Trabajo y energía

Física I

Song : dust in the wind by Kansas

Contenido

• Definición de trabajo• Producto escalar de dos vectores• Trabajo de una fuerza variable• Trabajo hecho por un resorte• Trabajo y energía• Energía cinética• Potencia

El trabajo W efectuado por un agente que ejerce una fuerza constante es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la magnitud del desplazamiento.

W = F s cos θ

θ F cos θ

F

s

Definición de trabajo

El producto escalar de dos vectores A y B es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores.

 A·B = AB cos θ

θθ

A

ABBA cos θ

B cos θ

Proyección de A sobre B Proyección de B sobre A

Producto escalar de dos vectores

5

Se cumplen las siguiente fórmulas:

 A·B = B·A

A·(B+C) = A·B + A·C

i·i = j·j =k·k = 1

i·j = i·k =j·k = 0

 Si A = Axi +Ayj +Azk y B = Bxi +Byj +Bzk, entonces:

A·B = AxBx +AyBy +AzBz.

Continuación

Fx

xi xfx

Fx

xi xfx

∆x

Fx

Área = ∆A = Fx∆x

Trabajo

El trabajo hecho por la fuerza Fx es el área del rectángulo sombreado.

El trabajo total es el área bajo la curva.

Trabajo de una fuerza variable

La curva de Fx se divide en un gran número de intervalos, el trabajo será igual a:

∑ ∆≅f

i

x

xx xFW

Si hacemos los ∆x tender a cero, se tendrá que W es:

∫∑ =∆=→∆

f

i

f

i

x

x x

x

xxx

dxFxFW0

lim

En tres dimensiones:

∫ ⋅= B

AdW

r

rrF

Continuación

EjemploCalcule el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve de x = 0 m a x = 6.0m.

x

F(N)

1 2 3 4 5 6

5

5

0

El trabajo es el área del rectángulo más el área del triángulo:W = (5)(4) + (2)(5)/2 = = 25 J

jfgt 9

EjemploCalcule el trabajo que realiza el Sol sobre una sonda espacial se aleja del Sol desde r = 1.5x1011 m a r = 2.3x1011 m. La fuerza que ejerce el Sol sobre la sonda es

F = -1.3 x 1022/x2

El trabajo es el área sombreada en la gráfica.

J

dxx

dxx

W

10

103.2

105.1 222

103.2

105.1 2

22

103

1103.1

103.1

11

11

11

11

×−=

×−=

×−=

∫

∫×

×

×

×

TareaLa fuerza que actúa sobre una partícula se muestra en al figura. Encuentre el trabajo hecho por la fuerza cuando la partícula se mueve de a) x = 0 a x =8; b) x = 8 a x = 10; c) x = 0 a x =10.

x

F(N)

2 4 6 8 10

6

4

2

0

-2

-4

x = 0Fx es negativa

x es positiva

x

Fx es positiva

x es negativa

x

Fr

kxm

Fr = −kxmxm

221Área mkx=

221

mr kxW =

Fr = −kxm

Trabajo hecho por un resorte

Fx = 0

x = 0

Una fuerza Fneta actúa sobre un cuerpo de masa m, en dirección +x. Las ecuaciones de posición y velocidad son:

)2(

)1(21

0

20

tm

Fvv

tm

Ftvx

neta

neta

+=

+=∆

Despejando t de (2) y sustituyendo en (1) podemos encontrar que:

202

1221 mvmvxFneta −=∆

Trabajo y energía

La energía cinética se define como:2

21 mvK =

El trabajo neto efectuado por una fuerza sobre un cuerpo es:

xFW netaneto ∆=

El teorema de trabajo energía establece que:

Trabajo hecho por una fuerza = Cambio en su energía cinéticaKWneto ∆=

Energía cinética

El trabajo efectuado por la fuerza neta constante Fneta al desplazarse una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.

2212

21

ififneto mvmvKKW −=−=

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Situaciones con fricción cinéticaSi hay fuerzas de fricción, habrá una pérdida de energía cinética debido a esta.

∆Kfricción = – fcd

La ecuación de trabajo energía cinética seráfcnetoi KdfWK =−+

EjemploUn bloque de 6 kg es jalado hacia la derecha en una superficie sin fricción con una fuerza horizontal constante de 12 N. Encuentre la rapidez después que ha recorrido 3 m.

vf

d

mg

n

F

W = Fd = (12)(3) = 36 J

W = Kf – Ki = ½ mvf2 – 0

126

)36(222 ===mWv f

vf = 3.5 m/s

EjemploUn bloque de 6 kg es jalado hacia la derecha en una superficie con fricción con una fuerza horizontal constante de 12 N. El coeficiente de fricción es 0.15. Encuentre la rapidez después que ha recorrido 3 m.

vf

d

mg

n

F

W = Fd = (12)(3) = 36 JLa enegía perdida por la fricción es:

∆Kfricción = – fcd = – (0.15)(6)(9.8)(3) = 26.5 JAplicando

0 + 36 – 26.5 = ½ 6 vf2

vf2 = 3.18

vf = 1.8 m/s

fcnetoi KdfWK =−+

Tarea

Una partícula de 0.6 kg tiene una rapidez de 2 m/s en el punto A y una energía de 7.5 J en B. a)¿Cuál es su energía en A? b) ¿Su rapidez en B? c ) ¿El trabajo total realizado cuando se mueve de A a B?

PotenciaLa potencia promedio se define como la cantidad de trabajo W hecha en un intervalo de tiempo ∆t :

tWP∆

≡

En términos más generales, la potencia es la tasa de transferencia de energía en el tiempo.

La potencia instantánea es el valor límite de la potencia promedio cuando ∆t tiende a cero:

dtdW

tWP

t=

∆≡

→∆ 0lim

Además

vFsF ⋅=⋅==dtd

dtdWP

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Unidades de potenciaLa unidad de potencia es:

[P] = [W]/[T] = J/s = watt = W

La unidad en el sistema inglés es el caballo de potencia (horsepower)

1 hp = 746 W

La unidad de energía puede definirse en términos de la unidad de potencia. Un kilowatt-hora es la energá consumida en una hora a una relación constante de 1 kW = 1000 Js

1kWh = (1000 W) (3600 s) = 3600000 J

jfgt

TareaCalcule el gasto de energía consumida por los siguientes aparatos o dispositivos:

a) Un foco de 75 W en 4 hrs.b) Un horno de microondas de 1200W en 35 min.c) Una televisión de 300 W en 8 hrs.d) Un calentador eléctrico de 1500 en 8 hrs.e) Un cobertor eléctrico de 40 W en 8 hrs.

¿qué dispositivo o aparato consume más energía?

TareaUn grupo de perros arrastra un trineo de 100 kg en un tramo de 2.0 km sobre una superficie horizontal a velocidad constante. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y la nieve es 0.15, determine a) el trabajo efectuado por los perros y b) la energía perdida debido a la fricción.

Una fuerza F = (6i - 2j)N actúa sobre una partícula que experimenta un desplazamiento s = (3i + j) m. Encuentre a) el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula, y b) el ángulo entre F y s.

La fuerza requerida para alargar un resorte que sigue la ley de Hooke varia de cero a 50.0 N cuando lo extendemos moviendo un extremo 12.0 cm desde su posición no deformada. a) Encuentre la constante de fuerza del resorte. b) Determine el trabajo realizado en extender el resorte.

Una bala de 15.0 gr se acelera en el cañón de un rifle de 72.0 cm de largo hasta una velocidad de 780 m/s. Emplee el teorema del trabajo y energía para encontrar la fuerza ejercida sobre la bala mientras se acelera.

Que tengas un buen día