https://youtu.be/HPjn-TLBlWM

Teorema de Pitágoras - Trigonometría - Educatina Mirá el siguiente video…

ESCUELA TÉCNICA RAGGIO

ASIGNATURA: MATEMÁTICA

2° año

TRABAJO PRÁCTICO N°5

Teorema de Pitágoras

El siguiente es un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos interiores,

el del vértice A , es un ángulo recto (mide 90°).

En todo triángulo rectángulo al lado opuesto al ángulo recto lo denominamos

hipotenusa (h) y a los otros dos lados ( b y c ) catetos.

En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Para el triángulo dibujado vale: h2 = b2 + c2

A esta relación se la denomina Relación Pitagórica.

Aclaración: normalmente el valor que hallamos no es un número entero, es un número irracional

(infinitos decimales no periódicos). Vamos a convenir que el resultado final que hallamos lo

aproximaremos por redondeo con un error de 𝟏𝟎−𝟑.

Triángulo rectángulo. Razones trigonométricas.

Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo

rectángulo con los ángulos agudos del mismo.

Antes de concentrarnos en las razones trigonométricas, nos ayudará dar nombres a los lados de

un triángulo rectángulo, de esta manera:

Al triángulo abc lo vamos a mirar por separado para hablar del ángulo θ y del ángulo B.

Para cada uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo, uno de los catetos es el opuesto y

el otro es el adyacente. Esto dependerá del ángulo al cual nos estemos refiriendo.

Para el ángulo θ Para el ángulo B

(Adyacente significa tocando el ángulo y opuesto es opuesto al ángulo)

Vemos en los gráficos que el ángulo θ tiene como cateto opuesto al lado 𝒂𝒃̅̅̅̅̅ y que el ángulo B

tiene como cateto opuesto al lado 𝒃𝒄̅̅̅̅ .

Además, el ángulo θ tiene como cateto adyacente al lado 𝒃𝒄̅̅̅̅ y que el ángulo B tiene como

cateto adyacente al lado 𝒂𝒃̅̅ ̅̅ .

Razones trigonométricas: Seno, coseno y tangente

Las tres razones trigonométricas más utilizadas en trigonometría son el seno de un ángulo, el

coseno de un ángulo y la tangente de un ángulo. Cada una es la longitud de un lado dividida

entre la longitud de otro...

Para el ángulo θ :

Seno (θ): Sen(θ) =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Coseno (θ): cos(θ) =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Tangente (θ): tan(θ) = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Nota: el seno se suele denotar sin() (por la palabra inglesa "sine") o sen().

Vean los siguientes videos…

https://www.youtube.com/watch?v=WZ_BQLwpNrk

https://www.youtube.com/watch?v=RFcRCkr5yYU

Ejemplo…

En el siguiente triángulo rectángulo la hipotenusa mide 2m, el lado opuesto al ángulo β es de longitud 1m:

a) ¿Cuánto mide el lado adyacente X?

b) ¿cuáles son las razones seno, coseno y tangente del ángulo β?

a) Para calcular cuánto mide el lado X utilizamos el Teorema de Pitágoras… 22 = 12 + 𝑋2

4 = 1 + 𝑋2

4 – 1= 𝑋2

3 = 𝑋2

√3 = X

1,732 ≈ X

El lado x, que es el cateto adyacente al ángulo β, mide 1,732m.

b) Ahora calculamos las razones trigonométricas del ángulo β…

Aclaración: Existen otras 3 razones trigonométricas que son las recíprocas o inversas de las

razones SENO, COSENO Y TANGENTE. Ellas son:

COSECANTE (COSEC), recíproca del SENO

En la calculadora la hallamos como 𝑆𝐸𝑁−1

SECANTE (SEC), recíproca del COSENO

En la calculadora la hallamos como 𝐶𝑂𝑆−1

COTANGENTE (COTAN), recíproca de la TANGENTE

En la calculadora la hallamos como 𝑇𝐴𝑁−1

Habitualmente se utilizan las razones SENO, COSENO y TANGENTE, por esta razón continuaremos

trabajando con ellas solamente.

Seno= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 ⟹ sen(β) =

1

2 = 0.5

Coseno=𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 ⟹ cos(β) =

1,732

2 = 0.866

Tangente=𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 ⟹ tan(β) =

1

1,732 = 0.577

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CON CALCULADORA.

Hasta que se generalizó el uso de calculadoras las razones trigonométricas se buscaban en tablas.

Hoy en día, nadie usa tablas, se usan las calculadoras.

Como las razones sólo dependen del ángulo, bastará darle como dato el ángulo y la calculadora nos dará como resultado las razones trigonométricas.

Hay que tener en cuenta lo siguiente:

• Las calculadoras pueden trabajar con ángulos medidos en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Los grados en los que el ángulo completo mide 360 grados son los sexagesimales y son los que usamos de forma habitual. Es importante que la calculadora tenga marcada esta opción para obtener resultados correctos. En la pantalla debe aparecer una

D.

•

• En caso de no aparecer, deberás pulsar la siguiente secuencia de teclas

y elegir DEG para trabajar con grados sexagesimales.

• Si se necesita introducir ángulos en grados, minutos y segundos, se usará la tecla correspondiente de la calculadora,

habitualmente . Verás en el visor que los minutos y segundos aparecen con el mismo símbolo que el de grados

• Las calculadoras calculan las razones seno, coseno y tangente de un ángulo usando las siguientes teclas: .

Razones trigonométricas de un ángulo

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo, pulsa la tecla correspondiente

después el valor del ángulo y, al final la tecla . En el visor aparecerá el valor de la razón trigonométrica de ese ángulo.

Antes de resolver los ejercicios miramos este video…

…https://www.youtube.com/watch?v=nIq27esrNzc

NO OLVIDES PONER LA CALCULADORA EN DEG…con la tecla MODE

Antes de resolver los ejercicios miramos este video…

https://www.youtube.com/watch?v=V9a66EyCn8o

𝐶𝑜𝑠 34° =𝑎𝑐̅̅ ̅

3,5

Para hallar el lado 𝑎𝑐̅̅ ̅ debemos

despejar la ecuación pasando el 3,5 que

está dividiendo a multiplicar a Cos 34°

Mirá este Video https://www.youtube.com/watch?v=Dbd5OmbOE9c

Aclaración: para resolver los problemas primero hacé un dibujo como modelo de la situación, ubicá los datos en el

dibujo y, luego, identificá cuáles son las incógnitas que debés hallar. Asegurate de que puedas formar un triángulo

rectángulo para poder aplicar lo que vimos!!!

Otro dato que te va a ayudar…

EJERCITACIÓN…

Recuerden que… 𝟏) ( 𝒂 . 𝒙 )𝟐 = 𝒂𝟐 . 𝒙𝟐 𝟐) 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒙𝟐 𝟑) 𝒙 . 𝒙 = 𝒙𝟐

4) Realizar un esquema y resolver los siguientes problemas:

a) En un triángulo isósceles, sus lados iguales miden 6,3cm y la base 10,4cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo? ¿Cuál

es su área?

b) A un terreno rectangular de 6,5 m por 8,5 m se lo quiere dividir diagonalmente con alambre. ¿Cuántos metros de

alambre se necesitan?

c) Una franja de color rojo atraviesa diagonalmente un azulejo cuadrado de 22 cm de lado. ¿Cuántos cm mide la franja

roja?

d) Para que una palmera de 3,5 m de altura no se tuerza, le ataron desde la punta de la copa una cuerda de 5,5 m con

una estaca en la tierra. ¿Qué distancia hay del pie de la palmera a la estaca?

5) Dado el siguiente triángulo…

a) Calcular la medida del lado 𝑏𝑐̅̅ ̅.

b) Calcular las razones trigonométricas de los ángulos α y β.

Sen𝛼 = S𝑒𝑛𝛽 =

C𝑜𝑠𝛼 = C𝑜𝑠𝛽 =

T𝑔𝛼 = T𝑔𝛽 =

6) Dados los siguientes triángulos rectángulos aor y abc…

Calcular las razones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente del ángulo α en cada uno de los triángulos aor y abc

En 𝒂𝒐𝒓 En abc

Sen α = Sen α =

Cos α = Cos α =

Tg α = Tg α =

7) Calcular las siguientes razones trigonométricas y completar el cuadro:

8) Calcular, con la calculadora, el valor del ángulo correspondiente: a) Sen x = 0,35 x = c) Cos x = 0.82 x = e) Tg x = 1,2 x = b) Sen x = 1 x = d) Cos x = 0 x = f) Tg x = 1 x =

9) Resolver los siguientes problemas (recordá hacer un dibujo como modelo antes de resolver!!):

3) Luis y Emma salieron a volar un barrilete. Emma puede ver que la cuerda de su cometa forma un ángulo de

70°15´ con respecto a la tierra. El barrilete está directamente sobre Luis, que está parado a 50m de distancia de

Emma. ¿Cuántos metros de cuerda ha soltado Emma?

4) Una rampa para sillas de ruedas se coloca sobre unas escaleras de madera. Un extremo queda a 2 m sobre el

suelo. El otro extremo está en cierto punto y la distancia horizontal es de 28m. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la

rampa?

5)