BRIANDA GPE. VILLANUEVA ESCOBAR JOHANA JAZMIN GONZALES ORELLANA YESENIA KARINA GOMEZ RAMIREZ KIRBETH LOPEZ VELAZQUEZ

ING. NICOLAS AGUILAR VAZQUEZ

TRANSFORMADA DE LA PLACE

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE

En el curso elemental de clculo aprendimos que la diferenciacin y la integracin transforman una funcin en otra funcin; por ejemplo, la funcin f(x)=2 se transforma, respectivamente, en una funcin lineal, una familia de funciones polinomiales cbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciacin,integracin indefinida integracin definida:

Adems, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes ( Y ).

siempre y cuando exista cada derivada e integral. Si f(x,y) es una funcin de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las variables produce una funcin de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, .1 2xy 2 dx =3y 2 2

De igual forma,una integral definida como transforma una funcin f(t) en una funcin de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este ltimo tipo, cuando el intervalo de integracin es [0, ) no acotado.

b K ( s , t) f (t) a

Si f(t) est definida cuando t 0, la integral impropia K ( s ,t ) f (t ) dt 0

se define como un lmite: Si existe el lmite, se dice que la integral existe 0 que es convergente; si no existe el lmite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el lmite anterior existe solo para

ciertos valores de la variable s. La sustitucin K(s, t) = e-st proporciona una transformacin integral muy importante. La transfromada de la place

Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una funcin de s. En la descripcin general emplearemos letras minsculas para representar la funcin que se va a transformar y la mayscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo:

Ejemplo

siempre que s > 0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e -sb cuando b . Cuando s < 0, la integral divergente.El empleo del signo de lmite vuelve tedioso, as que adoptaremos notacin 0 como versin taquigrfica de lm b b ( ) 0; por ejemplo,

0 es se la

Se sobreentiende que en el lmite superior queremos decir que e-st 0 cuando t y cuando s > 0. L es una transformacin lineal Rara una suma de funciones se puede escribir siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente, Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad sealada en la ecuacin

Condiciones de existencia para la transformada de la place

Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)} No es necesario que converja la integral que define ala transformada de Laplace; por ejemplo, ni L{llt} ni Let} existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de L (f(t)} son que f sea continua por tramos en [0, ), y que f sea de orden exponencial cuando t >T. Recurdese que una funcin es continua por tramos en [0, ) si, en cualquier intervalo 0 a t b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk, k = 1,2, . . . , n (tk-1 < tk) en los cuales f tiene discontinuidades

finitas y es continua en todo intervalo abierto t k-1 < t < tk. (Fig. 7.2). A continuacin definiremos el concepto de orden exponencial.

ORDEN EXPONENCIAL Si f es una funcin creciente, la condicin f(t) Mect, t > T tan slo expresa que la grfica de f en el intervalo (T, ) no crece con ms rapidez que la grfica de la funcin exponencial Mect, donde c es una constante positiva (Fig. 7.3). Las funciones f(t) = t, f(t) = e -t y f(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, para t > 0 porque, respectivamente,

En la fig. 7.4 se comparan las grficas en el intervalo [0, ). Una funcin como f(t)=et no es de orden exponencial porque, como vemos en la figura 7.5, su grfica crece ms rpido que cualquier potencia lineal positiva de e en t > c > 0. Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0, Equivale a demostrar que lmt tn/ect es finito para n = 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene con n aplicaciones de la regla de LHpital.

Condiciones suficientes para la existencia

La integral I1 existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que e -st f(t) es continua. Ahora

cuando s > c. Como Me dt converge, la integral est f(t)ldt converge, de acuerdo con la prueba de comparacin para integrales impropias. Esto, a su vez, implica que I 2 existe para s > c. La existencia de I1 e I2 implica que L{ f(t)} = -st t e f(t) dt existe cuando s > c.-(s-c)t

t

t

Transformada directa La tcnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales. La transformada de Laplace de una funcin f (t ) se define comoL{ f (t )} = F ( s) = f (t )e st dt , s = + j

pasando del dominio temporal t al dominio complejo s , siendo F ( s) llamada transformada de Laplace de f (t ) , formando el par f(t)F( s)

Ejemplo: f (t ) = 1 F ( s) = 1e st dt = 1/s, > 0 f (t ) = e at at -st F (s) = 0 e e dt = 0 e ( s a ) t dt = 1/(s-a), s>a La definicin de la transformada hace necesaria que la integral converja, por lo tanto se ha de cumplir que lim f ( t ) e st = 0 t 0

Transformada inversa

Supngase que las funciones f (t) y g(t) satisfacen la hiptesis del teorema 2, de tal manera que sus transformadas de La place F(s) y G(s) existan. Si F(s) = G(s) para toda s > c (para alguna c), entonces f (t) = g(t) siempre que en [0, + ) tanto f como g sean continuas. As dos funciones continuas por tramos de orden exponencial con la misma transformada de La place pueden diferir nicamente en sus puntos aislados de discontinuidad.

Esto no tiene importancia en la mayora de las aplicaciones prcticas, por lo que las transformadas inversas de La place pueden considerarse esencialmente nicas. En particular, dos soluciones de una ecuacin diferencial deben ser continuas y por lo tanto deben representar la misma solucin si ambas tienen la misma transformada de La place. En la seccin anterior nos ocupamos del problema de transformar una funcin f(t) en otra funcin F(s) mediante la integral j, e-y(t) dt. La representamos simblicamente de la siguiente manera: Z{f(t)} = F(s).

Ahora invertiremos el problema; es decir, da& F(s), hallar la funcin f(t) que corresponde a esa transformacin. Se dice que f(t) es la transformada inversa de La place de F(s) y se expresa: f(t) = L-1{F(s)}. El anlogo del teorema 7.2 para la transformada inversa es el teorema 7.3, que presentamos en seguida.

L-l es una transformacin lineal Suponemos que la transformada inversa de La place es, en s, una transformacin lineal; esto es, si ( y son constantes, L-{F(s) + G(s)} = L-{F(s)} + @{G(s)},

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g. La transformada inversa de La place de una funcin F(s) puede no ser nica. Es posible que (L{ f1(t)} = L{ f2(t)} y, sin embargo, f1 f2. Pero para nuestros fines no nos ocuparemos de este caso. Si f1 y f2 son continuas por tramos en [0, ) y de orden exponencial cuando t > 0, y si L { f 1 (t)} = L {f2(t)}, las funciones f1 y f2 son esencialmente iguales.

Propiedades de la transformada de la place

Funcin escaln unitario En ingeniera se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar encendidas o apagadas. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema mecnico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar despus de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una funcin especial, llamada funcin escaln unitario.

Obsrvese que definimos a (t - a) slo en la parte no negativa del eje t porque es todo lo que interesa al estudiar la transformada de La place. En sentido ms amplio, (t - a) = 0 cuando t < a.

Transformada de derivadas

Nuestra meta es aplicar la transformada de La place para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Para ello necesitamos evaluar cantidades como L{ dy/dt} y L{ d2 y/ dt2}; por ejemplo, sif es continua para t 0, al integrar por partes obtenemos

Para ello hemos supuesto que e-stf(t) = 0 cuando t = . De igual forma, la transformada de la segunda derivada es

De manera anloga se puede demostrar que L {f''(t)}= s3F(s) s2 f(0) -sf' (0) -f''(0)

Por los resultados en (l), (2) y (3), se ve que la transformada de La place de las derivadas de una funcin f es de naturaleza recursiva. El siguiente teorema determina la transformada de La place de la ensima derivada de f Omitiremos su demostracin.

Teorema de convolucin

Si las funciones f y g son continuas parte por parte en [0, ), la convolucin de f y g se representa por f * g y se define con la integral f*g= Tf(t) g (t-T) dT 0 Por ejemplo, la convolucin de f(t) = et y g(t) = sen t es et* sen, t T t sen (t T)dT = 1/2 (-sen t cos t + e 0 e,)

Transformada de la place de una funcin peridica

Transformada de una funcin peridica si el periodo de una funcin peridica es T > 0, entonces f(t + T) =f(t). Se puede determinar la transformada de La place de una funcin peridica por una integracin sobre un periodo.

Funcin delta de diracImpulso unitario Con frecuencia, sobre los sistemas mecnicos actan fuerzas externas(o fem sobre los circuitos elctricos) de gran magnitud solo durante un lapso muy breve; por ejemplo, en un ala de aeroplano que se encuentre oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo de bola, o una bola de bisbol (golf o tenis), podra mandarse volando golpendola violentamente con algn tipo de garrote, como un bate, un palo de golfo una raqueta. La funcin

As, el impulso de la fuerza es igual al cambio en el momentum de la partcula. De esta manera, si el cambio en el momentum es el nico efecto con el cual se trabaja, es necesario conocer nicamente el impulso de la fuerza; no es necesario conocer ni la funcin precisa f (t) ni el intervalo de tiempo preciso durante el cual acta. sta es una situacin afortunada, porque en un caso as, tal como en el de la pelota golpeada por un bat, es poco probable que se tenga esa informacin detallada acerca de la fuerza impulsiva que acta sobre la pelota. La estrategia para manejar una situacin de este tipo es establecer un modelo

cuando a > 0, to > 0 se ven en la figura 7.51a), y podran servir como modelo matemtico de este tipo de fuerzas. Para valores pequeos de a, &(t - to) es, esencialmente, una funci6n constante de gran magnitud que se encuentra encendida ~610 durante un lapso muy pequeo, alrededor de to. El comportamiento de &(t - to) cuando a + 0 se muestra en la figura 7.51b).Esta funcin, to(t - to), se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integracin,

Solucin de ecuaciones diferenciales

Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de La place reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultaneas para las funciones transformadas. Sistema de ecuaciones diferenciales que se transforma en un sistema algebraico

sujetas a x(0) = l, y(0) = 0.

SOLUCIN Si X(s) =L{x(t)} y Y(s) = L{y(t)}, entonces, despus de transformar cada ecuacin, llegamos a: 2[sX(s) -x(O)] + sY(S) -y(O) - Y(s) = 1/s 2 sX(s) - x(O) + sY y(O)= 2/s3 2sX(s)+(s 1)Y(s)=2+1/s2 sX(S) + sY(s) = 1+ 2/s3

Al multiplicar por 2 la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene (-s 1) Y(s) = 1/s2 4/s3 o sea y(s) = 4 s / s3(s+ 1)

Desarrollamos en fracciones parciales Y(s)=5/s 5/s2 + 4/s3 5 /s + 1 y as:

= 5 5t + 2t2 5 e-t De acuerdo con la segunda ecuacin de X(s) = -Y(s) + 1/s + 2/s4 en consecuencia,

=-4 + 5t 2 t2 + 1/3 t3 + 5 e-t Entonces, llegamos a la solucin del sistema (l), que es

y(t) = 5 - 5t + 2t2 - 5e-.

bibliografia

Dennis G. Zill, Ecuaciones diferenciales Edward penney ecuaciones diferenciales con geometria anlitica