espacios métricos. Entonces dimtop(S x T) ≤ dimtop S + dimtop T

La Dimensión Inductiva Grande.

En la proposición 3.1.8, la dimensión de recubrimiento cero estaba caracterizada en

términos de una propiedad de separación. Una generalización de esto será considerada

a continuación.

Sean A y B conjuntos disjuntos de un espacio métrico S. Decimos que un conjunto L

⊆ S divide A y B sólo sí existen conjuntos abiertos U y V en S con U ∩ V = Ø, U⊇ A,

V ⊇ B, y L = S / (U U V) (ver figura 3.4.6.) Entonces la proposición 3.1.8 indica que

en un espacio S cero dimensional, cualquiera de los conjuntos cerrados disjuntos son

separados por el conjunto vacío. Nótese que un espacio S tiene ind S ≤ k sí y sólo si un

punto {x} y un conjunto cerrado B que no contiene a x puede ser separado por un

conjunto L con ind L ≤ k – 1. En realidad, hay un conjunto abierto básico U con x ε U

⊆ S \ B y L = ∂U queque separa {x} y B.

La dimensión inductiva grande es una dimensión topológica estrechamente relacionada

a la dimensión inductiva pequeña. Cada espacio métrico 5 se le asignará un elemento

del conjunto {-1; 0; 1; 2;……;∞}, llamado la dimensión inductiva grande de S, escrito

Ind S. (Gerald, 2002)

Para comenzar Ind Ø = -1. Luego, si k es un entero no negativo diremos que Ind S ≤ k

sí y sólo si cualquiera de dos conjuntos cerrados disjuntos en S pueden ser separados

por un conjunto L con Ind L ≤ k – 1.

Escribimos Ind S = k sí y sólo si Ind S ≤ k pero Ind S ≰ k-1. Escribimos Ind S = ∞, sí

sólo sí Ind S ≤ k es falto para todos los enteros k. La dimensión inductiva grande es

también llamada la dimensión Ĉech o dimensión inductiva fuerte.

Ejercicio 3.4.7. Mostrar que Ind R = 1.

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Ejercicio 3.4.8. Sea un espacio métrico. Entonces ind. S ≤ Ind. S

En espacios métricos generales, la dimensión inductiva grande y pequeña no son

necesariamente iguales. Pero en espacios separables lo son. Esto será demostrado

después. (Corolario 3.4.17) (Gerald, 2002)

Nótese que la proposición 3.1.8 tiene ahora la siguiente formulación: Cov S =0 sí y

sólo sí Ind S = 0. La proposición 3.1.11 indica que si S es separable, entonces Cov S =

O sí y sólo si ind S = 0 Entonces concluimos que las tres definiciones de cero

dimensional coinciden para los espacios métricos separables.

Hasta aquí hemos tratado de dar una definición al concepto de dimensión topológica

demostrando algunos teoremas de interés y conceptos útiles para el desarrollo; Ahora

definiremos el concepto de dimensión fractal.

Dimensión Fractalϯ

Sin entrar en una definición más formal anotaremos algunas características sobre los

fractales:

Los fractales tienen estructuras finas; es decir, que podemos encontrar las

estructuras con escalas arbitrariamente pequeñas.

Un fractal es demasiado irregular para ser descripto por la topología tradicional,

tanto local como globalmente.

La dimensión fractal es generalmente más grande que su dimensión topológica.

Su dimensión es no entera.

Tienen un perímetro infinito pero un área limitada.

Los fractales con frecuencia tienen una forma de auto-semejanza o auto-similitud.

Entonces los fractales son entes geométricos que tiene una dimensión por semejanza, la

dimensión fractal, estrictamente mayor que su dimensión topológica.

En general, los fractales son objetos matemáticos cuya principal peculiaridad es el ser auto-

similares, es decir, que a cualquier escala se puede observar la misma estructura.

Ϯ Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes

escalas.1 El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que

significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave

de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero

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Los fractales tienen, por lo tanto una cantidad infinita de detalle. Un fractal tiene tantos

puntos como todo el espacio tridimensional y tiene tal estructura en cada una de sus partes

(auto-semejanza).

En principio esta auto-similitud es infinita, pero sólo en el caso de los fractales

matemáticos. Los fractales naturales sólo presentan un número finito de “niveles” auto-

similares. Además, aunque parecidos no poseen una semejanza totalmente exacta. A esta

propiedad de invarianza estadística del escalado se le denomina auto-similitud estadística.

(Alfaro, Manuel, & Alberto., 2010)

Dimensión auto-semejante o auto-semejanza topológica.

Dado un espacio topológico S, se dice auto-semejante (topológicamente) si todo abierto

no vació contiene un subespacio homeomorfo a S.

Propiedades de auto-semejanza.

i. Si todo punto x ε S admite un sistemas fundamental de vecindades, cada una

de ellas homeomorfa a S, entonces S es autosemejante.

ii. Si S es autosemejante, |O| = |S| para todo O abierto no vacio de S.

iii. La autosemejanza es una propiedad topológica.

iv. La autosemejanza se hereda por semiabiertos (un subconjunto H de un

espacio topológico X, se dice semiabierto si existe O abierto en X, tal que O

⊆ H ⊆ �̅�, es decir un subespacio semiabierto de un espacio autosemejante,

es autosemejante.

v. Si {Sα}α es una familia de espacios autosemejantes, entonces el espacio

producto ∏ Sα𝛼 es autosemejante.

vi. Por general la autosemejanza no se preserva por subespacios, sumas ni

cocientes. (Gerald, 2002)

Demostración:

Las propiedades i, ii, iii, iv y v son inmediatas.

(iv) Sea X autosemejante, O un abierto en X y H O ⊆ H ⊆ �̅�, se probara que H es

autosemejante. Si O = Ø entonces H = Ø, por lo tanto H es autosemejante. Si O ≠ Ø,

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sea A∩H un abierto no vacio del subespacio H, es decir A es un abierto en X; sea x

ε A∩H, entonces A es una vecindad de x y x ε �̅�, luego A ∩ O es un abierto no

vacio de X. Sea entonces X’ homeomorfo a X y X’ ⊆ A ∩ O. Sea H’ ⊆ X’, tal que

H’ sea homeomorfo a H; como X’ ⊆ A ∩ O ⊆ A ∩ H, por consiguiente H’ ⊆ A ∩

H, lo que prueba que H es autosemejante. (Sonia., 1999)

(vi) Basta con considerar el subespacio S1 de R2, tal que S1 sea cociente del intervalo

[o;1], y la suma del intervalo con disco respectivamente.

Cabe destacar que el reciproco de la proposición (i) no se cumple, por ejemplo el

triangulo de Sierpinski; es autosemejante en virtud del corolario siguiente, un

atractor de un sistemas iterado de funciones (SIF) cuya contracciones son

inyectivas, es autosemejante. (Sonia., 1999)

La demostración es una consecuencia directa de las siguientes proposiciones; (i) El

atractor de un sistema iterado de funciones es un espacio autosimilar simbólico,

además si las contracciones del SIF son inyectivas entonces el atractor es un factor

invariante. (ii) todo factor invariante es autosemejante.

Demostración:

(i) Sea G un atractor de un SIF {X; w1; w2; ….;wn}; ƩN el espacio de codigos

asociado al SIF y la función ɸ: ƩN → G definida de la siguiente manera

ɸ(μ) = lim𝑛→∞

𝑤𝜇1° … . . °𝑤𝜇𝑛(𝑥); donde para cada código μ = μ1…… μn y para

cada x ε X. entonces G ≈ ƩN / ~; donde la relación ~ está definida por, x ~ y,

y sí sólo sí ɸ(x) = ɸ(y); entonces supongamos que x ~ y, y sea i ε Ʃ. Se

tiene:

x~ y → ɸ(x) = ɸ(y)

→ lim𝑛→∞

𝑤𝑥1° … . . °𝑤𝑥𝑛(𝑝) = lim𝑛→∞

𝑤𝑦1° … . . °𝑤𝑦𝑛(𝑝)

→ wi ( lim𝑛→∞

𝑤𝑥1° … . . °𝑤𝑥𝑛(𝑝)) = wi ( lim𝑛→∞

𝑤𝑦1° … . . °𝑤𝑦𝑛(𝑝))

→ lim𝑛→∞

𝑤𝑖° 𝑤𝑥1° … . . °𝑤𝑥𝑛(𝑝) = lim𝑛→∞

𝑤𝑖° 𝑤𝑦1° … . . ° 𝑤𝑦𝑛(𝑝)

→ ɸ (ix) = ɸ (iy)

→ (ix) ~ (iy).

Ahora, si las contracciones son inyectivas, entonces cada una de las implicaciones

anteriores es reversible. Obsérvese además que A es de Hausdorff por ser un espacio

métrico. (Alfaro, Manuel, & Alberto., 2010)

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Existen espacios autosimilares simbólicos que no son atractores de SIF, y tampoco son

autosemejantes como el espacio de Sierpinski. (Gerald, 2002)

En el siguiente resultado se establecen condiciones suficientes para que un espacio

autosimilar simbólico resulte autosemejante. Se recuerda que Ʃ es un espacio finito discreto

y Ʃ* denotará el conjunto de todas las palabras finitas sobre el alfabeto Ʃ.

Demostración: (ii) Sea V un factor invariante, V ≈ ƩN / ~, donde ƩN / ~ es de Hausdorff y

para todo x; y ε ƩN y para todo i ε Ʃ, donde x ~ y sí y sólo sí ix ~ iy. Sea T un abierto no

vacio de ƩN/~ y K: ƩN → ƩN /~ la función cociente. Entonces K-1(T) es un abierto no vacio

de ƩN, y por autosemejansa de este último se sabemos que existe una palabra w ε Ʃ*, tal que

el subespacio [w) de todos los códigos de las palabras que empiezan con w está contenido

en K-1(T) y es homeomorfo a ƩN bajo el homeomorfismo h: ƩN → [w); definido por h(x)

= wx. Se tiene que K ([w)) ⊆ T, luego basta mostrar que K ([w)) ≈ ƩN/~. Sea h~(x): ƩN/

~ → K([w)) definida por h~(x) = [h(x)]. Por las propiedades que cumple la relación ~, h~

queda definida y es inyectiva. Claramente h~ es subreyectiva y si K| denota la restricción de

K a [w) se verifica fácilmente que K| h= h~ K con lo cual h~K es continua (porque K| y h lo

son). Puesto que K es una función cociente, entonces h~ es continua. Finalmente como ƩN/~

es compacto y K([w)) es de Hausdorff, se concluye que h~ es un homeomorfismo. (Alfaro,

Manuel, & Alberto., 2010)

Ejemplos:

a. A considerar el SIF {𝑅, 𝑤1 =1

3𝑥; 𝑤2 = 1}, su atractor es A= {

1

3

𝑛|𝑛 =

1; 2; … . } ⋃{0}, como se ve no es autosemejante por la propiedad (iii) que se

enuncio arriba. Sin embargo los clásicos conjuntos llamados fractales se

pueden obtener mediantes contracciones inyectivas, con lo cual resultan ser

autosemejantes en nuestro sentido topológico.

b. En el plano complejo el atractor de SIF.

{𝐶; 𝑤1(𝑧) =1

2𝑧, 𝑤2(𝑧) =

1

2𝑧 +

1

2; 𝑤3(𝑧) =

1

2𝑧 +

1

2𝑖} es el llamado

triángulo de Sierpinski, claramente corresponde a un SIF con contracciones

inyectivas en C, por lo cual es autosemejante.

*El conjunto invariante de un sistema iterado de funciones contractivo se lo

denomina atractor del sistema. (Sonia., 1999)

16

Dimensión de Hausdorff.ϯ

En los apartados anteriores hemos mencionado a conjuntos Hausdorff sin definirlos

correctamente, en este apartado no ocuparemos más que nada de su dimensión más

estrictamente. (Gerald, 2002)

Medida de Hausdorff.

Antes de definir la medida de Hausdorff, anotaremos varias definiciones que serán

de utilidad para definir dicha medida.

Sea A un conjunto cualquiera, tenemos que f es un σ-álgebra de subconjuntos de A, donde

una medida sobre f es una función Z: f →[0; ∞], que cumple con lo siguiente:

i. Z(Ø) = 0

ii. Si Bn es una sucesión de conjuntos disjuntos, entonces

𝑍(⋃ 𝐵𝑛𝑛𝜀N ) = ∑ 𝑍(𝐵𝑛)∞𝑛=1

Además si P denota el conjunto de partes de A, una medida exterior sobre A es una función

Z*: P → [0; ∞] que satisface las siguientes condiciones:

i. Z*(Ø) = 0;

ii. Si B ⊆ C, entonces Z*(B) ≤ Z*(C)

Teorema del método I: Sea X un conjunto, L una familia de subconjunto de X que

lo cubren. Sea V: L → [0; ∞] una función. Entonces existe una única medida

exterior Z* sobre X tal que

i. Z*(A) ≤ V(A) para A ε L

ii. Si D* es otra medida exterior sobre X con D*(A) ≤ V(A) para A ε L,

entonces D*(B) ≤ Z*(B) para todo B ⊆ X.

Una medida exterior Z* sobre un espacio métrico (X; ρ), se llama medida exterior métrica

sí y sólo sí Z*(A U B) = Z*(A) + Z*(B) para conjuntos A y B cuya distancia es positiva. Se

dice que es finita Z*< ∞. (Alfaro, Manuel, & Alberto., 2010)

Método II. Sea T una familia de subconjuntos del espacio métrico S. suponga que

para todo x ε S y α > 0, existe A ε T con x ε A y la dim(A) ≤ α. Suponga que H: T

→ [0; ∞] es una función sobre conjuntos dadas. Sea Tα {A ε T: dim(A) ≤ α}.

17

Sea Z*α una medida exterior sobre X definida por el método I por H y Tα, se define

𝑍𝛼∗ (𝐸) = lim

𝛼→0𝑍𝛼

∗ (𝐸) = 𝑠𝑢𝑝𝛼>0𝑍𝛼∗ (𝐸) de esta forma Z* es una medida exterior. A

esta construcción se la denomina método II.

Medida de Hausdorff. Sea un espacio métrico S y j un numero positivo. La

medida exterior de Hausdorff j-dimensional es la medida exterior definida por

el método II, a partir de la función H(A) = dim(A)j, lo cual se denota por Hj. La

restricción a los conjuntos medibles es llamada medida de Hausdorff j-

dimensional, y se escribe Hj.

Por otra parte como Hj es una métrica exterior por ser construida por el método II, y

por el teorema del método I se puede dar una formula explicita de la definición.

Sea q un número positivo. El cubrimiento A es un q-cubrimiento sí y sólo sí el

diam(A) ≤ q para todo A ε A. En este caso se define: 𝐻𝑞𝑗(𝐹) = 𝑖𝑛𝑓 ∑ 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐴)𝑗

𝐴 ∈𝐴 .

Donde el infinito se toma sobre todos los q-cubrimientos numerables de A de F.

Obsérvese que si q1≤ q2 entonces 𝐻𝑞1𝑗

(𝐹) ≤ 𝐻q2𝑗

(𝐹) y finalmente de las definiciones

anteriores se tiene 𝐻𝑗(𝐹) = lim𝑞→0

𝐻𝑞𝑗(𝐹) = 𝑠𝑢𝑝𝑞>0𝐻𝑞

𝑗(𝐹) lo cual es la medida exterior

del conjunto F, ahora si F es finito o numerable, entonces Hj (F) = 0 para todos lo j > 0,

ya que se puede tomar el propio conjunto como un j-cubrimientos de diámetro igual a

cero. (Gerald, 2002)

Teorema. Sea F un conjunto de Borel; sea 0 < j > t, si Hj(F)<∞ entonces Ht(F) =0, si Ht < 0

entonces Hj(F) = ∞. (Demostración en el anexo)

Se pueden usar en los cubrimientos conjuntos abiertos, cerrados o hasta subconjuntos del

propio conjunto del que se le quiere calcular la dimensión de Hausdorff. Si un conjunto es

compacto, se pueden usar cubiertas finitas para calcular la dimensión del mismo. En

particular se puede asumir los cubrimientos usan solo subconjuntos de F. Además si F es

numerable, entonces Dim(F) = 0 y Dim(Rd) = d. también existen otras dimensiones

fractales que cumplen con las mismas propiedades. (Alfaro, Manuel, & Alberto., 2010)

Un fractal es un conjunto tal que ind(F) > Dim(F).

Ejemplos clásicos de la dimensión de Hausdorff.

a. La dimensión fractal de el conjunto Ew (el conjuntos de las palabras infinitas) bajo

la métrica 𝜌1/3 es ln2 / ln3.

18

b. La dimensión fractal de Ew bajo la métrica 𝜌1/2 es ln3 / ln2.

c. La dimensión fractal de el conjunto de cantor ϱ es ln2 / ln3.

d. La dimensión del triángulo de Sierpinski es a lo sumo ln3 / ln2.

Otros tipos de dimensiones,

a. La Dimensión de conteo o índice de entropía: Se F ⊆ Rd un subconjunto no vacio

acotado, N(F; ρ) el menor de los subconjuntos de diámetro menor que ρ que pueden

cubrir a F. se define

𝑑𝑖𝑚𝑐(𝐹) = lim𝜌→0

𝑖𝑛𝑓ln 𝑁(𝐹;𝜌)

−𝑙𝑛𝜌; 𝑑𝑖𝑚𝑐(𝐹) = lim

𝜌→0𝑠𝑢𝑝

ln 𝑁(𝐹;𝜌)

−𝑙𝑛𝜌, cuando estos límites

coincidan se le llamara dimensión de conteo de F y se denota dimc(F).

Hasta aquí hemos tratado de definir varios conceptos de dimensión topológica y dimensión

fractal o de Hausdorff, con el fin de dar sentido a los objetivos que propusimos al principio

y conocer más sobre los atractores extraños y sus propiedades. (Alfaro, Manuel, & Alberto.,

2010)

ϯ Felix Hausdorff: (8 de noviembre de 1868, 26 de enero de 1942) fue un matemático alemán que está considerado como

uno de los fundadores de la Topología moderna y que ha contribuido significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría

descriptiva de conjuntos, la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de funciones.

19

CAPITULO 2

Aplicaciones de los atractores extraños o fractales

Ciertos objetos naturales poseen un número finito de grados de autosimilitud, y pueden ser

considerados como fractales naturales. Bajo esta premisa, la geometría fractal ha ayudado

enormemente a explicar diversos fenómenos naturales tales como el curso de los ríos, la

formación de nubes, el crecimiento de las plantas, las cordilleras, la evolución de las

galaxias, el crecimiento poblacional, el funcionamiento de los huracanes, el ruido

electrónico y los atractores caóticos. Todos estos fenómenos comparten un principio

unificador: sus patrones generales se repiten a diferentes escalas dentro del mismo objeto.

Como ya hemos demostrados las estructuras fractales se manifiestan al realizar iteraciones

de ecuaciones simples o de sistemas de funciones; dando lugar a estructuras con

autosimilitud.

Observando con detalle, diremos que la característica común de las formas naturales, su

volumen, su tamaño, su perfil y sus relaciones métricas intrínsecas, ya sean perfiles

montañosos, árboles, vísceras o seres vivos en general es de naturaleza compleja entendida

la evolución como un camino hacia la complejidad. El sistema circulatorio de venas y

arterias, el árbol pulmonar, la red neuronal o la anatomía concreta del sistema renal

responden a una dimensión entre 2 y 3 (2,7 se establece como la longitud de las arterias) y

ese crecimiento interno determina una superficie exterior basada en la misma forma a

escalas diferentes de observación. (anatomía, 1998)

Actualmente numerosos estudios aplicados de anatomía demuestran una geometría fractal

por ejemplo de la vía aérea que se mantiene a distintas escalas con dimensiones fractales

entre 1,57 y 1,59. Los resultados coinciden con otros estudios realizados en la vía aérea

(sistema respiratorio), la superficie alveolar, la ventilación y la perfusión pulmonar.

Árbol bronquial o Sistema respiratorio

Uno de los sistemas más evidentes que posee la geometría fractal es el sistema respiratorio,

cuya función es distribuir un volumen inhalado (por la vía aérea), en una superficie de

intercambio (superficie alveolar), que se encuentra en una zona de volumen acotado (el

tórax). Sin embargo el diseño de un órgano no depende solo de su forma geométrica sino

también los ajustes de sus partes a su función. (Revista chilena de anotomía, 1998)

20

El diseño de un árbol bronquial de los mamíferos ésta asociado con un adecuado flujo de

gases a los alveolos, una mínima producción de entropía en la mecánica respiratorio y con

un mínimo costo de materia y energía.

Muchos científicos han mostrado gracias a la aparición de la geometría fractal que la

reducción del diámetro de los bronquios, la superficie alveolar y el flujo pulmonar

presentaban propiedades de este tipo de geometría.

(anatomía, 1998)

Los primeros estudios que se realizaron sobre las dimensiones del calibre de los bronquios,

este seguía una curva de tipo exponencial dn = d0 * 2-n/3; denominando dn como el diámetro

de una rama de tallo bronquial de n-generación y con d0 el diámetro inicial; además

posteriormente se encontró que esto estaba asociado a la acomodación de un máximo flujo,

con mínimo de volumen, mínimo disipación de energía y mínima producción de entropía.

Posteriormente se descubrió que los bronquios más allá de décima generación disminuyen

más lento que lo predicho por la curva exponencial, esto podría estar relacionado con la

transición desde una zona de transporte por convección a una zona de difusión pasiva, con

lo cual llevo a que se propusiera una alternativa un decaimiento según la ley de potencias

dn = An * n-u, modulado por An, que desviaciones periódicas en el factor de escala. Que

tiene una importante consecuencia un efecto de protección de errores durante el desarrollo

21

del pulmón, evitando que una anomalía en el calibre de un bronquio se propague o aumente

hacia el distal. (Revista chilena de anotomía, 1998)

Algunos científicos chilenos pudieron calcular las dimensiones del árbol bronquial de

varios mamíferos (Ratas, conejos y seres humanos) empleando varios métodos y en todos

ellos los resultados fueron los siguientes; en las tres especies estudiadas el árbol bronquial

se ramifica progresivamente en forma dicotómica ocupando el espacio con una dimensión

entre Df = 1,57 y Df = 1,59. La topología de la totalidad del árbol bronquial se conservo en

sus partes, lo que constituye una evidencia directa de su autosimilitud. Hubo leves

diferencias en las dimensiones cuando se analizaron diferentes proyecciones de un mismo

árbol; por ejemplo la dimensión fractal de la vía aérea Humana en la proyección frontal en

promedio Df = 1,55 y de la proyección oblicua Df = 1,62, en la rata la proyección frontal,

la oblicua y lateral Df = 1,54; Df = 1,62 y Df = 1,61 respectivamente; esto se debe a dos

posibles explicaciones, que se produjo una superposición al analizar una figura

tridimensional con figuras planas, o bien que los factores de escalas de generación de

bronquios más pequeños no operen en forma simétricas en todas sus direcciones. Esto es, la

geometría bronquial es más bien auto-afín y no de

autosimilar. (anatomía, 1998)

Fig. 1: Proyección oblicua derecha de una broncografía humana. (anatomía, 1998)

Las consecuencias de este tipo de geometría en el sistema respiratorio son numerosas.

Las más evidentes son el aumento de la relación área/volumen que permite optimizar el

intercambio de gases y la capacidad de la vía aérea de ocupar espacio mediante

ramificación, llegando rápidamente a la superficie alveolar. Otras de las consecuencias

22

son la heterogeneidad del flujo y ventilación y la capacidad de amortiguación de errores

en el desarrollo. (Med, jul.-sep. 2013)

Gracias a los modelos fractales de la organización de las uniones endoteliales

determinan la selectividad funcional del transporte de solutos a través de la red capilar

pulmonar.

Cabe destacar que muchos de estos estudios son hechos sobre proyecciones del árbol

bronquial y no disponen de medidas directas de las formas en el que el árbol ocupa el

espacio de tres dimensiones o espacio tridimensional. (anatomía, 1998)

Variabilidad de la frecuencia cardíaca

Un sistema nervioso autónomo posee dos ramas en fundamentales; el sistema nervioso

simpático y parasimpático; ambos sistemas deben estar en perfecto equilibrio para que la

persona se mantenga estable, ya que son sistemas complementarios.

Sistema nervioso simpático: Tiene como función principal la supervivencia del individuo

y por eso se activa en todas las situaciones donde el sujeto se encuentra en algún estado de

inminente peligro, muerte o estrés, como lo es una enfermedad.

Sistema parasimpático: Este sistema nervioso busca equiparar las acciones del sistema

nervioso simpático, es decir, su función es la conservación de energía, manteniendo al

organismo en un estado relajado, estado en el cual puede nutrirse y estar preparado para

afrontar situaciones estresantes futuras.

Variabilidad de las frecuencias cardiacas: Existen diversos eventos fisiológicos que

aportan a la complejidad del sistema nervioso autónomo. La variabilidad de la frecuencia

cardíaca (VFC) es uno de esos eventos y describe las variaciones de las frecuencias

cardíacas instantáneas y del intervalo R-R entre latidos, las oscilaciones presentes en ciclos

cardíacos consecutivos.

La señal R-R de la viabilidad de la frecuencia cardíaca, fluctúa de forma compleja. Como

respuesta de un sistema complejo, el ritmo cardíaco normal tiene características fractales, la

estructura del ritmo es autosimilar; al ser medidas a diferentes escalas temporales.

23

Existen varios métodos de medición de la viabilidad de la frecuencia cardíaca, tales como,

método en el dominio del tiempo, método en el dominio de las frecuencias y por índices

fractales. Estos últimos son los que nos interesan. (Goméz Chacón & Lopéz Gonzáles,

2011)

Análisis y extracción los índices fractales

A pesar de las señales biológicas que se analizan por ejemplo con el ECG, suelen ser

complejas, y se ha demostrado que constituyen a procesos no lineales, no estacionarios y no

equilibrados en la naturaleza, las herramientas para analizar este tipo de señales siguen

asumiendo linealidad, estacionalidad y condiciones de equilibrio. En estudios recientes

detectaron que las señales caóticas contienen cierta información que no puede ser extraída

con los métodos convencionales de análisis. El análisis fractal es unas de estas nuevas

técnicas para el análisis de estas señales caóticas, la cual se debe a la ausencia en el

procesado de la escala temporal.

Ya como se vio antes hay varios métodos de medición de las VFC, los métodos más vistos

son los siguientes, pero solo nos vamos a centrar más que nada el que utiliza fractales.

Método en el dominio del tiempo:

Es el método más simple con el cual se determinan ya sea la frecuencia cardíaca en

cualquier punto del tiempo o los intervalos entre los más complejos a los sucesivos

normales. Con este método los parámetros más frecuentemente calculados y analizados

son, el intervalo R-R medio, la frecuencia cardíaca media y la diferencia entre el mayor y

menor intervalo R-R, entre otros. Este tipo de análisis se puede hacer en forma estadística y

geométrica, en la primera se toma la serie de datos de un electrocardiograma que

habitualmente de 24 horas y se obtienen variables estadísticas, como la desviación estándar

del intervalo y la raíz cuadrada media de la varianza, y para la segunda, la serie de

intervalos se convierten en un patrón geométrico como la densidad de la distribución de la

duración de los intervalos y para la cual se realiza una grafica de Lorenz (Goméz Chacón &

Lopéz Gonzáles, 2011)

24

Método en el dominio de la frecuencia

La principal herramienta de este tipo de método es la densidad espectral de potencia (DEP),

la cual indica cómo se distribuye la potencia que tiene la señal en sus diferentes

componentes espectrales. DEP puede ser calculada con métodos paramétricos y no

paramétricos; siendo el primero el más sencillo de calcular solo requiere el cálculo de la

transformada de Fourier. Sin embargo el segundo, provee una forma más suavizada de

DEP, mayor facilidad en el procesado de la señal de DEP y una aceptable precisión de los

valores calculados en señales con pocas muestras.

Sin embargo los métodos mencionados anteriormente poseen limitaciones, en el primero

radica que solo se deben hacer comparaciones entre resultados obtenidos para cálculos de

ECG de igual duración; en el segundo el principal problema radica, es que en la señal de

larga duración a la que se aplica el método es no estacionaria debido a los mecanismos

responsables de mantener cierta frecuencia cardiaca no permanecen constantes durante todo

la grabación, lo cual hace que no quede bien definida. (Goméz Chacón & Lopéz Gonzáles,

2011)

Índices fractales

Para salvar los métodos anteriores y/o complementar los métodos de análisis anteriores, los

fractales permiten la detección de la autosimilitud intrínseca presente en una función

temporal aparentemente no estacionaria.

A continuación, se indican procedimientos adecuados para extraer los dos índices fractales

más comunes; mediante el método de análisis de fluctuaciones sin tendencias (DFA) y el

método de análisis de escalonamiento de la ley de potencia (ELP). (Goméz Chacón &

Lopéz Gonzáles, 2011)

25

Análisis de fluctuaciones sin tendencias

Las VFC contienen tendencias no lineales, como complejos ectópicos prematuros y otras

variaciones aleatorias.

Las principales ventajas de este método es que permite determinar la autosimilitud

intrínseca de una señal no estacionaria, eliminando o evitando los falsos rasgos de

autosimilitud generados por una tendencia extrínseca. (Goméz Chacón & Lopéz Gonzáles,

2011)

El procedimiento matemático para el cálculo se ilustra en la siguiente manera;

I. Se obtiene la señal de frecuencia cardiaca a partir de los intervalos de R-R entre

los latidos lo cual debe restarse su valor promedio ya que solo debemos analizar

la variación de la señal en el tiempo.

II. Se integra la función en el tiempo discreto de longitud N de VFC.

𝑦(𝑘) = ∑ [𝐵𝑖 − 𝐵𝑎𝑣𝑒]𝑘𝑖=1

III. Se divide la serie del tiempo integradas en ventanas de igual longitud n de

muestras, para cada ventana se calcula una recta mediantes tendencias mediante

mínimos cuadrados.

IV. Se elimina la tendencia de la serie de tiempo integrada, restando cada recta de

tendencia denominada yn(k) de la señal en su respectiva ventana y se calcula la

magnitud de la fluctuación para la señal resultante mediante la siguiente

ecuación:

𝐹(𝑛) = √1

𝑁∑ [𝑦(𝑘) − 𝑦𝑛(𝑘)]2𝑁

𝑘=1

Los pasos 3 y 4 se repiten incrementado los tamaños de las ventanas, entre el rango de la

observación fractal. De esta forma se obtiene la relación entre valor de RMS de la

fluctuación (F) y los tamaños de muestra por ventanas (n).

Al graficar en escalas el valor RMS de la fluctuación (F) contra el tamaño de muestras por

ventana (n), la pendiente de la recta aproximada por mínimos cuadrados de esta relación

corresponde al índice fractal llamado pendiente α obtenido del DFA.

26

Una relación lineal es una grafica bi-logarítmica indica la presencia de escalonamiento o

autosimilitud, por esto la grafica logarítmica que relaciona a F contra n se ajusta

linealmente por mínimos cuadrados, donde la pendiente de la recta corresponde al factor de

autosimilitud. (Goméz Chacón & Lopéz Gonzáles, 2011)

Análisis de escalonamiento de ley de potencias

Cuando una propiedad cuantitativa, q, se miden en cantidades de s (o con escalas s, o con

una precisión s), su valor depende de s según la expresión q = f(s). Cuando el objeto no es

un fractal se estima el valor de q mediante progresivas unidades pequeñas de medición de s

convergiendo a un valor. Cuando el objeto es un fractal, el valor de q no converge, pero

cumple con la relación de ley de potencia: q = p sβ donde p es un factor constante y β es el

exponente de escalado negativo, entonces al disminuir s, q aumenta sin límite alguno. La

densidad espectral de potencia, de la señal de R-R en escala bi-logarítmica presenta un

comportamiento inversamente proporcional a la frecuencia (1/f ), dicho comportamiento es

similar al definido anteriormente. (Goméz Chacón & Lopéz Gonzáles, 2011)

Según la ley de potencia, se puede escribir la función de frecuencia como: ELP = c f μ

En donde c es una constante, f es la frecuencia y μ es la pendiente de la recta de ajuste por

mínimos cuadrados de la grafica log(ELP) versus log (f ). O sea;

log(ELP) = log(c) + μ log (f ).

Este comportamiento de tendencias (1/ f ) caracteriza un rasgo de autosimilitud de la señal

de VFC y es muy importante resaltar que ambos lados de la ecuación son equivalentes

únicamente en la distribución estadística. Esta técnica se a empleado en registros de VFC

de corta duración, sobre frecuencias expectables de 0,03 a 0,1 Hz. (Goméz Chacón &

Lopéz Gonzáles, 2011)

27

Cáncer y el caos

El cáncer sigue las reglas del caos; así es posible detectar la aparición de tumores a través

de los fractales, porque ambos evolucionan de forma parecida.

La comprobación entre la teoría del caos y los procesos cancerígenos tiene una gran

importancia para profundizar en el conocimiento de la enfermedad, en la formulación de

diagnósticos y la elaboración de terapias. Los investigadores han descubierto y establecido

que el crecimiento de los tumores obedece a un algoritmo que produce imágenes fractales.

Los estudios más convencionales establecen que los tumores se comportan de forma lineal

o secuencial que se repite en todos los casos, pequeños cambios moleculares provocan que

células sanas se vuelvan cancerosas, este tipo de situaciones se desarrollan según modelos

estadísticos generalmente exactos. Sin embargo, estudios recientes han descubierto que los

tumores oscilan, es decir que su superficie cambia permanentemente a lo largo del tiempo;

la mayor parte del tiempo es esférico, pero luego varia en formas caóticas adoptando

aspectos impredecibles. Con la ayuda de algoritmos específicos confeccionados sobre estos

tumores, los investigadores han podido desarrollar ecuaciones de crecimiento sobre estos

procesos. De hecho, el cáncer tal como selo conoce sigue un comportamiento muchas veces

caprichoso; su crecimiento se puede interrumpirse sin causa aparente o por intervenciones

medicas que a veces funcionan y a veces no; lo que se muestra es que el humano se

desenvuelve entre el orden y el caos. (Revista chilena de anotomía, 1998)

Los procesos descubiertos mencionados con anterioridad se dieron gracias al análisis

multifractal. El análisis multifractal es una poderosa herramienta matemática que permite

caracterizar objetos complejos. Descomponen estructuras y descubre las relaciones que

mantienen entre sí sus diferentes componentes, al mismo tiempo permite posibles

evoluciones o comportamientos de estas estructuras. Aplicadas a los tumores, la técnica de

análisis multifractal permitió mejorar los parámetros de un núcleo cancerígeno y descubrir

que su desarrollo combinan fases estables y caóticas. El análisis multifractal determino

asimismo el mejor momento para aplicar terapias específicas cuando el tumor atraviesa su

periodo más caótico. (Goméz Chacón & Lopéz Gonzáles, 2011)

28

Lo que realmente hace este tipo de análisis es representar la complejidad de una forma

exacta y reproducible, gracias a esta herramienta, podemos describir en lenguaje

matemático estos objetos naturales animados. Los que evidencia que la analogía entre los

objetos geométricos descriptos por el ordenador y los tumores cancerígenos no es

superficial. Gracias a esta detección, se ha podido conocer la existencia de un cáncer antes

de que el tumor aparezca físicamente en el tejido cardíaco del paciente, lo que ha podido

mejorar sustancialmente el diagnostico precoz de esta enfermedad. También los mismos

investigadores han podido establecer que la dimensión fractal de un tumor puede ser

utilizada como medida objetiva en los estados preliminares del cáncer de colon y de útero.

(Med, jul.-sep. 2013)

Hasta acá vimos algunas de las aplicaciones de los atractores extraños o fractales en la rama

de la medicina, tanto como en las descripciones de los algunos órganos, así como también

en algunas de las enfermedades que los acogen, la teoría del caos o el uso de los atractores

extraños (fractales) han sido de mucha ayuda para develar los conceptos del cuerpo humano

que hasta ahora imposibles o difíciles de desentrañar con la geometría habitual. (Goméz

Chacón & Lopéz Gonzáles, 2011).

Cabe señalar que solo hemos mencionados algunas de las aplicaciones de esta rama en

medicina, quedaron varias importantes sin mencionar como por ejemplo; ¿Qué pasa en el

cerebro Humano, en el sistema circulatorio, las neuronas y sus ramificaciones, los huesos y

la osteoporosis, etc.? Claro está que solo hablamos en la rama de la medicina, esta

disciplina los fractales se están extendiendo por varias ciencias. (anatomía, 1998)

29

Conclusiones

Durante la realización de este trabajo nos hemos dado cuenta de la importancia de los

fractales. El campo de acción de los fractales no ha parado de ampliarse desde las

investigaciones de Mandelbrotϯ en los setenta. La forma en la que los fractales parecen

describir la naturaleza hace que se encuentren aplicaciones curiosas y dispares, como la

modelización de la evolución de valores en bolsa, la organización de nodos de redes de

computadores y en medicina, sobre todo en la posibilidad de la predicción de

enfermedades. Además, por más que se avance los fractales no dejan de tener posibilidades

para el desarrollo y la investigación, como por ejemplo, en la compresión de imágenes, en

la detección de virus fractales hasta la ramificación de determinados tumores malignos, por

lo que llegando a confirmarse la teoría y avanzando los estudios podrían curarse estos

tumores.

Por ejemplo; el Cáncer sigue las reglas del Caos. Así, es posible anticipar la aparición de un

tumor a través de fractales porque ambos evolucionan de forma parecida.

Científicos austriacos han descubierto este comportamiento del Cáncer según las reglas del

caos y que es posible anticipar su aparición y desarrollo mediante fractales construidos con

algoritmos específicos; las simulaciones informáticas y los tumores evolucionan de forma

parecida, uno en el mundo virtual, el otro enun organismo vivo. La comprobación de la

relación entre la Teoría del caos y los procesos cancerígenos tiene una gran importancia

para profundizar en el conocimiento de la enfermedad, en la formulación de diagnósticos y

en la elaboración de terapias.

Tumor real, Tumor fractal. El caos se oculta detrás del comportamiento lineal observado en

los procesos cancerígenos, según una investigación desarrollada en el Hospital General de

Viena (Austria) que ha establecido que el crecimiento de un tumor obedece a un algoritmo

que produce imágenes fractales.

El desarrollo del cáncer se ha observado tradicionalmente como un proceso lineal o

secuencial que se repite en todos los casos: pequeños cambios moleculares provocan que

células sanas se vuelvan cancerosas y, en función de los tejidos afectados y del tipo de

tumor, el cáncer se desarrolla según Modelos estadísticos generalmente exactos.

Sin embargo, en estudios realizados sobre procesos cancerígenos, ha podido apreciarse que

los tumores “oscilan”, es decir, que su superficie cambia permanentemente a lo largo del

tiempo: la mayor parte del tiempo el tumor es esférico, pero luego sus formas varían

caóticamente adoptando aspectos imprevisibles.

30

Con la ayuda de algoritmos específicos confeccionados sobre estos tumores, los

investigadores han podido desarrollar ecuaciones de crecimiento sobre estos procesos que

luego han procesado informáticamente.

Los fractales y tumores, teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el anterior estudio

estos son unos fractales muy parecidos a los tumores reales, algo que estos investigadores

ya habían observado y publicado en 2002. En esta ocasión, han conseguido predecir cómo

se desarrollará un tumor de cáncer de mama gracias a las simulaciones creadas por el

ordenador.

Eso significa que el tumor canceroso se desarrolla siguiendo una fórmula matemática y que

detrás del orden lineal o secuencial que sigue el desarrollo de un tumor, realmente se

ocultan los procesos naturales del caos.

De hecho, el cáncer tal como se le conoce sigue un proceso muchas veces caprichoso: su

crecimiento puede interrumpirse sin causa aparente o por intervenciones médicas que a

veces funcionan y a veces no, lo que desvela que el organismo humano se desenvuelve

entre el orden y el caos, al igual que las demás manifestaciones de la naturaleza.

Hemos observado que, los fractales son una muy buena aproximación para representar un

gran número de fenómenos naturales, pues en la naturaleza la mayor parte de los elementos

son irregulares y caóticos por lo que se aproximan mejor por características fractales. En

definitiva, podemos decir que los fractales son una buena herramienta que nos ayuda y

ayudará en muchas aplicaciones y explicaciones de fenómenos de la vida real, y que es un

campo de las matemáticas muy joven que aun tiene bastante recorrido por delante.

Ϯ Benoît Mandelbrot (Varsovia, Polonia, 20 de noviembre de 1924 – Cambridge, Estados Unidos, 14 de

octubre de 2010)1 fue un matemático conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es considerado el principal

responsable del auge de este campo de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, así como de su

popularidad al utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época - el ordenador - para trazar

los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia

descubiertos por Gaston Julia, quien inventó las matemáticas de los fractales, y desarrollados luego por

Mandelbrot. Indicó la sobrevaloración de las matemáticas basadas en análisis algebraico desde el siglo XIX y

otorgó igual importancia a la geometría y al análisis matemático visual, análisis para el que él estaba

especialmente dotado, sobre la que mantuvo que se han hecho logros igual o más importantes como los de los

antiguos griegos o Leonardo. Esta visión poco ortodoxa le costó duras críticas por parte de los matemáticos

más 'puros', especialmente al inicio de su carrera.

31

Anexo

Teorema: Sea X un espacio métrico, e Y un subconjunto de X. Entonces

dimtop(Y) ≤ dimtop(X).

Demostración: Sea n=dimtop(X) y consideramos A un cubrimiento de Y por

conjuntos abiertos de Y. Para cada A ε A tomamos un conjunto abierto de A’ de X

tal que A’ ∩ Y= A. Recubrimos X con los conjuntos abiertos A’, junto con el

conjunto abierto X-Y. Sea B un refinamiento de ese cubrimiento, que es un

cubrimiento del abierto de X y tienen orden n+1 como máximo. Entonces la familia

{B∩Y│B ε B}, es un cubrimiento de Y por conjuntos abiertos en Y, tienen orden

n+1 como máximo y refina a A. (Gerald, 2002)

Teorema: Sea X un espacio métrico no vacio separable. Entonces la dimtop(X) = 0, si y

solo si X es homeomorfico a un subconjunto del espacio {0; 1}w.

Demostración: Suponga que X es homeomorfico a H ≡ {0; 1}w . Por los teoremas

anterior se tiene que dimtop(X) = dimtop(H), y dimtop(X) ≤ dimtop(H); pero {0; 1}w = 0,

por lo tanto dimtop(X) ≤ 0. Siendo X ≠ Ø, tenemos que dimtop(X) = 0.

Por otro lado, suponga ahora que dimtop(X) = 0, Dada una base β1 para los conjuntos

abiertos de X que consisten en conjuntos abiertos y cerrados, (que lo denominaremos

clopen a los conjuntos cerrados y abiertos). Por el teorema de espacios métricos para

bases contables de conjuntos abiertos de X, hay una base contable β ≡ β1, con β= {U1,

U2, U3,…}, si β es finito, el conjunto básico se repite una y otra vez; Para la notación,

usaremos Ui(1)=Ui y Ui(0)= X \ Ui, todos conjuntos clopen (abiertos y cerrados). Si α ε

{0; 1}k , y decimos que α = e1, e2, e3, … ek , sea U(α)=U1(e1) ∩ U2(e2) ∩…..∩ Uk(ek).

Definimos una función L: X→ {0; 1}w , dado un β ε X, el esquema de subíndices de

L(β) es 0 o 1 según β pertenezca a Ui(0) o Ui(1). Esto quiere decir que L(β) ε [α] si y

solo si β ε U(α). Entonces L-1[[α]] = U(α).

Si L es individual, de hecho sí β ≠ μ, entonces X\ {μ}, es un conjunto abierto que

contiene a β, así que hay un sub-i β ε Ui ⊆ S \ {β}, entonces L (β) ≠ L (μ). Esto

demuestra que L es individual. Por lo que la función inversa L-1; L[X]→ X existe.

Ahora los conjuntos [α] constituyen una base para los conjuntos abiertos de {0,1}w, y

L-1 [[α]]= U(α) es abierto por cada α, así que L es continuo. (Gerald, 2002)

Similarmente, los conjuntos Ui constituyen una base para los conjuntos abiertos de X,

y L [Ui]= ⋃ (𝐿[X] ∩ [α1])𝛼𝜖{0;1}𝑖−1 es abierto en L [X] de {0,1}i-1 por Cada i.

32

Entonces L-1 es continua. Esto significa que L es un homeomórfico a X en L [X] ⊆

{0,1}w (Gerald, 2002)

Teorema. Sea F un conjunto de Borel; sea 0 < j > t, si Hj(F) < ∞ entonces Ht (F) = 0, si

Ht < 0 entonces H j(F) = ∞.

Demostración: Si el diam(A) ≤ q → 𝐻𝑞𝑗(𝐴) ≤ (𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐴))𝑡 ≤ 𝑞𝑡−𝑗 . (𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐴))𝑗, por lo

tanto por el teorema del método I 𝐻𝑞𝑡(𝐹) ≤ 𝑞𝑡−𝑗. 𝐻𝑞

𝑗(𝐹). Ahora si Hj(F) es finito entonces

𝐻𝑡(𝐹) ≤ lim𝑞→𝑜

𝑞𝑡−𝑗 . 𝐻𝑞𝑗(𝐹) = 0. 𝐻𝑞

𝑗(𝐹) = 0. La segunda afirmación es la contra positiva.

Esto quiere decir que hay un valor critico j0 en [0; ∞] tal que Hj(F) = ∞ si j < j0 y si

Hj(F) = 0 si j > J0. El valor j0 se le llama la dimensión de Hausdorff o dimensión

fractal del conjunto F y se denota Dim(F).

Es posible que Hj (F) = 0 para todo j > 0, por lo que la Dim(F) = 0; de la misma forma

puede suceder que Dim(F) = ∞.

Se pueden usar en los cubrimientos conjuntos abiertos, cerrados o hasta subconjuntos del

propio conjunto del que se le quiere calcular la dimensión de Hausdorff. Si un conjunto es

compacto, se pueden usar cubiertas finitas para calcular la dimensión del mismo. En

particular se puede asumir los cubrimientos usan solo subconjuntos de F. Además si F es

numerable, entonces Dim(F) = 0 y Dim(Rd) = d. también existen otras dimensiones

fractales que cumplen con las mismas propiedades. (Gerald, 2002)

33

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40

Índice

Objetivos ……………………… 1

Introducción…………………… 3

Generalidaddes conceptos Basicos 4

Autosimilitud 4

Dimensión extraña 6

Capitulo 1 8

Definición de dimensión topológica 8

Dimensión inductiva 8

Dimensión inductiva grande 11

Dimensión fractal 12

Dimensión auto-semejante o auto-semejanza topológica 13

Dimensión de Hausdorff 16

Capitulo 2……………………… 19

Aplicaciones………………………… 19

Árbol bronquial……………………... 19

Variaciones de las frecuencias cardiacas 22

Cáncer y el caos 27

Conclusiones 29

Anexo 31

Bibliografía 33

Índice temático 40