PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El principio tratado de diversas formas en la bibliografa es una herramienta poderossima para la esttica y los corrimientos de los cuerpos rgidos o deformables a tal punto que las condiciones de equilibrio o de la esttica pueden ser demostradas si se acepta este Principio, o por el contrario, a partir de las condiciones de equilibrio el Principio de los Trabajos Virtuales puede ser demostrado. Con otras palabras podemos decir que si un cuerpo est en equilibrio cumplir con el P.T.V. o por el contrario si el cuerpo cumple con este Principio necesariamente est en equilibrio.En la Mecnica Racional se enuncia como:

En una partcula en equilibrio bajo un sistema de fuerzas, el trabajo de dichas fuerzas a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo

Explicitemos que definimos como desplazamiento virtual a un desplazamiento ideal, arbitrario, pequeo y compatible con los vnculos donde es:

Ideal: real, arbitrario o debido a cualquier causa.

Pequeo: pequeo, pero no necesariamente infinitsimo de manera tal que las ecuaciones no pierdan su linealidad por dicha causa.

Compatible con los vnculos. Los desplazamientos deben cumplir con las condiciones de vinculacin interna o externa de las partculas o el cuerpo.

Es importante explicitar que el sistema de fuerzas en equilibrio que realiza los trabajos es independiente de los desplazamientos virtuales o de las causas que los producen.

Tratemos de pensar en un slido elstico como si fuera una barra sometida a una fuerza externa de traccin de valor P que est formada por partculas elsticas de longitud ds como la AABB.

sAA

ds

B

B

Nl

ii

N

*

P

AA

dsN

BB(

B*B*ds)*

En una seccin genrica ii las tensiones que produce la carga P nos dar un esfuerzo normal n = que equilibra a P o uno igual y contrario que equivale a P.

Demos ahora a la barra un desplazamiento virtual (independiente de la carga P y de los desplazamientos que produce dicha carga) que designaremos como *.

El elemento AABB, elstico, que imaginamos formado por resortes que estn sufriendo las tensiones que nos dan N, sufrirn un alargamiento interno virtual * ds= ds*

En cuanto a los trabajos virtuales que se producen tendremos

Trabajo Virtual Externo:

Te* = P *

Mientras que en cada partcula AABB de long. ds se producir un Trabajo Virtual Interno:

dTi* = N ( ds)* = N * ds = * ds

y en toda la barra:Ti* = 0l N ( ds)* = 0l N * ds = 0l * ds

Estando el cuerpo formado por todas las partculas y siendo la suma de todos los trabajos nulos:P * 0l N ds * = 0P * l * ds = 0

0

Te * +Ti* = 0

Esta ltima expresin no dice que los Trabajos Virtuales Externos e Internos deben ser iguales y de signo contrario y su aplicacin es vlida an en el campo plstico.

Aqu tambin algunos autores cambian el signo del Ti* al considerar las solicitaciones equivalentes N y expresan el principio como que el Trabajo Virtual externo es igual al Trabajo Virtual Interno.

TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad)

De la relacin del Trabajo con funciones cuadrticas de las fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya sealado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposicin y por lo tanto el trabajo de deformacin de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de cada una de ellas por separado.

Supongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de fuerzas P que produce deformaciones y una energa de deformacin U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P esta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos P y P

P = P + P

Si es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga P y es el correspondiente a las cargas P se cumplir:

= +

cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.

PP

P

P

P

P

P

P; producen Te = U y veamos de aplicar las cargas P de dos formas distintas:

a) Primero P y luego P

U =U +U + U (a)

Donde Ui, j representa el valor de la energa o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores y )

b) Primero P y luego P

U =U +U + U (b)

Como los dos estados finales son iguales, tambin lo sern los Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b) obtendremos:

U = U

O sus iguales:

Te =Te

Expresin del Teorema de BETTI:

El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio P es igual al trabajo de las cargas P a lo largo de los desplazamientos producidos por P.

A estos trabajos se los denomina recprocos o indirectos.

Una aplicacin terica a una viga permite explicitar el significado de las expresiones:

P1P2U =1[P1a + P2c ]

P

2

abcU =1[ P3 e ]

2

P3U = P1 d + P2 f

PII

U = P3 b

def

P1P3P2

P

a+d b+e c+f

Caso a)

U = P1 2a + P2 2c + P3 2e + (P1 d + P2 f )

Caso b)

U = + P3 2e + P1 2a + P2 2c + P3 b

De la igualdad en los dos casos:

U = P1d + P2 f = P3 b =U

Tomando estados finales P y , por teorema de CLAPEYRON:

U = 12 [P1 ( a + d ) + P3 ( b + e )+ P2 ( c + f )]

TEOREMA DE MAXWELL

Este Teorema tratado aqu como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciado con anterioridad a este ultimo. Betti solo generalizo las conclusiones a que haba llegado Maxwell.

En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que ambos estados de cargas son unitarios.

P1=11121

P2=11222

1 P1=2

I(21

11

(d

12P2=1

II

(22

Aplicando el Teorema de Betti:

P1 12 = P2 21

y siendo ambas cargas unitarias

12 = 21

El valor del corrimiento de un punto 1 segn una cierta direccin P1 debido a una fuerza unitaria aplicada en 2 segn una direccin P2, es igual al valor del corrimiento en 2 segn la direccin P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 segn una direccin P1.

Mencionamos especficamente el valor, pues como se aprecia en el ejemplo, la igualdad no incluye a las unidades, pues 12 es un desplazamiento que se mide en unidades de longitud y 21 es un ngulo que se mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientos entendemos tanto a un desplazamiento lineal como una rotacin, dependiendo del tipo de vector carga con el que se evala el trabajo. En otras palabras es un corrimiento correspondiente como ya que fue mencionado en 1-5 y por lo tanto el vector carga es colineal con el vector corrimiento.

TRABAJO VIRTUAL INTERNO

Evaluaremos el Trabajo Virtual Interno Ti* de las solicitaciones internas M (momento flector), Q (esfuerzo de corte), N (esfuerza normal), Mt (momento torsor), en una barra sometida a un estado de cargas externas P.

El estado de desplazamiento virtual supondremos que es debido a solicitaciones producidas por cargas virtuales P* que denominamos M*; N*; Q*; Mt* y un incremento de temperatura ts (superior) y ti (inferior) que nos dar desplazamientos virtuales d*; ds*; *ds y *ds para un elemento de longitud ds:

P

MQM

MtNQNMt

sds

P*d**ds

a) Cargas P* d* = MEI* ds ds* = EN* ds

* ds = GQ* ds * ds = MtGIp* ds

*ds

ds*

b) Temperatura ts y ti con tG en el baricentro y coeficiente de dilatacin lineal.

d* *aa' = ts ds

ts

aads* = *bb' = tG ds

tghbb *cc' = ti ds

d* = ti tsds

cch

ti

ds

y se cumplir en ese elemento:

dTi = M(d*) N( ds *) Q( * ds) Mt( * ds)

dTe* = dTi* = M MEI* ds + N EN* ds + Q GQ* ds + Mt MtGIp* ds + N t G ds + M ti h ts ds

y por lo tanto en la barra:

lMM *lNN *llMtMt *lti tsl

Ti* = Te* = ds + ds + QQ * ds + ds + Mds + NtGds

EIEGIph

000G000

donde los dos ltimos trminos se deben a efectos de temperatura, con los cuales no trabajaremos en el curso, pero que no provoca ninguna dificultad especial en su aplicacin.

Explicitemos ahora una propiedad de la expresin;

lMM *lNN *lQQ*lMtMt *

Ti* = Te* = ds + ds + ds + ds

EIEG

0000GIp

que por la simetra puede ser considerada el trabajo virtual de las cargas P a lo largo de los desplazamientos virtuales producidos por P*, o como el trabajo de las cargas P* a lo largo de los desplazamientos virtuales producidos por un sistema de cargas P.

A esta misma conclusin podramos llegar por el Teorema De Betti, considerando a P como el estado de cargas y a P* como el estado de cargas .