TRABAJO N_02 - II UNIDAD.docx

7/23/2019 TRABAJO N_02 - II UNIDAD.docx

1/54

TRABAJO DE ANLISIS NUMRICO

EJERCICIOS PROPUESTOS EN CLASES

1. Explicar el Mt! !e "a#$$ a tra%$ !e #& e'e(pl )*acerel e'e(pl e& MATLAB c& t!a$ $#$ re$tricci&e$+.

Mt! !e "a#$$El mtodo de Gauss es un mtodo para resolver sistemas de ecuaciones

lineales:

AX=B

Donde A es la matriz de coefcientes, X es el vector columna de incgnitas y

B contiene respectivamente los segundos miembros de cada ecuacin

!" #aso: $e debe %ormar una (atri, a(plia!acompuesta por la matriz decoefcientes A y el vector B:

[A|B]

&" #aso: Eli(i&aci-& *acia a!ela&te Esto consiste en aplicar operacioneselementales por fla a la matriz ampliada de modo 'ue la matriz A contenida

en ella se trans%orme en una matriz triangular superior (a la 'ue podr)amos

llamar *+, es decir, 'ue sus elementos situados debao de la diagonal

principal sean ceros

De esa %orma, el lado correspondiente al vector B se ver- tambin a%ectado,

por lo 'ue podemos escribir esto como:

[U|B ']

." #aso: S#$tit#ci-& *acia atr$. $i /emos /ec/o todo correctamente, eneste punto, partiendo desde la 0ltima fla podremos ir encontrando

%-cilmente los valores de las 0ltimas variables 1uego, reemplazando dic/os

valores en las flas anteriores podremos encontrar los valores de las primeras

variables, y as) dar una solucin completa al sistema

Pr/ra(a e& Matla0.

En clase /emos trabaado algunos sistemas de ecuaciones lineales enparticular 1uego /icimos una generalizacin para resolver sistemas de

ecuaciones lineales de & ecuaciones y de . ecuaciones


2/54

2

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &

El programa 'ue presentamos a continuacin resuelve sistemas de

ecuaciones lineales 'ue se componen de n ecuaciones, es decir, /a sido

generalizado totalmente

clc, clear

n = input('De cuntas ecuaciones se compone el sistema?: ');% Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. = zeros(n, n); ! = zeros(n,"); # = !;

% $ectura de la matriz de coeicientes.disp('$ectura de la matriz de coeicientes.')ori=":n or&=":n print('nrese un valor para (%d, %d): ', i, &) (i, &) = input(''); endend

disp('$ectura del vector columna !')ori=":n print('nrese un valor para !(%d): ',i) !(i) = input('');end

% ormamos la matriz ampliada.* = +,!;

% -liminacin /acia adelante.or&=":n0" ori=&1":n *(i,:) = *(i,:)1*(&,:)2(0*(i,&)3*(&,&));

endend

% 4ustitucin /acia atrs.ori=n:0":" #(i) = *(i,n1"); or&=i1":n #(i) = #(i) 0 #(&)2*(i,&); end #(i) = #(i)3*(i,i);end

disp('4e /a encontrado el valor de las incnitas: ')#

U& e'e(pl !e #$ !el pr/ra(a.

$upongamos 'ue 'ueremos resolver el siguiente sistema de ecuaciones

lineales

{ 3x+2y+z=7

2x+y+17z=103x+2y+18z=24

Entonces ingresamos los datos al programa


3/54

3

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .

2 ste nos reportar- inmediatamente las soluciones:

A fn de comprobar los resultados, en el mismo 3atlab es posible realizar

operaciones con los valores encontrados Entonces, si e%ectuamos

operaciones tales como los primeros miembros de cada ecuacin, las

respuestas deber-n ser sus respectivos segundos miembros, seg0n seingresaron las ecuaciones originalmente:

Dic#lta!e$ e& el (t! !e "a#$$.

El programa %unciona per%ectamente tal como se /a comprobado a travs deleemplo $in embargo, e4isten algunas circunstancias por las 'ue el


4/54

4

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5

programa podr)a dar muc/os errores Dic/as circunstancias no se /an tratado

previamente, pero s) se lo /aremos a continuacin Describiremos la causa

'ue origina el problema y luego modifcaremos el cdigo para solucionar

dic/as e4cepciones

Dic#lta! 231.Divisin entre cero

6uando procedemos a /acer ceros los elementos 'ue est-n debao de la

diagonal principal, lo realizamos por columnas #or eemplo, situ-ndonos

sobre la primera columna, /acemos ceros a los elementos debao del primer

elemento de la primera fla 6uando estamos sobre la segunda columna,

/acemos ceros a los elementos situados debao del segundo elemento de la

segunda columna En general, cuando estamos en una columna i, /acemos

ceros a los elementos situados debao de A(i, i+, siendo A la matriz ampliada

#ara dic/a 7eliminacin /acia adelante8, se /acen divisiones, en lo 'ue

podr)a resultar una divisin entre cero si el elemento pivote es cero

Entonces para evitar ello, antes de la eliminacin, se /ace un intercambio, de

modo 'ue la primera fla sea a'uella 'ue tenga como primer elemento al

mayor n0mero de la primera columna 6on ello ya es posible eliminar los

elementos situados debao de A(!, !+ Al pasar a la eliminacin de la segunda

columna, debemos asegurarnos 'ue el elemento pivote de la segunda fla

sea mayor a los elementos 'ue debao de l Es decir, A(&, &+ debe ser mayor

a cual'uier A(i, &+ para i desde . /asta n De no ser as), se /ace elintercambio correspondiente y ya luego recin se procede a eliminar

Agregaremos la solucin a tal problema en nuestro programa #ara ello,

dentro del bucle %or m-s general, 'ue recorre las columnas, agregaremos

algnas operaciones m-s: para cada columna /aremos un recorrido buscando

el mayor elemento 'ue se encuentre debao del pivote $i el pivote actual es

el mayor se procede a eliminar, y si no, se intercambian flas 9o es necesario

reordenarlas todas de mayor a menor, pues slo se re'uiere intercambiar la

fla con el mayor elemento por la fla 'ue contiene al pivote actual #or eso,

cada vez 'ue encontremos un nuevo elemento mayor, iremos guardando

adem-s la posicin de la fla a la cual pertenece

El cdigo es el siguiente, y se /a resaltado de verde el %ragmento de cdigo

agregado:

clc, clearn = input('De cuntas ecuaciones se compone el sistema?: ');

% Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. = zeros(n, n); ! = zeros(n,"); # = !;

% $ectura de la matriz de coeicientes.

disp('$ectura de la matriz de coeicientes.')ori=":n


5/54

5

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas

or&=":n print('nrese un valor para (%d, %d): ', i, &) (i, &) = input(''); endenddisp('$ectura del vector columna !')

ori=":n print('nrese un valor para !(%d): ',i) !(i) = input('');end

% ormamos la matriz ampliada.* = +,!;

% -liminacin /acia adelante.or&=":n0" % 4eleccionando al ma5or pivote posi6le. indice =&; % 7ndice ila del ma5or. ori=&1":n i( a6s(*(i, &)) 8 a6s(*(indice, &)) ) indice = i; end end % ntercam6iamos si es necesario. i(& 9= indice ) vectoremporal = *(&, :); *(&, :) = *(indice, :); *(indice, :) = vectoremporal; end

ori=&1":n *(i,:) = *(i,:)1*(&,:)2(0*(i,&)3*(&,&)); end

end% 4ustitucin /acia atrs.ori=n:0":" #(i) = *(i,n1"); or&=i1":n #(i) = #(i) 0 #(&)2*(i,&); end #(i) = #(i)3*(i,i);end

disp('4e /a encontrado el valor de las incnitas: ')#

9tese 'ue se obtiene el mayor valor absoluto, ya 'ue conviene dividir entre

;< 'ue dividir entre =====!, 'ue es una situacin 'ue podr)a ocurrir si la

mayor)a de coefcientes ingresados son negativos

2 a/ora probaremos el programa actualizado con un sistema de ecuaciones

'ue dar)a error si usamos la primera versin del programa

{ 2X

2+3X

3=12

X1+8X

3=9

3X1+5X

2X

3=34


6/54

6

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas >

Dar)a error la primera versin por la presencia de ceros como pivotes en la

matriz de coefcientes

M=

[ 0 2 3

1 0 83 5 1

]Y=[

12

9

34]

?ngresamos los coefcientes al programa 2 as) mismo los valores para el

vector 2

As) obtenemos el siguiente resultado:

Este resultado es correcto y puede comprobarse %-cilmente reemplazando

tales valores en el sistema de ecuaciones lineales

Dic#lta! 234.Error de redondeo

Este es el error menos %-cil de evitar #or ello, para evitar compleidades,

luego de /aber obtenido los valores de las incgnitas usando el programa

antes presentado, no los mostraremos directamente como solucin, sino 'ue

antes /aremos una comprobacin, reemplazando nosotros mismos tales

valores (a travs del programa 'ue estamos desarrollando+ en las n

ecuaciones y verifcando 'ue ello sea igual a cada elemento del vector 2ingresado De ser as), mostramos la solucin sin duda alguna, y si no,


7/54

7

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas @

advertiremos 'ue los resultados pueden no ser los adecuados, por /aberse

cometido errores de redondeo

#ara ello agregamos el siguiente %ragmento de cdigo al fnal de nuestro

programa:

4onorrectos = true;% ompro6acin de la consistencia de los datos.ormat lonori=":n 4=


8/54

8

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas

El problema ocurre cuando la determinante de la matriz de coefcientes es

muy pe'uea 2 ello no se soluciona multiplicando las ecuaciones por alguna

constante 2a 'ue si nuestro sistema %uera:

{10x+20y=10011x+20y=104

A0n seguir)a estando mal condicionado El punto es 'ue, seg0n esta 0ltima

%orma, el determinante es ;&= y como no es un n0mero muy pe'ueo, no

delata instant-neamente 'ue se trate de un sistema mal condicionado

Entonces siempre debemos escalar la matriz de coefcientes y obtener luego

el determinante Escalar consiste en realizar divisiones a las ecuaciones 'ue

con%orman el sistema, sin alterar las igualdades 'ue precisan, y de modo 'ue

el mayor coefciente resulte siendo !

Aplicando ello al eemplo 'ue mostramos antes, obtendr)amos:

{ 1

2x+y=5

11

20+y= 104

20

2 el determinante de la matriz de coefcientes escalada ser)a: |A|=0.05

#ara dar solucin a esto en nuestro programa, podr)amo seguir una serie de

pasos: encontrar el mayor coefciente en la matriz de coefcientes ingresada

por el usuario (el mayor valor absoluto+, dividir toda la matriz entre dic/o

n0mero y calcular el determinante $er)a recomendable /acer todo ello en

una matriz temporal, para no a%ectar la ingresada originalmente, e indicar si

el sistema est- mal condicionado o no antes de realizar los c-lculos para

obtener la solucin al sistema ?ncluso esto 0ltimo ser)a cancelado

El %ragmente de cdigo va usto antes de %ormar la matriz ampliada:

% -scalamos la matriz de coeicientes.% Aos aseuramos de >ue no tena un determinante mu5 pe>ueBo. = ; % atriz auCiliar para no aectar la oriinal.ma5or = a6s((", "));ori=":n or&=":n i(a6s((i, &)) 8 ma5or) ma5or = a6s((i, &)); end endendori=":n (i, :) = (i, :)3ma5or;end


9/54

9

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas IJO MULTI9ARIABLE


22/54

22

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &&

El sistema fi(x )=0, i=1,2,3, , n es trans%ormado en el conunto de

ecuaciones:

x1=g1(x)

x2=g2(x)

x3=g3(x)

M

xn=gn(x )

3ediante la aplicacin de operaciones algebraicas v-lidas A cada una de

estas ecuaciones se les aplica el mtodo iterativo del punto fo:

x1(k+1)=g1(x

(k))

x2(k+1)=g2(x

(k))

x3(k+1)=g3(x

(k))

M

xn(k+1 )=gn(x

(k))

$e comienza con una estimacin inicial x(0)

, la cual es sustituida en las

ecuacionesg

1 , g2 , g3 , , gn resultando una nueva apro4imacin x(1)

Estas

%unciones son evaluadas en x(1)

para generar x(2)

Este procedimiento es

repetido para calcular las apro4imaciones x(3)

, x(4)

, x(5)

, En el momento

en 'ue se cumpla alguno de los criterios de convergencia usuales, se termina

el proceso iterativo


23/54

23

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &.

EJEMPLO7

Encuentre una solucin apro4imada del sistema siguiente:

f1(x , y )=x2

+y2

8x6y+5

f 2 (x , y )=x2+y26x16y+9

#rimero grafcaremos el sistema con ayuda del MATLAB:

[email protected]

[email protected]

x?=(e$*/ri!)x?+

;1=x.F4G?.F4@Hx@H?G

c&t#r)x?;133 K0K+

;4=x.F4G?.F4@Hx@1H?G

*l! &

c&t#r)x?;433 KrK+

/ri! &

*l!

Despeamos x def

1 :

x=x2+y26y+5

8=g

1

Despeamos y def

2 :

y=x

2+y26x+916

=g2

Al derivar parcialmente, se obtiene: g

1

x=

2x

8=

x

4

g1

y=

2y68

=y3

4


24/54

24

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &5

g2

x=

2x616

=x3

8

g2

y=

2y

16=

y

8

2 evaluadas en x0=0 y y

0=0 :

g1

x

y0

x0

=0 g1 y

y

0

x0

=34

g2

x

y0

x0

=3

4

g2

y

y0

x0

=0

A/ora verifcamos la convergencia: g

1

x+

g2

x=0

3

4=3

4


25/54

25


y2=

0.6252+0.562526 (0.625 )+9

16=0.3723

6alculamos el error:

|x1x0|=(0.29150.625)2+(0.37230.5625)2=0.3839

5ra iteraci-&7 x3=

0.29152+0.372326 (0.3723 )+5

8=0.3737

y2=

0.29152+0.372326 (0.2915 )+9

16=0.4672


|x1x0|=(0.37370.2915)2+(0.46720.3723)2=0.1255

2 as) se seguir-n /aciendo iteraciones /asta llegar a un valor NI a

10

4

:

A/ora realizaremos el desarrollo por medio del programa MATLAB:

errr=13tl=3.3331x=3?=3!i$p)K x ? errrK+

!i$p)K ============================K+*ile)errrtl+ x1=)xF4G?F4@H?G+ ?1=)xF4G?F4@HxG+1 errr=$:rt))x1@x+F4G)?1@?+F4+ !i$p)x1?1errr+ x=x1?=?1e&!


26/54

26

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &>

x ? errr

====================

3.43 3.4 3.63

3.41 3.5Q45 3.55

3.5Q5Q 3.6Q4 3.14

3.516 3.666Q 3.3

3.54 3.61 3.315

3.513 3.64 3.3131

3.51Q 3.646 3.3354

3.51QQ 3.646 3.3343

3.51Q 3.653 3.333Q

3.51Q1 3.651 3.3336

3.51Q3 3.655 3.3334

3.51 3.655 3.3331 3.51 3.655 3.3333

Pr De$pla,a(ie&t$ S#ce$i%$7

1ra iteraci-&7

omaremos como valores iniciales x0=0 y y

0=0 como se analiz

antes:

x1

=0

2+026 (0 )+58 =

5

8=0.625

y1=

0.6252+026 (0.625 )+9

16=

9

16=0.3525


|x1x0|=(0.6250)2+(0.35250)2=0.7176

6omo la distancia entre x1

y x0

es mayor 'ue 104

, se re'uiere

de otra iteracin m-s: 4!a iteraci-&7

x2=

0.6252+0.352526 (0.3525 )+5

8=0.4250


27/54

27

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &@

y2=

0.42502+0.352526 (0.4250 )+9

16=0.4222


|x1x0|=(0.42500.6250)2+(0.42220.3525)2=0.2118

5ra iteraci-&7 x3=

0.42502+0.422226 (0.4222 )+5

8=0.3532

y2=

0.35322+0.422226 (0.3532 )+9

16=0.4490


|x1x0|=(0.35320.4250)2+(0.44900.4222)2=0.0766

2 as) se seguir-n /aciendo iteraciones /asta llegar a un valor NI a

10

4

:

A/ora realizaremos el desarrollo por medio del programa MATLAB:

errr=13tl=3.3331x=3?=3!i$p)K x ? errrK+

!i$p)K @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@K+*ile)errrtl+ x1=)xF4G?F4G+13 ?1=)x1H?F4Gx1G+13 errr=$:rt))x1@x+F4G)?1@?+F4+ !i$p)x1?1errr+ x=x1?=?1e&!

x ? errr

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

3.333 3.33 1.15

3.616 3.Q3 3.11

3.41 3.31 3.36


28/54

28


3.6 3. 3.3161

3.5 3.3 3.3366

3. 3.Q 3.3316

3. 3. 3.3336

3. 1.3333 3.3331

1.3333 1.3333 3.3333

. Re$l%er l$ 5 $i$te(a$ !e ec#aci&e$ & li&eale$ pr l$tip$ !e Mt!$ !e Si$te(a$ !e Ec#aci&e$ N Li&eale$e$t#!ia!$ e& cla$e )re$#elt$ l$ $i$te(a$ e& MATLAB+.

Al/rit($ a #$ar e& el e'ercici.

3todo del punto fo multivariable con desplazamientos sucesivos:

%-SDS D-$ VTAS WS T$J*R*X$-%Desplazamientos sucesivosi=";clc;clear;disp('-SDS D-$ VTAS WS T$J*R*X$-')disp('Jalores iniciales:')C=i' M#lti%aria0le7


32/54

32

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .&

Re$l#ci-& (e!ia&te el (t! !e Net& Rap*$&7


Gr-fca:


33/54

33

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas ..

xyzx2+y2=1.34

xyz2=0.09

exey+z=0.41

z=0.41ex+ey A/ora reemplazamos esta %uncin en las dem-s

xy ( 0.41ex+ey )x2+y21.34=0 x=(xy (0.41ex+ ey)+y 21.34)

xy(0.41ex+ey )20.09=0 y=(0.09+(0.41ex+ey )2)/x


"rca7


34/54

34

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .5

. De$arrllar el $i/#ie&te e'ercici !e aplicaci-& e& la#


35/54

35


donde A Bson los reacti0os C Dson los productos (unidades# mol+) a! c d son los coeficientes este!uimetricos en la ecuacin !umica"alanceada.

A:ora las concentraciones en una mecla en e!uili"rio est=n relacionadas por

la siguiente ecuacin del e!uili"rio#

&c=[!]c ["]d

[A]$[B]%

5ara cual!uier proceso !umico en e!uili"rio a una temperatura determinada

se cumple !ue el cociente entre las concentraciones molares "#oles$L%de losproductos de los reacti0os ele0adas a sus respecti0os coeficientes

este!uiom3tricos es una constante !ue depende de la temperatura llamada

cons&an&e de e'uili!riodenotada como# el su"ndice c indica !ue lascantidades de los reacti0os de los productos est=n e/presadas como

concentraciones molares.

5ero el e7ercicio nos dan dos reacciones >(1) (2)? con sus respecti0os

constantes de e!uili"rio >$c(1) $c(2) !ue en e!uili"rio se caracterian por#

@tilia las concentraciones molares tanto de la reaccin (1) como la

reaccin (2). 5ara :allar las constantes de e!uili"rio se relacionan los moles totales de

A , E. B por ltimo si e/isten concentraciones iniciales de A , E se

de"e aCadir a los moles totales de ellos.

on respecto al e7ercicio encontramos las moles totales de A , E#

Reacci(n ")%:

A+B !+" .. (1)

Reacci(n "*%:A+! 2# (2)

o cual sa"emos !ue inicialmente A , presentan concentraciones iniciales

!ue son#

A % 2 mol+D , % 1mol+

Adem=s nos dicen el nmero de moles producidos por A en la reaccin (1) (2)

!ue son#


36/54

36

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .>

+# nmero de moles producidos por A en la reaccin (1).

,# nmero de moles producidos por A en la reaccin (2).

5or lo tanto los moles iniciales producidos se 0eran es!uematiados de la

siguiente manera#

INICIO: olocamos los moles iniciales.

A: *#ol$L B: )#ol$L C: -#ol$L D: -#ol$L E:-#ol$L

A+B !+"

A+! 2#

REACCIN: olocamos los moles !ue reaccionan con signo negati0o(es

decir en los reacti0os) con signo positi0o (en los productos).

Reacci(n ")%:

A+B+0 ! !+"+0#

.+ .+ /+ /+

Reacci(n "*%:

A+0 B+! 0 !+0"+2#

., ., /*,

E0UILIBRIO: Sumamos los moles !ue :a"a en el inicio con los moles!ue reaccionaron.

A: *#ol$L . + . , B: )#ol$L . + C: + . , D: + E:*,

uego de o"tener los moles totales de A , ED calculamos las constantes

de e!uili"rio tanto para $c(1) como $c(2)#

&c (1 )=[!] ["][A ][ B]


37/54

37

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .@

$$ En el ejercicio nos dicen 'ue 1c")% 2 *34

eemplaando tenemos#

2.6=

[xy ] [x ]

[ 2 mol/xy ] [1 mol /x]

1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0 ECUACIN ")%

&c (2 )= [# ]2

[A ] [!]

$$ En el ejercicio nos dicen 'ue 1c"*% 2 53)

eemplaando tenemos#

3.1= [2y ]2

[2mol /'xy ] [xy ]

0.9y2+3.1x26.2x+6.2y=0 . ECUACIN "*%

A:ora teniendo las ecuaciones 0amos a solucionarlos a tra03s de los siguientes

m3todos#

A% 67&odo de Pun&o 8ijo 6ul&ivaria!le:

Soluci(n:

enemos el siguiente sistema#

f1 (x , y )=1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0

f2 (x , y )=0.9y 2+3.1x26.2x+6.2y=0

5rimero graficamos el sistema con auda del programa 6ATLAB#


38/54

38


[email protected][email protected]?=(e$*/ri!)x?+;1 = [email protected]@4..H?G5..Hx.H?G.4

c&t#r)x?;133K0K+;4 = [email protected]?*l! &c&t#r)x?;433KrK+/ri! &*l!

espe7amosx

def

1 #

x=1.6x

22.6y+3.6xy+5.27.8

=f1

espe7amosy

def

2 #

y=0.9y 2+3.1x26.2x

6.2= f

2

Al deri0ar parcialmente se o"tiene# f

1

x=

3.2x+3.6y7.8

=1.6x+1.8y

3.9

f1

y=2.6y+3.6x

7.8=1.3y+1.8x

3.9


39/54

39

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .R4S&;

&>RyT.>R4RyT&+U@O

y!I(=&R4+U;>&O

errorIs'rt((4!;4+S&T(y!;y+S&+O

disp(V4!,y!,errorW+

4I4!OyIy!O

end


42/54

42

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5&

4 y error

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

=>>>@ = =>>>@

=@@ =5555 =5.@

=@

== =55@ ===.!

=& ====.

=.!& =5> ====&

=.!. =5> ====!

B% 67&odo de Ne9&on Ra;son:

Soluci(n:


f1 (x , y )=1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0

f2 (x , y )=0.9y2

+3.1x2

6.2x+6.2y=0

5rimero damos 0alores para x0=0 y

0=0 adem=s le damos 0alores al

error % 1F tol%F.FFF1 :allamos lo siguiente#

f1

x

y0

x0

=3.2x7.8+3.6y f

1

y

y0

x0

=2.6+3.6x

f2

x

y0

x0

=6.2x6.2 f

2

y

y0

x0

=1.8y+6.2


43/54

43

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5.

Segundo comenamos a desarrollar el sistema a tra03s del 43todo de 8e9ton

ap:son#

Sa"emos esto#

Resu#en:

J3S 2 N8

onde#

*=[

f1 x

y0x0 f 1

y

y 0x0

f2

x

y0

x0 f

2

y

y0

x0

]

+=[x1x0

y1y0]$dems+ 1=x1x0 ; + 2=y1y0

f1(x0 , y0)

x0

, y0

f2(=

1ra iteraci-&7

omaremos como 0alores iniciales x0=0 y

0=0 como se anali

antes reemplaamos#

*=[7.8 2.66.2 6.2

]

(=[5.20]

enemos a:ora lo siguiente#


44/54

44


J3S 2 N8

[7.8 2.66.2 6.2][+ 1+ 2]=[5.20 ]

A:ora :allamos S1 B S2 mediante la matri ampliada#

[7.8 2.6 5.26.2 6.2 0

]

S)2-3


45/54

45


4= I =Oy= I =O

tolI====!OerrorI!=O

%IP!>R4S&;@R4;

&>RyT.>R4RyT&PO

gIP.!R4S&T=&R4T>&RyPO

syms 4y

z!!Idi(%,4+O

z!&Idi(%,y+O

z&!Idi(g,4+O

z&&Idi(g,y+O

/ile(errorQtol+

4I4=OyIy=O

FIVeval(%+Oeval(g+WO

IVeval(z!!+ eval(z!&+

eval(z&!+ eval(z&&+WO

X=IV4=Oy=WO

X!IX=;(inv(+R(F++O

errorIs'rt((X!(!+;X=(!++S&;(X!(&+;

X=(&++S&+O

disp(P 4! y! error P+O

disp(VX!P,errorW+O

4=IX!(!+O

y=IX!(&+O

end

disp(PLesultadoP+

disp(P;;;;;;;;;P+

X!,error

4! y! error

==== ==== =

Lesultado

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

X! I

====

====

error I =

C% 67&odo de Ne9&on Ra;son 6odi=icado:

Soluci(n:



46/54

46

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5>

f1 (x , y )=1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0

f2 (x , y )=0.9y 2+3.1x26.2x+6.2y=0

5rimero damos 0alores para x0=0 y

0=0 adem=s le damos 0alores al

error % 1F tol%F.FFF1 :allamos lo siguiente#

f1

x

y0

x0

=3.2x7.8+3.6y

f2

y

y0

x0

=1.8y+6.2

Segundo comenamos a desarrollar el sistema a tra03s del 43todo de 8e9ton

ap:son 4odificado#

1ra iteraci-&7

omaremos como valores iniciales x0=0 y y

0=0 como se analiz

antes:

x1=x0

f1(x0 , y 0 ) f1

x y0

x0=0

1.6 (0 )27.8 (0 )2.6 (0 )+3.6 (0 ) (0 )+5.23.2 (0 )7.8+3.6 ( 0 )

=0.6667

y1=y0

f2 (x0 , y0 ) f2

y

y0x1

=00.9(0.)2+3.1(0.6667)26.2(0.6667)+6.2(0)

1.8(0)+6.2=0.4444


|x1x0|=(0.66670)2+(0.44440)2=0.4444

6omo la distancia entre x1

y x0

es mayor 'ue 104

, se re'uiere

de otra iteracin m-s: 4!a iteraci-&7

x1=x0

f1 (x0 , y0 ) f1

x

y0x0


47/54

47

Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5@

0.66671.6 (0.6667 )27.8( 0.6667 )2.6 (0.4444 )+3.6 (0.6667 ) (0.4444 )+5.2

3.2 (0.6667 )7.8+3.6 (0.4444 ) =0.8197

y1=y0

f2 (x0 , y0 ) f2

y

y 0x1

0.44440.9 (0.4444 )2+3.1(0.8197 )26.2 (0.8197 )+6.2 (0.4444 )

1.8 (0.4444 )+6.2

0.4539


|x1x0|=(0.81970.6667)2+(0.45390.4444 )2=0.0094

B as se seguir=n :aciendo iteraciones :asta llegar a un 0alor G% a 104

#

4=I=Oy=I=OerrorI!=OtolI====!O

%!IP!>R4S&;@R4;

&>RyT.>R4RyT&PO

%&IP.!R4S&T=&R4T>&RyPO

syms 4y

z!Idi(%!,4+O

z&Idi(%&,y+O

disp(P 4 y errorP+/ile(errorQtol+

4I4=OyIy=O

4!I4=;eval(%!+Ueval(z!+O

4I4!O

y!Iy=;eval(%&+Ueval(z&+O

errorIs'rt((4!;4+S&T(y!;y+S&+O

disp(V4!,y!,errorW+

4=I4!Oy=Iy!O

end


48/54

48


4 y error

=>>>@ =5555 =5555

=!


49/54

49


TRABAJO N_02 - II UNIDAD.docx

Documents

Transcript of TRABAJO N_02 - II UNIDAD.docx