Transformaciones geomtricas. Polgonos ytangencias: Equivalencia entre formasgeomtricas

El ser humano en su afn de conocer y comprender el mundo que le rodea, ha creado distintossistemas que le permiten medir y acotar los elementos de su entorno. Los principios en los que sebasan estos sistemas tienen su origen en la observacin de fenmenos naturales (fases lunares, elpaso de las estaciones, etc.); otros, sin embargo, estn elaborados de manera arbitraria, mediantela creacin de un canon o mdulo. As pues, cuando efectuamos una medicin estamoscomparando algo con un patrn adoptado, es decir, relacionamos magnitudes y establecemosequivalencias.

Quizs los agrimensores egipcios, ante la necesidad de restituir los lmites de las tierrascultivables anegadas por las crecidas anuales del Nilo, fueron los primeros que estudiaron ydesarrollaron la equivalencia entre las superficies geomtricas (de igual o distinta forma).

En la imagen superior tienes varias figuras geomtricas de distinta forma pero que ocupan lamisma superficie.

En la fotografa inferior (archivo de Wikimedia Commons, un depsito de contenido librehospedado por la Fundacin Wikimedia) puedes ver distintos objetos expuestos en el Museo delLouvre de Pars, usados en el antiguo Egipto para efectuar mediciones y pesos.

1. Generalidades

En este tema vamos a estudiar la equivalencia entre figuras semejantes (tringulocon tringulo, etc..) y figuras de distinta forma (tringulo y cuadrado, etc..

Definicin.

Dos figuras son equivalentes cuando tienen distinta forma pero ocupan igual superficie,ocurriendo que una de ellas puede tener un nmero de lados distinto a la otra , pero ambasocuparn la misma superficie.

Para comprender mejor las equivalencias vamos a repasar el clculo de superficies de distintasfiguras geomtricas.

En la siguiente animacin puedes ver la frmula para calcular la superficie de los principalespolgonos. Sita el cursor sobre las figuras y aparecer la frmula correspondiente.

Actividad

A la hora de determinar la equivalencia entre polgonos podemos aplicar el teoremade Pitgoras.En la siguiente animacin (archivo de Wikimedia Commons, un depsito decontenido libre hospedado por la Fundacin Wikimedia) puedes ver la equivalenciaexistente entre los tringulos rectngulos y un cuadrado, y entre este y la suma deotros dos.

Equivalencia y triangulacin

Generalmente la equivalencia entre polgonos se determina mediante triangulacin, esto es,descomponiendo el polgono origen en el menor nmero de tringulos posibles y calculando otrotringulo equivalente de manera que un vrtice se suprima, as la figura resultante tendr un ladomenos, pero ocupar la misma superficie.En la animacin inferior puedes ver cmo se aplica la triangulacin para construir un tringuloequivalente a un cuadriltero dado, de manera que ambos tengan la misma altura.

Polgono equivalente a otro dado con un lado menos.

Este es el mtodo general para poder dibujar polgonos equivalentes, est basado en elprocedimiento desarrollado anteriormente. Se trata de suprimir un vrtice en cada paso, demanera que el siguiente polgono que se determine tendr un lado menos.Existen mtodos particulares para poder trazar polgonos equivalentes de manera que podamosomitir trazados intermedios, por ejemplo, un tringulo equivalente a un hexgono sin necesidadde convertirlo previamente en un pentgono.En la siguiente animacin te mostramos cmo dibujar un tringulo equivalente a un polgono decinco lados; primero convertimos dicho polgono en un cuadriltero equivalente, y luegotransformamos este el tringulo deseado.

2. Tringulos

Comenzamos el estudio de la equivalencia entre polgonos analizando las relaciones entretringulos equivalentes por ser esta la figura geomtrica esencial que nos permitir determinar elresto de equivalencias.

El trazado de tringulos equivalentes a cuadrilteros y polgonos regulares, o irregulares, de cincoseis, siete, etc... lados nos facilitar determinar la equivalencia entre estas formas geomtricasms complejas.

2.1. Entre tringulos

La construccin de tringulos equivalentes est basada en la relacin que existeentre su base y altura, de manera que si la primera aumenta la segunda debe dedisminuir.

Tringulo equivalente a otro dado de igual base.

Este es el caso ms sencillo de equivalencia ya que al tener los dos tringulos la misma base, laaltura de ambos debe de ser la misma.En la animacin inferior puedes interactuar moviendo el vrtice C', observars que todos lotringulos que determines ocuparn la misma superficie.

Tringulo equivalente a otro dado de distinta base.

En este segundo caso al modificar la base la altura debe de cambiar tambin.En la siguiente animacin vamos a dibujar un tringulo equivalente a otro dado de manera que labase sea mayor que la del original.

Actividad

En la figura de laizquierda puedesver cmo se hatrazado untringulo A'B'C'equivalente a otrodado ABC, siendosu base A'B'menor.Para resolverlodebes de aplicar elmtodo explicadoen la animacinanterior.Materialnecesario:

Lpizblando y duro.

Comps.

(escuadra ycartabn).

Hojas pararealizartrazados deprueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

2.2. Con cuadrilteros

Debes de repasar las frmulas para calcular la superficie de los principales polgonos(apartado 1. Generalidades) y relacionarlas entre s.

Tringulo equivalente a un paralelogramo rectngulo.

Se trata de dibujar un tringulo equivalente a un paralelogramo rectngulo cuya base sea igual allado mayor de dicho cuadriltero. Relacionamos las frmulas de ambos polgonos

Tringulo = (base * altura) / 2 = Paralelogramo rectngulo = lado mayor * lado menor.

Por tanto, la altura del tringulo debe de ser igual al doble del lado menor del paralelogramorectngulo.En la animacin inferior puedes ver cmo se ha dibujado un tringulo equivalente a unparalelogramo rectngulo de igual base.

Tringulo equivalente a un cuadrado.

En este ejercicio se quiere trazar un tringulo equivalente a un cuadrado dado, de altura mayor allado de dicho cuadriltero. Para dibujarlo podemos aplicar el mtodo general estudiado en elapartado anterior y despus transformar el tringulo obtenido en otro de distinta base y altura.Si queremos simplificar el trazado podemos recurrir a un mtodo particular que nos permitedibujar dicho tringulo equivalente de forma directa. Este procedimiento est basado en laproporcionalidad de segmentos:Como el lado BC del cuadrado es media proporcional de los segmentos EB y BF, podemos deducir:

Actividad

Superficie del cuadrado = BC2 = EB * BF

Superficie del tringulo = (EB * BG) /2. Si sustituimos BG = 2BF = (EB * 2BF) = EB * BF.

Por tanto, Superficie del cuadrado = Superficie del tringulo.

Tringulo equivalente a un rombo.

Dibujar un tringuloequivalente a unrombo, de base igual auna de sus diagonales,es muy sencillo.Solamente debemosrelacionar susfrmulas:

Superficie deltringulo = (base *altura) /2.

Superficie del rombo= (diagonal mayor *diagonal menor) /2

Objetivos

del triangulo debe detener una longitud igual a la de la otra diagonal.En la imagen de la izquierda puedes ver cmo se dibujado un tringulo isscelesequivalente a un rombo dado, de lado base AB igual a la diagonal mayor AB dedicho paralelogramo. La altura del tringulo lgicamente debe de tener una longitudigual a la diagonal menor del rombo.

En la figura de laizquierda puedesver cmo se hatrazado untringulo A'BCequivalente a untrapecio dadoABCD, siendo sualtura la mismaque la de dichocuadriltero.Para resolverlodebes de aplicar elmtodo generalexplicado en elapartado 1.Materialnecesario:

Lpizblando y duro.

Comps.

Plantilla dedibujo(escuadra ycartabn).

Hojas pararealizartrazados deprueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

2.3. Con polgonos regulares

Para poder dibujar un tringulo equivalente a un polgono regular, o no, mayor decuatro lados, generalmente aplicaremos el mtodo particular explicado en elapartado 1 (Polgono equivalente a otro dado con un lado menos).

Mtodo general.

Para poder dibujar un tringulo equivalente a un hexgono regular vamos a aplicar el mtodogeneral.En este caso el tringulo equivalente debe de tener la misma altura que el hexgono dado.En la animacin inferior puedes ver cmo primero transformamos el hexgono regular ABCDEFdado en un pentgono irregular A'BCDE, luego en un trapecio issceles A'B'DE, obteniendofinalmente el tringulo equivalente A'B' D de altura igual a la del hexgono ABCDEF dado.

Tringulo equivalente a un hexgono.Mediante este mtodo particular simplificamos el trazado, ya el tringulo equivalente se obtienede manera directa, sin necesidad de convertir el hexgono en otros polgonos.

Actividad

En la imagenizquierda tienes eltrazado de untringulo A'BCequivalente a unpentgono regulardado ABCDE,siendo su alturadistinta a la dedicho polgono.

Para resolverlodebes de aplicar elmtodo generalexplicado en elapartado 1.Materialnecesario:

Lpizblando y duro.

Comps.

Plantilla dedibujo(escuadra y

realizartrazados deprueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

3. Cuadrilteros

Generalmente para dibujar un cuadriltero equivalente a otro cuadriltero (paralelogramos,trapecios y trapezoides), a un tringulo, o a un polgono regular o irregular, debemos aplicar losconceptos y procedimientos desarrollados en los apartados anteriores.

Si la equivalencia se establece entre un paralelogramo rectngulo y un cuadrado, o entre estltimo y un polgono regular, podemos simplificar el trazado aplicando la proporcionalidad entresegmentos, determinando la media proporcional.

En la imagen superior puedes ver cmo se han determinado paralelogramos rectngulosequivalentes a un rombo y a un trapecio mediante triangulacin. Mientras que la equivalenciaentre el cuadrado y el paralelogramo rectngulo y entre el hexgono regular y un cuadrado se haestablecido aplicando el teorema del cateto y de la altura, respectivamente.

3.1. Rectngulos

Rectngulo equivalente a un tringulo.

Para elaborar este ejercicio debemos de proceder de manera inversa a lo realizado en el apartado2.2. "tringulo equivalente a un paralelogramo rectngulo"

En la animacin inferior puedes ver su desarrollo.

Rectngulo equivalente a otro dado.

Para resolver este ejercicio tenemos que aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados enla resolucin del "tringulo equivalente a otro dado de distinta base" del apartado 2.2, ya que elparalelogramo rectngulo dado est compuesto por dos tringulos rectngulos.En la siguiente animacin puedes ver cmo el lado mayor AB del paralelogramo ABCD dado, secorresponde con el cateto mayor del tringulo rectngulo ABD, su lado menor AD con la altura dedicho tringulo, siendo la diagonal BD la hipotenusa. El lado A'B' del otro paralelogramorectngulo equivalente A'B'C'D' ser el cateto mayor del tringulo rectngulo A'B'D' equivalente alABD.

Actividad

Para dibujar unparalelogramorectngulo equivalentea otro dado podemosemplear un mtodobasado en laproporcionalidad desegmentosEn la imagen de laizquierda se ha trazadoun paralelogramorectngulo A'B'C'D'equivalente al dadoABCD, conocido su ladomayor A'B'. Observacmo los segmentos ABy A'B' sonproporcionales, comotambin lo son lossegmentos AD y B'C',cumplindose:

Objetivos

Rectngulo equivalente a un cuadrado.

La equivalencia entre un paralelogramo rectngulo y un cuadrado, y viceversa, est basada en lamedia proporcional entre los lados del primero.Recordemos que el segmento media proporcional de dos segmentos dados es la raz cuadrada delproducto de ambos.

As pues, todo cuadrado cuyo lado sea media proporcional de los lados mayor y menor de unparalelogramo rectngulo, resultar equivalente a este.Para poder dibujar un paralelogramo rectngulo equivalente a un cuadrado dado es necesarioconocer un lado (normalmente ser el menor).En la animacin inferior puedes ver cmo se ha determinado el lado menor aplicando el teoremade la altura.

Rectngulo equivalente a un rombo.

Para dibujar unparalelogramorectngulo equivalentea un rombo tenemosque aplicar los

Pre-conocimiento

apartado 2.2 "tringuloequivalente a unrombo".

En este caso concretola similitud de ambosparalelogramos facilitasu trazado:

Superficie delparalelogramorectngulo = (ladomayor * lado menor).

Superficie del rombo= (diagonal mayor *diagonal menor) /2.

Por tanto, como lalongitud del lado mayor del paralelogramo rectngulo debe de ser igual a la de ladiagonal mayor del rombo, el lado menor del paralelogramo rectngulo equivalentedebe de ser igual a la mitad de la diagonal menor del rombo dado.

En la imagen inferior izquierda puedes ver cmo los tringulos rectngulos en quequeda divido un rombo, una vez trazadas sus diagonales, son los mimos quecomponen el paralelogramo rectngulo equivalente.

En la imagenizquierda tienes eldibujo de unparalelogramorectnguloA'B'C'D'equivalente a untrapecio escalenodado ABCD,siendo su altura lamisma que la dedicho cuadriltero.Observa cmo lostringulos AA'M yMDD' sonequivalentes,como tambin loson los tringulosB'BN y NC'C.Materialnecesario:

Comps.

Plantilla dedibujo(escuadra ycartabn).

Hojas pararealizartrazados deprueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

3.2. Cuadrado

Para poder dibujar un cuadrado equivalente a cualquier polgono, normalmenteprimero debemos transformarlo en un paralelogramo rectngulo equivalente.Existen mtodos particulares que nos permiten trazar cuadrado equivalente demanera directa.Sea cual sea el mtodo elegido, debemos aplicar los conceptos y procedimientosempelados en el dibujo de un segmento media proporcional.

Cuadrado equivalente a un rectngulo.

La resolucin de este ejercicio est basada en los conceptos y procedimientos empleados en elapartado anterior "rectngulo equivalente a un cuadrado".En este caso el trazado es ms sencillo, ya que solamente debemos determinar la mediaproporcional de los lados mayor y menor del paralelogramo rectngulo dado.En la animacin inferior se ha determinado el cuadrado A'B'C'D' equivalente al paralelogramorectngulo ABCD dado mediante el teorema del cateto.

Actividad

Cuadrado equivalente a otros dos dados.

Para calcular el lado de un cuadradoequivalente a la suma de otros dosdados debemos aplicar el teorema dePitgoras: a2 + b2 = c2

El lado solucin ser la hipotenusa deun tringulo rectngulo, siendo loscatetos los lados de los cuadradosdados, el procedimeinto sera elsiguiente:

1. Se disponen dos segmentosortogonalmente siendo susmagnitudes igual al lado de cada unode los cuadrados dado (40 y 60).2. Se completa el tringulorectngulo, cuyos catetos sern loslados anteriores y la hipotenusa ellado del cuadrado buscado.3. Se construye el cuadradodisponiendo dos de los ladosperpendicularmente y otro paralelorespecto de la hipotenusa anterior.

En la imagen izquierda puedes vercmo se ha resuelto este ejercicio.

Cuadrado equivalente a un rombo.

En este caso primero debemos transformar el rombo ABCD dado en un paralelogramo rectnguloACPQ equivalente, para finalmente dibujar un cuadrado A'B'CD' equivalente a dichoparalelogramo.En la siguiente animacin pues ver cmo primero dibujamos un paralelogramo rectnguloequivalente al rombo dado y despus, aplicando el teorema de la altura, trazamos el cuadradoequivalente.

Cuadrado equivalente a un polgono regular.Este mtodo particular nos permite dibujar, de manera directa, un cuadrado equivalente acualquier polgono regular, por lo que no es necesario convertir previamente dicho polgono en unparalelogramo rectngulo.Como la superficie de cualquier polgono regular se calcula multiplicando su apotema por elsemipermetro, la media proporcional de ambos segmentos ser el lado del cuadrado equivalente.En la animacin inferior se ha dibujado un cuadrado equivalente a un hexgono regular dadomediante el teorema de la altura.

La cuadratura del crculo: cuadrado equivalente a un crculo.Cuando alguien comenta, ensentido figurado, "quiero hacerla cuadratura del crculo" serefiere a que intenta realizaruna tarea prcticamenteimposible.

La cuadratura del crculo es unproblema matemtico, ygeomtrico, irresoluble en elque se pretende, mediante eluso del comps y la regla,dibujar un cuadrado de reaequivalente a un crculo dado.Relacionamos las frmulas delcuadrado y del crculo:

Cuadrado = l2

Crculo: Igualando reas:

Si queremos trazar uncuadrado equivalente a uncrculo, de maneraaproximada, primero tenemos

que dibujar un paralelogramo rectngulo equivalente, siendo la longitud de sulado mayor igual a la mitad de la rectificacin de la circunferencia del crculo, ysu lado menor al radio. Finalmente mediante el teorema de la alturadeterminamos el lado del cuadrado.1. Obtenemos la rectificacin de la semicircunferencia determinando elsegmento MN.2. Al anterior segmento (MN) le sumamos la longitud del radio de lacircunferencia obteniendo el punto P.3. Calculamos la media proporcional de los segmentos PM y MN, obteniendo elsegmento MRP.4. El segmento anterior (MR) es el lado del cuadrado buscado.

Pre-conocimiento

dibujo de uncuadrado A'B'C'D'equivalente a unpentgono regulardado ABCDEPara resolver esteejercicio hemosaplicado elteorema de laaltura,determinando asel lado delcuadrado que sermediaproporcional de laapotema delpolgono y susemipermetro.

Materialnecesario:

Lpizblando y duro.

Comps.

Plantilla dedibujo(escuadra ycartabn).

Hojas pararealizartrazados deprueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

4. QCAD. Practica lo aprendido

En este apartado no pretendemos que aprendas nuevas formas de resolver los ejerciciosestudiados anteriormente, sino que apliques las posibilidades que te ofrecen las frmulas de losprogramas de diseo asistido por ordenador.

4.1. Tringulos

EQUIVALENCIAS ENTRE TRINGULOS

Ejercicio resuelto

Vers a continuacin cmo realizar un tringulo equivalente a otro dado usando la potencialidadde las operaciones matemticas en QCad.

Para ello, slo debemos tener presente que el rea de un tringulo es

y que, por tanto, dos tringulos semejantes presentarn una relacin:

Actividad

En un formato A4, que completars con la informacin adecuada, realiza la actividad siguiente:

Dibujar un tringulo rectngulo A'B'C' de 95 mm de altura, equivalente al tringulo ABCde la figura.

EQUIVALENCIA ENTRE CUADRADO Y TRINGULO

Ejercicio resuelto

En el siguiente ejercicio resuelto volveremos a usar la capacidad de medir una distancia, copiarlaal portapapeles y usar esa medida para trazar una lnea. Adems veremos tambin cmo usar laventana de propiedad del editor para modificar caractersticas de entidades trazadas, evitandooperaciones ms largas.

Actividad

En un formato A4, que completars con la informacin adecuada, realiza la actividad siguiente:

Dibujar un tringulo A'B'C' cuyo ngulo B' ser de 110, equivalente al cuadrado ABCD dela figura.

4.2. Cuadrilteros

RECTNGULO EQUIVALENTE A UN TRINGULO

Ejercicio resuelto

Veamos en el siguiente ejercicio resuelto cmo trazar un rectngulo equivalente a un tringuloobtusngulo (dispuesto en diferente posicin a la que tradicionalmente se ve en los ejercicios).

Actividad

En un formato A4, que completars con la informacin adecuada, realiza la actividad siguiente:

Dibujar un rectngulo A'B'C'D' equivalente al tringulo ABC de la figura.Acota el rectngulo hallado y comprueba con la herramienta de medida que las superficies

son equivalentes.

EQUIVALENCIA ENTRE RECTNGULO Y CUADRADO

Ejercicio resuelto

Has visto este ejercicio resuelto en el punto 3.2 de este tema. Vas a ver cmo se puede resolverde forma muy rpida usando la introduccin de frmulas en QCad. Para ello debemos recordar quela media proporcional de dos segmentos a y b se calculaba matemticamente como ves acontinuacin:

Actividad

En un formato A4, que completars con la informacin adecuada, realiza la actividad siguiente:

Dibujar dos cuadrados dados por sus reas: 3500 mm2 y 4250 mm2.Dibuja un cuadrado equivalente a los cuadrados anteriores.Usa para ello las posibilidades de introduccin de frmulas en QCad.RECUERDA: el lado de un cuadrado es igual a la raz cuadrada de su superficie.