Tracción, Compresión y Cortante

Curso: Resistencia de materiales 1 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna

Ingeniería Civil

CAPITULO I

“El querer lo es todo en la vida. Si queréis ser felices lo seréis. Es la

voluntad la que transporta las montañas.” Alfred Victor de Vigny (1797-1863) Escritor francés.

I. TRACCIÓN, COMPRESIÓN Y CORTANTE

1. PRE-REQUISITOS

Para la compresión adecuada de este tema se necesita conocimientos previos

en cálculo, estática y materiales de construcción.

2. GENERALIDADES

La resistencia de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata

del comportamiento de los cuerpos solidos sometidos a varios tipos de carga.

Otros nombres que se le conoce son la mecánica de los materiales y

mecánica de los cuerpos deformables. El objetivo principal de este curso es

determinar las tensiones, deformaciones y desplazamientos en estructuras y

sus componentes que actúan sobre ella. (Gere, 2006)

Se ocupa de predecir las condiciones de reposo o movimiento de los sólidos

rígidos bajo la acción de fuerzas exteriores. Un sólido rígido es aquel en el que

las distancias entre sus puntos no sufren variación durante la aplicación de las

fuerzas exteriores. En las aplicaciones de la Ingenieria mecánica y estructural

se requiere verificar la seguridad de los componentes mediante la

comparación de las fuerzas internas a que se ven sometidos durante su

trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construcción. La

determinación de dichas fuerzas internas no puede hacerse, en un caso

general, si se mantiene la hipótesis de que los componentes se comportan

como solidos rígidos. Debe suponerse que los componentes son sólidos

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=1019


Ingeniería Civil

deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen

constantes al aplicar un sistema de fuerzas exteriores. (Beltrán, 2007)

3. INTRODUCCIÓN

Entender el comportamiento mecánico es esencial para el diseño seguro de

todos los tipos de estructura, ya sean aeroplanos, antenas, edificios, puentes,

máquinas, motores, barcos y naves espaciales. Ésta es la razón por lo que la

resistencia de materiales es una disciplina básica en muchos campos de la

ingeniería. La estática y la dinámica también son asociadas con partículas y

cuerpos rígidos. En la resistencia de materiales vamos un paso más allá al

examinar las tensiones y deformaciones dentro de los cuerpos reales; es

decir, cuerpos de dimensiones finitos que se deforman bajo carga. Para

determinar las tensiones y las deformaciones, usamos las propiedades físicas

de los materiales así como numerosas leyes y conceptos teóricos.

El desarrollo histórico de la resistencia de materiales es una fascinante mezcla

de teoría y experimentos; en algunos casos, la teoría ha señalado el camino

para llegar a resultados útiles y la experimentación lo ha hecho con otros. El

desarrollo histórico de la resistencia de materiales es una fascinante mezcla

de teoría y experimentos; en algunos casos, la teoría ha señalado el camino

para llegar a resultados útiles y la experimentación lo ha hecho en otros.

Algunos personajes como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei

(1564-1642) llevaron ensayos para determinar resistencia de algunos

materiales. En otro plano, Leonhard Euler (1707-1783) desarrollo la teoría

matemática de las columnas y calculo la carga crítica de una columna en

1744. (Gere, 2006)


Ingeniería Civil

4. MARCO TEÓRICO

4.1. Tensión normal y deformación lineal

Tensión normal

Los conceptos fundamentales en resistencia de materiales son la tensión

y la deformación. Esos conceptos pueden ilustrarse en su forma más

elemental considerando una barra prismática sometida a fuerzas axiales.

Una barra prismática es un miembro estructural recto con sección

transversal constante en toda su longitud. Fuerza axial es una carga

dirigida a los largo del eje del miembro que se somete a tracción o a

compresión. Ejemplo de estos son la armadura de puentes, las bielas en

motores y automóviles, los rayos de las ruedas de bicicletas, las columnas

de edificios y los puntales de las alas aeroplanos pequeños.

Si tenemos una barra y le aplicamos una fuerza horizontal (P), generamos

un esfuerzo a tracción, generando así el esfuerzo (σ) entre el área que se

muestra en la figura 1. En el sistema internacional se tiene como N/m² las

unidades. (Gere, 2006)

Fig. 1 “Tracción y compresión” Fuente: Google


Ingeniería Civil

La ecuación 1, da la tensión normal promedio sobre una sección

transversal.

Deformación lineal

Como se vio, una barra recta cambiará de longitud al cargarla axialmente,

volviéndose más larga en tracción y más corta en compresión. Por

ejemplo, considérese de nuevo la barra prismática de la figura 1, el

alargamiento , es el alargamiento acumulativo del alargamiento de todos

los elementos de material en todo el volumen de la barra, supongamos

que el material es el mismo material en todas sus partes, si consideramos

la mitad de la barra (L/2), está tendrá un alargamiento igual a , y si

consideramos la cuarta barra de la barra (L/4), quedará , de esta

deducción podemos decir que el alargamiento de un segmento es igual a

su longitud dividida entre la longitud total L y multiplicad por el

alargamiento total . Por tanto, una unidad de longitud de la barra tendrá

un alargamiento igual a veces . Esta cantidad se denomina

alargamiento por unidad de longitud, o deformación lineal, que se

representa con la letra griega épsilon . (Gere, 2006)

Tensión y deformaciones uniaxiales

Las definiciones de tensión normal y deformación lineal se basan en

consideraciones puramente estáticas y geométricas, lo que significa que

las ecuaciones 1 y 2 pueden usarse para cargas de cualquier magnitud y

material. El principal requisito es que la deformación de la barra sea

uniforme en todo su volumen, lo que a su vez requiere que ésta sea


Ingeniería Civil

prismática, que las cargas pasen por los centroides en las secciones

transversales y que el material sea homogéneo.

Línea de acción de las fuerzas axiales para una distribución uniforme

de la tensión.

En todo el análisis anterior de la tensión y de la deformación lineal en una

barra prismática, supusimos que la tensión normal estaba distribuida

uniformemente sobre la sección transversal. Demostremos ahora que esta

condición se satisface si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por

el centroide del área de la sección transversal. (Gere, 2006)

Consideremos una barra primatica de sección transversal arbitraria,

sometida a fuerzas axiales P que producen tensiones distribuidas

uniformemente. Sea P1 el punto de la sección transversal donde la línea

de acción de las fuerzas intersectan la sección transversal. Construimos

un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal y denotamos

las coordenadas del punto P1 con y . Para determinar esas

coordenadas, observamos que los momentos Mx y My de la fuerza P

respecto a los ejes x y y, respectivamente, deben ser iguales a los

momentos correspondientes de las tensiones uniformemente distribuidas.

(Gere, 2006)

Fig. 2 “Esfuerzo”

Fuente: Timoshenko


Ingeniería Civil

Fig. 2 “Centroide”

Fuente: Timoshenko

Los momentos de la fuerza P son:

…… (3)

En donde un momento se considera positivo cuando su vector actúa en la

dirección positiva del eje x. Los momentos de las tensiones distribuidas se

obtienen integrando sobre el área A de la sección transversal. La fuerza

diferencial que actúa sobre un elemento de área , es igual . Los

momentos de esta fuerza elemental con respecto a los ejes x y y son

y – , respectivamente, en donde x y y denotan las coordenadas del

elemento . Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área

de la sección transversal:

∫ –∫ …… (4)

Estos momentos son producidos por las tensiones .

A continuación, igualamos los momentos , obtenidos

anteriormente con los momentos resultantes de las tensiones distribuidas.


Ingeniería Civil

∫ –∫ …… (5)

∫

–∫

…… (5)

∫

∫

…… (5)

Estas ecuaciones son las mismas que las ecuaciones que definen las

coordenadas del centroide de un área; por tanto, hemos llegado a una

importante conclusión; para tener tracción o compresión uniforme en

una barra prismática, la fuerza axial debe actuar por el centroide del

área de la sección transversal. Como se explicó antes, siempre

supondremos esto, a menos que se especifique lo contrario.

En los siguientes ejemplos se calcularán tensiones y deformaciones

lineales en barras prismáticas. En el primer ejemplo despreciamos el peso

de la barra y en el segundo lo incluimos. (Gere, 2006)


Ingeniería Civil

Ejemplo 1:

Un poste de aluminio construido con un tubo circular hueco, soporta una

carga en compresión de 30 kg. Los diámetros interior y exterior del tubo

son y , respectivamente, y su longitud es de 3

metros. El acortamiento del poste debido a la carga es de 0.003 mts.

Determine la tensión de compresión y la deformación lineal en el poste(

Se desprecie el peso del poste y se supone que esta no pandea bajo la

carga).

Solución

Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo

hueco, podemos usar la ecuación 1 del texto, para calcular la tensión

normal. La fuerza P es igual a 30 Kg. y el área de la sección transversal

es:

(

)

Por tanto, la tensión de compresión en el poste es:


Ingeniería Civil

La deformación lineal de compresión es: (Ecuación 2)

Ejemplo 2:

Una barra de acero de longitud L y diámetro d cuelga de un foco en una

vivienda, sosteniendo en su extremo inferior un foco de peso W.

a) Calcular una fórmula para la tensión máxima en la barra,

tomando en cuenta el peso propio de este.

b) Calcular la tensión máxima si L= 1.50 mts, d= 8 mm y W=1.5 kN

Solución

a) La fuerza axial máxima en la barra ocurre en el extremo superior

y es igual al peso más el peso propio peso de la barra. Este

último es igual a la densidad del acero multiplicada por el volumen V

de la barra; es decir,


Ingeniería Civil

Por tanto, la fórmula para la tensión máxima es:

Reemplazando valores en la solución anterior.

Para obtener el segundo miembro se lo divide entre 981, que es la

aceleración de la gravedad.

4.2. Propiedades mecánicas de los materiales

Para que las máquinas y estructuras funcionen apropiadamente, su diseño

requiere que entendamos el comportamiento mecánico de los

materiales usados. Por lo general, la única manera de establecer el

comportamiento de los materiales cuando están sometidos a cargas, es

llevar a cabo experimentos en el laboratorio. El procedimiento cual es

colocar pequeñas probetas del material en máquinas de prueba, aplicar

las cargas y medir las deformaciones resultantes (como cambios de

longitud y diámetro). La mayoría de los laboratorios de pruebas de

materiales están equipados con máquinas capaces de cargar las probetas.

(Gere, 2006)


Ingeniería Civil

Ensayo de Compresión

FIGURA Nº 2. EQUIPO DE ENSAYO UPN PARA COMPRESIÓN.

FUENTE: PROPIA

Ensayo de Tracción

FIGURA Nº 3. EQUIPO DE ENSAYO PARA TRACCIÓN. FUENTE: GOOGLE


Ingeniería Civil

4.3. Diagramas tensión-deformación

Los resultados de las probetas dependen en general del tamaño de la

probeta ensayada. Como es poco probable que se diseñe una estructura

con partes del mismo tamaño que las probetas de prueba, los resultados

de las pruebas se deben expresar en forma al que puedan aplicarse a

miembros de cualquier tamaño. (Gere, 2006)

La tensión normal en una probeta de prueba se calcula dividiendo la

carga axial P entre el área A de la sección transversal. Cuando se usa el

área inicial de la probeta en los cálculos, la tensión se llama tensión

nominal. Un valor más exacto de la tensión normal, llamada tensión

verdadera, puede calcularse usando el área real de la barra en la sección

transversal donde ocurre la falla. Como el área real en una prueba de

tracción es siempre menor que el área inicial, la tensión verdadera es

mayor que la tensión nominal.

La deformación lineal promedio en la probeta de prueba se encuentra

dividiendo el alargamiento medido entre las marcas de calibración, entre

la longitud calibrada L. Si se usa la longitud calibrada inicial en los

cálculos, se obtiene la deformación lineal nominal. Puesto que la

distancia entre las marcas de calibración crece conforme se aplica la

carga, podemos calcular la deformación lineal verdadera para cualquier

valor de la carga usando la distancia real entre las marcas de calibración.

En tracción, la deformación lineal verdadera siempre es menor que la

deformación lineal. (Gere, 2006)

Después de efectuar una prueba de tracción-compresión, podemos trazar

un diagrama de tensión-deformación, tal diagrama es una característica

del material particular que se está probando y contiene información

importante sobre las propiedades mecánicas y tipo de comportamiento.


Ingeniería Civil

El primer material que estudiaremos es el acero estructural, conocido

también como acero dulce o acero de bajo carbono. El acero estructural

es uno de los metales más usados y se encuentra en edificios, puentes,

grúas, barcos, torres, vehículos y muchos otros tipos de construcciones.

(Gere, 2006)

En la figura 4, se muestra un diagrama tensión-deformación para acero

estructural típico en tracción. Las deformaciones lineales se trazan sobre

el eje horizontal y tensiones sobre el eje vertical. El diagrama comienza

con una línea recta que va del origen O al punto A, lo que significa que la

relación entre la tensión y la deformación en esta región inicial no es sólo

lineal sino también proporcional. Más allá del punto A, la proporcionalidad

entre la tensión y la deformación ya no existe; por esto, la tensión en A se

llama límite proporcional. Para aceros al bajo carbono, este límite varía

de 210 a 350 MPa, pero los aceros de alta resistencia, pueden tener

límites proporcionales de más de 550 MPa. La pendiente de la recta O a A

se llama módulo de elasticidad. Como la pendiente tiene unidades de

tensión divididas entre deformación, el módulo de elasticidad posee las

mismas unidades que la tensión. (Gere, 2006)

Fig. 4 “Tracción y compresión” Fuente: Timoshenko


Ingeniería Civil

Con un incremento en la tensión más allá del límite proporcional, la

deformación comienza a crecer con más rapidez para cada incremento de

la tensión; en consecuencia, la curva tensión-deformación tiene una

pendiente cada vez menor, hasta que en el punto B se vuelve horizontal.

Comenzando en este punto, ocurre un considerable alargamiento de la

probeta de prueba sin un incremento perceptible en la fuerza de tracción.

Este fenómeno se conoce como fluencia del matemático y el punto B se

llama punto de fluencia. La tensión correspondiente se conoce como

tensión de fluencia del acero. En la región de B a C, el material se vuelve

perfectamente plástico, lo que significa que se deforma sin ningún

incremento en la carga aplicada. En términos habituales, el alargamiento

de una probeta de acero dulce en la región perfectamente plástica es de

10 a 15 veces que ocurre en la región lineal. La presencia de

deformaciones muy grandes en la región plástica es la razón para no

trazar este diagrama a escala. Después de experimentar las grandes

deformaciones que ocurren durante la fluencia en la región BC, el acero

empieza a endurecerse por deformación. Durante el endurecimiento por

deformación, el material experimenta cambios en su estructura cristalina,

lo que conduce a una resistencia mayor del material a deformaciones

adicionales. El alargamiento de la probeta de prueba en esta región re

quiere un incremento en la carga de tracción, por lo que el diagrama

tensión-deformación tiene una pendiente positiva C a D. La carga termina

por alcanzar su valor máximo y la tensión correspondiente se llama

tensión última. Un alargamiento adicional de la barra va acompañado por

una reducción de la carga y la fractura ocurre finalmente en un punto

como el E. (Gere, 2006)

La tensión de fluencia y la tensión última de un material se llaman también

resistencia de fluencia y resistencia última, respectivamente.

Resistencia es un término general que se refiere a la capacidad de una

estructura para resistir cargas. Por ejemplo, la resistencia a la fluencia de


Ingeniería Civil

una viga es la magnitud de la carga requerida para causar la fluencia en la

viga y la resistencia última de una armadura es la carga máxima que

puede soportar (carga de falla). Sin embargo, cuando se lleva a cabo una

probeta de tracción de un material específico, definimos la capacidad de

tomar carga por tensiones en la probeta y no por las cargas totales que

actúan sobre ella, en consecuencia, la resistencia de un material suele

indicarse mediante una tensión. (Gere, 2006)

Cuando una probeta de prueba se estira, sufre una contracción lateral,

según se mencionó antes. El decremento resultante del área transversal

es muy pequeño para que tenga efecto significativo en los valores

calculados de las tensiones hasta aproximadamente el punto C, pero más

allá de este punto la reducción del área comienza a modificar la forma de

la curva. En la vecindad de la tensión última, la reducción de área de la

barra resulta visible y ocurre una estricción pronunciada en ellas. Si se

usa el área verdadera la sección transversal de la parte estrecha debido a

la estricción para calcular la tensión, se obtiene la curva verdadera

tensión-deformación. Como se espera que la mayoría de las estructuras

funcionen a tensiones inferiores al límite proporcional, la curva

convencional tensión-deformación OABCDE, que es fácil de

determinar, proporciona una satisfactoria teoría para su uso. (Gere, 2006)

Cuando un material como el aluminio no tiene un punto de fluencia obvio y

sufre grandes deformaciones después de excedido al límite proporcional,

puede determinarse una tensión de fluencia arbitraria por el método de

corrimiento. Se traza una línea recta, sobre el diagrama tensión-

deformación, paralela a la parte inicial de la curva, pero desplaza cierta

deformación estándar, como 0.002. La intersección de la línea desplazada

y la curva tensión-deformación, define la tensión de fluencia.


Ingeniería Civil

Los materiales que fallan en tracción a valores relativamente bajos de la

deformación se clasifican como frágiles.

4.4. Elasticidad, plasticidad y flujo plástico

Los diagramas tensión-deformación muestran el comportamiento de los

materiales ingenieriles cuando están cargados en tracción o en

compresión. Para ir un paso más allá, consideremos ahora qué sucede

cuando la carga se retira y el material se descarga; por ejemplo,

supongamos que aplicamos una carga de tracción a una probeta de

manera que la tensión y la deformación lineal van del origen O al punto A

sobre la curva tensión-deformación en la figura 4. Supongamos además

que cuando la carga se retira, el material sigue la misma curva de regreso

al origine O. Esta propiedad por medio de la cual un material recupera sus

dimensiones originales al ser descargado, se llama elasticidad y se dice

que el material es elástico. Nótese que la curva tensión-deformación de O

a A no tiene que ser lineal para que el material sea elástico. Supongamos

ahora que cargamos otro material a un mayor nivel, de manera que

alcanza el punto B, de manera que se alcanza el punto B sobre la curva

tensión deformación. Cuando la descarga ocurre desde el punto B, el

material sigue la línea BC sobre el diagrama. Esta línea de descarga es

paralela a la porción inicial de la curva de carga; es decir, la línea BC es

paralela a la tangente de la curva tensión-deformación en el origen.

Cuando se alcanza el punto C, se ha suprimido por completo la carga,

pero el material conserva una deformación residual o deformación

permanente, representada por la línea OC; en consecuencia, la probeta de

prueba es ahora más larga que antes de cargarla. Este alargamiento

residual de la barra se llama deformación remanente. De la deformación

total OD desarrollada durante la carga de O a B, la deformación CD se ha

recuperado elásticamente y la deformación OC queda como una

deformación permanente; por tanto, durante la descarga la barra torna a


Ingeniería Civil

su forma original en forma parcial y se dice que el material parcialmente

elástico. (Gere, 2006)

Entre los puntos A y B sobre la curva tensión-deformación debe haber un

punto antes del cual el material es elástico y después del cual es parcial

mete elástico. Para encontrarlo, cargamos el material hasta cierto valor

específico de la tensión y luego retiramos la carga. Si no tiene una

deformación permanente, el material es totalmente elástico hasta ese

valor específico de la tensión. Este proceso de carga y descarga puede

repetirse para valores sucesivamente mayores de la tensión, hasta

terminar alcanzando una tensión para la cual no toda la deformación se

recuperará durante la descarga. Con este procedimiento es posible

determinar la tensión en el límite elástico. Muchos materiales, incluidos la

mayoría de los metales, tienen regiones lineales al principio de sus curvas

tensión-deformación. La tensión en el límite superior de esta región lineal

es el límite proporcional. La tensión en el límite superior de esta región

lineal es el límite proporcional. El límite elástico suele ser el mismo o un

tanto superior, que el límite proporcional. La característica de un material

por la cual sufre deformaciones inelásticas más allá de la deformación en

el límite elástico se conoce como plasticidad. En la curva tensión-

deformación de la figura 4 tenemos una región plástica. Cuando ocurren

deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice

que el material sufre un flujo plástico. Cuando un material entra a un flujo

plástico la estructura interna del material se altera y sus propiedades

cambian. Supongamos que un material es recargado después de una

descarga en un flujo plástico, la nueva carga comienza en el punto C

sobre el diagrama y continúa hacia arriba hasta el punto B, el punto en

que comenzó la descarga durante el primer ciclo de carga. El material

sigue el diagrama original de tensión-deformación hacia el punto F. Para la

segunda carga, podemos imaginar que tenemos una nueva curva tensión-

deformación con su origen en C. (Gere, 2006)


Ingeniería Civil

4.5. Elasticidad lineal, ley de Hooke y coeficiente de Poisson

Muchos materiales estructurales, incluidos la mayoría de los metales,

madera, plásticos y cerámicos, se comportan elástica y linealmente en las

primeras etapas de carga. Cuando un material se comporta elásticamente

exhibe también una relación lineal entre la tensión y la deformación, se

dice que es elástico-lineal. (Gere, 2006)

Ley de Hooke

La relación lineal entre la tensión y la deformación lineal en una barra

sometida a tracción o compresión simple se expresa por la ecuación.

Dónde:

La ecuación anterior se conoce como ley de Hooke, en honor al

científico inglés Robert Hooke, esta ecuación es una versión muy limitada

de la ley de Hooke porque relaciona sólo las tensiones y deformaciones

lineales desarrolladas en la tracción o compresión simple de una barra

(Tensión Uniaxial).

Coeficiente de Poisson

Cuando una barra prismática se somete a tracción, el alargamiento axial

va acompañado de una contracción lateral. Este cambio en la forma se

ilustra en la siguiente figura 5.


Ingeniería Civil

Fig. 5 “Variación según Poisson” Fuente: Google

La contracción lateral advierte con facilidad estirando una goma elástica;

pero en los metales, los cambios en las dimensiones laterales suelen ser

muy pequeños para detectarlos a simple vista, por lo cual se utilizan de

medición sensibles. (Gere, 2006)

Si una barra está hecha de un material elástico lineal, la deformación

lineal lateral en cualquier punto de ella es proporcional a la deformación

lineal axial en el mismo punto. La razón de estas deformaciones es una

propiedad del material conocida como coeficiente de Poisson. Esta

razón adimensional, comúnmente representada mediante la letra griega

, puede expresarse a través de la ecuación.

Para que el módulo de Poisson sea igual en todas sus partes, el material

debe ser homogéneo, lo que significa que debe tener la misma

composición.


Ingeniería Civil

Ejemplo 3:

Un tubo de acero de longitud , diámetro exterior y

diámetro interior , está comprimido por una fuerza axial

El material tiene un módulo de elasticidad

y un coeficiente de Poisson .

Determinar las siguientes cantidades en el tubo:

a) El acortamiento ;

b) La deformación lineal lateral

c) El incremento y

d) El incremento , del espesor de la pared.

Solución

El área A de la sección transversal y la tensión normal se determina

como sigue:

(

)

Por tanto, la tensión de compresión en el poste es:


Ingeniería Civil

Como la tensión está muy baja de la tensión de fluencia (comportamiento

general del acero), la deformación axial se puede hallar mediante la ley de

Hooke.

a) El acortamiento

b) La deformación lineal lateral se obtiene con el coeficiente de Poisson

c) El incremento en el diámetro exterior es igual a la deformación lineal

lateral multiplicada por el diámetro:

El diámetro interior también.


Ingeniería Civil

d) El incremento del espesor también se encuentra de esa manera:

4.6. Tensión tangencial y deformación angular

Se vio anteriormente las tensiones que actúan en una superficie

perpendicularmente, a estas se le conoce como tensiones normales; pero

existen otras que actúan de forma paralela a la superficie, a estas se las

conoce como tensiones tangenciales.

Como ejemplo de la acción de las tensiones tangenciales consideramos la

conexión con perno mostrada en la figura 6. Esta conexión consisten en

una barra plana A, una abrazadera C y un perno B que pasa por agujeros

en la barra y en la abrazadera. Por la acción de cargas de tracción P, la

barra y la abrazadera presionarán el perno en aplastamiento y se

desarrollaran tensiones de contacto llamadas tensiones de

aplastamiento. Además, la barra y la abrazadera tienen de a cortar el

perno, es decir, cortar a través de él, y esta tendencia es resistida por

tensiones tangenciales en el perno. Para mostrar con más claridad las

acciones de las tensiones de aplastamiento y tangenciales, consideremos

una vista lateral de la conexión. Con esta vista en mente, dibujamos un

diagrama de cuerpo libre del perno. Las tensiones de aplastamiento

ejercidas por la abrazadera contra el perno aparecen sobre el lado

izquierdo del diagrama y están rotulados con 1 y 3. Las tensiones de la

barra aparecen sobre el lado derecho y están rotuladas con 2. Es difícil

determinar la distribución de las tensiones de aplastamiento, por lo que se

acostumbra suponer que están uniformemente distribuidas. Con base a

esta suposición, podemos calcular una tensión de aplastamiento promedio

dividiendo la fuerza lateral total de aplastamiento por el área de

aplastamiento :


Ingeniería Civil

Fig. 6 “Conexión con perno en que el perno está sometido cortante doble” Fuente: Timoshenko

Fig. 7 “Diagrama cuerpo libre figura anterior” Fuente: Timoshenko

El área de aplastamiento se define el área proyectada de la superficie

curva de aplastamiento; por ejemplo, consideremos las tensiones de

aplastamiento rotulada como 1. El área proyectada sobre la que actúan

es un rectángulo de altura igual al espesor de la abrazadera y ancho igual

al diámetro del perno. La fuerza de aplastamiento representada por las

tensiones rotuladas con 1 es igual a P/2. La misma área y la misma fuerza

se aplican a las tensiones 3. (Gere, 2006)

Veamos ahora las tensiones de aplastamiento entre la barra plana y el

perno. Para estas tensiones, el área de aplastamiento es un rectángulo

con altura igual al espesor de la barra plana y ancho igual al diámetro del

perno. La fuerza de aplastamiento correspondiente es igual a la carga P.


Ingeniería Civil

El diagrama de cuerpo libre de la figura 7 muestra la posibilidad de que el

perno sea degollado a lo largo de las secciones transversales mn y pq. En

un diagrama de cuerpo libre de la porción mnpq del perno, se aprecia la

acción de tensiones cortantes V sobre las superficies cortadas del perno.

En este ejemplo, hay dos planos de cortante (mn y pq) y se dice que el

perno está en cortante doble. En cortante doble, cada uno de los

esfuerzos cortantes es igual a la mitad de la carga total transmitida por el

perno, es decir, V=P/2. Los esfuerzos cortantes son las resultantes de las

tensiones tangenciales que actúan sobre la sección transversal del perno;

por ejemplo, las tensiones tangenciales que actúan sobre la sección

transversal mn se muestran en la figura 7, estas tensiones actúan

paralelamente a la superficie cortada. No se conoce la distribución exacta

de las tensiones, pero son máximas cerca del centro y se vuelven cero en

ciertas posiciones de los bordes. Según se indica en la figura, las

tensiones tangenciales se denotarán como la letra griega . (Gere,

2006)

En el análisis anterior de conexiones con pernos despreciables cualquier

fricción entre los elementos conectaos. La presencia de fricción significa

que parte de la carga es tomada por fuerzas de fricción resulta complicada

y poco confiable, es práctica común errar conservadoramente y omitirla en

los cálculos.

La tensión tangencial promedio sobre la sección transversal de un

perno se obtiene dividiendo el esfuerzo cortante total V por el área A de la

sección transversal sobre la que actúa:


Ingeniería Civil

Igualdad de las tensiones tangenciales

Para obtener una representación más completa de la acción de las

tensiones tangenciales, consideremos un pequeño elemento de material

que forma un paralelepípedo rectangular y lados de longitud a, b y c en las

direcciones x, y y z respectivamente. Las caras anterior y posterior del

elemento están libres de tensión. Las tensiones tangenciales son iguales

en caras opuestas.

Deformación tangencial

Las tensiones tangenciales que actúan sobre un elemento de material van

acompañados por deformaciones tangenciales. Como ayuda para

visualizar esas deformaciones, notamos que las tensiones tangenciales no

tienden a alargar o acortar el elemento en las direcciones x, y y z; en otras

palabras, la longitud de los lados del elemento no cambia. Más bien, las

tensiones tangenciales producen un cambio en la forma del elemento. El

elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, se deforma en un

paralelepípedo oblicuo y las caras anteriores y posteriores se convierten

en romboides. Debido a esta deformación, los ángulos entre las caras

laterales cambian por ejemplo, los ángulos en los puntos q y s, que eran

antes de la deformación, se reducen por un pequeño ángulo a

. Al

mismo tiempo, los ángulos en los puntos p y r se incrementan a

. El

ángulo es una medida de distorsión, o cambio de forma negativa del

elemento y se llama deformación tangencial. Como la deformación

tangencial es un ángulo, se mide en grados o en radianes.


Ingeniería Civil

Fig. 8 “Deformación Tangencial”

Fuente: Timoshenko

Convenciones de signos para tensiones tangenciales y

deformaciones tangenciales

Una tensión tangencial que actúe sobre una cara positiva de un elemento

es positiva si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes

coordenados y negativo si actúa en la dirección negativa de un eje. Una

tensión tangencial que actúe sobre una cara negativa de un elemento es

positiva en la dirección negativa de un eje y negativa si actúa en una

dirección positiva.

La deformación tangencial en un elemento es positiva cuando el ángulo

entre dos caras positivas (o dos negativas) se reduce. La deformación

tangencial es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas (o dos

negativas) se incrementan

NOTA: Una cara es positiva cuando su normal tiene dirigido uno de los

ejes del sistema de referencia.


Ingeniería Civil

Ley de Hooke en cortante

La ley de hooke en cortante es:

El módulo de cortante y el módulo de Young se reducen como sigue.

Deducción se verá más adelante, en capítulos adelantados.

(Conocimientos en torsión).

Ejemplo 4:

Un puntual S de acero que sirve como riostra a un malacate marino

transmite una fuerza P de compresión de 54 kN a la plataforma de un

muelle de 40°. Un pasador que atraviesa el puntual transmite la fuerza de

com. El puntual tiene una sección transversal cuadrada hueca con

espesor de pared t=12 mm (FIG) y el ángulo entre el puntual y la

horizontal es presión del puntual a 2 placas de unión G soldadas a la placa

de base B. Cuatro pernos de anclaje la aseguran a la plataforma. El

diámetro del pasador es , el espesor de las placas de unión

es , el espesor de la placa de base es y el diámetro

de los pernos de anclaje es de .

Determinar lo siguiente

a) La tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador.

b) La tensión tangencial en el pasador.


Ingeniería Civil

c) La tensión de aplastamiento entre el pasador y las placas de unión.

d) La tensión de aplastamiento entre el anclaje y la placa base.

e) La tensión tangencial en los pernos de anclaje.

Desprecie cualquier fricción entre la placa de base y plataforma.

a) Tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador. El valor

promedio de la tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador

se encuentra dividiendo la fuerza en el puntual entre el área total de

apoyo del puntual contra el pasador. Ésta es igual a dos veces el

espesor del puntual multiplicando por el diámetro del pasador. La

tensión de aplastamiento es:

b) Tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador. Como

puede verse en la figura el pasador tiende a cortarse en dos planos, es

decir, en los planos entre el puntual y las placas de unión; por tanto, la

tensión tangencial promedio en el pasador es igual a la carga total

aplicada al pasador dividida entre dos veces su área transversal:


Ingeniería Civil

El pasador se fabricaría normalmente con acero de alta resistencia y

podría resistir con facilidad está tensión tangencial.

c) Tensión de aplastamiento entre el pasador y las placas de unión.

El pasador se apoya contra las placas de unión en dos lugares, por lo

que el área de aplastamiento es dos veces el espesor de las placas

multiplicados por el diámetro del pasador, entoces:

que es menor que la tensión de aplastamiento contra el puntual.

d) Tensión de aplastamiento entre los pernos de anclaje y la placa de

base. La componente vertical de la fuerza P, se transmite a la

plataforma por aplastamiento directo entre la placa de base y la

plataforma; por su parte la componente horizontal se transmite por

medio de los pernos de anclaje. La tensión igual a la componente

horizontal de la fuerza P dividida entre el área de apoyo de cuatro

pernos. El área de apoyo de un perno es igual al espesor de la placa

multiplicado por el diámetro del perno. En consecuencia, la tensión de

aplastamiento.

e) Tensión tangencial en los pernos de anclaje. La tensión tangencial

promedia en los pernos de anclaje es igual a la componente horizontal


Ingeniería Civil

de la fuerza dividida entre el área transversal total de cuatro pernos;

por tanto,

Cualquier fricción entre la placa de base y la plataforma reduciría la

carga sobre los pernos de anclaje.

Ejemplo 5:

En la figura del problema se un punzón (herramienta de acero para

grabado) para perforar placas de acero. Supóngase que se usa un punzón

con diámetro de 0.75 in para perforar un agujero en una placa de ¼ in,

como se muestra en la vista de perfil. Si se requiere una fuerza

, ¿Cuál es la tensión tangencial promedia en la placa y la tensión

normal de compresión promedia en el punzón?

Solución

La tensión tangencial promedia en la placa se obtiene dividiendo la fuerza

P entre el área cortante de la placa. El área cortante es igual a la

circunferencia del agujero multiplicada por el espesor de la placa, esto es:


Ingeniería Civil

En donde el diámetro del punzón y t es el espesor de la placa; por tanto,

la tensión tangencial promedio en la placa es:

La tensión normal promedio de compresión en el punzón es:

en donde es el área de la sección transversal del punzón.

Ejemplo 6:

Un cojinete de apoyo del tipo usado para soportar maquinaria y vigas de

puentes, consiste en un material elástico lineal con una tapa de placa de

acero como se muestra en la figura del problema. Supóngase que el

espesor del elastómero es h, que las dimensiones de la placa son a x b y

que el cojinete está sometido a un esfuerzo cortante horizontal V. Obtener

fórmulas para la tensión tangencial promedio en el elastómero y

para el desplazamiento horizontal d de la placa.


Ingeniería Civil

Solución

Supongamos que las tensiones tangenciales en el elastómero están

distribuidas uniformemente en todo su volumen. Entonces, la tensión

tangencial sobre cualquier plano horizontal del elastómero es igual al

esfuerzo cortante y dividido entre el área del plano.

La deformación tangencial correspondiente es,

En donde es el módulo cortante del elástomero. Por último, el

desplazamiento horizontal d es igual a .

En la mayoría de los casos prácticos, la deformación tangencial es un

ángulo pequeño y entonces puede remplazarse por , con lo que se

obtiene.


Ingeniería Civil

4.7. Tensiones y cargas admisibles

Como sabemos los ingenieros diseñan una gran variedad sin fin de

objetos que satisfacen las necesidades básicas de la sociedad. Además

sabemos que el curso de resistencia de materiales, la capacidad del

objeto para soportar o transmitir cargas. Los objetos que deben soportar

cargas incluyen edificios, máquinas, recipientes, camiones, aeronaves,

barcos, etc. Por simplicidad, los llamaremos a toda estructura; entonces,

una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas.

Factor de seguridad

La resistencia verdadera de una estructura debe exceder la resistencia

requerida. Por tanto el factor de seguridad n:

Margen de Seguridad (Ms)

EL margen de seguridad se utiliza mucho en las estructuras, y se define

como:

Tensiones admisibles

Los factores de seguridad se definen y ponen en práctica de diversas

maneras. En muchas estructuras es importante que el material

permanezca dentro del intervalo elástico lineal para evitar deformaciones

permanentes cuando las cargas se retiran. En esas condiciones, el facor


Ingeniería Civil

de seguridad establece con respecto a la fluencia de la estructura. La

fluencia empieza cuando la tensión de fluencia se alcanza en cualquier

punto dentro de la estructura; por tanto, al aplicar un factor de seguridad

con respecto a la tensión de fluencia que no debe excederse en ninguna

parte de las estructuras.

o para tracción y cortante, respectivamente

donde son las tensiones de fluencia; son los factores de

seguridad. Por ejemplo en el diseño de edificios, un factor característico

de seguridad con respecto a la fluencia en tracción es 1.67; un acero dulce

con tensión de fluencia de 36 ksi tiene una tensión admisible de 21.6 ksi.

En ocasiones, el factor de seguridad se aplica a la tensión última y no a

la tensión de fluencia. Este método es adecuado para materiales frágiles

como el concreto y algunos plásticos, y para materiales sin una tensión de

fluencia bien definida como la madera y los aceros de alta resistencia.

Por ejemplo el factor de seguridad con respecto a la resistencia última de

un material suelen ser mayores que los basados en la resistencia de

fluencia. Por ejemplo en el acero dulce, el factor de seguridad para la

fluencia es 1.67 y para el factor último de 2.80.


Ingeniería Civil

Cargas admisibles

Después de que se ha establecido la tensión admisible para un material y

estructura en particular, es posible establecer la carga admisible sobre

esa estructura. La relación entre carga admisible y tensión admisible

depende del tipo de estructura. En este capítulo solo se verán barras en

tracción o compresión y pasadores en cortante directo y aplastamiento.

En estas estructuras, las tensiones están uniformemente distribuidas

sobre un área; por ejemplo, en el caso de una barra en tracción, la tensión

esta uniformemente distribuida sobre el área de la sección transversal,

siempre que la fuerza actuante actué en el centroide. Lo mismo sucede en

una barra de compresión en tanto no esté sometida a pandeo. En el caso

de un pasador sometido cortante, consideremos solo la tensión tangencial

promedio sobre la sección transversal, lo que equivale a suponer que la

tensión tangencial está uniformemente distribuida. De manera similar,

consideremos sólo un valor promedio de la tensión de aplastamiento que

actúa sobre el área proyecto del pasador. Por tanto, en los 4 casos

anteriores, la carga admisible es igual a la tensión admisible multiplicada

por el área la que actúa.

Para barras en tracción y compresión directas (sin pandeo), esta ecuación

es:

A es el área, si tuviera un hueco se considerara el área neta de la barra en

tracción o compresión

Para cortantes en cortante directo, se utilizara


Ingeniería Civil

Si está en cortante simple, el área transversal es A, si es en cortante doble

el área es el doble.

La carga admisible de aplastamiento

Ejemplo 7:

Una barra de acero que sirve de colgante vertical para soportar

maquinaria pesada en una fábrica, está unida a un soporte por medio de

la conexión con perno de la figura que se muestra. La parte principal del

colgante tiene sección transversal rectangular con ancho y

espesor En la conexión, el ancho colgante se amplía a

. El perno que transfiere la carga del colgante a las 2 placas de unión

tiene un diámetro . Determinar el valor admisible de la carga de

tracción P en el colgante en base a las siguientes consideraciones:

a) La tensión de tracción admisible en la parte principal del colgante es de

16 000 psi.

b) La tensión admisible de tracción en la sección transversal del colgante

que pasa por el perno es de 11000 psi.

c) La tensión admisible de aplastamiento entre el colgante y el perno es

de 26000 psi

d) La tensión tangencial admisible en el perno es de 6500 psi


Ingeniería Civil

Solución

a) La carga admisible con base a la tensión en la parte principal del

colgante es igual a la tensión admisible de tracción multiplicada por el

área de la sección transversal del colgante.

Una carga mayor que este valor sobre esforzará la parte principal del

colgante, o sea la tensión real excederá la tensión admisible; con lo

cual reducirá el factor de seguridad.

b) En la sección transversal del perno, se precisa un cálculo similar pero

con una tensión admisible y un área diferente. El área transversal neta

(el área después del taladrado), es igual al ancho neto multiplicado por

el espesor. El ancho neto es igual al ancho total menos el diámetro


Ingeniería Civil

d del agujero. De esta manera, la ecuación para la carga admisible

en esta sección es entonces:

c) La carga admisible con base en el aplastamiento que existe entre el

colgante y el perno es igual a la tensión de aplastamiento admisible

multiplicada por el área de aplastamiento. Esta última es la proyección

del área de contacto real, que en este caso es igual al diámetro del

perno multiplicado por el espesor del colgante. Por tanto, la carga

admisible es:

d) Por último, la carga admisible basada en la tensión tangencial sobre

el perno es igual a la tensión tangencial admisible multiplicada por el

área de corte. El área de corte es dos veces el área del perno porque

el perno está en cortante doble; así

Al comparar cualquier de los valores, vemos que el menor valor de la

carga es:


Ingeniería Civil

Problemas

1. Un poste de aluminio construido con un tubo circular hueco,

soporta una carga en compresión de 54 kips. Los diámetros

interior y exterior del tubo son y ,

respectivamente, y su longitud es de 40 in. El acortamiento del

poste debido a la carga es de 0.022 in. Determine la tensión de

compresión y la deformación lineal en el poste (Se desprecie el

peso del poste y se supone que esta no pandea bajo la carga).

2. Una barra de acero de longitud L y diámetro d cuelga en el pozo

de una mina en una vivienda, sosteniendo en su extremo inferior

una cubeta con mineral de peso W.

a) Obtener una fórmula para la tensión máxima , tomando en cuenta

el peso propio

b) Calcular la tensión máxima si L= 40 mts, d= 8 mm y W=1.5 kN


Ingeniería Civil

3. Un tubo de acero de longitud , diámetro exterior

y diámetro interior , está comprimido por una fuerza

axial El material tiene un módulo de elasticidad

y un coeficiente de Poisson .

Determinar las siguientes cantidades en el tubo:

a) El acortamiento ;

b) La deformación lineal lateral

c) El incremento y

d) El incremento , del espesor de la pared.

Tracción, Compresión y Cortante

Documents

Transcript of Tracción, Compresión y Cortante