Transformada integralPara otros usos de este trmino, vaseTransformada (desambiguacin).Unatransformada integrales cualquiertransformadaaplicada sobre unafuncinde la forma siguiente:

La entrada de esta funcines una funcin, y la salida otra funcin. Una transformada es un tipo especial deoperador matemtico. En ellayson dos valores que dependen de su definicin, y pueden variar desdehasta.Hay numerosas transformadas integrales tiles. Cada una depende de la funcinde dos variables escogida, llamada la funcinncleookernelde la transformacin. Algunos ncleos tienen una funcininversa asociada,, que (ms o menos) da una transformada inversa:

Unncleosimtricoes el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.ndice[ocultar] 1Motivacin 2Historia 3Importancia de la ortogonalidad 4Ejemplo de uso 5Tabla de transformadas 6Referencias 6.1BibliografaMotivacin[editar]La motivacin detrs de las transformaciones integrales es fcil de entender. Hay muchas clases de problemas que son difciles de solucionar - o al menos algebraicamente poco gratos - en sus representaciones originales. Unatransformada integral"mapea" una ecuacin de sudominio originala otro dominio adecuado (por ejemplo,unafuncin senoidal"en el dominio del tiempo" puede ser representada como unfasor"en el dominio de la frecuencia"). La manipulacin y la solucin de la ecuacin en el dominio objetivo son, cuando el mtodo est bien escogido, mucho ms fciles que la manipulacin y la solucin en el dominio original. La solucin entonces esre-mapeadaal dominio original con la transformada inversa.Latransformada integralfunciona porque est basadas sobre el concepto de la "factorizacin espectral" sobrebases ortonormales. Lo que esto significa es que, con algunas excepciones a veces bastante artificiales, funciones arbitrariamente complicadas pueden ser representadas como las sumas de funciones mucho ms simples.Historia[editar]Precursoras de las transformadas son lasseries de Fourier, que expresan funciones en intervalos finitos. Ms tarde fue desarrollada latransformada de Fourierpara quitar la exigencia de los intervalos finitos.Usando laserie de Fourier, ms o menos cualquier funcin prctica de tiempo (p. ej. el voltaje a travs de los terminales de un dispositivo electrnico) puede ser representada como una suma desenosycosenos, cada uno convenientementeescalado(multiplicado por un valor constante),desplazado(avance o retraso en el tiempo) ocomprimido/expandido(incremento o decremento de frecuencia). Los senos y cosenos en la serie Fourier son un ejemplo de unabase ortonormal.La aplicacin de las transformadas integrales para resolver problemas prcticos fue introducida por el ingeniero inglsOliver Heaviside, quin no se preocup de demostrar escrupulosamente sus descubrimientos matemticos, los que fueron despreciados por la comunidad matemtica hasta despus de su muerte. Hoy su aportes matemticos se consideran dentro de los ms importantes delsiglo XIX.Importancia de la ortogonalidad[editar]Las bases de cada funcin tienen que serortogonales. Es decir el producto de dos funciones de la base distintas integrada sobre su dominio debe ser cero. Una transformada integral solamente cambia la representacin de una funcin de una base ortogonal a otra. Cada punto en la representacin de la funcin transformada en el dominio objetivo corresponde a la contribucin de una funcin de base ortogonal dada a la expansin. El proceso de expandir una funcin de su representacin "estndar" a una suma de funciones base ortonormales, adecuadamente escaladas, es llamadofactorizacin espectral.Esto es similar en el concepto a la descripcin de un punto en el espacio en trminos de tres componentes, a saber, sus coordenadas "x", "y"y"z". Cada eje tiene correlacin slo con s mismo, y no se puede expresar con respecto a los otros ejes ortogonales. Ese punto puede ser representado tambin en otros sistemas ortogonales, como puede ser unoesfricoo unocilndrico. Ntese la consistencia terminolgica: la determinacin de la cantidad por la cual una funcin de base individual ortonormal debe ser escalada en la factorizacin espectral de una funcinF, es llamada laproyeccindeFen aquella funcin de base.Ejemplo de uso[editar]Como ejemplo de uso de las transformadas integrales, podemos considerar laTransformada de Laplace. Esta es una tcnica que mapeaecuaciones diferencialesen eldominio del tiempo, aecuaciones polinomialesen lo que es llamadoel dominio de frecuencia compleja(La frecuencia compleja es similar a la frecuencia real fsica pero es ms general. Expresamente, el componente imaginariode la frecuencia complejas = - + icorresponde al concepto habitual develocidad angular, que se relaciona con la frecuencia por la identidad = 2 f). Para su aplicacin deben cumplirse ciertas condiciones en las funciones en que se aplicar, siendo la principal que estas deben cumplir con el principio delinealidad.Al trabajar con muchas transformadas, entre ellas la de Laplace, se facilitan los clculos al contar con tablas para las transformaciones ms comunes y sus propiedades:Tabla de transformadas[editar]Tabla de transformadas integrales

TransformadaSmbolot1t2u1u2

Transformada de Fourier

Transformada de Hartley

Transformada de Mellin

Transformada de Laplace bilateral

Transformada de Laplace

Transformada de Hankel

Transformada de Abel

Transformada de Hilbert

En los lmites de integracin para la transformada inversa,ces un constante que depende de la naturaleza de la funcin transformada. Por ejemplo, para la transformaciones de Laplace simple y bilateral,cdebe ser mayor que la parte real ms grande de los ceros de la funcin transformada.as series de Fourier tienen muchas aplicaciones en laingeniera elctrica, anlisis devibraciones,acstica,ptica,procesamiento de seales,retoque fotogrfico,mecnica cuntica,econometra,5la teora de estructuras con cascarn delgado,6etc.Forma compacta[editar]En ocasiones es ms til conocer la amplitud y la fase en trminos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal.Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:

donde

Forma exponencial[editar]Por laidentidad de Eulerpara laexponencialcompleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

En forma ms compacta:

estas ecuaciones solo son vlidas cuando el periodoconOtra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

donde

Ejemplos de series de Fourier[editar]

Grfico de una funcin peridica.

Animacin de la suma de los 5 primeros armnicos.Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia:(x) de cada puntoxdondees diferenciable:

Ingeniera[editar]El anlisis de seales en el dominio de la frecuencia se realiza a travs de las series de Fourier, por cuanto es muy comn, reemplazar la variablexpor t, resultando las componentes:

Por lo tanto:

Aplicaciones[editar] Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de sinusoides generados por osciladores elctrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. Anlisis en el comportamiento armnico de una seal. Reforzamiento de seales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solucin en rgimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia. La resolucin de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fcilmente computables, y que obtener soluciones prcticas, en la teora de latransmisin del calor, lateora de placas, etc.Formulacin moderna[editar]Realmente el desarrollo enserie de Fourierse hace para funciones decuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalose denota con. Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura deespacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones depueden desarrollarse en series de Fourier. As,el conjuntoes unabase ortonormaldel espacio. El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Dondeson los coeficientes del desarrollo de Fourier.Por ltimo, laidentidad de Parsevaldice que dada una funcinde cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier, se verifica que:

En lenguaje tcnico, podramos decir que hay unaisometraentre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos trminos tienen cuadrados sumables.Formulacin general[editar]Las propiedades tiles de las series de Fourier se deben principalmente a laortogonalidady a lapropiedad de homomorfismode las funcionesei n x.Otras sucesiones defunciones ortogonalestienen propiedades similares, aunque algunas identidades tiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirn cumplindose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".Algunos ejemplos son las secuencias defunciones de Bessely lospolinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuacin diferencial; una gran clase de tales sucesiones tiles son soluciones de los llamadosproblemas de Sturm-Liouville.Referencias[editar]1. Volver arribaLejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence des sries trigonomtriques qui servent reprsenter une fonction arbitraire entre des limites donnes". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157169.2. Volver arribaUeber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe [About the representability of a function by a trigonometric series].Habilitationschrift,Gttingen; 1854. Abhandlungen derKniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann byRichard Dedekind(en german).Archivadodesde el original el 20 de mayo de 2008. Consultado el 19 May 2008.3. Volver arribaD. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867).Landmark Writings in Western Mathematics 16401940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.