TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SERIES DE FOURIER

1. UTILIZAR LA DEFINICIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y RESOLVER LA SIGUIENTE FUNCIÓN

F ( t )=53

t 2−√7+5cos (√3¿t)¿

Respuesta:

L ¿¿

L=lima→ ∞

∫0

a

¿¿¿

¿ lima → ∞

∫0

a

¿¿¿

¿ lima → ∞

∫0

a

¿¿¿

¿ lima → ∞

¿¿

¿ lima → ∞

¿¿

Pero aplicando regla de L’Hopital

lima → ∞

a2e−sa= lima→ ∞

a2

esa = lima →∞

2asesa =lim

a → ∞

2s2esa =0

lima → ∞

sa+1esa

= lima →∞

s

sesa=0

¿ lima → ∞

e−sa cos (√3a )∨≤ lima→ ∞

e−sa=0∴ lima → ∞

cos (√3a )esa =0

¿ lima → ∞

e−sa sin (√3 a )∨≤ lima → ∞

e−sa=0∴ lima →∞

sin (√3a )esa =0

Así

L ¿¿

2. UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE RESOLVER. SIMPLIFIQUE LOS RESULTADOS.

a) f ( t )=72

e4 t ¿

Respuesta:

L ¿¿

Por linealidad

L=72

L¿¿

Por el primer teorema de traslación

L=73

L {cos 2√5 t }(s−4 )+7 L¿¿

L=73 [ s−4

(s−4)2+(2√5 )2 ]+7 [ s−4

(s−4)2+ (2√3 )2 ]−14 2 !

(s−4)3

L=73 [ s−4

s2−8 s+36 ]+7 [ s−4s2−8 s+4 ]− 28

(s−4)3

b) f ( t )=35

t (6sinh2 t−5sin 3 t

t 2 )Respuesta:

L {35 t (6sinh2 t−5 sin 3 tt 2 )}(S )

=L

L=L {185 t sinh(2 t)−3sin(3 t )

t }(s )

Usando linealidad

L=185

L {t sinh (2 t ) }(s )−3 L{sin (3 t )t }

( s )

Pero usando multiplicación por t

L {{t sin h (2 t ) }}( s)=−dds

L {t sinh (2t ) }

¿− dds [ 2

s2−4 ]¿−[ o−2(2 s)

(s2−4 )2 ]¿ 4 s

(s2−4 )2

Usando división por t

L {sin (3 t )t }

(s )=lim

a→ ∞∫

s

a

L {sin(3 t)}(x)dx=lima → ∞

∫s

a3

x2+9dx

¿ lima → ∞

tan−1( x3 )

s

a

¿ lima → ∞

tan−1( a3 )−tan−1( s

3 )=π2−tan−1( s

3 )Así

L=185 [ 4 s

( s2−4 )2 ]−3[ π2−tan−1( s

3 )]L= 14,4 s

( s2−4 )2−3 π2

+3 tan−1( s3 )

c) f ( t )=L { f ' ' (t)} si f (t )=34cos 2t−2e−3 t+ 3

5t 5

Respuesta:

L {f ' ' (t)}(s)=s2 L {f (t )}(s)−sf (0 )−f ' (0) Transformada de la derivada pero

L {f ( t)}(s )=L {34 cos2 t−2e−3 t+ 35

t 5}(s)

Usando linealidad

L {f ( t)}(s )=34

L {cos2 t }( s)−2 L {e−3 t }( s )+35

L {t 5 }(s )

¿ 34

s

s2+4−2 1

s+3+ 355 !

s6

¿ 0,75 s

s2+4− 2

s+3+ 72

s6

f (0 )=34cos (0 )−2e0+ 3

5(0 )5=3

4−2=−5

4

f ' (t )=−32sin (2 t )+6e−3t +3 t 4

f ' (0 )=−32

(0 )+6 e0+3 (0 )4=6

Así

L {f ' ' (t)}(s)=s2[ 0,75 s

s2+4− 2

s+3+ 72

s6 ]−s (−54 )−6

¿ 0,75 s3

s2+4− 2 s2

s+3+ 72

s4+1,25 s−6

¿ 0,75 s3

s2+4−0,75 s+ 72

s4− 2 s2

s+3+2 s−6

¿− 3 s

s2+4+72

s4− 18

s+3

3. APLICAR TABLA, SIMPLIFICACIÓN Y MÉTODO CORRESPONDIENTE PARA DETERMINAR

L−1 {f (s) }=f (t)

a¿ L−1 {7 (s−34 )−√5

3(s−34 )

2

−12+

5 (s−5 )+√79 ( s2−10 s+25 )3

− 7 s−48 s2−18

+ 4√5s2+ 47

}Respuesta:

L−1 {7 (s−34 )−√5

3(s−34 )

2

−12+

5 (s−5 )+√79 ( s2−10 s+25 )3

− 7 s−48 s2−18

+ 4√5s2+ 47

}=L

Usando linealidad

L=73

L−1{ s−34

(s−34 )

2

−4 }−√53

L−1 { 1

(s−34 )

2

−4 }+ 19 L−1{5 ( s−5 )(s−5 )2

+ √7( s−5 )2 }−78 L−1 { s

s2− 94 }+ 12 L−1{ 1

s2−94 }+4√5 L−1{ 1

s2+ 47 }

¿73

e34 cosh (2t )−√5

312sinh (2t )+ 5

9L−1 { 1s−5 }+ √7

9L−1{ 1

(s−5 )2 }−78 cosh (32 t)+ 12 ( 23 sinh( 32 t))+4√5 √72sin ( 2 t

√7 )

L=73

e34

tcosh(2 t)−√5

6sinh(2 t)+5

9e5 t+ √7

9te5 t−0,875cosh( 32 t)+ 13 sinh( 32 t )+2√35sin( 2t

√7 )

b¿ L¿−1 { −4 s+7

s2+53

s+ 174

− 6 s−4

s2+ 13

s+20 }Respuesta:

L−1 { −4 s+7

s2+53

s+ 174

− 6 s−4

s2−13

s+20 }=L

L=L−1 { −4(s+ 74 )

(s+ 56 )2

+ 329

−6 (s−2

3 )(s−1

6 )2

+7196

}¿−4 L−1{ (s+ 5

6 )+ 1112(s+ 56 )

2

+ 329

}−6 L−1 { (s−16 )−12

(s−16 )

2

+ 7196

}

¿−4 L−1{ s+56

(s+ 56 )2

+ 329

}−113 L−1 { 1

(s+ 56 )

2

+329 }−6 L−1{ s−

16

(s−16 )

2

+ 7196

}+3 L−1 { 1

(s−16 )

2

+ 7196 }

¿−4 e(−56 t)

cos ( 4√23 t )− 114√2

e(−56 t )

sin( 4 √23

t)−6 √ 6719

e(16 t )cos(√ 7196 t)+3 √ 6

719e( 16 t )sin(√ 7196 t)

c ¿ L−1{ s2+2 s+3( s2+2 s+2 ) ( s2+2 s+5 ) }

Respuesta:

L−1 { s2+2 s+3( s2+2 s+2 ) (s2+2 s+5 ) }=L

s2+2 s+3(s2+2 s+2 ) ( s2+2 s+5 )

= As+Bs2+2 s+2

+ Cs+Ds2+2 s+5

s2+2 s+3= ( As+B ) ( s2+2 s+5 )+(Cs+D ) ( s2+2 s+2 )

¿ A s3+2 A s2+5 As+B s2+2Bs+5 B+C s3+2C s2+2Cs+D s2+2Ds+2D

s3 :A+C=0

s2 :2 A+B+2C+D=1

s :5 A+2B+2C+2D=2

s0 :5B+2D=3

A=0B=13

C=0D=23

Así

L=L−1 { 13

s2+2 s+2+

23

s2+2 s+5 }¿ 13

L−1

{ 1(s+1 )2+1 }+ 23 L−1 { 1

(s+1 )2+4 }

L=13

e−t sin(t)+ 23

e−t sin(2 t)2

¿ 13

e−t sin (t)+13

e−t sin(2t)

4. UTILIZAR EL TEOREMA DE CONVOLUCIÓN Y DETERMINE:

L−1 { 2√5s3 (s2+2 ) }

Respuesta:

L−1 { 2√5s3 (s2+2 ) }=2√5 L−1{ 1s3 1

s2+2 }¿2√5 L−1 { 1s3 }∗L−1{ 1

s2+2 }¿2√5 [ t 2∗1

√2sin (√2 t )]

¿2√5∫0

tsin (√2 τ )

√2( t−τ )2dτ

¿√10∫0

t

sin (√2 τ ) (t 2−2 tτ+τ2 ) dτ

¿√10∫0

t

[ t2 sin (√2 τ )−2 tτ sin (√2 τ )+τ2 sin (√2 τ ) ] dτ

¿√10[ t2 (−cos√2 τ )√2

−2 t( 12 sin (√2 τ ))− τ√2

(cos √2 τ )+(−τ2

√2( cos√2 τ )+ 2

√2 ( 12 (cos √2 τ )+ τ√2sin (√2 τ )))]0

t

¿−√5 t 2 (cos√2t )−√10 t sin (√2 t )+2√5 t2 (cos√2 t )−√5 t 2 ( cos√2t )+√5 (cos√2t )+√10 t sin (√2 t )

Simplificando, queda:

√5 t2−√5=√5 (cos√2t )+√5 t2−√5

5. DETERMINE EL SEMIPERÍODO DEL SENO DE FOURIER PARA f ( x )=4 x ;0<x<1 REALIZAR EL ESPECTRO DE LA FUNCIÓN

Respuesta:

Espectro de la función:

4

F(x)

x

-3 -2 -1 1 2 3

bn= 2T∫−T2

T2

f (x)sin( 2πnxT )dx

¿ 4T∫0

T2

f (x )sin (2 πnxT )dx

¿8∫0

1

x sin ( πnx ) dx

¿8 [ 1n2π 2

sin (πnx )− xnπcos ( πnx )]

0

1

¿ 8

n2π2sin ( πn )− 8

nπcos ( πnx )− 8

n2π2sin (0 )+0

bn= 8nπ

(−1)n

Así

f ( x )= 8π [sin (πx )−1

2sin (2 πx )+ 1

3sin (3 πx ) ……….]

Expansión

6. DESARROLLE LA EXPANSIÓN Y REALICE EL ESPECTRO DE FOURIER DE LA FUNCIÓN

T = 2

f ( x )=1 si0≤ x≤1

(2−x ) si1≤ x ≤2T=2

Respuesta:

1

F(x)

x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Espectro

A0=12∫0

2

f ( x )dx=12 [∫

0

1

1dx+∫1

2

(2−x ) dx]¿ [ 12 x ]

0

1

+(2x− x2

2 )1

2

=12

(1−0 )+[ (4−2 )−(2−12 )]=1An=1

2∫0

2

f ( x)cos( 2πnx2 )dx=∫

0

1

cos ( πnx )dx+∫1

2

(2−x )cos (πnx )

¿ [ sin (πnx )πn ]

0

1

+[ 2sin (πnx )πn ]

1

2

−[ 1π2n2

cos ( πnx )+ xπnsin ( πnx )]

1

2

¿sin(πn)−sin 0

πn+2sin(2πn)−2sin(πn)

πn−[ 1

π2n2cos (2 πn)+ 2

πnsin(2πn)− 1

π2n2cos (2 πn)− 1

πnsin (πn)]

¿ −1π 2n2

+(−1)n

π 2n2=

(−1)n−1π2n2

=0 , si nes par

¿ −2π 2n2

, si n es impa r

bn=22∫0

2

f ( x )sin (2 πnx2 )dx=∫

0

1

sin(πnx )dx+∫1

2

(2−x )sin (πnx )dx

¿ [−cos (πnx)πn ]

0

1

−[ 2cos(πnx )πn ]

1

2

−[ 1π2n2

sin (πnx )− xπncos (πnx)]

1

2

¿− 1πn

[cos (nπ )−cos(0) ]− 2πn

[cos (2nπ )−cos (nπ )]−[ 1

π2n2sin ( πn )− 2

nπcos (2 πn)− 1

π2n2sin(nπ )+ 1

nπcos (nπ )]

¿− 1nπ

((−1 )n−1 )− 2nπ

[1−(−1)n ]−[−2nπ+ 1

nπ(−1)n]

bn=−1nπ

[(−1)n−1+2−2(−1)n−2+(−1)n ]= 1nπ

Luego

f ( x )=12+∑

n=1

∞ [ (−1)n−1π 2n2

cos(nπx)− 1nπsin(nπx )]

Expansión