Jenrry Ponce LópezMiguel Fabián Colorado LopezMartin Gustavo Álvarez Álvarez

Teoría De control

Como obtener las funciones de trasferencia

MATERIA

TEMA

Integrantes

Profesor:Román Morales Becerra

Historia

1. Un poco de Historia del control• Ejemplos históricos: - La idea de que un reloj de agua pudiera realizar una función automática se le

ocurre a Platón. Los alumnos de Platón tenían ciertas dificultades para levantarse por la mañana, lo cual era fuente de discusiones todos los días. Por lo cual Platón diseña un sistema de alarma basándose en una Clepsydra. En el vaso de la Clepsydra se ubicó un flotador encima del cual se depositan unas bolas. Durante la noche se llenaba el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y las bolas caían sobre un plato de cobre. Y así los alumnos terminarían por levantarse.

el caudal suministrado al depósito b es constante por lo cual este tardará en llenarse un tiempo determinado y fijo al final del cual las bolas caen sobre la bandeja

ejerciendo la función de alarma.

La función de transferencia

Resumen de las leyes de elementos

Tipo deelemento

Elementofísico

Ecuaciónrepresentativa

Símbolo

Inductancia

Inductanciaeléctrica

Resortetraslacional

Resorterotacional

dtdiLv 21

dtdfk

v1

21

dtdTk1

21

1v 2v

i L

1v 2v

ff

1T

12

2T

La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos

Capacitancia

Capacitanciaeléctrica

Masa

Inercia

dtdv

Ci 21

dtdv

mf

dtdjT

Capacitanciafluídica

dtdp

Cq f21

21

Capacitanciatérmica

1v 2v

i

C

mv

f

jT

1q 2q2p

1p

fC

qT tCdt

dTCq t

La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos

Resistencia

Resistenciaeléctrica

Amortiguadortraslacional

211v

Ri

bvf

21bT

Resistenciafluídica 21

1p

Rq

f

Resistenciatérmica

b

T

1

q

2p1p

fRq

1TtR

211T

Rq

t

Amortiguadorrotacional

1v 2v

i

R

21vff b

2

T

2T

La función de transferencia de sistemas lineales

• Control de velocidad: Teniendo el sistema abajo descrito,

Por medio de las ecuaciones de Newton hacemos suma de fuerzas en la masa:

(Renombramos la v como y para no llevar a confusión)

A través de las propiedades y de las tablas de transformadas de Laplace , convertimos el sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema geométrico de mayor sencillez:

Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos:

Despejando por último las variables conseguimos una fórmula mucho mas sencilla de calcular:

La teoría de control comenzaría a trabajar ahora ya que podemos introducir el valor o tipo de función deseado de U(s) y obtener la función Y(s) necesaria para cumplir esa condición. Viceversa también funciona…¡Por Supuesto!

EJEMPLO NUMÉRICO:

m = 1000kgb = 50Nsec/mu = 500N

Se conoce que las condiciones iniciales son 0

U = 500, entonces (por la teoría de Laplace) : U(s) = 500/s Y la función Y(s) quedaría,tomando como 0 los valores iniciales:

Y(S) = 500/s(1000s+50)

Reduciendo la ecuación a dos funciones transformadas de Laplace, tenemos:

Y(s) = 10/s – 10/(s+0.5)

Y aplicando las anti-transformadas obtenemos:

Y(t) = 10-10e-0.5 t

Esta es la función de Y(t) para que U(t) pueda ser de 500 N

Diagramas de bloques

La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos.

Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.

Diagrama a bloques

• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

Consideraciones:

Diagramas de bloques

Elementos de un diagrama a bloques

Función de transferencia

)(sG

Variablede entrada

Variablede salida

Flecha:

Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.

Bloque:

Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.

Diagramas de bloques

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

)(sG+-

punto de sumapunto de bifurcación

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Función de transferencia en lazo abierto )()()()(

sHsGsEsB

Función de transferencia trayectoria directa )()()(

sGsEsC

Función de transferencia lazo cerrado )()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsC

Diagramas de bloques

Reducción de diagrama de bloques

Por elementos en serie

)(1 sG)(sR )(sC)(sD

)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC

Por elementos en paralelo

)(1 sG)(sR

)(1 sG

+

+

)(sC

)()( 21 sGsG )(sR )(sC

)(sG+-

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Diagramas de bloques

Reducción de diagrama de bloques

Por elementos en lazo cerrado

)()(1)(sHsG

sG

)(sR )(sC

La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

Diagramas de bloquesReducción de diagrama de bloques

Reglas del álgebra de los diagramas de bloques

G +-

A AG BAG

B

+-

A

B

G

G1G

B

GB

A BAG

GA AG

AG

AG

GAG

AG

Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente

Diagramas de bloquesReducción de diagrama de bloques

Reglas del álgebra de los diagramas de bloques

GA AG

A

AG

G1 A

AG

+-

A B1G

2G

+-

A B2G 1G

2

1G

Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente