UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓNFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAHISTORIA DE LA MATEMATICA I-529392

CARRERA PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN

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“Una joya de Isaac Newton (finales de la

década de 1660)”

Docente: Gustavo Avello Jofré. Alumno: Carla Espinoza Flores.

Rodrigo Hernández Rojas.Fecha: 04 de octubre de 2010.

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Índice.Pág.

I.- Introducción........................................................................................................ 4

II.- Matemáticas del siglo heroico............................................................................. 5

III.- Cronología de la vida de Newton....................................................................... 7

IV.- Biografía de Isaac Newton................................................................................. 9

V.- El teorema del Binomio...................................................................................... 12

VI.- El De Analysi...................................................................................................... 18

VII.- Cálculo de pi (π )................................................................................................ . 20

VIII.- Otros aportes a la ciencia.................................................................................... 24

1.- Método de fluxiones............................................................................... 24

2.- El De quadratura curvarum..................................................................... 26

3.- Los Principia............................................................................................ 27

IX.- Conclusión........................................................................................................... 29

X.- Bibliografía.......................................................................................................... 30

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Introducción.

Las matemáticas, a fines del siglo XVI y a comienzos del siglo XVII, sufrió grandes avances en la innovación y descubrimiento de nuevos métodos matemáticos, es por esto que se le ha llamado el Siglo Heroico. Es así que en las próximas hojas echaremos una breve ojeada a algunos de las grandes mentes existentes en esta época y en especial analizaremos la vida de uno de esos gigantes pensadores Isaac Newton.

Isaac Newton fue un matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo, además de ser el descubridor del Teorema del Binomio, el cual fue su primer gran descubrimiento matemático, donde generalizo para “potencia enteras o fraccionarias, positiva o negativa”, y la aproximación de pi, basándose en sus dos grandes descubrimientos: “El teorema del binomio y el cálculo de fluxiones, los temas centrales de este trabajo. También resolvió cuestiones relativas a luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal.

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Matemáticas del siglo heroico.

Si el siglo XVI fue escenario de una marcha acelerada de la actividad matemática, el siglo XVII aportaría los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio, gracias a la existencia de grandes matemáticos de gran intelecto que vagaron durante este periodo tan fructífero. Es por esto que esta época es conocido como el “Siglo Heroico” de la historia de las matemáticas y por ende es de importancia conocer a algunos de estas grandes mentes, junto al aporte realizado a esta ciencia.

Durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos, que introdujo el matemático francés François Viéte, en su influyente libro In artem analyticam isagoge (traducido como Arte analítico), además llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones.

El siglo XVII comenzó “con el descubrimiento de los logaritmos por los matemáticos escoceses John Napier (Neper) y Henry Briggs; su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Napier y Briggs, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.” (Dunham, 1990, p. 206)

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido adormecida desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos.

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Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

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Cronología de la vida de Newton.

Dentro de la vida de Isaac Newton, los acontecimientos más importantes son:

En 1642: Nacimiento en Woolsthorpe (Inglaterra), 25 de diciembre (4 de Enero de 1643 del nuevo

calendario)

En 1661: Era alumno de Trinity College.

En 1663: Conoce a Barrow, su primer profesor lucasiano de matemáticas.

En 1664: Aborda el teorema del binomio.

Entre 1665-1666: Se retira con su familia a la granja familiar a causa de una epidemia de peste. Durante

estos años descubre la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores.

En 1667: Reanuda sus estudios en Cambridge.

Entre 1667-1669: Emprende investigaciones sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College.

Entre 1669-1696: Newton sucede a Barrow en su cátedra lucasiana de matemáticas.

En 1672: Publica una obra sobre la luz con una exposición de su filosofía de las ciencias.

Entre 1673-1683: Enseña álgebra y teoría de ecuaciones.

En 1679:

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Verificó su ley de la gravitación universal.

En 1687: Publica sus célebres Philosophiae naturalis principia mathematíca.

En 1689: Es elegido miembro del Parlamento.

En 1696: Abandona su cargo de profesor para aceptar la responsabilidad d Director de la Moneda.

En 1703: Es elegido presidente de la Royal Society.

En 1705: Es hecho caballero por la reina Ana.

En 1727: Newton muere tras una larga y atroz enfermedad la noche del 20 de marzo.

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Biografía de Isaac Newton.

“Si he visto más allá que los demás, es porque me entregue más que nadie al estudio.”Isaac Newton

El día de Navidad de 1642 (correspondiente al 4 de Enero de 1643 del nuevo calendario), en Woolsthorpe (Inglaterra), el nacimiento de un bebe prematuro fue recibido como un inesperado giro del destino, tres meses antes había fallecido su padre, había pocas esperanzas que el niño sobreviviera, pero para sorpresa de todos el frágil bebe salió adelante, su madre Anna le puso el nombre de su padre fallecido, Isaac Newton.

Con la esperanza de una mayor seguridad para su futuro y el de su hijo su madre acepto la propuesta de matrimonio de Barnaby Smith, director de la parroquia de la unión de North Withan. Isaac con solo tres años de edad quedo a cargo de sus abuelos, en los ochos años siguientes perdería paulatinamente el contacto son su madre. Al morir su segundo esposo, la madre de Isaac volvió a Woolsthorpe, con menos problemas financieros, Anna hizo planes para la educación de Isaac como administrador agrícola. Isaac asistió a la escuela King´s School de Grantham, fue un estudiante introvertido de pocas amistades y sin tener mucho interés por sus estudios.

Isaac compartía habitación con el señor Clark, que dirigía una tienda de empeños, el señor Clark viendo el interés de Newton por las botellas misteriosamente etiquetadas, le mostro como realizar mezclas con su contenidos y le dio accesos a sus libros, Los misterios del arte y la naturaleza, de J. Bate, se convirtió en el libro favorito de Isaac, un manual lleno de artilugios mecánicos. El joven Newton construyo cometas, molinillos de viento e incluso una clepsidra o reloj de agua, había encontrado un refugio para su vida solitaria y escasa de amor, comenzó aprovechar las clases y rápidamente se convirtió en el alumno más destacado.

Cuando cumplió 17 años su madre le llamo de vuelta a Woolsthorpe para que se ocupara de la granja, el profesor de Isaac consiente de la genial capacidad de su alumno, suplico a su madre que le permitiera quedarse en el colegio y solicitar una plaza en la Universidad, aunque reacia Anna accedió. Así en el año 1660, entro el Trinity College en Cambridge.

Sin ayuda económica de su madre, Isaac tuvo que trabajar para constar su estancia en la Universidad. Mientras que los demás estudiantes tenían una activa vida social, Newton era retraído y solitario, dedicaba su tiempo a apagar su inevitable sed de conocimientos, en el transcurso de sus lecturas topo con la filosofía mecánica de Rene Descartes.

El interés de Newton por la teoría cartesiana, le llevo a contactar con el profesor de matemáticas Isaac Barrow, bajo su amable tutela Newton se adentró en las ideas de Galileo sobre el movimiento y la gravitación, las leyes del movimiento planetario de Kepler y los revolucionarios trabajos de Descartes en álgebra y geometría.

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Estudiar el álgebra de Descartes cambio para siempre la vida de Newton, se enamoró de las matemáticas, el poco interés que había mostrado en los primeros años de su vida Universitaria se convirtió en frenesí por aprender. De 1663 a 1664 asimilo por su cuenta todo lo que se conocía hasta entonces sobre las matemáticas modernas.

En 1664 Newton termino su licenciatura y obtuvo una beca como graduado que le permitiría continuar sus estudios, pero al año siguiente la Universidad de Cambridge fue clausurada debido a un brote epidémico y Newton volvió a Woolsthorpe, donde paso un año y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos científicos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que "había encontrado el método inverso de las fluxiones", es decir, el cálculo integral y el método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole, y los volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibniz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento. Su segundo gran descubrimiento se relacionó con la Teoría de la Gravitación. El tercer gran esfuerzo, correspondió a la esfera de la óptica y la refracción de la luz.

A su regreso definitivo a Cambridge en 1667, emprende investigaciones sobre óptica y es elegido miembro becario del Trinity College. En 1669, Newton sucede a Barrow en la cátedra lucasiana de matemáticas hasta 1696. El mismo año envía a Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes numero terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollará más tarde: su cálculo diferencial e integral. En 1672 publicó una obra sobre la luz con una exposición de su filosofía de las ciencias, libro que fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos, entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz.

Como Newton no quería publicar sus descubrimientos, no le faltaba más que eso para reafirmarle en sus convicciones, y mantuvo su palabra hasta 1687, año de la publicación de sus Principia, salvo quizá otra obra sobre la luz que apareció en 1675.

Desde 1673 hasta1683, Newton enseñó álgebra y teoría de ecuaciones. Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y le estimulaban en sus trabajos. En junio 1679, muere su madre terminando así con la única relación afectiva de Newton, todo lo que le quedaba era su trabajo. A finales de ese mismo año verificó su ley de la gravitación universal, una explicación única y general de cómo la fuerza de la gravitación causa el movimiento de la luna y los planetas.

Newton descubrió los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante el decenio siguiente elaboró tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. En 1684 Halley un joven astrónomo visito a Newton, el cual instó a Newton a publicar sus descubrimientos, y gracias al sostén moral y económico de este último y de la Royal Society, publica en1687 sus célebres Philosophiaenaturalis principia mathematíca.

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En 1687, Newton defendió los derechos de la Universidad de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II, como resultado de la eficacia que demostró, fue elegido miembro del Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y obligado a exiliarse. Durante este tiempo prosiguió sus trabajos de química y se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir telescopios.

Después de haber sido profesor, Newton abandonó su puesto para aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696. Los últimos treinta años de su vida, se consagró a los estudios religiosos. En 1703 fue nombrado presidente de la Sociedad Real de Londres, cargo que ocupó durante el resto de su vida. En 1705 le concedió nobleza la Reina Ana, y fue el primer científico que recibió este honor por sus obras.

Los últimos años de su vida se vieron ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de la invención del nuevo análisis. Acusaciones mutuas de plagio, secretos disimulados en criptogramas, cartas anónimas, tratados inéditos, afirmaciones a menudo subjetivas de amigos y partidarios de los dos gigantes enfrentados, celos manifiestos y esfuerzos desplegados por los conciliadores para aproximar a los clanes adversos, he aquí en pocas palabras los detalles de esta célebre controversia, que se terminó con la muerte de Leibniz en 1716, pero cuyas funestas secuelas se harán sentir hasta fines del siglo XVIII.

Después de una larga y atroz enfermedad, Newton murió durante la noche del 20 de marzo de 1727, y fue enterrado en la abadía de Westminster en medio de los grandes hombres de Inglaterra.

El Papa Alejandro III escribió su epitafio “Naturaleza y ley de naturaleza escondida en la noche”. Dijo Dios: “Dejad en paz a Newton y todo fue luz.”

Su mayor obra Principia, se ha convertido para la ciencia como la Mona Lisa es para el arte, la obra maestra, el pedestal de la expresión científica. En el siglo XX, el mayor logro de la humanidad el programa espacial es también el mayor triunfo de las teorías de Isaac Newton.

“No sé lo que le parecerá al mundo, pero yo creo haber sido solo un chico jugando en la orilla del mar, perdiendo el tiempo con pequeñas minucias, mientras en el gran océano las respuestas yacen ante mi aún por descubrir.”

Isaac Newton

Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él bien dice “si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he subido a hombros de gigantes”- los ladrillos necesarios, que supo disponer para fundar la arquitectura de la dinámica y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba.

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El teorema del Binomio.

El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.

El teorema del binomio fue su primer gran descubrimiento matemático. Paradójicamente, no es un “teorema” en el sentido de Euclides o Arquímides, ya que Newton no suministró una demostración completa del mismo. Sin embargo, su penetración e intuición le permitieron diseñar suficientemente bien una fórmula pertinente y, como veremos, aplicarla de la manera más sorprendente.

El teorema del binomio se refiere a la expansión de expresiones del tipo (a+b)n.

Utilizando álgebra sencilla y suficiente paciencia se obtienen fórmulas como las que sigue:

(a+b )2=a2+2 ab+b2

(a+b )3=a3+3 a2 b+3 a b2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6 a2 b2+4 ab3+b4

etcétera. Con el deseo de poder encontrar el coeficiente de a7b5 en el desarrollo de (a+b)12 sin

tener que realizar los cálculos engorrosos de multiplicar (a+b) por sí misma doce veces. El desarrollo del binomio ya se había ya planteado y resuelto, bastante antes de que naciera Newton. Uno de los matemáticos que conocía esto era el chino Yang Huien el siglo XIII, aunque su obra ha sido desconocida en Europa hasta tiempos relativamente recientes. Asimismo, Viéte trato de las potencias de los binomios en la proposición XI de las notas preliminares del In artem. Sin embargo, el nombre que resultó unido al gran descubrimiento fue el de Blaise Pascal, quien observó que los coeficientes se podían obtener fácilmente a partir de la ordenación conocida hoy como “triángulo de pascal”:

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y así sucesivamente, donde cada número en el cuerpo del triángulo se obtiene sumando los números de la fila de arriba de izquierda a derecha. Así, según Pascal, la siguiente fila sería:

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Nótese, por ejemplo, que el número 56 sale de sumar 21+35, los números a la izquierda y a la derecha de la fila anterior.

La relación entre el triángulo de Pascal y el desarrollo de (a+b)n es inmediata, ya que la

última línea del triángulo nos da los coeficientes que necesitamos, esto es:

(a+b)10=a10+10 a9b+45 a8b2+120 a7 b3+210 a6 b4+252 a5 b5+210 a4 b6+120 a3 b7+45 a2 b8+10 a b9+b10

Si desarrollamos unas cuantas líneas más de este triángulo vamos a llegar a 792 que es el

coeficiente de a7b5 , número que deseábamos conocer anteriormente, en el desarrollo de (a+b)12.

Es por esto que la utilidad de este triángulo es evidente.

Cuando el joven Newton concentró su mente en el desarrollo del binomio, fue capaz de diseñar una fórmula para generar los coeficientes directamente, sin el fastidioso sistema de tener que construir el triángulo hasta llegar a la fila necesaria, basado en los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación aplicados a nuevos problemas. Además, su idea fija de la existencia de patrones persistentes le sugirió que la fórmula que producía los coeficientes correctos de

potencias de binomio del tipo (a+b)2 o (a+b)3 debería ser también válida para potencias del tipo

(a+b)12 o (a+b)−3.

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Es necesario recordar algunas propiedades de las potencias de exponentes negativos y

fraccionarios, estas nos dice que a1/n=n√a, y a−n= 1

an . Aunque Newton no fue el primero en

descubrir estas relaciones, ciertamente fue quien estableció la mayor parte de ellas, al desarrollar

expresiones del tipo √1+x o 1/(1−x2).

La versión de Newton del desarrollo del binomio se presenta aquí tal como la explicó en una importante carta de 1676 a su gran contemporáneo Gottfried Wilhelm Leibniz (carta enviada con Henry Oldenberg de la Royal Society), Newton escribió:

(P+PQ)m/n=Pm /n+ mn

AQ+ m−n2 n

BQ+ m−2 n3 n

CQ+ m−3 n4 n

DQ+…

donde P + PQ es el binomio en cuestión; m /n es la potencia a la que está elevado el binomio, “potencia entera o (por así decirlo) fraccionaria, positiva o negativa”; A, B, C, etc., representan los términos que preceden inmediatamente en el desarrollo.

Para los que estén acostumbrados al desarrollo del binomio en términos modernos, la presentación de Newton puede resultar chocante y poco familiar. Pero si se examina más de cerca, desaparecen todas las dudas. Esto es, lo primero que observamos es que:

A=Pm /n ;

B=mn

AQ=mn

Pm/nQ ;

C=m−n2n

BQ=(m−n )m

(2n )nPm /nQ2=

(mn )(m

n−1)

2Pm /n Q2;

D=m−2 n3n

CQ=(m

n )(mn

−1)(mn

−2)3x 2

Pm/nQ 3 , etc.

Aplicando la fórmula de Newton y sacando Pm /n factor común a ambos lados de la ecuación, llegamos a:

Pm /n(1+Q)m /n=Pm /n[1+ mn

Q+(m

n )(mn

−1)2

Q2+(m

n )(mn

−1)(mn

−2)3 x2

Q3+…]14

Y eliminando Pm /n, nos queda:

(1+Q)m /n=[1+ mn

Q+(m

n )(mn

−1)2

Q2+(m

n )(mn

−1)(mn

−2)3 x 2

Q3+…]que nos resulta algo más familiar.

Debemos ahora seguir las indicaciones de Newton y utilizar su fórmula en unos cuantos

ejemplos específicos. Por ejemplo, para desarrollar (1+x )3, sustituimos Q por x y m/n por 3, y

obtenemos:

(1+x )3=[1+3 x+(3 ) · (2 )

2x2+

(3 ) · (2 ) · (1 )3·2

x3+(3 ) · (2 ) · (1 ) · (0 )

4 ·3 ·2x4+…]=¿

¿1+3 x+ 62

x2+ 66

x3+ 024

x4+ 0120

x5+…=1+3 x+3 x2+x3

Nótese que precisamente éste es el patrón generado por el triángulo de Pascal; además, puesto que nuestro experimento original era el número entero positivo 3, el desarrollo se acaba después de cuatro términos.

Un fenómeno muy diferente aguarda a Newton cuando el exponente era negativo. Como

ejemplo, al desarrollar (1+x )−3, su técnica daba:

1+(−3 x )+ (−3 ) · (−4 )2

x2+(−3 ) · (−4 ) · (−5 )

6x3+

(−3 ) · (−4 ) · (−5 ) · (−6 )25

x4+…

o sencillamente

1

(1+x )3=1−3 x+6 x2−10 x3+15 x4−…

o equivalentemente

1

1+3 x+3 x2+ x3=1−3 x+6 x2−10 x3+15 x 4−…

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Newton comprobó este resultado multiplicando miembro a miembro y eliminando los términos iguales con signo distinto, para confirmar que, en efecto:

1=( 1−3 x+6 x2−10 x3+15 x4−…)(1+3 x+3 x2+x3)

Las cosas se hicieron todavía más curiosas cuando desarrolló una expresión como

√1−x=(1−x )1/2. En este caso Q=− x y m/n =1/2, con lo que se obtiene:

√1−x=1+ 12

(−x )+( 12 )(−1

2 )2

(−x )2+( 1

2 )(−12 )(−3

2 )6

(−x )3+…=¿

¿1−12

x−18

x2− 116

x3− 5128

x4− 7256

x5−…(¿)

Para comprobar esta fórmula, aparentemente tan peculiar, Newton multiplicó la serie infinita del segundo miembro por sí misma (en pocas palabras, la elevó al cuadrado- de la manera siguiente:

(1−12

x−18

x2− 116

x3− 5128

x4−…)(1−12

x−18

x2− 116

x3− 5128

x4−…)=1−12

x−12

x−18

x2+ 14

x2−18

x2− 116

x3+ 116

x3+ 116

x3− 116

x3−…=1−x+0 x2+0 x3+0 x4+…=1−x

De ahí

(1−12

x−18

x2− 116

x3− 5128

x4−…)2

=1−x

lo que confirmaba que

(1−12

x−18

x2− 116

x3− 5128

x4−…)=√1−x

como sostenía Newton.

“La extracción de raíces se acorta mucho mediante este teorema”, escribía Newton. Esto es, supongamos que buscamos una aproximación hasta las décimas de √7. En primer lugar, observemos que

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7=9( 79 )=9(1−2

9 )y, por tanto,

√7=√9 (1−29 )=3√1−2

9

Sustituimos ahora la raíz cuadrada por los primeros 6 términos en el desarrollo del binomio que hemos marcado antes en (*), donde 2/9 ocupa el lugar de x. Así, obtenemos:

√7≈ 3(1−19− 1

162− 1

1.458− 5

52.488− 7

472.392 )=2,64576 …

Este resultado difiere del verdadero valor de √7 sólo en 0,00001, lo cual es ciertamente importante utilizando sólo seis términos numéricos. Si desarrolláramos el binomio con más términos, garantizaríamos una exactitud de la estimación todavía mayor. Además, la misma técnica suministrará raíces cúbicas aproximadas, raíces cuartas, etc., ya que se puede aplicar

también el teorema del binomio a desarrollos como 3√1−x=(1−x )1/3 y proceder como queda

indicado.

En cierto sentido, no hay nada terriblemente sorprendente en el hecho de que la estimación de √7 se pueda aproximar mediante una suma de seis fracciones. Lo verdaderamente sorprendente acerca de todo este procedimiento es que el teorema del binomio de Newton nos muestra precisamente qué fracciones tenemos que usar y las genera de una manera absolutamente mecánica, sin necesidad de una intuición o ingeniosidad especial por nuestra parte. Es un modo notablemente eficaz e inteligente de obtener las raíces de cualquier grado.

El teorema del binomio es uno de los dos prerrequisitos para el gran teorema que vamos pronto a examinar. Además es necesario especificar que Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

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A B

D

y

x

El De Analysi .

El teorema del binomio es uno de los dos prerrequisitos para el gran teorema que vamos pronto a examinar. El otro son las fluxiones inversas de Newton, o lo que hoy día llamamos la integración.

El resultado apareció en el De Analysi, tratado compuesto en 1669 a partir de conceptos elaborados en 1665-1666, el De Analysino fue publicado hasta 1711. Éste fue el primer tratamiento de sus ideas sobre las fluxiones, y era conocido entre los próximos a Newton porque circulaba en forma manuscrita.

La primera regla que los próximos a Newton o cualquier otro lector del De Analysi encontraría era la siguiente:

Supongamos que la base AB de una curva cualquiera AD tenga una ordenada perpendicular BD; y llamemos AB = x, BD = y, y supongamos que a ,b , c , etc . son cantidades dadas, y m y n números enteros. Entonces:

Regla1 :Si a xm/n= y , seraan

m+nx(m+n)/n=Área ABD .

En la figura, Newton calculó el área por encima del eje horizontal abarcada por la curva

y=a xm/n, y hasta el punto x.

Según Newton, esta área era

anm+n

x(m+n)/n

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Por ejemplo, si tomamos la línea recta y=x , donde a=m=n=1, la fórmula anterior nos

da un área 12

x2, lo que se confirma fácilmente por la fórmula del área de un triángulo es

¿ 12

(base )×(altura).

Además, como Newton explicaba en la Regla 2 del De Analysi “si el valor de y se puede igualar a varios de estos términos, el área también podrá constar de las áreas que resultan de cada uno de los términos”.

Estas, pues, iban a ser las herramientas de Newton; el teorema del binomio y el método de las fluxiones para calcular áreas abarcadas por ciertas curvas.

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Cálculo de pi (π ).

Newton ciertamente dominaba los conceptos de la geometría analítica y así moldeó su trabajo en ese marco. Comenzó con un semicírculo con su centro C en (1/2,0) y radio r=1/2, como se muestra en la figura. Sabía que la ecuación del círculo era

(x−12 )

2

+( y−0 )2=( 12 )

2

o x2−x+ 1

4+ y2=1

4

Simplificando y resolviendo para y, obtenemos la ecuación del semicírculo superior

y=√x−x2=√x √1−x=x1/2 (1−x )1 /2

Como se ha demostrado antes en la ecuación (1−x )1/2, la expresión (a−x)1 /2 puede

sustituirse por su desarrollo, quedando así la ecuación del semicírculo:

y=x1 /2 (1−x )1/2=x1/2(1−12

x−18

x2− 116

x3− 5128

x4− 7256

x5−…)=x1 /2−12

x3 /2−18

x5 /2− 116

x7/2− 5128

x9 /2− 7256

x11/2−…

Y ahora es cuando se manifiesta el genio de Isaac Newton. Hizo a B el punto (1/4,0), como se indica en la figura, y trazo la perpendicular BD al diámetro del semicírculo AE. A continuación, atacó de dos maneras diferentes el cálculo del área sombreada ABD:

1. Área (ABD) por fluxiones.

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y=√x−x2=x1 /2 (1−x )1/2

Como hemos visto, Newton sabía calcular el área comprendida por una curva que empezaba en 0 y se extendía hacia la derecha hasta el punto x=1/ 4. Esto es, por las reglas 1 y 2 del De analysi (el área abarcada por encima del eje horizontal y la curva y=a xm/n, y hasta el

punto x, esta área, según Newton, era an

m+nx(m+n)/n

), el área sombreada era exactamente

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x3/2−12 ( 2

5x5 /2)−1

8 ( 27

x7 /2)− 116 ( 2

9x9/2)−…=¿ 2

3x3 /2−1

5x5 /2− 1

28x7 /2− 1

72x9 /2− 5

704x11/2−…¿

calculada para un valor de x=1/ 4. La genialidad de esta aproximación reside en que la expresión resultante se simplifica elegantemente cuando la evaluamos, ya que

( 14 )

3 /2

=(√ 14 )

3

=18

;( 14 )

5 /2

=(√ 14 )

5

= 132

Así, podemos calcular aproximadamente el área sombreada (ABD) utilizando los primeros nueve términos de la serie (**).

112

− 1160

− 13.584

− 136.864

− 51.441 .792

−…− 429163.208 .757 .248

=0,07677310678

2. Área (ABD) por geometría.

Seguidamente, Newton reexamino el problema del área sombreada desde una perspectiva puramente geométrica. Primero determinó el área del triángulo rectángulo DBC. Obsérvese que la longitud de BC es 1/4, mientras que CD, al ser un radio, tiene una longitud r=1/2. Una aplicación directa del teorema de Pitágoras daría:

BD=√( 12 )

2

−( 14 )

2

=√ 316

=√34

De ahí,

Área∆ DBC=12

(BC )× (BD )=12 ( 1

4 )(√34 )=√3

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Hasta aquí, todo bien. A continuación, Newton intento calcular el área de la pieza o sector ACD. Para determinar el área, se fijo de nuevo en el ∆ DBC . Siendo la longitud BC exactamente la mitad de la hipotenusa CD, lo identificó como un triángulo rectángulo conocido de ángulos30º, 60º, 90º; en particular, el ángulo BCD era el ángulo de 60º.

Es aquí donde nos podemos dar cuenta del por qué trazo la perpendicular en ese punto, ya que si lo hubiera colocado en un punto diferente de B, no hubiera aparecido un ángulo simple de 60º cuando más necesario era. Pero, sabiendo que el ángulo del sector era 60º (esto es, un tercio del ángulo de 180º que forma el semicírculo), Newton pudo ver que el área del sector era también un tercio del área del semicírculo. En resumen,

¿ 13 ( 1

2π r2)=1

3 [ 12

π ( 12 )

2]= π24

Por consiguiente, la aproximación geométrica al área sombreada nos da:

Área ( ABD )=Área (sector )−Área (∆ DBC )= π24

−√332

Luego igualando (1) y (2), resulta:

Área ( ABD )= π24

−√332

≈ 0,07677310678

Y resolviendo para π, obtenemos el resultado

π ≈ 24(0,07677310678+ √332 )=3,141592668 …

El resultado sorprendente acerca de este cálculo es que, sólo con nueve términos del binomio desarrollado, hemos encontrado un valor de π correcto hasta siete cifras decimales, y el cálculo difiere del verdadero de π en menos de 0,000000014. Esto representa un avance importante respecto a los imponentes cálculos de Viéte o Van Ceulen. De hecho, la única verdadera dificultad de esta técnica es el requerimiento de un cálculo exacto de √3. Pero, como hemos visto previamente, el teorema del binomio de Newton permitía un cálculo fácil de las raíces cuadradas. En resumen, este resultado demostraba claramente la eficacia de sus nuevos descubrimientos matemáticos para resolver un viejo problema con un notable éxito.

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La aproximación de π de Newton está sacada directamente de sus Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum, donde presentaba el valor de éste hasta la cifra decimal 60, basándose en el desarrollo de 20 términos del binomio √1−x. En un momento, al comentar estas aproximaciones, confesaba de forma un tanto tímida; “Me da vergüenza confesarle cuántas cifras decimales he calculado, pues no tenía otra cosa que hacer en ese momento”.

Además Newton comentaba “estaba en mi mejor edad para la invención y me interesaban las matemáticas y la filosofía más que en ninguna otra época después”.

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Otros aportes a la ciencia.

1. Método de fluxiones

Se franquea una segunda etapa en el momento en que Newton acaba, en 1671, su obra Methodus fluxionum et serierum infiniturum, comenzada en 1664. Newton tenía intención de publicarla, en particular en su Opticks, pero a causa de las críticas formuladas anteriormente con respecto a sus principios sobre la naturaleza de la luz, decidió no hacerlo. De hecho, será publicada en 1736 en edición inglesa, y no será publicada en versión original hasta 1742. Newton expone en este libro su segunda concepción del análisis introduciendo en sus métodos infinitesimales el concepto de fluxión.

En su prefacio, Newton comenta la decisión de Mercator de aplicar al álgebra la “doctrina de las fracciones decimales”, porque, dice, “esta aplicación abre el camino para llegar a descubrimientos más importantes y más difíciles”. Después habla del papel de las sucesiones infinitas en el nuevo análisis y de las operaciones que se pueden efectuar con esas sucesiones.

La primera parte de la obra se refiere justamente a la reducción de “términos complicados” mediante división y extracción de raíces con el fin de obtener sucesiones infinitas.

Newton introduce su nueva concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la inversa del primero.

Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas (parábola, concoide de Nicomedes, espirales, cuadratrices), el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud.

Newton incluye también en esta obra tablas de curvas clasificadas según diez órdenes y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada para cada una de las formas y el área de cada una de ellas (tabla de integrales). También incluye nuevas clases de ordenadas, una fórmula de aproximación para la solución de las ecuaciones que llevan su nombre, y el paralelogramo de Newton, útil para el desarrollo de series infinitas y para el trazado de curvas.

Cuando Newton aborda el problema de “trazar las tangentes de las curvas”, expone nueve maneras diferentes de hacerlo, teniendo en cuenta las “diferentes relaciones de las curvas con las líneas rectas”. En la tercera manera, recurre a las “coordenadas bipolares”, poco utilizadas actualmente. Pero en la exposición de la séptima manera encontramos por primera vez la utilización de las coordenadas polares.

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Newton expone en el artículo XX de su Método un procedimiento para la determinación aproximada de las raíces de una ecuación. Lo presenta como un método para efectuar “la reducción de las ecuaciones afectadas”, para reducirlas a sucesión infinita.

Este método fue modificado ligeramente por Joseph Raphson en 1690, y después por Thomas Simpson en 1740, para dar la forma actual.

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2. El De quadratura curvarum

La tercera concepción de Newton a propósito del nuevo análisis aparece en su De quadratura curvarum, escrita en 1676 pero no publicada hasta 1704, como apéndice a su Opticks. Newton se propone esta vez fundamentar su cálculo sobre bases geométricas sólidas, por lo que hace hincapié en la concepción cinemática de las curvas.

Más adelante, Newton describe la distinción entre el uso de elementos discontinuos y las nuevas consideraciones cinemáticas con referencia a las fluxiones, abandonando así las cantidades infinitamente pequeñas en beneficio de una ampliación del concepto de fluxión que requiere la comparación de velocidades instantáneas en la razón última de los pequeños crecimientos.

La tercera concepción de Newton se presenta en forma operacional mediante el método de las “primeras y últimas razones”.

Sin embargo, el mismo Newton es consciente de las precauciones que hay que tomar para aplicar su método de las “primeras y últimas razones” a la determinación de la fluxión, porque añade en su introducción:

“Los menores errores en matemáticas no deben ser despreciados.”

Newton precisa sus concepciones, sin introducir sus notaciones, al comienzo de los Principia en lo que llama método de “las primeras y últimas razones”.

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3. Los Principia

La primera información publicada acerca de su cálculo diferencial e integral aparece indirectamente en sus famosos Philosophiaenaturalis principia mathematica, de 1687. Aunque en esta obra predomina la forma sintética y, por otra parte, Newton utiliza métodos geométricos en sus demostraciones, se encuentran sin embargo algunos pasajes analíticos, en particular la sección primera del libro I, titulada: “El método de las primeras y últimas razones”.

Entre los numerosos pasajes que explican su método de “las primeras y últimas razones”, el que sigue, que proviene de un escolio que acompaña al lema XI en la segunda edición traducida por Andrew Motte, parece ser el más claro:

“Las razones últimas en las que las cantidades desaparecen no son realmente las razones de cantidades últimas, sino los límites hacia los cuales se aproximan constantemente las razones de cantidades, que decrecen sin límite, y hacia los cuales pueden aproximarse tanto como cualquier diferencia dada, pero sin sobrepasarlos o alcanzarlos antes de que las cantidades disminuyan indefinidamente.”

Es interesante observar la explicación de Newton relativa a sus razones últimas, porque nos permite ver mejor la semejanza entre su última concepción y nuestra derivada actual. En particular, la idea intuitiva de esta razón última se encuentra en el problema de las tangentes. Newton considera una tangente como la posición límite de una secante.

Newton introduce la noción de “diferencial”, designada por la palabra “momento”, el cual es producido por una cantidad variable llamada “genita”. Este constituye una aproximación al concepto de función, y se presenta en el libro II, sección 11 de los Principia. Parece que estas cantidades llamadas “genita” son variables e indeterminadas, y que aumentan o decrecen mediante un movimiento continuo, mientras que sus momentos son crecimientos temporales que pueden generar partículas finitas. En aritmética, las “genita” son generadas o producidas por la multiplicación, la división o la extracción de raíces de cualquier término, mientras que la búsqueda del contenido de los lados o de los extremos y medias proporcionales constituye “genita”. Así, las “genita” pueden ser productos, cocientes, raíces, rectángulos, cuadrados, cubos, etc. Sin embargo, Newton no llega a esclarecer el concepto de momento lo suficiente como para que se pueda hablar aquí de una concepción neta de la diferencial de una función.

En el prefacio de sus Principia, Newton ofrece la definición de conceptos de mecánica tales como inercia, momento y fuerza, y después enuncia las tres célebres leyes del movimiento que son generalizaciones de las concepciones de Galileo sobre el movimiento.

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A continuación, Newton asocia las leyes astronómicas de Kepler y la ley centrípeta de Huygens en el movimiento circular para establecer el principio de su célebre ley de la gravitación universal.

Este libro I, titulado: El movimiento de los cuerpos, trata abundantemente de mecánica y comprende también un estudio y una descripción orgánica de las cónicas.

El libro II está consagrado al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia como el aire y los líquidos. Es la verdadera introducción a la ciencia del movimiento de los fluidos. Se puede encontrar en él, entre otras cosas, un estudio de la forma de los cuerpos para ofrecer menos resistencia, una sección sobre la teoría de las ondas, una fórmula para la velocidad del sonido en el aire y un estudio de las ondas en el agua.

El libro III, titulado Sobre el sistema del mundo, contiene las aplicaciones al sistema solar de la teoría general desarrollada en el libro I. Newton demostró cómo calcular la masa del Sol en términos de la masa de la Tierra y de los otros planetas que tienen un satélite. Calculó la masa volúmica media de la Tierra y demostró que tenía la forma de un esferoide aplanado, y que, por consiguiente, la atracción no era constante en su superficie. Hizo también un estudio de la precesión de los equinoccios y de las mareas, explicó que la Luna constituía la causa principal de este fenómeno y que el Sol también ejercía en él una influencia. Dedicó también un estudio detallado al movimiento de la Luna, porque debía servir para mejorar la determinación de las longitudes.

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Conclusión.

Gracias a los grandes matemáticos que existieron durante el siglo heroico y sus aportes, es que hoy en día podemos observar los grandes avances en la ciencia. En particular uno de estos grandes hombres fue Isaac Newton, que con sus trabajos fue capaz de revolucionar las bases de todo lo que se conocía hasta ese entonces.

En unos de los trabajos abordados por Isaac Newton, fue capaz de generalizar el teorema del binomio de manera sencilla y clara, utilizando formas conocidas por todos, pero que para algunos era imposible de aplicar a ello. Se centro en el ideal de lograr encontrar una forma o expresión útil para sus posteriores cálculos y que facilitara el cálculo de las expresiones a todo aquel que lo requiriera.

Otro de sus avances o cálculos realizados fue la aproximación de pi, valor que aún se utiliza por la sociedad en la actualidad, que lo obtuvo en base a sus descubrimientos antes realizados (teorema del binomio y sus tratados del De Analysi), justificando paso a paso su aplicación de una forma precisa y simplificada, cuidando de nunca utilizar una forma o expresión que no haya sido demostrado antes.

Aunque Newton hizo grandes aportes a la matemática, su gran obra por la cual es recordado en la actualidad es Principia, donde sale su famosa “Ley de la Gravitación Universal”, por la que se ganó el respeto de todos los científicos hasta hoy en día.

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Bibliografía.

William Dunham (1990). Viaje a través de los genios. Madrid: Pirámide.

Isaac Newton: Leyes de la Mecánica Clásica – Ley de Gravitación, extraído el 16 de septiembre del 2010 desde http://www.fing.uncu.edu.ar/catedras/fisica_i/archivos/biografias/NEWTON.pdf

Teorema del binomio, extraído el 16 de septiembre del 2010 desde http://palillo.usach.cl/ftp/apuntes/Rudimentos_de_binomio.pdf

El Número [Pi], extraído el 16 de septiembre del 2010 desde http://www.iescarrus.com/edumat/ficheros/pdf/taller/numeropi.pdf

Historia de las Matemáticas, extraído el 24 de septiembre de 2010 desde http://www.luxdomini.com/historia_matematicas.pdf

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