Transformadas_Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

APUNTE 3

Marina Salamé Página 1 de 43


1.TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.1 Introducción. Muchos tipos de problemas que surgen en el campo de las ciencias exigen

un cálculo complicado. Algunos de estos problemas se pueden hacer más

operativos mediante las transformadas de Laplace.

Con el método de la transformada de Laplace se resuelven ecuaciones

diferenciales y problemas con valor inicial.

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación

diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.

Dominio de s Dominio del tiempoDominio del tiempo

Solución en función del tiempo.

Manipulación algebraica de las ecuaciones

Comportamiento descrito mediante una ecuación diferencial

Transformación inversa de Laplace

Transformación de Laplace

El matemático francés Pierre Simón Laplace (1749-1827) descubrió una

forma de resolver ecuaciones diferenciales, multiplicando cada término de la

ecuación por y, así, integrando cada uno de los términos respecto al

tiempo desde cero hasta infinito; donde s es una constante con unidades de

1/ tiempo. Este resultado es lo que se conoce como la transformada de

Laplace.

ste −


1.2 Transformada de Laplace. Definición 1 (Transformada de Laplace)

Sea f(t) una función de t definida para t > 0. la transformada de

Laplace de f(t), denotada por L , se define como {f(t)}

s t

0

{f(t)} e f(t)dt F(s)∞

−= =∫L

Se dice que la transformada de Laplace existe cuando la integral

converge para algún valor de s; de otra manera, se dice que no

existe.

Ejemplo 1: Obtener la transformada para la función escalón unitario. Esta

función se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y

con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al

sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo,

el cambio de voltaje aplicado a un circuito cuando este se enciende

de manera súbita.

El gráfico muestra la forma que toma una entrada escalón cuando

tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t = 0 y la

magnitud del escalón es la unidad. La función es 1 t

f(t)0 t

>= <

0

0

f(t)

1

t


La transformada de Laplace de esta función escalón, para los valores

mayores que 0, es

Solución :

( )

( )

s t

0b

s tb

0

bs t

b0

sb 0

b

sb 0b

0sbb

sbb

{1} 1 e dt

lim e dt

elims

e elim

s

1 lim e es

1 1lim es e

1 1lims e

∞−

−

→∞

−

→∞

− −

→∞

−

→∞

→∞

→∞

= ⋅

=

−=

− − −=

= − +

= − +

= −

∫

∫

L

00

b

0b

1 lim es

1 lim es

→∞

→∞

+

=1

1 para s 0s

= >

Podemos concluir que la transformada es:

1{1}s

=L


Ejemplo 2: Supongamos ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de

altura una unidad se tiene uno de altura c unidades. Entonces, para

todos los valores de t mayores que 0 se tiene , f(t) = c. Obtener la

transformada de esta función. Es decir calcular L , c es un

número real.

{ c }

Solución :

s t

0b

s tb

0

bs t

b0

sb

b

{c} e c dt

lim c e dt

elim cs

e 1lim cs

c para s 0s

∞−

−

→∞

−

→∞

−

→∞

=

=

−=

− +=

= >

∫

∫

L

Podemos concluir que la transformada de una constante es:

c{c}s

=L


Ejemplo 3: Obtener la transformada de Laplace para la función rampa de

pendiente unitaria, f(t) = t .

Solución :

s t

0b

s tb

0

{t} e t dt

lim t e dt

∞−

−

→∞

=

=

∫

∫

L

usando integración por partes:

bbs t s t

b 0 0

bbs t s t

2b 0 0

bs t s t

2b 0

sb sb s 0 s 02 2b

sb sb 2b

b

t 1lim e e dts s

t 1lim e es s

t 1lim e es s

b 1 0 1lim e e e es ss s

b 1 1limse se s

blimse

− −

→∞

− −

→∞

− −

→∞

− − − ⋅ −

→∞

→∞

→∞

= − +

= − −

= − −

= − − − − −

= − − +

= −

∫

⋅

sb

0

sbb

1limse→∞

−0

2b

2

1lims

1{t}s

→∞+

=L


Ejemplo 4: Obtener { }2tL

Solución :

2 s t 2

0b

2 s tb

0

{t } e t dt

lim t e dt

∞−

−

→∞

=

=

∫

∫

L

Usando integración por partes:

b b2s t s t

b00

b bb2s t s t s t

2b 0 00

b b b2s t s t s t

2 3b 0 00

b2s t s t s t

2 3b0

2sb

b

t 2lim e t e dts s

t 2 t 1lim e e es s s s

t 2 t 2lim e e es s s

t 2 t 2lim e e es s s

b 2blim es s

− −

→∞

− − −

→∞

− − −

→∞

− − −

→∞

−

→∞

= − + = − + − −

= − − −

= − − −

= − −

∫

2sb sb s 0 s 0 s 0

2 3 2 3

2

sb 2 sb 3 sb 3b

2

sbb

2 0 2 0 2e e e e ess s

b 2b 2 2limse s e s e s

blimse

− − − ⋅ − ⋅ − ⋅

→∞

→∞

⋅− − − − −

= − − − +

= −

s

0

2 sbb

2blims e→∞

−0

3 sbb

2lims e→∞

−0

3b

23

2lims

2{t }s

→∞+

=L


Del ejemplo 2 y 3, podemos deducir, por la definición que:

nn 1n!{ t }

s +=L para n = 1, 2, 3,........

Ejemplo 5: Obtener { e a t } Solución :

{ }

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ba t s t a t s t a t

b0 0

b bs a ts t a t

b b0 0

bbs a t

s a tb b0 0

s a b s a 0b

s a bb

e e e dt lim e e dt

lim e e dt lim e dt

Integrando :

1 1lim e lims a s a e

1 1lims a e s a e

1lims a e

∞− −

→∞

− −−

→∞ →∞

− −−→∞ →∞

− −→∞

−→∞

= =

= =

= − = −− −

= − − − − −

= − −

∫ ∫

∫ ∫

L

⋅

{ }

0

b

a t

1lims a

1e , s as a

→∞

+ −

= >−

L


Ejemplo 6: ObtenerL si { f(t) } 0, 0 t t

f(t)3 t 1

≤ <= ≥

Solución :

{ }1

a t s t s t

0 1

bs t s

b 1

e 0 e dt 3e

3 3lim e es s

∞− − dt

− −

→∞

= ⋅ +

= − =

∫ ∫L

1.3 Propiedades de la transformada de Laplace Teorema 1: Propiedad de linealidad La transformada de Laplace es un operador lineal. Si c1 y c2 son

constantes y f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas de

Laplace son, respectivamente, F1(s) y F2(s), entonces:

{ } { } { }1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

c f (t) c f (t) c f (t) c f (t)

c F (s) c F (s)

+ = +

= +

L L L

Teorema 2: Traslación sobre el eje s.( Primera propiedad de traslación)

Si { }f(t) (s)F=L entonces { }a te f(t) F( s a ) , a= − ∈L

Demostración:

{ }

( )

at s t a t

0

s a t

0

e f(t) e e f(t) dt

e f(t) dt

F( s a)

∞−

∞− −

=

=

= −

∫

∫

L


Teorema 3: Segunda propiedad de traslación

Si { }f(t) (s)F=L y g(f ( t a ) t

t)t

− >0= 0 <0

entonces

{ } asg(t) e F(s)−=L

Teorema 4: Propiedad de cambio de escala

Si { }f(t) (s)F=L entonces { } 1 sf (at) Fa a

=

L

Teorema 5: Transformada de las derivada

Si { }f(t) F(s)=L entonces { } ( )f (t) s F s f ( 0 )′ = −L

Demostración:

{ }

{ }

{ }

s t

0

s t

s t

s t s ts t

0 00

f (t) e f (t) dt

u e dv f (t) dt

du se dt v f (t)

f (t)e f (t) dt s e f(t) dte

f(0) s f(t)

f (t) sF( s) f(0)

∞−

−

−

∞∞ ∞− −

′ ′=

′= =

=− =

′ = +

=− +

′ = −

∫

∫ ∫

L

L

Procediendo de la misma forma se obtiene:


{ } ( )

{ } ( )

{ } ( )n 1

2

3 2

n n n 1 n 2 n 3

f (t) s F s s f ( 0 ) f ( 0 )

f (t) s F s s f ( 0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )

Generalizando :

f (t) s F s s f (0 ) s f ( 0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )−− − −

′′ ′= − −

′′′ ′ ′′= − − −

′ ′′= − − − − −

L

L

L

Esta igualdad se cumple siempre que ( )nf , f , f ,......f′ ′′ ′′′ sean continuas

en y de orden exponencial y, además, t 0≥ ( )nf sea seccionalmente

continua en t >0.

Teorema 6: Transformada de integrales

Si { }f(t) F(s)=L entonces { }t

0

1 1f (u) du f (t) F(s)s s

= = ∫ LL

Teorema 7: Multiplicación por t n

Si { }f(t) F(s)=L entonces { } ( )n

nn n nn

dt f (t) ( 1) F(s) ( 1) F (s)ds

= − = −L

Teorema 8: División por t n

Si { }f(t) F(s)=L entoncess

f (t) f (u) dut

∞ = ∫L

Siempre que exista t 0

f (t)limt→


Teorema 9: Funciones periódicas

Sea f(t) con periodo T > 0 tal que f ( t + T ) = f (t)

Entonces { }

Tst

0sT

e f (t) dt

f (t)1 e

−

−=

−

∫L

Teorema 10: Comportamiento de F(s) cuando s → ∞

Si { }f(t) F(s)=L entonces slim F(s) 0→∞

=

Teorema 11: Del valor inicial si existen los límites

t o slim f(t) lim sF(s)→ →∞

=

Teorema 12: Del valor final si existen los límites

t s 0lim f(t) lim sF(s)→∞ →

=

1.4 Métodos para calcular transformadas de Laplace 1.- Método directo. Haciendo uso directo de la definición.

2.- Diversos métodos. Comprenden diferentes artificios como los indicados en los

teoremas anteriores.

3.- Mediante el uso de tablas. Véase la tabla siguiente.


1.5 TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

s t

0

{f(t)} e f(t)dt F(s)∞

−= =∫L

f ( t) {f(t)} F(s)L =

1 1 1, ss

> 0

2 t 21 , s

s> 0

3

nt

n 0,1,2,......=

n 1n! , s

s

n!=1 2 3 n, 0! =1

+>0

⋅ ⋅

4 a te 1 , s

s a> 0

−

5 sen tω 2 2s

sω

> 0+ ω

6 cos tω 2 2s s

s> 0

+ ω

7 senh tω 2 2s

sω

> ω− ω

8 cosh tω 2 2s s

s> ω

− ω

9 n at e t ( ) n 1n!

s a +−

10 a te sen⋅ ωt ( ) 2 2s aω

− + ω

11 a te cos⋅ ωt ( ) 2 2s a

s a−

− + ω


12 t sen t⋅ ω ( )22 2

2 s

s

ω

+ ω

13 t cos t⋅ ω ( )2 2

22 2

s

s

−ω

+ ω

14 sen t t cos tω − ω ω ( )3

22 2

2

s

ω

+ ω

15 sen t t cos tω + ω ω ( )2

22 2

2 s

s

ω

+ ω

16 sen at senh at+ 2

4 42as

s 4a+

17 a te f(t) F( s a )−

18

n( t ) f (t),

n 1,2,3........

−

= nF (s)

19 nf (t)

n 1,2,3.......= ( )

n 1n n 1 n 2s F s s f (0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )−− − ′− − − −

20 t

0

f (u) du∫ 1 F(s)s

21 f (t a)U(t a), a 0− − > ) ase F(s−

22 t

0

f (u) g(t u) du−∫ F(s) G(s)


2.TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

2.1 Transformada inversa de Laplace. Definición 1 (Transformada inversa de Laplace)

Si , entonces {f(t)} F(s)=L { }1 F(s) f(t)− =L se llama transformada

inversa de F(s)

2.2 Propiedades de la transformada inversa de Laplace Teorema 1: Propiedad de linealidad La transformada inversa de Laplace es lineal. Si c1 y c2 son

constantes y F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de f1(t) y

f2(t), respectivamente, entonces:

{ } { } { }1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

c F (s) c F (s) c F (s) c F (s)

c f (t) c f (t)

− −+ = +

= +

L L 1−L

Teorema 2: Traslación sobre el eje s.( Primera propiedad de traslación)

Si { }1 F(s) (t)− f=L entonces { }1 aF( s a ) e f(t)− − =L t

Teorema 3: Segunda propiedad de traslación

Si { }1 s) (t)− F( f=L entonces

{ }1 asf ( t a ) t

e F(s)t

− −− >0

= 0 <0

L


Teorema 4: Propiedad de cambio de escala

Si { }1 F(s) (t)− f=L entonces { }1 1 tF(ks) fk k

− =

L

Teorema 5: Transformada inversa de Laplace de las derivadas

Si { }1 F(s) f(t)− =L entonces ( ) ( ){ } ( )nn1 nF s 1 t s f ( t− = − )L

Teorema 6: Transformada inversa de Laplace de las integrales

Si { }1 F(s) f(t)− =L entonces 1

0

f(t)f (u) dut

∞− = ∫L

Teorema 7: Multiplicación por sn

Si { }1 F(s) f(t) y f(0) 0,− = =L entonces { }1 ns F(s) f (t)− ′=L

Teorema 8: División por s n

Si { }1 F(s) f(t)− =L entoncest

0

F(s) f (u) dus

= ∫L

Siempre que exista t 0

f (t)limt→

Teorema 9: Propiedad de convolución.

Si { }1 F(s) f(t)− =L y { }1 G(s) g(t)− =L , entonces

{ }t

1

0

F(s) G(s) f(u) g( t u) du f g− ⋅ = ⋅ − =∫L ⋅


2.3 Métodos para calcular transformadas inversa de Laplace 1.- Método de las fracciones parciales.

Cualquier función racional P(s)Q(s)

, donde P(s) y Q(s), son polinomios en los

cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una

suma de fracciones parciales.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

31 2n 1 2 3

AA A AP(s)

as b as b as b as b as b= + + +

+ + + + +

nn

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 n nn 1 22 2 2 2

A s B A s B A s BP(s)

as bs c as bs c as bs c as bs c

+ + += + +

+ + + + + + + +n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2

P(s) A B C D

s 2 s 1 s 2 s 1 s 1 s 1= + + +

+ − + − − − 3

( ) ( ) ( )2 12 2 2

As B Cs DP(s)

s s 1 s s 1 s s 1

+ += +

+ + + + + +2

( ) ( ) ( ) ( )2 12 2

Bs C Ds EP(s) A2s 32s 3 s s 1 s s 1 s s 1

22

+ += + +

−− + + + + + +

2.- Diversos métodos. Comprenden diferentes artificios como los indicados en los

teoremas anteriores.

3.- Mediante el uso de tablas. Véase la tabla siguiente.


2.4 TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

{ }1 F(s) f(t)− =L f ( t)

1 1s

1

2 21

s t

3 n 11 n= 0,1,2,3

s +

ntn!

4 1

s a− a te

5 2 21

s + ω sen tω

ω

6 2 2s

s + ω cos tω

7 2 21

s − ω senh tω

ω

8 2 2s

s − ω cosh tω


Ejemplo 1 Raíces reales en el denominador

Dada la función 22s)

s 9=F(

−, determinar { }1f(t) F(s)−= L

Solución: Usando fracciones parciales

( ) ( )2

2 2 A Bs 3 s 3 s 3 s 3s 9

= = ++ − + −−

( ) (s 3 s 3+ − )

( ) ( )2 A s 3 B s 3= − + +

( ) (

2 As 3A Bs 3B

2 A B s 3A 3B

A B 03A 3B 2

= − + +

= + + − +

+ = − + =

)

Resolviendo el sistema: 1A , B3 3

1=− = por lo tanto,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 12

1 1

1 1

3t 3t

3t 3t

2 2s 3 s 3s 9

1 13 s 3 3 s 3

1 1 1 13 s 3 3 s 3

1 1e e3 3

1 1e e3 3

− −

− −

− −

−

−

= + −−

− = +

+ −

= − + + −

= − +

= −

L L

L L

L L


Ejemplo 2 Raíces reales en el denominador

Dada la función 3 2

2s 1s)s 3s 2

F(s

+=

− +, determinar { }1f(t) F(s)−=L


( ) ( )3 2

2s 1 2s 1 A B Cs s 1 s 2 s s 1 s 2s 3s 2s

+ += = + +

− − − −− +( ) (s s 1 s 2− − )

( ) ( ) ( ) ( )2s 1 A s 1 s 2 Bs s 2 Cs s 1+ = − − + − + −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( )

2 2

2 2

2

2s 1 A s 3s 2 B s 2s C s s

)

2

2A s 3s 2 B s 2s C s s

A B C s 3A 2B C s 2A

A B C 03A 2B C 22A 1

+ = − + + − + −

= − + + − + −

= + + + − − − +

+ + = − − − = =

Resolviendo el sistema: 1 5A , B 3, C2 2

= = − = por lo tanto,

( ) ( )1 1

3 2

1 1 1

t 2t

2s 1 2s 1s s 1 s 2s 3s 2s

1 1 1 5 132 s s 1 2 s

1 53e e2 2

− −

− − −

+ + = − −− +

2

= − +

− −

= − +

L L

L L L


Ejemplo 3 Raíces reales repetidas

Dada la función ( ) ( )

2

3ss)

s 1 s 5=F(

+ +, determinar { }1f(t) F(s)−=L


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 3 2s A B C D

s 5 s 1s 1 s 5 s 1 s 1= + + +

+ ++ + + +( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

3 22

s 1 s 5

s A s 1 B s 5 C s 1 s 5 D s 1 s 5

+ +

= + + + + + + + + +

)

Evaluando en s = - 5

despejando ( )325 A 4= −25A64

=−

Evaluando en s = - 1

( )1 B 4= despejando 1A4

=

Igualando los coeficientes de las potencias de s

3

2s : A D 0

s : 3A C 7D 1

+ =

+ + =

Resolviendo el sistema: 25 9C64 16

= =D , por lo tanto, −

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

21 1

3

1 13

1 12 1

5t 2 t t t

s 2s 1s s 1 s 2s 1 s 5

25 1 1 164 s 5 4 s 1

9 1 25 116 64s 1 s 1

25 1 1 9 25e t e t e64 4 2! 16 64

− −

− −

− −

e− − −

+ = = − − + +

= − + + +

− + + +

=− + ⋅ − +

L L

L L

L L

−


Ejemplo 4 Raíces complejas: completar el cuadrado.

Dada la función 2

6s 4s)s 4s 2

F(0

−=

− +, determinar { }1f(t) F(s)−=L

Solución:

( )

( )( )

( ) ( )

1 12 2

12

1 12 2

2t 2t

6s 4 6s 4s 4s 20 s 2 16

6 s 2 8

s 2 16

s 2 46 2s 2 16 s 2 16

6 e cos 4t 2e sen 4t

− −

−

− −

− − = − + − +

− + = − +

− = +

− + − +

= +

L L

L

L L

Ejemplo 5 Raíces imaginarias puras repetidas

Dada la función ( )

3

22

ss)s 9

=+

F( , determinar { }1f(t) F(s)−=L


( ) ( ) ( )3

2 2 22 2

s As B Cs

s 9s 9 s 9

+ += +

++ +

D


( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

2 2 22 2 2

2 2

s As B

s 9 s 9 s 9

3DCs

s 9 3 s 9

= ++ + +

+ ++ +

( )

( ) ( )

22

3 2

s 9

s As B s 9 Cs D

+

= + + + +

Igualando los coeficientes de las potencias de s

3

2

0

s : C 1

s : D 0s : A 9C 0

1 s : B 9D 0

==

+ =

= + =

Resolviendo el sistema: A= -9, B = 0, C = 1, D = 0. reemplazando,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

31 1

2 2 22 2

1 12 22

s 9s 1s

s 9s 9 s 9

s s9s 9s 9

1 19 t sen 3t sen3t2 3 3

3 1t sen 3t sen3t2 3

− −

− −

−

= + + + +

= − +

+

+

=− + ⋅⋅

= − + ⋅

L L

L L


Ejemplo 6 Raíces complejas repetidas.

Dada la función ( )22

6s 7s)s 6s 25

F( +=

+ +, determinar { }1t) F(s)−=Lf(

Solución:

( )( )

( )

( ) ( )

2 222 2

2 22 22 2

6 s 3 116s 7

s 6s 25 s 3 4

s 3 16 11s 3 4 s 3 4

+ −+=

+ + + +

+= −

+ + + +

( ) ( )

( )

1 12 222 2

122 2

4t 4t3 2

6s 7 s 36s 6s 25 s 3 4

111s 3 4

1 1 1f(t) 6 e t sen 2t 11e sen 2t t cos 2t2 2 2 2 2 2

− −

−

+ + =

+ + + + − + +

= − − ⋅ ⋅ ⋅

L L

L


3. APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejercicio 1.- 2tdy 3y edt

− = con la condición : ( )y 0 1=

Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a

término. { } { } { }2ty 3 y e′ − =L L L

Paso 2.- Desarrollando y aplicando condición inicial:

{ } { }2t 1y s Y(s) y (0) s Y(s) 1 ; es 2

′ = − = − =−

L L

Paso 3.- Reemplazando en el paso 1 se obtiene:

1s Y(s) 1 3Y(s)s 2

− − =−

Paso 4.- Se factoriza la transformada :

1s Y(s) 3Y(s) 1s 2

− = +−

1 s 2s Y(s) 3Y(s)s 2+ −

− =−

( ) s 1s 3 Y(s)s 2−

− =−

Paso 5.- Se despeja la transformada: ( ) ( )

s 1Y(s)s 2 s 3

−=

− −

Paso 6.- Descomponemos en fracciones parciales

( ) ( ) ( ) ( )s 1 A B

s 2 s 3 s 2 s 3−

= +− − − −

( ) ( ) ( ) ( )s 1 A B

s 2 s 3 s 2 s 3−

= +− − − −

( ) (s 2 s 3− − )

( ) ( )s 1 A s 3 B s 2− = − + −

s 1 A s 3 A Bs 2B− = − + −

s 1 A s Bs 3 A 2B− = + − −

( ) ( )s 1 A B s 3 A 2B− = + − +


Igualando los coeficientes de los dos polinomios obtenemos:

A B 13 A 2B 1

+ = − − = −

Resolviendo el sistema:

A = - 1, B = 2

Reemplazando:

( ) ( ) ( ) ( )

s 1 1 2Y(s)s 2 s 3 s 2 s 3

− −= = +

− − − −

Paso 7.- Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación:

{ } ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1s 1 1 2y(t) Y(s)

s 2 s 3 s 2 s 3− − − − − − = = = +

− − − −

L L L L

( ) ( )

1 11 1y(t) 2s 2 s 3

− − = − + − −

L L

Paso 8.- Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas:

Resultado 2t 3ty(t) e 2e=− +

Paso 9.- Gráfica

t

y

-1 0 10

1

2

3


Ejercicio 2.- con las condiciones : ty 2 y y 3e′′ ′− + = ( ) ( )y 0 1, y 0 1′= =


término. { } { } { } { }ty 2 y y 3 e′′ ′− + =L L L L

Paso 2.- Desarrollando y aplicando las condiciones iniciales:

( ) ( ) ( ){ }{ }

( ) ( ){ }{ }

( ){ }

2

yyy

3s Y s s y 0 y 0 2 s Y s y 0 Y ss 1

′′′

′− − − − + =−

LLL

( ) ( ){ } ( )2 3s Y s s 1 2 s Y s 1 Y ss 1

− − − − + =−

Paso 3.- Factorizando :

( )2

2 3 s 2ss 2s 1 Y(s) s 1s 1 s 1

4− +− + = + − =

− −

Paso 4.- Despejando la transformada:

( ) ( ) ( )

2 2

32s 2s 4 s 2sY(s)

s 2s 1 s 1 s 1

− + − += =

− + − −

4


( ) ( ) ( )

2

3 2s 2s 4 A B CY(s)

s 1 s 1 s 1s 1

− += = + +

− −−3−

( ) ( ) ( )

2

3 2 3s 2s 4 A B C

s 1 s 1 s 1s 1

− += + +

− − −−( )3s 1−

( ) ( )

( ) ( )

22

2

s 2s 4 A s 1 B s 1 C

A s 2s 1 B s 1

− + = − + − +

= − + + − C+

Al igualar los coeficientes de potencias iguales a s,

A B C 42 A B 2

A 1

− + = − + = − =

Resolviendo el sistema obtenemos:

A = 1, B = 0, C = 3


Reemplazando:

( ) ( )3

1 3Y(s)s 1 s 1

= +− −


{ } ( ) ( )1 1 1

31 3y(t) Y(s)

s 1 s 1− − −

= = + − −

L L L

{ } ( ) ( )1 1 1

31 3 2y(t) Y(s)

s 1 2 s 1− − −

= = + − −

L L L


t 23y(t) e t e2

= + t Resultado

Paso 8.- Gráfica

t

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-1

0

1

2

3


Ejercicio 3.- con las condiciones : y 3 y sen 5′′ + = t ( ) ( )y 0 0, y 0 0′= =


término. { } { } { }y 3 y sen5′′ + =L L L t

Paso 2.- Desarrollando y aplicando las condiciones iniciales:

( ) ( ) ( ){ }{ }

( ){ }

22

yy

5s Y s s y 0 y 0 3 Y ss 2

′′

′− − + =+

LL5

( ) ( )22

5s Y s 3 Y ss 2

+ =+ 5

Paso 3.- Factorizando :

( ) ( )22

5s 3 Y ss 2

+ =+ 5

)


( )( ) (2 2

5Y ss 25 s 3

=+ +


( )( ) ( ) 2 22 2

As B Cs D5Y ss 3 s 25s 25 s 3

+ += = +

+ ++ +

( )( ) ( ) 2 22 2

As B Cs D5Y ss 3 s 25s 25 s 3

+ += = +

+ ++ +( ) ( )2 2s 25 s 3+ +

( ) ( ) ( ) ( )2 25 As B s 25 Cs D s 3= + + + + +

Al igualar los coeficientes de potencias iguales a s,

25 B 3D 525 A 3C 0

B D 0A C 0

+ = + = + = + =

Resolviendo el sistema obtenemos:

A = 0, B = 522

, C = 0, D = 522

−


Reemplazando:

( ) 2 2

5 522 22Y s

s 3 s 25

−= +

+ +


{ } { } 11 12 2

5 1 5 1y(t) Y(s) y22 22s 3 s 25

−− − = = ⋅ + − ⋅

+ +

L L L

Como

1 12 2

3 5sen 3 t , sen5 ts 3 s 25

− − = = + +

L L

Entonces Y(s) se debe escribir como:

( ) 2 25 3 1 5Y s

2222 3 s 3 s 25= ⋅ − ⋅

+ +

{ }1 1 12 2

5 3 1 5y(t) Y(s)2222 3 s 3 s 25

− − − = = −

+ +

L L L


5 1y(t) sen 3 t sen5 t2222 3

= − Resultado

Paso 9.- Gráfica

t

y

-2 -1 0 1 2 30


4. APLICACIONES Ejercicio 1.- Se conectan en serie una resistencia de R ohmios y un

condensador de C faradios con un generador de E voltios. En t = 0

q(t) = 0, I(t) =0. Obtener la carga y la corriente para cualquier

tiempo t > 0.

Paso 1.- Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

total bobina resistencia capacitorV V V V= + +

Paso 2.- bobina resistencia capacitordI qV L ; V I R ; Vdt c

= = =

Paso 3.- Sustituyendo: dI q16 I 300dt 0,02

+ + =2

simplificando: dI 16 I 50q 300dt

+ + =2

dI 8 I 25q 150dt

+ + =


Paso 4.- Resolver primero para q(t) : y como dqdt

=I sustituyendo:

dq dqd 8 25q 150dt d t d t

+ + =

Paso 5.- Modelo matemático del circuito

2 dqd q 8 25q 150dt d t

+ + =

Paso 6.- Aplicando la transformada a toda la ecuación

{ } { } { } { }q 8 q 25 q 150′′ ′+ + =L L L L

Paso 7.- Aplicando las propiedades:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )2 150s Q s s q 0 q 0 8 sQ s q 0 25Q ss

′− − + − + =

Paso 8.- Aplicando las condiciones iniciales q(0) 0, I(0) 0, q (0) 0′= = =

( ) ( ) ( )2 150s Q s 8sQ s 25Q ss

+ + =

Paso 9.- Factorizando la transformada:

( ) ( )2 150s 8s 25 Q ss

+ + =


( )( )2

150Q ss s 8s 25

=+ +


( ){ } ( )1 1

2150q(t) Q s

s s 8s 25− −

= =

+ +

L L


Paso 12.- Simplificando la expresión, en una suma de fracciones parciales:

( )2

2

150q(t)s s 8s 25

6s 486s s 8s 2

=+ +

+= −

+ + 5

( )( )2

6 s 4 246s s 4 9

+ +

+ += −

( )( ) ( )2 2

6 s 4 24 246s s 4 9 s 4 9

+ +−

+ + + += −

Paso 13.- Sustituyendo:

( ){ } ( )1 1

2150q(t) Q s

s s 8s 25− −

= =

+ +

L L ¨

( )( ) ( )

12 2

6 s 4 246 2s s 4 9 s 4 9

− + + = − −

+ + + + L

4


Resultado 4 t 4 tq(t) 6 6e cos3t 8e sen3t− −= − −

4 tdqI(t) 50 e sen3td t

−= = Resultado


Paso 15.- Gráfica de la carga : 4 t 4 tq(t) 6 6e cos3t 8e sen3t− −= − −

t

q (t)

0 1 2 30

2

4

6


Paso 16.- Gráfica de : 4 tdq(t) 50 e sen3td t

−= =I

t

I (t)

0 1 2 30

2

4

6

8

10

12

Para grandes valores de t, los términos de q o de I en que aparece son

despreciables y se llaman los términos transitorios o la parte transitoria de la

solución. Los otros términos se llaman los términos permanentes o la parte

permanente de la solución.

4 te −


Ejercicio 2.- Se conectan en serie una resistencia de R ohmios y un

condensador de C faradios con un generador de E voltios. En t = 0

q(t) = 0, I(t) =0. Obtener la carga y la corriente para cualquier

tiempo t > 0.

Solución: Paso 1.- Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

total bobina resistencia capacitorV V V V= + +

Paso 2.- bobina resistencia capacitordI qV L ; V I R ; Vdt c

= = =


Paso 3.- Sustituyendo: dI q2 16 I 100sen(3t)dt 0,02

+ + =

simplificando: dI 8 I 25q 50 sen(3t)dt

+ + =

Paso 4.- Resolver primero para q(t) : y como dqdt

=I sustituyendo:

dq dqd 8 25q 50 sen(dt d t d t

+ + =

3t)

Paso 5.- Modelo matemático del circuito

2 dqd q 8 25q 50 sen(dt d t

+ + = 3t)

Paso 6.- Aplicando la transformada a toda la ecuación

{ } { } { } { }q 8 q 25 q 50 sen(3t′′ ′+ + =L L L L )

Paso 7.- Aplicando las propiedades:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )22150s Q s s q 0 q 0 8 sQ s q 0 25Q s

s 9′− − + − + =

+

Paso 8.- Aplicando las condiciones iniciales q(0) 0, I(0) 0, q (0) 0′= = =

( ) ( ) ( )22150s Q s 8sQ s 25Q s

s 9+ + =

+

Paso 9.- Factorizando la transformada:

( ) ( )22150s 8s 25 Q s

s 9+ + =

+


( )( ) ( )2 2

150Q ss 9 s 8s 25

=+ + +



( ){ } ( ) ( )1 1

2 2150q(t) Q s

s 9 s 8s 25− −

= =

+ + +

L L

Paso 12.- Simplificando la expresión, en una suma de fracciones parciales:

( ) ( ) ( )2 22 2

s 4150 75 1 75 s 75t)26 52 52s 9 s 9s 9 s 8s 25 s 4 9

+= = − +

+ ++ + + + +2

)

q(

Paso 13.- Sustituyendo:

( ){ } ( ) (1 1

2 2150t) Q s

s 9 s 8s 25− −q(

= =

+ + +

L L

( )1

2 275 1 75 s 75 s 426 52 52s 9 s 9 s 4 9

− + = − +

+ + + + L 2


4t 4t25 75 25 75q(t) sen3t cos3t e sen3t e cos3t26 52 26 52

− −= − + +

( ) ( )4t25 25q(t) 2sen3t 3cos3t e 2sen3t 3cos3t52 52

−= − + + Resultado

( ) ( )4t75 25I(t) 3sen3t 2cos3t e 17sen3t 6 cos3t52 52

−= + − + Resultado

Para grandes valores de t, los términos de q o de I en que aparece son

despreciables y se llaman los términos transitorios o la parte transitoria de la

solución. Los otros términos se llaman los términos permanentes o la parte

permanente de la solución.

4 te −


Paso 15.- Gráfica de la carga:

( ) ( )4t25 25q(t) 2sen3t 3cos3t e 2sen3t 3cos3t52 52

−= − + +

t

q (t)

0 1 2 3 4 5

-2

-1

0

1

2

Paso 16.- Gráfica de : ( ) ( )4t75 25(t) 3sen3t 2cos3t e 17sen3t 6 cos3t52 52

−= + − +I

t0 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

0

2

4


GUÍA DE EJERCICIOS

1-. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

Respuestas:

a) f( 3tt) 4e−=4

s 3+

b) t 2f(t) e −=( )2

1e s 1−

c) f( 2t) 6 t= −2

36s 2

s−

d) ( )22t) t 1= +f( 4 2

3s 4s 2

s+ + 4

e) f( ( )2t) sen t cos t= −( )

2

2s 2s

s s 4

4− +

+

2-. Usar la definición para obtener la transformada de Laplace.

Respuestas:

a) f( 2t, 0 t 5

t)1, t 5

≤ ≤= >

( )5s 5s22 11 e e

ss0− −− −


b) f( 1, 0 t 3

t)t, t 3

< <= ≥

3s21 1 1 e

s ss−+ −

c) 3, 0 t

f(t)0, t 1

< < 1= ≥

s s2 2

1 13 e es s s

− − − − +

1

3-. Calcular:

Respuestas:

a) { }3 3tt e−L ( )4

6

s 3+

b) { }3t2e sen4tL ( )2

8

s 6s 25− +

c) { ( ) }2te 3 sen4t 4cos 4t−L 2

20 4ss 4s 20

−

− +

d) { }t cosatL ( )

2 2

22 2

s a

s a

−

+

e) ( ){ }t 3 sen2t 2cos2t−L ( )

2

22

8 12s 2s

s 4

+ −

+

f) at bte e

t

− − −

L s blns a

+ +


g) cos at cos btt−

L 2 2

2 2s b1 ln

2 s a

+ +

4-. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

Respuestas:

a) 121

s 9−

+

L sen 3t3

b) 12

6s 4s 4s 20

− −

− + L ( )2t2e 3cos 4t sen4t+

c) 1 12s 3

−

+ L

1 32 21 t e

2

t− −

π

d) 132 1 1

s s 4s−

− + − L 2 4t 1 e− + t

e) ( )

122s 1

s s 1−

−

+ L 3t3 t 3e−− −

f) ( )

12 2

s 4

s s 16−

+

+

L ( )1 t1 cos4 t sen4t16 4

− − +

g) ( )

13s a

s s a−

−

+ L

2at

2 22 t 2te

2 aa a− − + −

2


h) ( )

13 2

3

s s 9−

−

L 1 1senh 3t t9 3

−

5-. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con valor inicial, usando la transformada de Laplace.

Respuestas:

a) y y 0, y(0)′ + = = 1 ty e −=

b) y 4 y 2, y(0) 0, y (0)′′ ′+ = = = 0 (1y 1 cos22

= − )t

0

c) y 1 6y 4, y(0) 1, y (0)′′ ′+ = = =3 1y cos 4t4 4

= +

2

d) y y t, y(0) 1, y (0)′′ ′+ = = = − y t cos t 3sen t= + −

e) y 3 2 ty 3 y y t e ,′′′ ′′ ′− + − =2 t 5 t

t t t e t ey e te2 6

= − − +0

−

y(0) 1, y (0) 0, y (0) 2′ ′′= = =

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