Fenmenos de Transporte

Dr. Jos Rosario Guadalupe Snchez Lpez

Aulas 5 Saln 5105

12 Mayo 2014

Instituto Tecnolgico y de Estudios

Superiores de Monterrey

Proyecto Final

Transferencia de Masa

Equipo 4

Carlos Alejandro Meza Ramrez A01168933

Leonardo Reynoso vila A01168170

Mario Alfonso Arenas Garca A01162581

1

ndice

1. Introduccin. 2

2. Solucin de Modelos Diferenciales de Transporte de Masa para la Obtencin de Flujos Msicos, Molares

y Perfiles de Concentracin................................................................ 2

2.1 Difusin Unidireccional en Estado Estacionario a travs de una Pelcula Estancada. 2

2.2 Difusin en Estado Estacionario a travs de una Pelcula Cilndrica.... 5

3. Coeficientes Locales y Globales de Transferencia de Masa. 7

3.1 Limitantes Ley de Fick y el Coeficiente de Transferencia de Masa 7

3.2 Coeficientes Locales y Globales de Transferencia de Masa 9

4. Correlacin entre el Coeficiente de Transferencia de Masa en Funcin de Nmeros Adimensionales. 10

4.1 Nmeros Adimensionales en Transferencia de Masa.. 10

4.2 Analoga del Coeficiente de Transferencia de Masa en Funcin de los Nmeros Adimensionales

con el Coeficiente de Transferencia de Calor 10

5. Conclusin... 13

6. Fuentes de Informacin. 13

2

1. Introduccin

Se define la transferencia de masa como un sistema de dos o ms sustancias cuyas concentraciones varan

uno respecto al otro, y de manera natural presentan una tendencia a realizar una transferencia entre s

con la finalidad de poder alcanzar un equilibrio; es decir, que no haya una diferencia de concentraciones.

(Transferencia de Materia, s.f.)

Como tal, la transferencia de masa es encontrada en una significante cantidad de operaciones unitarias

en la ingeniera qumica y biotecnolgica; como lo pueden ser (Treybal, 1988):

Reacciones de naturaleza qumica y bioqumica

Evaporacin

Centrifugacin

Filtracin

Dichas operaciones permiten obtener y/o separar sustancias para poder obtener el producto final de

inters. Una mayor comprensin sobre ste fenmeno permite, a su vez, poder mejorar y hacer ms

eficientes estas operaciones.

Hay tres estados de la materia siendo slido, lquido y gaseoso; de stos tres, hay seis

diferentes interfaces que se pueden generar:

Gas-Gas

Gas-Lquido: visto comnmente en destilaciones fraccionadas

Gas-Slido: observado en sublimaciones fraccionadas o sino en operaciones de adsorcin

Lquido-Lquido: generalmente implica extracciones con el uso de lquidos insolubles

Lquido-Slido: operaciones de adsorcin o de cristalizacin

Slido-Slido

Las interfaces gas-gas y slido-slido no tienen aplicaciones industriales; esto se debe a que

en el primero prcticamente todos (con pocas excepciones) los gases son miscibles entre s

mientras que en la segunda interfase la velocidad de difusin o transferencia es muy baja.

(Treybal, 1988)

Dichas operaciones son importantes, por lo que una mayor comprensin sobre la

transferencia de masa implica poder obtener procesos ms adecuados y/o poder manipularlos

apropiadamente.

2. Solucin de Modelos Diferenciales de Transporte de Masa para la

Obtencin de Flujos Msicos, Molares y Perfiles de Concentracin

2.1 Difusin Unidireccional en Estado Estacionario a travs de una Pelcula Estancada

Figura 2.1. Difusin en

estado estacionario a travs

de una pelcula estancada.

(Lobo, 2004)

3

En la figura 2.1, se esquematiza el sistema de inters. La pelcula de espesor L separa dos soluciones que

estn bien agitadas de modo que su concentracin es uniforme; la concentracin del soluto en el lado

izquierdo de la pelcula permanece constante y tiene un valor de CA0; del lado derecho es CAL. El soluto A se

difunde a travs de la pelcula de la zona de alta concentracin (localizada en z 0) hacia la zona de baja

concentracin (localizada en z L). Se desea encontrar el flux difusivo y el perfil de concentraciones del

soluto dentro de la pelcula. (Lobo, 2004)

Aplicando la ley de la conservacin de la masa para hacer un balance de masa tomando un elemento

diferencial del volumen representativo, se obtiene una ecuacin diferencial del flux en funcin de la

distancia. El balance puede ser planteado de la siguiente forma:

Donde z es el espesor del elemento diferencial de volumen y As es el rea perpendicular a la direccin

de la difusin. Debido a que el sistema se encuentra en estado estacionario, el trmino de acumulacin de

soluto dentro del elemento diferencial de volumen As y z es cero. (Lobo, 2004) Entonces la tasa de difusin

del soluto A debe ser igual al producto del flux difusivo JA multiplicado por el rea a travs de la cual ocurre

la difusin:

| |+ = 0

Si la ecuacin 2.1 es dividida entre el elemento diferencial de volumen As y z se elimina el rea ya que

en este caso As no vara con la distancia z. Rearreglando la ecuacin 2.1 se obtiene:

(| |+

) = (

|+ |

) = 0

Tomando el lmite cuando z 0, el trmino entre parntesis ser la derivada del flux difusivo de A

con respecto a la distancia:

lim0

(|+ |

) =

= 0

Al integrar la ecuacin 2.1-3 se obtiene que JA es constante. Por lo que se concluye que el flux no es

funcin de la distancia.

A continuacin se emplear la ley de Fick para relacionar el flux difusivo con la concentracin y

aplicacin de condiciones de frontera para poder as obtener el perfil de concentraciones.

=

Si se sustituye la ecuacin 2.1 4 en 2.1 3 obtenemos (Lobo, 2004):

22

= 0

La ecuacin diferencial 2.1 5 est sujeta a dos condiciones en las fronteras de la pelcula:

= 0; = 0

= ; =

Moles/tiempo de

soluto A que entra

por difusin en z -

Moles/tiempo de

soluto A que sale por

difusin en z + z =

Acumulacin de

soluto en As z

Figura 2.2. Representacin del balance general de masa.

(Ec. 2.1 -1)

(Ec. 2.1 2)

(Ec. 2.1 3)

(Ec. 2.1 4)

(Ec. 2.1 5)

4

Las condiciones a la frontera indican que en z=0 y z=L la concentracin tiene valores fijos iguales a CA0

y CAL respectivamente. Integrando dos veces y evaluando las constantes de integracin con los valores de

las condiciones a la frontera se obtiene el perfil de concentraciones del soluto A dentro de la pelcula:

= 0 (0 )

Como se puede apreciar, la concentracin tiene una variabilidad lineal con respecto a la distancia, tal

como se indic en la figura 2.1.

Para obtener el flux difusivo se tiene que utilizar una derivacin del perfil de concentracin. Si

sustituimos 2.1 8 en la definicin de la ley de Fick 2.1 4 y efectuamos la derivacin se obtiene:

=

=

[0 (0 )

] =

(0 )

El flux difusivo tiene un valor constante, sin embargo ahora podemos cuantificarlo en trminos de

variables observables y propiedades del sistema. En vista de que CA0 > CAL, notemos que en este caso el

gradiente de concentraciones es negativo, como podemos apreciar a partir de la pendiente del perfil

de concentraciones de la figura 2.1 y de derivar la Ec 2.1 6. Por ello, el flux difusivo expresado en 2.1 7

es positivo. (Lobo, 2004)

Otra cantidad que cabe mencionar es el flujo molar del soluto que entra o sale del sistema. En general

se define como el producto del flux por el rea transversal evaluado a la entrada o a la salida. En este caso,

el flujo que se est analizando es:

|=0 = ()|=0 =

(0 )

Donde WA representa el flujo molar. Dicha ecuacin puede ser reescrita como:

Flujo Molar = Fuerza motriz Resistencia

En la ecuacin 2.1 8 se puede asimilar (CA0 - CAL) a la fuerza motriz y a la resistencia. Es claro

entonces que para obtener el mismo flujo de masa en una pelcula de dimensiones dadas, la diferencia de

concentracin requerida por un compuesto que se difunde rpidamente debe ser menor que para un

compuesto que se difunde lentamente, ya que la resistencia para ste ltimo es mayor. (Lobo, 2004)

Posteriormente, se obtiene la concentracin del flux y del flujo msico promedios. Frecuentemente, en

ingeniera no son necesarios los conocimientos detallados de perfiles de concentraciones y slo tienen

importancia los valores promedio de las concentraciones. Es bien conocido que el valor promedio de una

funcin definida entre x1 y, x2 se define como:

= ()

21

2

1

Aplicando la definicin anterior al perfil de concentraciones definido por 2.1 6 obtenemos:

= ()

=

=0

=

=0

= 0 +

2

Este resultado pudo haber sido anticipado ya que el perfil de concentraciones es lineal. El flux y el flujo

msico son constantes e independientes de z, por lo que sus valores promedio sern los mismos. Los

resultados mencionados slo son aplicables a la difusin unidireccional en estado estacionario a travs de

una pelcula estancada en coordenadas rectangulares. La importancia de este caso, sin embargo, no radica

(Ec. 2.1 6)

(Ec. 2.1 7)

(Ec. 2.1 8)

(Ec. 2.1 9)

(Ec. 2.1 10)

5

en las matemticas, sino en la situacin fsica a la cual pueden asimilarse muchos casos prcticos. (Lobo,

2004)

La situacin anteriormente expuesta y sus resultados pueden extenderse a otros casos donde existen

variaciones en la situacin fsica, o en la geometra del sistema, pero las ideas centrales para modelarlas

seguirn siendo las mismas.

2.2 Difusin en Estado Estacionario a travs de una Pelcula Cilndrica

Suponiendo que se tiene un cilindro de longitud L y radio R1, hecho de un material ligeramente soluble que

se pone en contacto con una cantidad grande de agua. La rapidez de disolucin del slido est controlada

por la difusin del soluto en una pelcula estancada de fluido de espesor R2-R1. La concentracin del soluto

en la superficie del cilindro est controlada es CA1 y fuera de la pelcula es CA2. (Lobo, 2004)

Por otro lado, tambin se supone que la solucin es diluida, que la disolucin ocurre en estado

estacionario y que no hay disolucin por las bases del cilindro. El problema consiste en obtener el perfil de

concentraciones, el flux difusivo y la tasa de disolucin del slido.

El problema es idntico al descrito en la primera seccin, excepto que ahora la geometra del sistema

es cilndrica. En vista de que el cilindro est disolvindose, la concentracin del material en R1 ser mayor

que en R2, esto es CA1 > CA2. Por ello, el gradiente de concentracin ser negativo y la difusin se dar en

direccin radial, desde la superficie del cilindro en R1 hasta la distancia R2. De acuerdo con la geometra

cilndrica del problema, debemos seleccionar el elemento diferencial de volumen adecuado. ste ser ahora

un cascarn anular de espesor r y de longitud L igual a la del cilindro, tal como se muestra en la figura 2.2,

el elemento diferencial de volumen cilndrico ser 2rrL. (Lobo, 2004)

Se empieza con el balance de masa diferencial, donde el elemento diferencial es el volumen, planteado

de la siguiente manera:

Figura 2.2. Difusin en estado estacionario en

direccin radial en un cilindro. (Lobo, 2004)

Moles/tiempo de

soluto A que entra

por difusin en r -

Moles/tiempo de

soluto A que sale por

difusin en r + r =

Acumulacin de

soluto en 2 rrL

Figura 2.3. Balance de masa diferencial para el

cilindro. (Lobo, 2004)

6

Donde r es el espesor del elemento diferencial de volumen y 2 rrL es el rea perpendicular a la

direccin de la difusin. Debido a que el sistema se encuentra en estado estacionario, el trmino de

acumulacin de soluto dentro del elemento diferencial de volumen es cero. La tasa de difusin del soluto A

es igual al flux difusivo JA multiplicado por el rea a travs de la cual ocurre la difusin. De manera

matemtica, el balance de masa se expresa como (Lobo, 2004):

2rL | 2rL |+ = 0

Si se divide por la diferencial de volumen, se obtiene la siguiente ecuacin:

1

(

) = 0

Es importante observar el trmino JAr evaluado en r + r es diferente del que est evaluado en r, ya que

ahora el rea a travs de la cual ocurre la difusin es variable. En otras palabras, el rea perpendicular a la

direccin de la difusin aumenta al aumentar el radio. Esta es una diferencia importante con respecto al

caso de difusin en coordenadas rectangulares, donde el rea a travs de la cual ocurra la difusin era

constante a cualquier z. (Lobo, 2004)

Al tomar el lmite cuando r 0 tendremos la definicin de la derivada de JA con respecto del radio:

lim0

1

(

|+ |

) = 1

()

= 0

Posteriormente, para poder obtener el flux difusivo, se integra la ecuacin 2.2-3, dando a ello:

=1

La ecuacin 2.2-4 seala que el flux difusivo JA es una funcin inversa de la variable independiente r, y

no una constante. Estas son diferencias importantes con respecto al caso de difusin en una pelcula en

coordenadas cartesianas.

Para la obtencin del perfil de concentraciones, el siguiente paso es sustituir la ecuacin 2.2-4 en la ley

de Fick en coordenadas cilndricas para difusin radial. De este modo se puede relacionar la concentracin

con la variable independiente r. (Lobo, 2004)

=

= 1

Al integrar y reorganizar la ecuacin 2.2-5:

= 2 ln + 3

Por otro lado, las condiciones de frontera a las cuales la ecuacin 2.2-6 est sujeta son:

= 1; = 1

= 2; = 2

Nuevamente realizando otra integral (sobre la ecuacin 2.2-6) empleando las condiciones a la frontera, se obtiene:

= 1 (1 2)ln(

1

)

ln(21

)

Al reordenarla:

21 2

= 1 ln (

1

)

ln (21

) ; 1 2

(Ec. 2.2 1)

(Ec. 2.2 2)

(Ec. 2.2 3)

(Ec. 2.2 4)

(Ec. 2.2 5)

(Ec. 2.2 6)

(Ec. 2.2 7)

(Ec. 2.2 8)

7

Tanto la ecuacin 2.2-7 y 2.2-8 describen el perfil de concentracin del soluto A dentro de la pelcula

cilndrica de espesor R2 R1, que es uno de los problemas que se buscaba resolver. En la figura 2.3, se

presentan perfiles de concentraciones graficados a partir de la ecuacin 9. Como se puede observar, el perfil

de concentraciones no es lineal, sino una funcin logartmica del radio, adems el perfil es independiente

del coeficiente de difusin D, al igual que el perfil en la pelcula delgada en coordenadas rectangulares.

(Lobo, 2004)

Para calcular el flux difusivo, se deriva la expresin del perfil de concentraciones dado por la ecuacin

9 y sustituir el resultado en la ecuacin 2.2-8 y sustituir el resultado en la ecuacin 2.2-5. Por ende, primero

se obtiene:

=

= 1 2

ln (21

)

1

Al realizar la sustitucin:

=

= 1 2

ln (21

)

1

Como se haba sealado anteriormente, el flux difusivo JA es una funcin inversa del radio y en la

expresin aparece el coeficiente de difusin.

Finalmente, se obtiene el transporte de masa en la superficie del cilindro. El flujo molar en la superficie

es la rapidez con la que el soluto A se disuelve, y est dado por el producto del flux difusivo por el rea de

transferencia. Este producto como ya se ha establecido, es constante e independientemente de la distancia

que se evalu. Entonces en la superficie del cilindro:

|=1 = |=121 = 2 1 2

ln (21

)

3. Coeficientes Locales y Globales de Transferencia de Masa

3.1 Limitantes Ley de Fick y el Coeficiente de Transferencia de Masa

La ley de Fick permite calcular el flux difusivo y est representado por la siguiente ecuacin (Lobo, 2004):

=

(Ec. 3.1 1)

Figura 2.3. Perfiles de concentracin para la difusin

radial en una pelcula cilndrica. (Lobo, 2014)

(Ec. 2.2 9)

(Ec. 2.2 10)

(Ec. 2.2 11)

8

Como tal, la ley tiene la siguiente interpretacin (Lobo, 2004):

De manera espontnea, los solutos viajan de una zona de alta concentracin a baja

concentracin y llegar a un equilibrio; representado por el coeficiente de difusin (D)

La magnitud del flux es directamente proporcional a la magnitud del gradiente de

concentracin

El flux difusivo y el gradiente de concentracin tienen signos opuestos

Sin embargo, la ley de Fick est limitado a describir el fenmeno de difusividad, el cual se encuentra

prcticamente de manera exclusiva en sistemas que trabajaban en regmenes lamineares y cuyas

concentraciones son diluidas. (Lobo, 2004) Si se trata con sistemas que operan en regmenes turbulentos,

son soluciones concentradas o presentan ambas caractersticas, entonces se emplea el coeficiente de

transferencia de masa.

Dicha consideracin se debe principalmente a que stas ltimas condiciones presentan la conveccin

y/o conveccin forzada; considerado como una mayor fuerza que afecta el flux que solamente la difusin.

(Tema 3, s.f.) Por otro lado, si el sistema no presenta la descripcin adecuada (como lo puede ser los perfiles

de concentracin y su variacin con las distancias); con dificultad se puede aplicar la ley de Fick.

Como tal, el flux para un sistema como el previamente mencionado se puede entender bajo el siguiente

esquema (Lobo, 2004):

De la cual k es el coeficiente de transferencia de masa y como tal, no depende de la solubilidad ni del

rea del soluto al igual que del volumen de la solucin, sino ms bien de la agitacin y la viscosidad de la

solucin. Por lo general, los mltiples efectos que no son conocidos que afectan la transferencia de masa

son considerados por dicho coeficiente. Asimismo, el flux representando en la figura 2.1 es la suma de flux

difusivo y del flux convectivo.

El modelo de la transferencia de masa se puede representar de la siguiente manera (Wegner, 2013):

= (1 2)

En la que CA1 y CA2 representan la concentracin del soluto en diferentes posiciones del sistema. Las

unidades del coeficiente de transferencia de masa son los siguientes (Lobo, 2004):

cms-1

molcm-2s-1atm-1

molcm-2s-1

La variacin de unidades se debe a la forma en la que se puede expresar las concentraciones y el flux;

contrario con la ley de Fick que siempre da una unidad de L2t-1 (L longitud, t - tiempo).

Cantidad de masa

transferida por

unidad de tiempo

(Flux)

Diferencia de

Concentracin

rea

interfacial = k

Figura 3.1. Representacin general del

coeficiente de transferencia de masa.

(Ec. 3.1 2)

9

3.2 Coeficientes Locales y Globales de Transferencia de Masa

Considrese una transferencia de masa entre un gas y un lquido; observado justamente en la interfaz del

sistema y representado en la figura 3.2. (Cussler, s.f.)

Como tal, el gas tiene que llegar hasta la interfaz del lquido por medio de una diferencia de presiones.

Su flux est dado por (Cussler, s.f.):

= (1 1)

Donde kp es el coeficiente de transferencia en la regin gaseosa, p1o es la presin en el gas mientras que

pli es la presin en la interfase.

Se asume que la interfase es delgada, permitiendo que se asuma a su vez que el flux es constante,

denotando que debera tener el mismo valor en la fase lquida. Por lo tanto (Cussler, s.f.):

= (1 1)

Donde kL es el coeficiente de transferencia en la fase lquida, mientras que c1i es la concentracin

interfacial y c1o es la concentracin en el cuerpo del lquido.

En la gran mayora de los casos la interfase se encuentra en equilibrio, por lo que se puede establecer

la siguiente correlacin:

1 = 1

En la que H es una constante de particin. La ecuacin 3.2 -3 es sustituida en 3.2-1 y 3.2-2; y ambas se

igualan entre s.

(1 1 ) = (1 1)

De la ecuacin 3.2-4, se despeja c1i y se obtiene lo siguiente (Cussler, s.f.):

1 = 1 + 1

+

Figura 3.2. Difusin general del coeficiente de

transferencia de masa. (Cussler, s.f.)

(Ec. 3.2 1)

(Ec. 3.2 2)

(Ec. 3.2 3)

(Ec. 3.2 4)

(Ec. 3.2 5)

10

La previa solucin permite correlacionar directamente la concentracin de la fase gaseosa y lquida. Al sustituir la ecuacin 3.2-5 en 3.2-3 y al realizar un poco de algebra, se obtiene la siguiente relacin:

=1

1/ + / (1 1)

La fraccin denotada en la ecuacin 2.2-6 se puede expresar como Kp, el cual es el coeficiente global de

transferencia de masa en el gas. Asimismo, 1 puede ser expresado como 1; el cual denota la

concentracin de gas en equilibrio con la fase lquida. (Cussler, s.f.) Finalmente:

= (1 1)

Para poder obtener este coeficiente global de transferencia; se requiere previamente emplear los

coeficientes locales; es decir, aquellos que representan las concentraciones que cambian con respecto su

posicin y en este caso se encuentran dentro de sus respectivas fases (como se puede ver en las ecuaciones

3.2-1 y 3.2-2). (Lobo, 2014)

4. Correlacin entre el Coeficiente de Transferencia de Masa en Funcin de

Nmeros Adimensionales

4.1 Nmeros Adimensionales en Transferencia de Masa

Tres nmeros adimensionales comnmente empleados en la transferencia de masa son los siguientes

(Lobo, 2014):

Reynolds

Re =

Representa la relacin entre las fuerzas inerciales con las fuerzas viscosas. Empleado cuando hay

conveccin forzada.

Schmidt

Sc =

=

Correlaciona la difusividad de momentum entre la difusividad de masa. Como tal, contiene las

propiedades fsicas de la mezcla.

Sherwood

Sh =

Como tal, ste ltimo nmero representa la resistencia al transporte de masa por difusin entre la

resistencia al transporte de masa por conveccin. Hay que considerar que su significado vara dependiendo

de dnde se realiza el anlisis de transferencia de masa.

4.2 Analoga del Coeficiente de Transferencia de Masa en Funcin de los Nmeros Adimensionales con el

Coeficiente de Transferencia de Calor

Uno de los problemas que a veces se tiene con respecto a la transferencia de masa es que no hay una

cantidad suficiente de datos para poder calcularla; generalmente hay ms datos para la cada de presin

debido a la friccin y para la transferencia de calor. (Treybal, 1988)

(Ec. 3.2 6)

(Ec. 3.2 7)

(Ec. 4.1 1)

(Ec. 4.1 2)

(Ec. 4.1 3)

11

Sin embargo, hay una gran similitud entre las ecuaciones de ambos procesos de transferencia (es decir,

calor y masa). De hecho, la ley de Fick se postul en base a una analoga por conduccin con calor, y no

mediante datos experimentales. (Bird et al, 2002)

Como tal, se pueden realizar las siguientes cosas con las analogas (Treybal, 1998):

i. Perfiles de temperatura y concentracin en forma adimensional y sus respectivos coeficientes de

transferencia estn dadas por la mismas funciones. Sin embargo; para poder emplearlas se tiene

que considerar lo siguiente:

a. Condiciones de flujo y geometra tienen que ser iguales

b. La transferencia de masa no debe de estar presente en la transferencia de calor

c. Las condiciones de frontera a emplear tienen que ser anlogas

ii. Los factores de friccin y los perfiles de velocidad se correlacionan a las cantidades

correspondientes de transferencia de calor y de masa; contemplando si es flujo turbulento o

laminar, al igual que la friccin de la superficie. Esta aplicacin es menos frecuente

En la tabla 4.1 se observa la correlacin entre los grupos adimensionales:

Para tener un mejor entendimiento con respecto a la analoga entre los coeficientes de transferencia

de calor y de materia, se emplear el siguiente ejemplo.

Considere un flujo isotrmico laminar o turbulento impulsado de manera estacionaria de una solucin

lquida de A en B, en un tubo mostrado en la siguiente figura. (Bird et al, 2002)

Figura 3.2. Difusin general del coeficiente de transferencia de masa. (Bird et al, 2002)

12

El fluido entra en z=0 con salida a velocidad uniforme hasta muy cerca de la pared y con una

composicin de entrada uniforme XA1. Desde z=0 hasta z=L, la pared del tubo est recubierta por una

solucin slida de A y B, que se disuelve lentamente y mantiene la composicin interfacial lquida constante

en XA0. Se supone que las propiedades fsicas de , , y DAB son constantes. (Bird et al, 2002)

La ecuacin para la transferencia de calor es:

() = (+

|=)

2

0

0

Anlogamente, la ecuacin para la transferencia de masa:

0() 0(0() + 0()) = (+

|=)2

0

0

La parte izquierda de la ecuacin 4.1-5 representa la velocidad de transferencia de masa del compuesto

A al B.

Para ambas ecuaciones (4.1-4 y 4.1-5), el lado izquierdo de la ecuacin es igualado a:

Transferencia de Calor: 1()(0 1) (Ec. 4.1-6)

Transferencia de Masa: 1()(0 1) (Ec. 4.1-7)

Se despeja h y kx para la ecuacin de calor y masa, respectivamente, obteniendo:

1 =1

()(0 1) (+

|=)

2

0

0

1 =1

()(0 1) (+

|=)2

0

0

Posteriormente, se introducen las variables adimensionales (Bird et al, 2002):

=

= =

( 0)(1 0)

=( 0)

(1 0)

Figura 4.1. Diagrama del sistema para el ejemplo de analogas

de transferencia de calor y masa. (Bird et al, 2002)

(Ec. 4.1 4)

(Ec. 4.1 5)

(Ec. 4.1 8)

(Ec. 4.1 9)

1

Se reordenan las variables adimensionales en las ecuaciones anteriores y se obtiene para transferencia

de calor el nmero de Nusselt (Nu) y el nmero de Sherwood (Sh) para transferencia de masa:

1() =1

=

1

2/ (

|=0.5)

2

0

/

0

1() =1

=

1

2/ (

|=0.5)2

0

/

0

El nmero de Nusselt es un gradiente de temperatura adimensional integrado sobre la superficie,

mientras que el nmero de Sherwood es un gradiente de concentracin adimensional integrado sobre la

superficie. Estos gradientes se pueden evaluar en las siguientes condiciones lmites:

En = 0, = para 0 < 0.5

En = 0.5, = 0 para 0

En = 0 y = 0, = 0.5

Cuando en la coordenada z=0 la delta de Kronecker indica que la velocidad del flujo solo depende de

z, r va de 0 a 0.5 porque las coordenadas del sistema parten a la mitad de ste. La presin hidrodinmica

es cero debido a que siempre es constante.

Por otro lado:

Temperatura

En = 0, = 1 para 0 < 0.5

En = 0.5, = 0 para 0 <

Concentracin

En = 0, = 1 para 0 < 0.5

En = 0.5, = 0 para 0