10 Transform Ada Fourier
90
( ) ( ) exp( ) F ft i t dt 1 () ( ) exp ( ) 2 ft F i td La transformada de Fourier 1
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teoria de Fourier
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( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )
2f t F i t d
La transformada
de
Fourier
1
De la Serie de Fourier a
la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las
series de Fourier para obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica
de periodo T: 2
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y
periodo T:
1 f(t)
t
. . . -T -T/2 0
T/2
T . . .
p
-p/2 p/2
22
22
22
0
1
0
)(
Tp
pp
pT
t
t
t
tf
3
Los coeficientes de la serie compleja de
Fourier en este caso resultan puramente
reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn
contra = n0.
)(
)(
20
20
p
p
nn
nsen
T
pc
4
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
cn
5
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t -20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
6
-50 0 50 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50 -0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50 -0.02
0
0.02
0.04
0.06 p = 1, T = 20
-50 0 50 -0.2
0
0.2
0.4
0.6 p = 1, T = 2
=n0
cn
...el espectro se "densifica".
7
En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p = 1, T =
t
f(t)
8
Si se hace T muy grande (T), el espectro
se vuelve "continuo":
9
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n0, sino como una función continua de la frecuencia . Así, la serie: al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:
n
tin
nectf 0)(
10
Recordemos:
La serie de Fourier es:
-T/2< x < T/2
O bien:
n
tin
T
T
tin
Tedtetftf 00
2/
2/
1 )()(
0
2/
2/
12
y)( 0
Tdtetfc
T
T
tin
Tn
n
tin
T
T
tinedtetftf 00
0
2/
2/
21 )()(
dedtetftf titi)()(
21
T
T
/2
/2
0
0
Cuando T , n0 y 0 d y el sumatorio
se convierte en:
11
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()(
21
dtetfF ti )()(
Identidad
de Fourier
o antitrans-
formada de
Fourier
Transformada
de Fourier
12
La transformada de Fourier y
la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )
2f t F i t d
En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la
anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2). 13
Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() se le
llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([
211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
14
Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
15
Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la
solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
16
Ejemplo. Calcular F() para el pulso
rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del
tiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1 f(t)
t
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
17
Integrando:
Usando la fórmula
de Euler:
2/
2/
)()(
p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1p
p
ti
ie
)( 2/2/1 pipi
iee
)2/(sinc2/
)2/()( pp
p
psenpF
i
eepsen
pipi
2)2/(
2/2/
18
En forma gráfica,
la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1
F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
)2/(sinc)( ppF
19
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
20
Demostrar que la transformada de
Fourier de la función triángulo, D(t), es
sinc2(/2)
0
2sinc ( / 2)
1
t 0
( )tD
1
1/2 -1/2
TF
21
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t): Grafica U() = F[u(t)]. ¿Qué rango de frecuencias contiene U()? ¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
22
La función delta de Kronecker y delta
de Dirac
if 0( )
0 if 0
tt
t
t
(t)
,
1 if
0 if m n
m n
m n
23
La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la función
delta como el límite de una serie de funciones
como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
f3(t)
(t)
24
Y recordemos algunas propiedades
de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
25
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf
ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de
f(t) = 1/(2) es:
t
)(dtef̂ ti
21
2
1
Recordemos
26
f t
0 , t T
2
1 , T
2 t
T
2
0 , T
2 t
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tf
27
2
, 0
22 , 1
2
, 0
tT
Tt
T
Tt
tf
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
28
Transformada de Fourier de la función coseno
0 0 0
0{cos( )}tFcos(0t)
t 0
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
dteedteee tititi
titi)()( 00
00
2
1
2
)()(2
2)(ˆ 00
f
)()()(ˆ 00 f
29
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
i
ee tititi
2
00
dteei
titi
)()( 00
2
1
)()()(ˆ 00 if
0 0 0
sen(0t)
t 0
t)}sen({ 0F
30
La transformada de Fourier de la onda
plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
0 0
exp(i0t)
0 t
t Re
Im
0
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
31
Sum
F {exp(i0t)}
0 0
exp(i0t)
0 t
t Re
Im
0
TF
0
TF
32
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
0
0,0
0 ,
a
t
tetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(
1
ai
a
a
ia
ia
ia
iaia
ia
edte
tiatia
33
La transformada de Fourier de una
Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t 0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
Más adelante lo demostraremos. 34
La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos
retornar al espacio directo mediante la inversa de la
transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(2
1)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
2
1)(
)()(2
1
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
35
A partir de su definición, obtener la transformada
inversa de Fourier de la función 33
3
5
3
2
iig
3orden de polo 3
3)(
3
2
:residuos) de (teoría de Cálculo
3
5
3
2
3
5
3
2
3
31
1
33
33
1
1
21
iziz
ezf
dei
I
I
dei
dei
deii
gF
deggF
izx
xi
I
xi
I
xi
xi
xi
36
0x;0I
0x;ex2
5π2f(z)πi10I
2
eixf(z)
3 orden i polo de3z3iz
ef(z)
dωe3iω
5I
):e residuos (teoría d ICálculo de
0x;0I
0x;eπx2f(z)πi4I
2
eixf(z)
2
x32
i3z
2
x32
i3z
3
izx
iωω
32
2
1
x32
i3-z
1
x32
i3-z
sRe
sRe
sRe
sRe
37
0x;ex5
0x;ex2gF
:esFourier de inversa ada transformla Luego
x32
x32
1
38
6136
1)(
2
ig
degxf xi)()(
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de
la función:
Respuesta.
Integrando en el plano complejo:
izizzzzz
zg2
3 ,
3
2 ,
))((6
1)( 21
21
39
• Si x > 0:
R
RR
k
k
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
izxg(z)eG(z) Tomando
Haciendo lim R→∞
06136
1lim)(lim Como
2zz izzzg
-R R
C
40
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces:
xx
k eezzGixf 3
2
2
3
5
2)),((Res2)(
• Si x < 0:
R
RR
k
k
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
41
-R R
Haciendo lim R→∞
06136
1lim
)(lim Como
2z
z
izz
zg
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces: 0)),((Res2)( kzzGixf
0 , x 0
0 , x ee5
π2
f(x)
x3
2x
2
3
42
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg2
)(
43
La TF y su inversa son simétricas.
( )exp( )
12 ( )exp( [ ] )
2
F t i t dt
F t i t dt
Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que
llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )
2F i d
2 ( )f
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son
un "par transformado."
Que podemos escribir:
44
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son
ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir
potencia de espectro A
espectral fase
espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
45
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dx)kxsin()x(f)k(F
dx)kxcos()x(f)k(F
dx)kx(isen)kxcos()x(fdxe)x(f
i
r
ikx
)k(iF)k(F)x(fF ir
46
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t)F .T .
ˆ f
g(t)F .T .
ˆ g
f (t) g(t)
F .T . ˆ f ˆ g
f (t)F.T .
ˆ f (a ib) f (t)F.T .
(a ib) ˆ f
47
La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)
F() + G()
)}({)}({
)}()({
tgbFtfaF
tbgtafF
48
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a
2
1 , b
2 t
a
2
2 , t b
2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) h(t)
donde g(t)
0 , t a
2
1 , t a
2
; h(t)
0 , t b
2
1 , t b
2
49
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
2
b
2
bsen
2
b
2
a
2
asen
2
a)(f̂
50
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
51
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a
1, a t b
0, b t b
1, b t a
0, t a
; h(t) 0 , t b
1 , t b
g(t)
0 , t a
1 , t a
f t g(t) h(t)
52
F.T . ˆ g ()
2a
2
sen(a)
a
h(t) 0 , t b
1 , t b
g(t) 0 , t a
1 , t a
F.T . ˆ h ()
2b
2
sen(b)
b
ˆ f () ˆ g () ˆ h () 2a
2
sen(a)
a
2b
2
sen(b)
b
53
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(
1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF
ˆ1
54
Efecto de
la propiedad
de escalado
f(t) F()
Pulso
corto
Pulso
medio
Pulso
largo
Mientras más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.
t
t
t 55
La transformada de Fourier respecto al
espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia
espacial.
Todo lo expuesto sobre la
transformada de Fourier entre los
dominios t y se aplica los
dominios x y k.
k
x )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt
56
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufeuiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a) g(t)
57
4. : f (t) f*(t) ˆ f ˆ f
*
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ2
10
58
5. Identidad de Parseval : f*(t)g(t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee
titi'
')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd
ti
'
)'(ˆ')(ˆ )(*
(' )
f (t) g(t) f (t) 2
dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
59
Toda función puede escribirse como la suma
de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
60
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff e
ti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)cos()(2ˆ dtttff
61
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff e
ti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)()(2ˆ dttsentfif
62
6. Transformada de la derivada:
ikF(k)ikF(f(x))(x))fF(
)k´(iF))x(f´(iF)x(xfF
7. Transformada xf(x):
Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.
Y en general:
F(k)ik(x))F(fn)n(
Y en general:
)k´(Fi)x(fxF nn 63
1. Encontrar la transformada de Fourier de la
función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida
propiedad de la transformada de Fourier, determina
la transformada de Fourier de la función:
21
1)(
xxf
221 x
x)x(g
iz-izzf
zzfdz
z
eI
dxx
ekF
ikz
ikx
21
22
2
y excepto C,z analítica es )(
1
1)(con 3" tipo" integral
1
:complejo plano al integral la Pasamos
1)( integral lapiden Nos
1.
64
k
kikz
iz
ikz
iz
kikz
iz
ikz
iz
ekF
eiz
ei
z
eikF
eiz
ei
z
eikF
lím
lím
)(:que modo De
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
2
1
2
2
Res
Res
C1
C2
21)(
12
1
2
:1
2y que Puesto
22
2222
22
k
k
eik
x
xFkG
eikx
xF
x
xF
x
x
dx
df fikF
dx
dfF
2.
65
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
siendo a>0 constante.
2exp)(
2axxf
)(2
exp)(2
exp)(22
xaxfax
axxfax
xf
)´()( kiaFkikF
Derivando tenemos:
)´())(´()(
)())(())((
kiFxfiFxxfF
kikFxfikFxfF
Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes
propiedades de la TF:
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
66
a
k
t
uu
ax
ikx
ax
a
k
ea
kF
adt
t
e
a
duea
duea
dxeFB
dxeeBekF
2
0
0
2
22
2
22
2
22
2)(
22
22
2)0(
)(
u2 = ax2/2
a
k
BekFkiaFkikF 2
2
)()´()(
u2 = t
67
Convolución
Se define la integral de convolución de dos funciones
f(t) y g(t) del siguiente modo:
duutguftgf )()()(
dutgutf )()(
68
69
rect(x) * rect(x) = D(x)
Ejemplo visual:
70
Convolución con la función delta
Convolucionar una función con una delta,
simplemente centra la función sobre la delta.
( ) ) ( ) ( – )
( )
f t t a f t u u a du
f t a
71
Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf
f (g h) ( f g) h
f (g h) f g f h
72
)()()(*)( wGwFtgtfF
El teorema de convolución o
teorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
73
Ejemplo del teorema de convolución
2
{ ( )}
sinc ( / 2)
x
k
D F{rect( )}
sinc( / 2)
x
k
F
rect( ) rect( ) ( )x x x D
2sinc( / 2) sinc( / 2) sinc ( / 2)k k k
74
dudegdef
duutguftgf
utiui ')'(ˆ2
1)(ˆ
2
1
)()()(
)('
dfddueegui
ti
)(ˆ'2
1 )'(ˆ
)'(
)'('
Demostremos el teorema de convolución.
75
)()( )(ˆ )(ˆ tgtfdegf ti
dfdegti
)(ˆ ')'( )'(ˆ '
)()()(*)( wGwFtgtfF
Aplicando la TF a ambos lados:
76
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
2
2
0 )cos(ˆ
T
T
ti dtetf
2
2
2
00
T
T
tititi
dteee
2
20
)(
0
)( 00
2
1)(ˆ
T
T
titiieie
f
Podemos hacerlo aplicando la definición:
77
2)(
)2(
2)(
)2(
2
1)(ˆ 0
0
0
0
Tsen
iiTsen
iif
2
2)(
2
2)(
2)(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tf
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
78
2 , 1
2 , 0
)(T
t
Tt
th
; g t cos(0t)
)()(2
)(ˆ 00
g
2
2)(ˆ
T
Tsen
Th
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
)()( tgthtf
TF
TF
Pero, también podemos usar:
ghhgf ˆˆˆ
79
dtetgthgh ti
)()( 2
1)(ˆˆ
ghhgf ˆˆˆ
')'(ˆ)'(ˆ)(ˆˆ dghgh
')'()'(2
2'
2'
2
100
d
T
Tsen
T
2
2)(
2
2)(
22
1))(ˆˆ()(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tghf
80
Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las
siguientes funciones:
f (t)
0 , t a b
2
1 , t a b
2
g(t) 2 t a b
2
t
a b
2
81
El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f g (t) 1
2f (u)
g(t u)du
f g (t) f (u)
(t a b
2 u) (t
a b
2 u)
du
f g (t) f (t a b
2) f (t
a b
2)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones
pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la
siguiente: 82
0
1
-a -b b a0
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2a
2
sen(a)
a
2b
2
sen(b)
b83
Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del
producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución,
según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de
f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas
de f(t) y g(t):
f g (t) F.T .
ˆ f () ˆ g ()
f (t)
0 , t a b
2
1 , t a b
2
F.T . ˆ f ()
a b
2
sen(a b
2)
a b
2
84
Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
ˆ g 1
2g(t)
it
e dt
ˆ g 1
22 t
a b
2
t
a b
2
it
e dt
ˆ g i
a b
2e i
a b
2e 2cos a b
2
ˆ f () ˆ g a b
2
sen(a b
2)
a b
2
2cos a b
2
85
ˆ f () ˆ g a b
2
sen(a b
2)
a b
2
2cos a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
2sen(
a b
2)cos
a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
sen(a) sen b
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
86
ˆ f ( ) T 2
2
sen2(T
2)
2T
2
4
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada
de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
f t 1
2ˆ f ( )
it
e d
f t 1
2
T 2
2
sen2 (T
2)
2T
2
4
it
e d
1
2
T
2
sen(T
2)
T
2
2
it
e d
87
f (t) 1
2
T
2
sen(T
2)
T
2
T
2
sen(T
2)
T
2
it
e d
y, llamando:
ˆ g ( ) T
2
sen(T
2)
T
2
nos queda que:
f (t) 1
2ˆ g ( )ˆ g ( )
it
e d
1
22 g g (t)
Teorema de convolución
g(t)
0 , t T
2
1 , t T
2
Antitransformada
de Fourier
88
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
g g (t) 1
2g(u)
g(t u)du
g(t)
0 , t T
2
1 , t T
2
donde
Si t T g g (t) 0
Si T t 0 g g (t) 1
21 1
T
2
t T
2
du t T
289
Si 0 t T g g (t) 1
211
t T
2
T
2
du T t
2
Si t T g g (t) 0
Luego:
f (t) g g (t)
T t
2 , t T
0 , t T
90
