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Trabajos de Investigación

Pilar Turégano MoratallaUniversidad de Valencia, EspañaLos conceptos en torno a la medida y el aprendizaje del cálculoinfmitesimal - Tesis doctoral

En principio, la finalidad de nuestra investigación ha sido encontrar un modelo dentrodel contexto matemático (definición de integral alternativa a la de Riemann) para poderutilizarlo en la elaboración de una propuesta didáctica que permita introducir, a nivelconceptual, la integral definida ante los estudiantes de Secundaria.

Dicha propuesta =experimentada con estudiantes que no han sido iniciados en elestudio del cálculo infinitesimal- nos permitiría, por una parte, analizar las dificultadesque encuentran con nuestra propuesta y, por otra, determinar si las dificultades deaprendizaje, que ya han sido puestas de manifiesto en diversos estudios, se puedenrectificar .

En nuestra investigación hay, por tanto, dos fases muy diferenciadas:

- una primera en el campo del desarrollo de las ideas matemáticas, y- una segunda que tiene lugar en el campo de la investigación educativa.

Como es natural, cada una de las fases se afronta con objetivos diferentes y condistintos medios para su consecución.

Nos parece que la originalidad de esta investigación está, en primer lugar, en queno hemos encontrado estudios previos cuyo objeto fuera el aprendizaje del concepto deintegración como primera introducción al estudio del cálculo infinitesimal, tomandocomo punto de partida el cálculo de áreas planas; en segundo lugar, en la utilizaciónde un método estadístico (análisis factorial de correspondencias) para clasificar a losestudiantes a entrevistar con base en tres temas de estudio que, a nuestro entender,influyen directamente en el concepto de integral definida, y que permiten analizar lasdificultades de aprendizaje y evolución de los estudiantes con base en estos temas.Finalmente, en que el análisis de las respuestas se ha hecho a partir de los datos obtenidostanto en pruebas escritas como en entrevistas. No hemos utilizado, por tanto, ningunaclasificación previa.

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• EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Vol. 7-No. 3 • Diciembre 1995 • © GEL • Pág. 167 •

II I

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En el primer capítulo de nuestro trabajo encontramos la fundamentación teóricadel mismo. En él hemos detallado los antecedentes de la investigación, que abarcantanto las motivaciones personales como el objeto y objetivos de la misma, así como lasbases teóricas de la metodología y las fuentes bibliográficas utilizadas.

Los medios generales utilizados en la primera fase de investigación han sido elestudio de fuentes primarias y de historiadores, el análisis de tratados, manuales ytextos, y el estudio de currícula, que nos han permitido estudiar el tránsito noción-con-cepto-definición para una de las ideas centrales de la matemática: el área de una región.

El resultado de este estudio se recoge en los capítulos segundo y tercero, y es elque nos ha permitido encontrar el modelo teórico buscado, que está basado en ladefinición geométrica de integral presentada por Lebesgue (1928).

Una de las observaciones más importantes de este estudio, de cara a la enseñanza,es que éste es el momento propicio en el que se dan las condiciones curricularesnecesarias para poder afrontar este enfoque de la integración, ya que la LOGSE 1 de1990 explícita, en 10 referente al área, que se ha de construir la magnitud antes dedefinir la aplicación medida que permita asignarle un número y, en 10 referente alcálculo infinitesimal, recomienda comenzar con un tratamiento intuitivo de las funciones-a la vez gráfico y analítico-, e introducir el concepto de integral definida a partirdel cálculo de áreas definidas bajo una curva.

El capítulo cuarto recoge los resultados de la segunda fase de nuestra investigación,que -como ya apuntábamos anteriormente- tiene por objetivo someter a evaluaciónnuestra propuesta y analizar el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

Comenzamos con un diagnóstico acerca de la situación de partida de los estudiantes-3 cursos de 10 de BUP2- con cuestiones relacionadas con su intuición del infinito,y su capacidad para visualizar y resolver problemas de áreas.

De los datos obtenidos a partir de la aplicación de los cuestionarios, elegimos elanálisis factoríal de correspondencias como método estadístico para clasificar a losestudiantes y, a partir de tal Clasificación, elegimos la muestra a entrevistar. Para laaplicación de este método empleamos el programa CHADOC. VS. versión 3.0 delDépartment de Informatique de l'IUT, de Niza.

Con: las clasificaciones obtenidas de dicho análisis, hemos podido determinarlos estudiantes representantes de las clases que más han contribuido a la formaciónde los ejes. Esta muestra permitirá -por medio de entrevistas- reclasificar a losestudiantes, no sólo de acuerdo con su rendimiento, sino también de conformidadcon sus estrategias.

Con el modelo teórico elaborado y los conocimientos previos e intuiciones mani-festadas por los estudiantes en las entrevistas de la etapa de preaprendizaje, diseñamoslas situaciones didácticas que pusimos en práctica en uno de los tres cursos utilizadosinicialmente.

Las últimas entrevistas tienen por objeto enfreutar al estudiante, después de la etapade aprendizaje, con problemas que tienen que ver con el área bajo una curva, en trescontextos distintos. Esto permitió determinar las imágenes del concepto de integraciónque han formado los estudiantes, la evolución -si la ha habido- en el concepto de

1 Ley Orgánica General del Sistema Educativo2 Bachillerato Unificado Polivalente

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límite, y si este enfoque de la integración favorece la transferencia a contextos distintosdel matemático.

El capítulo quinto recoge las conclusiones obtenidas en la última etapa de lainvestigación y una reflexión acerca de las posibles implicaciones didácticas de lamisma.

Después de las reseñas bibliográficas hemos incluido un anexo con los cuestiona-rios y protocolos de la última entrevista a los estudiantes. Incluimos, además, undiskette con los datos, análisis factorial y programas informáticos escritos en BASIC,y que fueron utilizados en la etapa de aprendizaje.

Autora: Pilar Turégano MoratallaDirector: Dr. Eugenio Filloy y Yagüe (CINVESTA V, México)

Lugar de presentación: Facultad de Ciencias MatemáticasDepartamento de Didáctica de la Matemática

Universidad de Valencia, EspañaFecha: 27 de abril de 1994