Transferencia de Masa 2012-08-16-4ª -...

Transferencia de Masa

2012-08-16-4ª


Temas a tratar:

# Sistemas integrales: Mezclado Perfecto;

# Nodo

# Tanque de Mezclado Perfecto CST.

# Reactor continuo agitado CSTR;

# Reactor continuo agitado con interfase CSTR-I.

C

G

V

v dV 0t

Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de volumen finito, es

decir que dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se cumple si y solo si:

Ecuación de transporte (balance) de ψ

0

Vvt

G

Acumulación

Transporte por Difusión Molecular

Transporte por Convección

Transformación

Esta ecuación es la

expresión diferencial

(balance diferencial)

del transporte de ψ

Balance diferencial molar del componente de interés A cuando hay

transformación química

Como: Gv 0t

A

AB A A A

CD C vC R 0

t

Acumulación


Transporte por Convección Transformación

Rapidez de Reacción de A

nA y CA… son respectivamente las moles A y la concentración molar A

Como: A

A A3 3

npcpc n C

L L

Balance diferencial molar de A en términos de su concentración:

A

AB A A A

CD C vC R 0

t

Unidades

A

3 3

C 1 mol mol

t seg L seg L

2

AB A 3 3

1 1 L mol molD C

L L sec L seg L

A 3 3

1 L mol molvC

L seg L seg L

A 3

molR

seg L

Balance diferencial molar del componente de interés A cuando:.

(1) No hay transformación química

(2) Si hay transferencia con una interfase

AAB A A A

CD C vC S 0

t

Acumulación


Transporte por Convección

(1) Rapidez de tranporte de reacción de : •

AA R 0

Rapidez de transferencia

de A con una interfase

(2) Rapidez de tranporte de hacia (o desde) interfase: •

AA S 0

Ecuación de Transferencia de Energía Térmica

Balance diferencial de energía térmica

Las unidades de la propiedad conservativa en el balance diferencial de

energía térmica deben ser: calorías/volumen:

Transporte por difusión molecula

Transporte por convección Rapidez de

transformación

Entonces, la expresión del balance diferencial de energía térmica se

puede obtener haciendo = CpT en el balance diferencial general, y

tomar en consideración los parámetros correspondientes a este caso:

Acumulación

0

p 3 0

mol calcomo: C T C

L mol * C

p 3

cal C T

L

p

p p

C T C T v C T q 0

t

Balance diferencial de energía térmica, unidades

CpT t

CpT v CpT q

0

CpT t

1

seg

cal

L3

cal

seg L3

CpT 1

L

1

L

L2

seg

cal

L3

cal

seg L3

v CpT 1

L

L

seg

cal

L3

cal

seg L3

q

cal

seg L3

Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano

2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R S

t x y z x y z

AyAxA AzA A

NNC NR S

t x y z

Plawsky, Figuras 2.12b. Sistema coordenado: cilíndrico

AA AzAr A A

NC 1 1 Nr N R S

t r r r z

2 2

A A A A A A Ar z AB A A2 2 2

vC C C C 1 C 1 C Cv v D r R S

t r r z r r r r z

Coordenadas esféricas

2

sen

sen sen sen

A A A Ar

22 A A A

AB A A2 2 2 2

C C 1 C 1 Cv v v

t r r r

1 C 1 C 1 CD r R S

r r r r r

AA2A

Ar A A2

NN sinC 1 1 1r N R S

t r r r sin r sin

Balance de masa en un nodo Sea un “nodo” con las siguientes características: tiene dos corrientes de entrada y

una de salida; las de entrada tienen composiciones diferentes; los fluidos tienen

densidad constante y son miscibles entre sí; el sistema está en estado estacionario;

y es isotérmico.

Obtener el modelo matemático de:

i) Balance global.

ii) Balance de un componente de interés: A.

Solución

1) Esquema

iAC concentración másica del componente A en las corrientes i 1, 2, 3

gramos de A masa de A

gramos de solución masa solución

ig gasto másico de las corrientes i 1, 2, 3

gramos solución masa solución

minuto tiempo

11 Ag ,C

22 Ag ,C33 Ag ,C

2) Preguntas: i) balance global; ii) balance de A.

3) Modelo (características o restricciones)

3.1- tiene dos corrientes de entrada y una de salida;

3.2- las corrientes de entrada tienen composiciones diferentes;

3.3- los fluidos tienen densidad constante y son miscibles entre sí;

3.4- el sistema está en estado estacionario;

3.5- el sistema opera en condiciones isotérmicas;

3.6- el nodo (elemento de control) que esta fijo: w = 0;

3.7- en el nodo, el mezclado es “perfecto e instantáneo”;

3.8- no hay reacción química.

Solución (formal, larga, repaso)

i) Modelo del balance diferencial

masa solución

gasto másico de las corrientes ... tiempo

ig i 1, 2, 3

GComo: v 0t

En este caso: masa

volumen

G v 0t

11 Ag ,C

22 Ag ,C 33 Ag ,C

De acuerdo con las restricciones de este caso, y el significado de cada uno de los

términos que constituyen la ecuación de conservación de masa, ésta se simplifica de la

siguiente manera:

Como: ... A.3-20 BSLv v v

Gv 0t

Para modelar lo que ocurre en todo el nodo, es necesario integra la expresión

diferencial de la ecuación de conservación:

3.4 3.7 3.8

Como: constante v 0

Como: constante v v 0

igualdad que no sirve0 0

De acuerdo con las restricciones de este caso, y el significado de cada uno de los

términos que constituyen la ecuación de conservación de masa, ésta se simplifica de la

siguiente manera:

v 0

CVc A

Por el teorema de divergencia (Gauss): v dV n v dA

En este caso: C entrada1 entrada2 salida1A A A A

Gv 0t

Por lo tanto, el transporte de masa en dicho elemento diferencial del nodo es:

CV

v dV 0

Para modelar lo que ocurre en todo el nodo, se integra la expresión diferencial de la

ecuación de conservación:

CA Ae1 Ae2 As1

n v dA n v dA n v dA n v dA 0

3.4 3.7 3.8

Recordando la convención de signos para entradas y salidas:

CA Ae1 Ae2 As1

n v dA n v dA n v dA n v dA 0

Además, como: flujo másico2

3

L M Mn v dA L dg

L

e1 e 2 s1g g g

d g d g d g 0 e1 e2 s1 g g g 0

e1 e2 s1g g g

Por lo tanto, el balance global de masa en el nodo queda:

“lo que entra es igual a lo que sale”

ii) Modelo del Balance por componente

Escribiendo la ecuación de conservación de masa en términos del componente A

(concentración molar de A), y aplicando las restricciones del caso se tiene:

AC v 0

C

A A

Vc A

Por el teorema de divergencia (Gauss): vC v dV n vC dA

En este caso: C entrada1 entrada2 salida1A A A A

A

AB A A A

CD C vC C V 0

t

Por lo tanto, el transporte de A es el siguente:

C

A

V

C v dV 0 Lo que ocurre en todo el nodo es:

A A A A

Ac Ae1 Ae2 As1

n C v dA n C v dA n C v dA n C v dA 0

3.4 3.7 3.8

Además: flujo másico de A2

A A3

L masa de A Mn vC dA L G

L

A A Ae1 e2 s1 G G G 0 A A Ae1 e2 s1

G G G

A A A A

Ac Ae1 Ae2 As1

Como: n C v dA n C v dA n C v dA n C v dA 0

Ae1 Ae2 As1

A A A

G G G

d G d G d G 0

A i

Ai

i

G C

g A i Aii

G g C ... i = entradas y salidos

e1 Ae1 e2 Ae2 s1 As1 g C g C g C

iComo: g gasto másico de las corrientes i 1, 2, 3.

AiAdemás, C concentración másica del componente A en las corrientes i 1, 2, 3.

eg

2sg

1sg

"Rapidísimo, ... de memoria"... balance global: e s1 s2g g g

Otro nodo:

Como se vió: AsC s As e Ae As C

dCV Q C Q C R V

dt

Forma ”rápida” de obtener el modelo correspondiente: simplificando el modelo

de tanque agitado (como lo veremos en clases posteriores)

Adaptándolo y simplificando: AsC s1 s2 e As C

dCV g g g R V

dt

3.4 3.8

Ae As1 As2g g g

En este caso no tiene sentido considerar el balance por componente…

¿Por qué?...

Correcto.

Balance molar integral del componente A en un CST

Este tipo de balance se utiliza cuando en el elemento de control se tiene un “mezclado

perfecto”.

El balance integral se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s) del caso al

balance diferencial, como se indica a continuación con el balance molar del

componente A, para un sistema de dos componentes: A y B.

Esquema

Qe CAe

Qs CAs

CAs

Balance molar integral de A, en términos de la concentración molar CA

Desarrollo del modelo integral

Restricciones: Qe CAe

Qs CAs

CAs

Análisis del término de acumulación:

1) Mezclado perfecto: 0AC

AC

t

2Como: 0AA AB A

C

tvC D C

El balance de masa esta expresado por unidad de volumen del EC; por lo tanto, la

acumulación ocurre en un elemento de control de volumen diferencial dV es:

ACdV

t

Consecuentemente, la acumulación en todo el elemento de control de volumen VC es:

C

A

V

CdV

t

2) El elemento de control no se mueve: 0EC w

3) No hay reacción química: 0AR

De acuerdo con el Teorema de Transporte de Reynolds (ver clases anteriores):

Como: 2) el elemento de control EC no se esta moviendo: w = 0

Como:

C

A

V

CdV

t

( )

C C C

AA A

V V A

d CC dV dV C w n dA

dt t

C C

AA

V V

C ddV C dV

t dt

C C

A A A C

V V

d d dC dV C dV C V

dt dt dt

Además, CA no es función de la posición, porque la solución perfectamente agitada:

C

A AA A

V

C d dV dCdV C V C V

t dt dt dt

En estos casos, se debe disponer de una función independiente que describa la

dependencia de VC con respecto del tiempo (y por lo tanto, de la concentración de A,

o composición del sistema):

Acumulación en todo el :

C C

CA AA A C

V V

dVC d dCEC dV C dV C V

t dt dt dt

0CdV

dt

Acumulación en todo el :

C

A AC

V

C dCEC dV V

t dt

Por otro lado, en aquellos casos en los que se cumplan las restricciones antes

indicadas, pero además se cumpla que el gasto volumétrico sea constante

Qe = Qs = constante

lo cual implica que VC es constante, y por lo tanto se tiene que:

ACV tV C

Análisis del término convectivo (transporte por convección)

La convección en un elemento diferencial de volumen dV es:

La convección en el elemento de volumen de control VC es:

AvC

AvC dV

C

A

V

vC dV

Por el Teorema de Divergencia de Gauss (ver clases anteriores):

C C

A A

V A

vC dV C v ndA

Esta ecuación representa el flujo neto de A a través de todas las áreas de entrada y

salida del elemento de control.

C C

A A

V A

vC dV C v ndA

Como el flujo neto de A a través de todas las áreas de entrada y salida del EC es:

Los signos de las áreas de entrada (negativo) y salida (positivo) se explican por el

sentido que tiene el vector normal n que representa a cada una de ellas y el vector v

que caracteriza al transporte por convección.

Considerando que en dichas áreas la concentración de A es independiente de la

posición, y que (v•n)dA = dQ = flujo volumétrico, el flujo convectivo neto queda:

( ) ( )

C e s

A A A

A A A

C v ndA C v n dA C v n dA

C e s

A Ae As

A A A

C v ndA C v n dA C v n dA

Como: v ndA dQ

e s e S

Ae As Ae As

A A Q Q

C v n dA C v n dA C dQ C dQ

Por lo tanto, considerando que el EC tiene un área de entrada Ae y un de salida As, el

flujo neto de A en el EC se expresa como:

Flujo convectivo neto:

C C

A A s As e Ae

V A

vC dV C v ndA Q C Q C

Como:

e s e S

Ae As Ae As

A A Q Q

C v n dA C v n dA C dQ C dQ

además: y

e S

e s

Q Q

dQ Q dQ Q

Análisis del término de difusión:

En el EC no hay gradientes de posición (perfectamente agitado), es decir:

2

AB A AB AD C D C

2

AC 0

Consecuentemente, en el EC que representa a un equipo que está “perfectamente

agitado”, no hay transporte por difusión (dispersión).

De acuerdo con las consideraciones anteriores, el balance de materia para el CST antes

descrito puede ser expresado en términos de la concentración molar CA , en cuyo caso

estaría compuesto por los términos siguientes:

Acumulación: AC

dCV

dt

Convección: s As e AeQ C Q C

Difusión: no hay

Reacción: No hay

AsC s As e Ae

dCV Q C Q C 0

dt

El balance de A para un EC que esta “perfectamente agitado”; en el cual NO se lleva a

cabo una reacción; y opera en condiciones isotérmicas y en estado no-estacionario es:

Este modelo implica una ecuación diferencial ordinaria, cuya variable independiente

es tiempo; consecuentemente, se requiere una condición inicial para completar el

modelo, como la siguiente:

Condición inicial: A Aot 0 C C

Qe CAe

Qs CAs

CAs

Balance molar integral del componente A en otro CST

CST que tiene dos entradas y una salida.

Esquema

Qe1 CAe1

Qs CAs

CAs

Qe2 CAe2

AsC s As e1 Ae1 e2 Ae2

dCV Q C Q C Q C 0

dt

Condición inicial: A Aot 0 C C

Este balance también se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s) del caso al

balance diferencial molar del componente A:

Balance molar integral del componente A en un CSTR

Este tipo de balance se utiliza cuando en el elemento de control se tiene un “mezclado

perfecto” y ocurre una reacción química.

El balance integral se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s) del caso al

balance diferencial, como se indica a continuación con el balance molar del

componente A, para un sistema de dos componentes: A y B.

Esquema

Qe CAe

Qs CAs

CAs

Balance molar integral de A, en términos de la concentración molar CA

Desarrollo del modelo integral

Restricciones: Qe CAe

Qs CAs

CAs

Como se hizo en el CST

Análisis del término de acumulación

Análisis del término de convección

Análisis del término de difusión

Solamente falta analizar el término de la reacción

1) Mezclado perfecto: 0AC

2Como: A

AA AB AvC C Rt

DC

2) El elemento de control no se mueve: 0EC w

Análisis del término de reacción

Como el balance de masa esta expresado por unidad de volumen del elemento de

control, por lo tanto la reacción que se tiene en un elemento de control de volumen

diferencial dV es:

Entonces, la reacción en el elemento de control de volumen VC es:

Considerando que: 1) en el EC hay una agitación perfecta y por lo tanto la

concentración es la misma en todo el tanque; y 2) que el coeficiente de rapidez de

reacción k(T) es constante porque sistema es isotérmico, el término de reacción

queda:

,A AR C T dV

,

C

A A

V

R C T dV

,

C C

A A A A A A CT T

V V

R C T dV R C dV R C V

,A AR C T

Por lo tanto, el balance de materia “integral” del EC en cuestión (expresado en

términos de la concentración del reactivo limitante CA) está compuesto de los

siguientes términos:

Acumulación: AC

dCV

dt

Convección: s As e AeQ C Q C

Difusión: no hay

Reacción: As CR V

AsC s As e Ae As C

dCV Q C Q C R V

dt

Por lo tanto, el balance molar integral de A (modelo) para un EC que esta

“perfectamente agitado”; en el cual se lleva a cabo una reacción; y opera en

condiciones isotérmicas y en estado no-estacionario es:

AsC s As e Ae As C

dCV Q C Q C R V

dt

Incompatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C

Balance molar integral de A (modelo) para un EC que esta “perfectamente agitado”;

en el cual se lleva a cabo una reacción; y opera en condiciones isotérmicas y en estado

no-estacionario es:

Qe CAe

Qs CAs

CAs

Compatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C

AsC s As e s C IAe A

dCV Q C Q C R V

dtS

Compatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C

Incompatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C

Por lo tanto, el balance molar integral de A (modelo) para un EC que esta

“perfectamente agitado”; en el cual se lleva a cabo una reacción; que tiene una

interfase a través de la cual entra o sale A; y opera en condiciones isotérmicas y en

estado no-estacionario es el siguiente:


Fin de 2012-08-16-4ª

Transferencia de Masa 2012-08-16-4ª -...

Documents

Transcript of Transferencia de Masa 2012-08-16-4ª -...