Unidad 3. Transformada de La Laplace y Series de Fourier
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Ecuaciones diferenciales
Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier
Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 1
Ingeniera en Tecnologa Ambiental
7 cuatrimestre
Ecuaciones diferenciales
Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico
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Ecuaciones diferenciales
Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier
Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 2
ndice
Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier .................................................... 3
Presentacin de la unidad ................................................................................................. 3
Propsitos de la unidad ..................................................................................................... 3
Competencia especfica ..................................................................................................... 3
3.1. Transformada de Laplace ........................................................................................... 4
3.1.1. Definicin de transformada de Laplace .................................................................... 4
3.1.2. Definicin de la transformada inversa ...................................................................... 5
3.1.3. Linealidad y otras propiedades .............................................................................. 10
3.1.4. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace ................ 14
3.1.5. Transformada de Laplace de funciones bsicas .................................................... 16
3.1.6. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos ................................ 22
3.1.7. Clculo de la transformada inversa para funciones ................................................ 26
3.1.8. Derivacin de la transformada ............................................................................... 29
3.1.9. Integracin de la transformada ............................................................................... 32
Actividad 1. Solucin de ecuaciones con la transformada de Laplace ............................. 34
3.1.10. Aplicaciones de la transformada de Laplace en fenmenos fsicos ...................... 35
3.2. Series de Fourier ...................................................................................................... 38
3.2.1. Definicin de las series de Fourier ......................................................................... 39
3.2.2. Series trigonomtricas y funciones con periodicidad .............................................. 43
3.2.3. Frmulas de Euler .................................................................................................. 48
3.2.4. Convergencia de series ......................................................................................... 54
3.2.5. Funciones no peridicas en series ......................................................................... 62
3.2.6. Aplicaciones de las series de Fourier en fenmenos fsicos ................................... 68
Actividad 2. Series de Fourier .......................................................................................... 72
Actividad 3. Transformadas de Laplace y series de Fourier ............................................. 72
Evidencia de aprendizaje. Transformadas de Laplace y series de Fourier aplicadas ....... 73
Cierre de la unidad .......................................................................................................... 74
Para saber ms ............................................................................................................... 75
Fuentes de consulta ........................................................................................................ 75
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Ecuaciones diferenciales
Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier
Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 3
Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier
Presentacin de la unidad
En esta tercera unidad sern cubiertos conceptos que se utilizarn para modelar y
resolver matemticamente de una forma adecuada problemas existentes en fenmenos
fsicos que encuentran relacin con las ecuaciones diferenciales. Para ello, se tratarn los
temas de la transformada de Laplace y las series de Fourier definiendo ambas,
aprendiendo a calcular la transformada inversa, facilitando el reconocer las propiedades
de linealidad y traslacin, identificando las condiciones suficientes de existencia para la
aplicacin de stas, y aprendiendo a calcular la transformada y series para funciones
bsicas y definidas por tramos. Sern mostrados los fundamentos que permiten hacer uso
de estas dos herramientas matemticas, detallando las frmulas de Euler, la forma de las
series trigonomtricas y funciones con periodicidad, as como el tratamiento de aquellas
funciones no peridicas por medio de series. Se estudiarn casos particulares y la
aplicacin de la transformada de Laplace y series de Fourier para resolver problemas
asociados con fenmenos fsicos presentes en problemas ambientales.
El objetivo de esta y de las dems unidades es proporcionar las herramientas necesarias
para modelar matemticamente sistemas cambiantes en el tiempo, facilitando su
aplicacin en el desarrollo, anlisis, operacin y control de sistemas de energa renovable.
Bienvenido(a) a esta tercera y ltima unidad del curso.
Propsitos de la unidad
El propsito de la unidad es comprender la transformada de Laplace, sus propiedades,
sus condiciones, y utilizarla de forma correcta sobre ecuaciones y funciones, facilitando su
clculo. Una vez que hayas mecanizado las habilidades para solucionar problemas
haciendo uso de la transformada de Laplace, el propsito es que la apliques para resolver
modelos similares que encuentres en problemas ambientales. Por otro lado, esta unidad
tiene como propsito permitirte identificar las series de Fourier y su aplicacin en el
tratamiento de problemas que puedan involucrarlas dentro de fenmenos fsicos.
Competencia especfica Aplicar ecuaciones diferenciales para solucionar matemticamente problemas que
involucran fenmenos fsicos encontrados en problemticas ambientales, utilizando la
transformada de Laplace y series de Fourier.
juaneduardoResaltado
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Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier
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3.1. Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un recurso matemtico que ser de gran utilidad dentro
del clculo de ecuaciones diferenciales asociadas con fenmenos fsicos, ya que permitir
cambiar problemas de clculo por problemas aritmticos, facilitando su resolucin y
permitiendo interpretar su realidad desde otro marco de referencia.
3.1.1. Definicin de transformada de Laplace
La transformada de Laplace, de acuerdo a Zill (1997), se establece como
donde es funcin definida en todo mayor o igual a cero.
Para distinguir una funcin previa a ser transformada de una que ya lo ha sido, algunos
autores en sus libros hacen uso de letras minsculas al escribirlas, y una vez ya
transformada de maysculas.
Un ejemplo muy bsico de ello sera el querer obtener la transformada de Laplace para
una funcin representada por un nmero constante. Se propone
En este caso, .
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Como y (recuerda que por definicin ),
Entonces
para .
sta ltima condicin se debe a que si el exponente de , , ser positivo, y si
tiende a infinito en el lmite, hace que la integral no exista, a lo que se le nombra como
divergencia. En otras palabras, cuando el lmite no existe, tampoco lo hace la integral.
Caso contrario, si el lmite existe hay convergencia en la integral, que es otra forma de
decir que existe.
Como ha sido mostrado, cuando la integral tiene convergencia, resulta de esta una
funcin de , esto es, .
Para ver ms clculos de la transformada de Laplace para funciones bsicas consulta el
subtema 3.1.5. Transformada de Laplace de funciones bsicas de esta unidad 3.
Se ha visto que la transformada de Laplace permite cambiar una funcin en otra para
facilitar y aplicar las operaciones necesarias en su resolucin, pero al final lo que se tiene
es el resultado en unidades diferentes, lo que an dejara sin tener la solucin del
problema original. Se debe entonces encontrar la manera de regresar a las formas previas
a la transformacin para poder dar respuesta a las preguntas inicialmente planteadas en
los problemas, sin dejar soluciones inconclusas.
3.1.2. Definicin de la transformada inversa Para resolver el planteamiento final del subtema anterior, en donde, se estableci la
necesidad de regresar, una vez aplicada la transformada de Laplace, a las variables
iniciales del problema en un afn de no dejar la solucin inconclusa, se tratara de
completar el algoritmo de resolucin.
juaneduardoResaltado
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Para resolver problemas haciendo uso de la transformada, lo que sea inferido que se
puede hacer hasta el momento es:
1 Modelar por medio de ecuaciones los problemas presentados, 2 Calcular la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuacin resultante, y 3 Despejar la transformada de Laplace de la funcin correspondiente a la incgnita
del problema original.
Atendiendo a la necesidad de solucionar la incgnita original, el ltimo paso de nuestro
algoritmo deber ser:
4 Buscar una funcin que resulte en la transformada de Laplace despejada.
En ste ltimo paso lo que se har ser aplicar aquello a lo que se le conoce como
transformada inversa.
La transformada inversa de Laplace se escribe como , lo que significa que
siempre y cuando
Observa un ejemplo de cmo se aplicara la transformada inversa de Laplace.
Supn que se tiene una funcin en el dominio de
Entonces
Para resolverla se puede realizar todo el proceso de manera invertida al llevado a cabo en
el subtema 3.1.1. Definicin de transformada de Laplace, completando la equidad para
agregar los trminos que se sabe que tiene la definicin de la transformada de Laplace,
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para al final tener una expresin similar a
que se podra entonces convertir a
Al ver la expresin, se podra inferir que si se tiene
y como la transformada de Laplace, por definicin, se expresa como
entonces se tiene ya completa, para un . Se habr encontrado la transformada
inversa de Laplace para
.
Puedes observar que se requiere mucha habilidad y prctica para poder encontrar
transformadas inversas por medio de ir completando las expresiones provistas hasta
llegar a la que se necesita. Es por eso que se basar, para facilitar su correcta aplicacin,
en transformadas de Laplace que se calcular en temas posteriores y otras ya calculadas,
para poder encontrar rpidamente la transformada inversa al reescribir las expresiones
dadas como otras ya conocidas haciendo uso de distintas propiedades que vers en los
temas 3.1.3 y 3.1.5 de esta unidad.
Un ejemplo de a qu se refiere:
Como en el tema 3.1.1 se encuentra que la transformada de Laplace de
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queda calculada como
Entonces se sabe que la transformada inversa de Laplace para
es
Para poder facilitar llegara una expresin conocida como transformada de una funcin, se
recomienda convertir primero el denominador a una forma reconocida y posteriormente el
numerador. Algunas formas de manipular denominadores pueden ser, entre otras, el
mtodo de completar la expresin cuadrtica y el mtodo de fracciones parciales.
Bronson, R., (2003, p. 58-59) presenta esos dos mtodos de la siguiente manera:
Mtodo 1
Si se tiene una expresin cuadrtica polinomial , para convertirla en una suma
de cuadrados (dado que la tabla de transformadas provista en temas posteriores contiene
muchas de ellas con denominadores de esa forma) se hara lo siguiente,
en donde
y
, por lo que
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Mtodo 2
Si se tiene una expresin de la forma
en donde tanto como son polinomios, el
mtodo de las fracciones parciales la convierte en la suma de otras fracciones en donde
el denominador de cada nueva fraccin es uno de primer grado o cuadrtico elevado a
alguna potencia. Para poder utilizarlo se requiere que el grado de sea menor al de , y
que sea factorizable en el producto de polinomios lineales y cuadrticos elevados a
varias potencias.
El mtodo dice que para cada factor de del tipo debe de asignarse una suma
de fracciones de la forma
Para cada factor de del tipo debe de asignarse una suma de fracciones
de la forma
Las constantes , y (donde y ) se sacarn de la
siguiente manera. Se deber igualar la fraccin original,
, a la suma de las nuevas
fracciones construidas, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales para despejar todas
las , y .
Reproduce el siguiente video para ver un ejemplo de cmo usar este segundo mtodo:
http://www.youtube.com/watch?v=19ErKVbteX0 y que tambin pueden encontrar en los
materiales con el nombre Descomposicin en fracciones parciales.mp4
Ms adelante, en los temas 3.1.7 y 3.1.10 de esta unidad, se presentar su aplicacin en
los clculos de la transformada.
Para manipular el numerador se hace uso de simple lgebra. Por ejemplo, si se tiene en
el numerador una expresin del tipo podra ser reescrita como , y si
se tuviera una constante en el numerador que requiriera completarse se podra
multiplicar todo por la unidad creada por
, para tener un resultante de la forma
.
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Estas formas de trabajar con el numerador y denominador, aunque pudieran parecer
obvias, tendrn mucha relevancia al unirse a las propiedades de la transformada y
transformada inversa de Laplace, como lo es la linealidad. Esta y otras propiedades se
cubriran en el siguiente subtema, 3.1.3. Linealidad y otras propiedades.
Como una pequea introduccin al tema 3.1.3, y a manera de cierre de ste 3.1.2 en que
se ha tratado a la transformada inversa, una vez que la has determinado posiblemente te
preguntes cmo saber que se ha seleccionado a la funcin correcta para regresar, en el
paso 4 de nuestro algoritmo, a la solucin de nuestra incgnita original. Blanchard, P.,
Devaney, R. L. y Hall, G. R. (1999, p.505-506) hablan de una propiedad de la
transformada inversa llamada unicidad. Esta propiedad dice que si es funcin continua
con transformada de Laplace , ser la nica funcin (de ah lo de
unicidad) que tendr por transformada a . Por eso se dice la transformada
inversa de en lugar de una transformada inversa de , ya que ser la nica.
Para ver ms clculos de la transformada inversa de Laplace para funciones bsicas
puedes consultar el subtema 3.1.7 de esta unidad 3.
3.1.3. Linealidad y otras propiedades
La linealidad es una propiedad que se encuentra presente en operaciones como la
integracin (tanto definida como indefinida) y diferenciacin, significando que, mientras
existan cada derivada e integral, para cualquier constante y lo siguiente se cumple
(Zill, 1997):
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Al estar definida la transformada de Laplace como una integral
la propiedad de linealidad es inherente a ella.
Esto significa que
si convergen (existen) ambas integrales resultantes.
Expresado de otra forma, la linealidad de la transformada de Laplace dice que
Al ser la transformada inversa, vista en el tema 3.1.2, resultado de las mismas
operaciones pero revertidas, tambin es un operador lineal.
Blanchard, P. et al (1999) enfatizan la importancia de esto ltimo, dado que facilitar el
determinar la transformada inversa de operaciones a primera vista complicadas por medio
de calcular para cada trmino linealmente simplificable.
La transformada de Laplace, hablando de sus otras propiedades, tiene una caracterstica
que la hace exitosa en su aplicacin para resolver ecuaciones diferenciales, y esto se
puede ver al aplicarla a derivadas.
La transformada de una funcin expresable como
supone la existencia de una
funcin con transformada , esto es,
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La caracterstica de la que se habla se encuentra en la solucin de esta transformada,
que resulta ser
Para comprobarlo, se utilizar la verificacin hecha por Blanchard, P., Devaney, R. L. y
Hall, G. R. (1999):
La definicin de la transformada de Laplace dice que
por lo tanto, para comprobar la caracterstica mencionada, se resolver la transformada
para la funcin
dada
Integrando por partes, haciendo el cambio de variable
y
se puede calcular y , obteniendo
y
Se resuelve la integral por partes agregando los cambios hechos
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Observa que el segundo trmino es muy similar a la definicin de la transformada de
Laplace, por lo que, se puede reescribir el resultado as:
o lo que es lo mismo
As se prueba la afirmacin de que
Esta caracterstica es la que facilita cambiar elementos diferenciales en por operaciones
algebraicas, transformando problemas de clculo en problemas de lgebra, y permitiendo
la realizacin de muchas operaciones al tener como parte de sus propiedades la
linealidad ya mencionada (Blanchard, 1999).
Otra propiedad es la de la translacin en , que ilustra el impacto en la transformada de
multiplicar una por . Esta propiedad dice que si existe
en , para toda . Para comprobarlo se calcula la transformada.
Cuatro propiedades ms, expuestas por Bronson, R. (2003), son las siguientes:
1 Si entonces para cualquier entero positivo
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2 Si y si el
existe, entonces
3 Si entonces
4 Por ltimo, si es una funcin peridica con un periodo , esto es, entonces
Tal como se ha presentado, la transformada de Laplace y sus propiedades, es importante
saber cundo puede existir. Se han establecido y expuesto por distintos autores las
condiciones suficientes de existencia. En el siguiente subtema se presenta cules son y
un ejemplo de comprobacin.
3.1.4. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace
Zill (1997) establece que las condiciones suficientes para que exista la transformada de
Laplace se definen por el siguiente teorema, si es continua por tramos en el intervalo
y de orden exponencial para , entonces existe para .
Tal vez te preguntes a qu se refiere cuando se habla de la continuidad por tramos de
. Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D (2005) lo explican de esta forma: Si es
continua en cada punto de un intervalo finito pero no lo es en una cantidad finita de
puntos donde presenta discontinuidad o saltos, entonces se dice que es una funcin
continua por partes. Ampliando la definicin, establecen que la funcin es continua por
partes en si es continua por partes para cualquier en .
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Zill (1997), demuestra su teorema de la siguiente manera:
Se tiene la siguiente transformada aplicada sobre que puede partirse en dos tramos
Se sabe que puede ser expresada como una adicin de integrales en intervalos donde
tiene continuidad.
Para se tiene lo siguiente,
Esto ocurre para para que la integral converja (exista). Recordemos que .
Si entonces , para valuado en , nos dara , haciendo que la integral
diverja (no exista). Si entonces , para valuado en , nos dara en
donde es un nmero positivo, resultando en , haciendo de nuevo que la integral
diverja.
De esta forma se prueba que para existe la integral
y como por definicin as se establece la transformada de Laplace , entonces
tambin existe sta.
Al respecto, Nagle, K., Saff, E. B., Snider, A. D. (2005) presentan su teorema de
condiciones para existencia de una forma an ms corta, pero haciendo la demostracin
de la misma manera, variando slo las letras usadas para las constantes. Dicen que Si
es continua por partes en y de orden exponencial , entonces existe
para . No hay que dejarse llevar por la extensin de una definicin para determinar
cul utilizar, se recuerda que, despus de todo, muchos de los libros que se estn
referenciando son traducciones al espaol de un idioma extranjero, por lo que mientras se
encuentren completas y entendibles las formas de expresar un concepto la que sea que
se utilice ser vlida.
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3.1.5. Transformada de Laplace de funciones bsicas
Utilizando lo ya aprendido en los temas 3.1.1. y 3.1.4. se calcularn algunas de las
transformadas de Laplace para funciones bsicas, facilitando de sta manera que puedas
entender de donde surgen y proporcionando al final una tabla que podrs utilizar cuando
lo requieras.
Retomando la definicin ya provista
Se inicia con el clculo de la transformada de una constante, que parte del ejemplo bsico
utilizado en el subtema 3.1.1.
Se haba visto que si ,
Por tanto
para .
Se generaliza un poco ms.
Si se desear calcular la transformada de Laplace de una constante real, slo se tendra
que seguir los mismos pasos.
Esto es, si , en donde es una constate real
Por tanto
para .
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La transformada de una variable se calculara como sigue.
Si ,
Esta es una integral que puede ser resuelta por partes, obteniendo
Por lo que se sabe, se puede observar que el primer trmino es igual a .
Para saber cmo resolver la indeterminacin resultante de multiplicar cero por infinito por
medio de la regla de LHopital, reproduce el siguiente video.
http://www.youtube.com/watch?v=REpjTjqRVRw y que tambin pueden encontrar en los
materiales con el nombre Clculo por regla de LHopital.mp4.
Esto deja nicamente el segundo trmino.
Por tanto
para .
Seguramente has notado que en ste ltimo ejemplo, a manera de abreviar nuestra
escritura se ha empezado a escribir solamente como
. ste es un
recurso utilizado ampliamente por autores de libros que incluyen la transformada de
Laplace para agilizar su escritura y lectura.
De la misma manera, la transformada de una variable elevada al cuadrado se calculara
as,
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Si ,
Esta es una integral que se resuelve por partes. Una vez resuelta (se empieza a obviar
pasos o tcnicas que han sido mecanizadas en cursos previos) da
=
Por tanto
para .
Un ltimo ejemplo de la variable elevada a un exponente entero positivo. Si ,
Esta es otra integral que tambin se resuelve por partes. Puedes basarte en los ejemplos
anteriores para acelerar el proceso de clculo. Al final queda como resultado
considerando que los otros trminos tendrn el mismo fin que los de los clculos de
transformadas previas, al tener multiplicando a (haciendo uso de la regla de
LHopital), entonces
para .
Se puede detectar cierto comportamiento de la transformada con todos los clculos
anteriores de funciones bsicas: Al transformar una constante queda sta dividida entre ,
y al hacerlo con la variable elevada a un exponente entero positivo queda
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Para calcular la transformada de ,
Si ,
o lo que es lo mismo
Resolviendo por partes quedara
Por tanto
para (recuerda la explicacin hecha en el tema 3.1.4. al
respecto).
Puedes calcular, tomando como base lo anterior, transformadas de Laplace para distintas
funciones.
Para complementar las transformadas que se ha calculado, lee el tema llamado
transformadas de Laplace del seno y del coseno en el libro de Blanchard, P., Devaney, R
y Hall, G. (1998, p. 519-521). Una vez que lo hagas podrs saber cmo calcular la
transformada para las funciones mencionadas.
A continuacin, se provee con una tabla basada en la presentada por Nagle, K., Saff, E.
B., y Snider, A. D. (2005), que incluye las transformadas que ya se ha calculado y otras
nuevas:
Condicin para
siendo una constante
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, siendo un entero positivo
, siendo un entero positivo
Las dictadas por i y individualmente
Para la ltima fila de la tabla, recuerda que ya ha sido establecido en el subtema 3.1.3.
que la transformada de Laplace tiene, al ser una integral, la propiedad de linealidad, por lo
que puedes hacer uso de esa caracterstica con las transformadas provistas y las que
calcules.
Un ejemplo de la aplicacin de la transformada de Laplace para la resolucin parcial de
ecuaciones diferenciales en problemas de valor inicial (recuerda que para tener la
solucin completa en los trminos deseados har falta encontrar la transformada inversa)
podra ser el siguiente (Blanchard, P. et al, 1999,):
Se tiene
en donde han dicho que para el valor de .
Retomando el algoritmo visto en el 3.1.2, observa que la primer parte, que es la de
modelar el fenmeno en ecuaciones diferenciales, ha sido cumplida.
Siguiendo con el paso 2, aplica la transformada en ambos lados de la ecuacin,
obteniendo lo siguiente
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Aplicando las propiedades ya vistas (como la de linealidad) se tiene que
Se ha dicho que , por lo que, sustituyendo
En la tabla localizada justo antes de este ejemplo se busca, para ahorrar tiempo, la
transformada de y observa que es
Utilizando sta transformacin en la ecuacin, viendo que
Reacomodando un poco los trminos para cubrir el paso 3 del algoritmo
As, queda que
Repite, para tener la solucin completa en los trminos deseados har falta encontrar la
transformada inversa (subtema 3.1.2.), ya que no se quiere , sino la solucin .
Continua con el ejercicio en el subtema 3.1.7, clculo de la transformada inversa para
funciones.
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En los materiales de la asignatura se ha puesto a tu disposicin la tabla de transformadas
de Laplace que Bronson, R. (2003) colocada como apndice de su libro. Para tener mayor
informacin de este libro visita la seccin correspondiente a las Fuentes de consulta.
A manera de repaso, reproduce el siguiente video para ver una sntesis de la definicin
de la transformada de Laplace y el clculo de la transformada de la segunda funcin
bsica vista en este tema.
http://www.youtube.com/watch?v=c3TwyoLS_98 y que tambin pueden encontrar en los
materiales con el nombre Repaso definicin y clculo de la transformada.mp4
Realiza ahora los ejercicios 7.1 del nmero 1 al 66 del libro de Carmona & Filio (2011, p. 347-351) y corrobora tus respuestas comparndolas con las de los autores. Una vez que lo hagas, habrs comprobado tu aprendizaje de la forma de calcular la transformada de Laplace para funciones diversas.
3.1.6. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos
Al momento de estar trabajando en fenmenos fsicos, de forma natural empiezan a surgir
funciones continuas por tramos. La llegada de nuevos elementos a un sistema qumico o
biolgico, un apagn, el encendido de un interruptor, la apertura de una puerta que
cambia la forma en que se comporta la temperatura de un cuarto o frigorfico son
ejemplos de situaciones que provocan discontinuidad en un sistema. Para stas, la
transformada de Laplace facilita su tratamiento, que en ocasiones puede ser difcil de
analizar sin el uso de sta herramienta.
Para poder ver la forma en que se presentan las transformadas de Laplace de funciones
definidas por tramos recuerda la definicin de Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D (2005)
que se utiliz en el subtema 3.1.4: Para que una funcin sea continua por tramos en un
intervalo finito sta debe de ser continua en cada punto del intervalo, con excepcin
de una cantidad finita de puntos donde la funcin tiene discontinuidad. Esta funcin es
continua por tramos en el intervalo si es continua por partes para en .
Para completar, debe de existir el lmite de desde el interior de cada tramo hasta
cualquier extremo de ste.
Un ejemplo grfico de una funcin continua por tramos es el siguiente:
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siendo la funcin representada por
Existe la transformada de Laplace de una continua por tramos siempre que crezca
ms lento que una exponencial. Nagle, K., et al (2005) profundizan en ello con la siguiente
definicin: Se dice que una funcin es de orden exponencial si existen constantes
positivas y tales que , para toda .
Carmona, I. y Filio, E. (2011) sintetizan an ms dejando la definicin slo como es
funcin de orden exponencial Existen tales que: .
Ejemplo de ello es . Esta funcin es de orden exponencial con y
dado que se cumple la definicin al tener que .
Una funcin que no sera de orden exponencial es , ya que crece ms rpido que .
Para explicar cmo resolver este tipo de funciones se pondr el ejemplo de una funcin
escaln unitario.
Una funcin escaln unitario tiene la siguiente forma
juaneduardoResaltado
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En el diagrama el escaln inicia en , haciendo que la funcin salte de a .
Supn, para generalizar, que no se sabe en donde se encuentra el salto, por lo que se
establece que se da en un tiempo desconocido . Nuestra funcin quedara entonces
modelada as
La transformada de Laplace, por su definicin (subtema 3.1.1), sera
o en ste caso,
De esta manera, se separa en dos partes su clculo basndose en la definicin de su
modelo
Al ver la expresin se detecta que el primer trmino es igual a debido a que
para todo
-
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Como para todo ,
As, se ha calculado la transformada de Laplace para la funcin escaln unitario
Si se aplicar la transformada inversa, haciendo uso de su definicin y de las
propiedades, se vera que la funcin
es la transformada de 1, lo cual, no es de
sorprender, ya que la funcin original en el dominio de indicaba eso para . La parte de la transformada de Laplace obtenida para la funcin escaln unitario, que indica que a
partir de es donde es igual a es debida a la propiedad de traslacin en , y
es dada por .
La propiedad de traslacin en Edwards, (2009) dice que si la transformada de la funcin
existe para se tiene que
Esto genera entonces que la transformada inversa se presente de la siguiente manera
en .
juaneduardoResaltado
juaneduardoResaltado
-
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De igual forma, al igual que las funciones continuas por tramos y como una extensin de
ellas, existen las funciones peridicas, que no son sino funciones que se repiten. stas se
definen tomando en cuenta que es peridica si se encuentra un nmero en el
que , siendo el periodo de , y encontrndose como el mnimo valor en que
se cumple la igualdad presentada.
Para calcular la transformada de Laplace para ste tipo de funciones, Edwards, (2009)
mencionan que si es funcin peridica con periodo continua por tramos en , su
transformada existe en y se determina por
Lee ahora el captulo 7.5 del libro de Edwards y Penney de la pgina 482 a 488 para ver
ejemplos de lo anterior, la demostracin y aplicacin de los conceptos en funciones
peridicas. Una vez que lo hayas revisado, debers ser capaz de entender la forma en
que se puede aplicar el contenido de este tema en el clculo de la transformada de
Laplace para funciones continuas por tramos y peridicas. Para mayor informacin del
libro visita la seccin Fuentes de consulta.
3.1.7. Clculo de la transformada inversa para funciones
Como ya fue mencionado en el subtema 3.1.2, el clculo de la transformada inversa es de
suma importancia para tener una solucin completa una vez que se ha regresado a
expresar el resultado en trminos de la incgnita original. Se ha planteado ya un ejemplo
de la forma de aplicar la transformada inversa, pero es necesario ver utilizadas las
propiedades como la linealidad junto con las soluciones establecidas en el 3.1.5 para que
sepas como integrar los conocimientos adquiridos hasta el momento para resolver
sistemas de mayor complejidad.
Blanchard, P. (1999) presenta el siguiente ejemplo.
Retoma primeramente el ltimo ejercicio del 3.1.5, aqul que se dej inconcluso por no
haber aplicado la transformada inversa para obtener la solucin .
Recordando, se tena que
y haban dicho que para el valor de .
juaneduardoResaltado
-
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La transformada de Laplace que se obtuvo fue
Como se quiere la solucin se aplica la transformada inversa en ambos lados de la
ecuacin.
Si se hace uso de la propiedad de linealidad vista en el subtema 3.1.3, se puede separar
la expresin as
Observa que el primer trmino es la transformada de una funcin que ya aparece en
la tabla provista en el 3.1.5, pero el segundo trmino tendr que descomponerlo an ms
para que quede expresado como una combinacin de transformadas ya conocidas. Un
recurso muy utilizado es hacer uso del mtodo de fracciones parciales.
De esta forma
Despejando y tendras entonces que
, .
Sustituyendo los valores de las constantes temporales en la expresin
Esta nueva expresin puede reconocerse en cada uno de sus miembros como la
transformada de una funcin ya escrita en nuestra tabla, para ser exactos, de una
exponencial.
-
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Entonces
En tabla se tiene que
lo que lleva a
La solucin del ejercicio
con la condicin inicial ya completa
(habiendo aplicado el paso 4 del algoritmo) sera
Si se desear construir una tabla para facilitar el clculo de transformadas inversas se
podra basar en aquella que se construy para el clculo de transformadas, utilizando las
funciones calculadas en para encontrar las de . Ejemplificando esto se coloca la
siguiente tabla, agregando adems un par de funciones en adicionales.
-
Ecuaciones diferenciales
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Para ver otros ejercicios, en donde uno incluye el uso de fracciones parciales, revisa los
ejemplos 1, 2 y 3 del libro de Zill, D. G. y Cullen, M. R. (2009, p. 263-265). Al hacerlo,
habrs reforzado los conocimientos de cmo calcular la transformada inversa de
funciones.
Ms adelante, en el subtema 3.1.10., se presenta una aplicacin en fenmenos fsicos de
lo aprendido hasta ahora.
Resuelve los ejercicios 7.4 del 1 al 32 en el libro de Nagle, Saff & Snider y compara tus
resultados con los provistos por los autores para los nmeros impares (p. 374-375, B-16).
Ya que lo hagas, habrs corroborado lo que aprendiste del clculo de la transformada
inversa y la aplicacin del desarrollo en fracciones parciales.
3.1.8. Derivacin de la transformada
La derivacin de la transformada de Laplace encuentra su solucin como sigue:
De acuerdo a Carmona & Filio (2011, p. 375), si se tiene una transformada para una
funcin tal que
-
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entonces
Para comprobarlo, se har uso de la definicin de la transformada de Laplace.
Se tiene que
Derivando con respecto a ambos lados
Despejando queda
As se comprueba el teorema.
Siguiendo los mismos pasos para la segunda y tercera derivadas, se encuentra que existe
la siguiente secuencia
-
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Generalizando, se puede decir que la derivada de una transformada puede ser calculada
como
La aplicacin que se podra encontrar en esto es para facilitar y resolver transformadas
por medio de la identificacin de formas conocidas.
Por ejemplo, si se observa una funcin de la forma de la cual se requiere calcular
la transformada de Laplace, al ver el trmino precediendo la parte con el coseno se sabe
que se puede expresar su transformada como una derivada.
La tabla conformada en el tema 3.1.5 dice que la transformada de es igual a
,
por lo que uniendo el concepto de la derivada con la transformada ya conocida para el
coseno quedara
No hay que perder de vista los signos, ya que al ser la primera derivada, dada la
generalizacin hecha, se debe despejar la expresin para que quede como
o
segn lo necesite.
Si en lugar de se hubiera tenido precediendo a la funcin coseno se sabra que se
puede aplicar una segunda derivada en la transformada, y de haber sido la tercera.
Otra forma de expresarlo la encontrars en el tema derivadas de una transformada de Zill,
D. G. y Cullen, M. R. (2009, p. 282-284). Revisa en ella los ejemplos 1 y 2, adems de
dar lectura al tema convolucin y el ejemplo 3. Ya que lo hagas descubrirs que entre
diferentes autores existen diversas formas de presentar y aplicar un mismo concepto. Al
final del tema 3.1.9., dars lectura a otro material que te permitir reforzar lo anterior.
-
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Es posible que te preguntes si as como hay una forma de identificar rpidamente
expresiones que facilitan el clculo de una transformada por medio de su derivacin,
exista algo similar pero haciendo uso de la integracin. En el siguiente tema veremos
cmo hacerlo, adems de que resolvers ejercicios para practicar lo aprendido de la
derivacin de la transformada.
3.1.9. Integracin de la transformada
La integracin de la transformada de Laplace se encuentra sujeta a que la funcin
satisfaga las condiciones de existencia, a que el lmite cuando de
exista y a que
la transformada de sea .
Si se cumple lo anterior, Carmona & Filio (2011) puntualizan en su teorema que se puede
establecer que
Para comprobarlo, siguen el procedimiento que se presenta a continuacin:
Se har que sea igual a la funcin que se desea transformar.
Despejando,
.
Si se utiliza la transformada en los dos lados
Se puede distinguir una propiedad ya conocida del lado izquierdo, que es la
correspondiente a la forma en que se ve una derivada de transformada por estar
multiplicado por .
Haciendo uso de lo visto en el tema anterior,
-
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Si , se tiene que
y que
Despejando e integrando
Entonces,
La aplicacin que se le puede dar a esta propiedad es muy similar a la que se encontr en
la derivacin de transformadas: facilita resolverlas por medio de la identificacin de formas
conocidas.
Por ejemplo, si se observa una funcin de la forma
de la cual se quiere calcular la
transformada de Laplace, al ver el trmino
como parte factorizable de la funcin se sabe
que se puede expresar su transformada como una integral.
La tabla de transformadas de Bronson, R. (2003) que coloca como apndice de su libro y
provista como parte de los materiales del curso (referenciada al final del tema 3.1.5) dice
que la transformada de es igual a
, por lo que uniendo el concepto de la integral
con la transformada ya conocida para el seno quedara que, dado
-
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Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 34
para
Una vez que has visto el efecto que tiene la derivacin e integracin de la transformada
de Laplace como parte de sus propiedades, podrs hacer uso de stas herramientas para
facilitar su clculo al tratar de resolver problemas relacionados con fenmenos fsicos en
donde veas que puede ser utilizada.
Como se mencion en el tema previo, distintos autores muestran el mismo concepto de
formas diferentes. Lee al tema 7.4, Derivadas, integrales y productos de las
transformadas en el libro de Edwards y Penney (2009, p. 474-481, 781) resolviendo los
ejercicios del 1 al 38, as como tambin los ejercicios 7.2 del 1 al 17 y del 23 al 28 del libro
de Carmona & Filio (2011, p. 359-363) comparando tus resultados con los de los autores.
Una vez que lo hagas habrs reforzado los conceptos de convolucin de dos funciones,
derivacin e integracin de transformadas, evaluando tu aprendizaje de ello.
Actividad 1. Solucin de ecuaciones con la transformada de Laplace
Instrucciones
Esta actividad tiene el propsito de que apliques los conocimientos obtenidos en el primer tema de la unidad 3 para resolver ejercicios haciendo uso de la transformada de Laplace, mecanizando tus habilidades por repeticin.
1. Descarga el documento que tu Facilitador(a) te enviar.
2. Revisa la informacin que se proporciona en cada inciso.
3. Resuelve los ejercicios presentados.
4. Escribe el ejercicio, el procedimiento paso a paso y la solucin en un
documento.
Enva el documento a tu Facilitador(a), nombrndolo TEDI_U3_A1_XXYZ.
-
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Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 35
3.1.10. Aplicaciones de la transformada de Laplace en fenmenos fsicos
El uso de la transformada para el clculo de variables involucradas en fenmenos fsicos
no es sino la aplicacin de todos los conocimientos adquiridos hasta el momento sobre
modelos matemticos expresables por ecuaciones diferenciales que encuentren una
facilidad de resolucin al utilizar la transformada de Laplace.
Problemas que pueden ser resueltos suelen incluir de circuitos elctricos, osciladores
armnicos forzados, con forzamiento discontinuo, deflexin de vigas, pndulos, entre
otros.
Blanchard, P. et al (1999) presentan el siguiente ejemplo:
Imagina que tienes este circuito RC
en el que es el voltaje del capacitor, el proporcionado por la fuente, la
capacitancia y la resistencia.
Supn que el problema radica en que se necesita saber el voltaje existente en el capacitor
en cierto momento del tiempo para poder tomar acciones concretas sobre algn elemento
presente dentro de un problema ambiental.
Se sabe, por los estudios realizados sobre circuitos elctricos (material de otros cursos),
que el sistema puede modelarse como
Observa en el diagrama que existe una condicin inicial que indica que .
-
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Introduciendo los valores conocidos, se tiene que para las condiciones establecidas
Con
Si se quisiera representar la variacin que tiene el voltaje en el capacitor con respecto al
tiempo, despejando queda
Resolver haciendo uso de la transformada de Laplace.
Sustituyendo
por lo ya visto en el 3.1.3
Se tiene que
y si se introduce la condicin inicial provista
Despejando la variable que se desea conocer y resolviendo la transformada de , dado
que ya la conoces,
-
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Usando fracciones parciales para descomponer el primer trmino, ya que resulta
demasiado complejo como para identificar alguna transformada conocida que se le
parezca
Despejando y obteniendo los valores de las constantes temporales y para sustituir,
posteriormente, en la expresin original, queda
Regresando para incorporar la sustitucin que se obtiene despus de aplicar fracciones
parciales
Utilizando la transformada inversa y la propiedad de linealidad, ya que no requiere obtener
la solucin sino , tienes
que resultan ser expresiones de forma conocida, ya que son transformadas de funciones
para las que ya las has calculado.
-
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Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 38
en donde
.
Queda entonces
De esta forma se ha encontrado una solucin al problema de saber qu voltaje tendr el
capacitor durante cierto momento en el tiempo, facilitando de sta manera tomar
decisiones respecto de algn problema ambiental.
Para ver la aplicacin de la transformada de Laplace en un problema que involucra un
oscilador armnico forzado y uno con forzamiento discontinuo, consulta en el captulo 6
de Blanchard, P., Devaney, R. L. y Hall, G. R. (1999) las pginas 522 a 526; revisa
tambin los ejemplos 1 al 3 de Carmona & Filio del final del captulo 7 (2011, p. 414-417).
Por ltimo, lee los ejemplos 5 al 8 de Zill, D. (1997, p. 336-342). Una vez que lo hagas
debers poder resolver ejercicios similares aplicando los conceptos vistos a lo largo de
todo el tema 3.1.
3.2. Series de Fourier
En ocasiones ser necesario que para solucionar problemas relacionados con la
tecnologa ambiental debas resolver problemas modelables con ecuaciones diferenciales
del tipo siendo dada y donde se encuentra entre y un lmite , tal que .
Para resolverlas pudieras aplicar las tcnicas ya estudiadas a lo largo de las unidades y
temas previos, buscando la solucin general de la parte homognea ,
calculando la solucin particular de la parte no homognea, y obteniendo las
constantes y para que sea vlida para las condiciones dadas
.
Otra forma de hacerlo es extendiendo la forma en que se define en el intervalo y a
toda la recta, por medio del uso de ciertas condiciones que tienen que ver con la manera
en que se repite la funcin en el intervalo, dado que si la funcin tiene continuidad por
tramos, entonces puede ser representada por series o componentes peridicos.
Para algunas funciones se representan por medio de series, su tratamiento suele ser ms
adecuado.
-
Ecuaciones diferenciales
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Dentro de los fenmenos fsicos existen, entre muchos otros, sistemas elctricos y
mecnicos que suelen incluir componentes peridicos de fuerza que van ms all de ser
tan slo combinaciones lineales de cosenos y de senos. An con esto, pueden ser
representados como series infinitas de elementos trigonomtricos, extendindose esta
caracterstica a cualquier funcin con periodicidad adecuada, permitiendo resolver
ecuaciones por medio de superponer trminos trigonomtricos reemplazando sumas
finitas por series infinitas (Edwards & Penney, 2009).
Como ya haba sido visto en el tema 3.1., una funcin peridica es aquella en que existe
un nmero positivo que permite cumplir
siendo conocido como el periodo de .
Algo importante de recalcar es que si es periodo de una funcin tambin lo es , ,
y as de forma sucesiva, por lo que el periodo no es nico para una .
Si se llega a encontrar un periodo, siendo ste el ms pequeo nmero positivo que
permite periodicidad para una , se le conoce como el periodo de la funcin o periodo
fundamental. Un ejemplo de ello son las funciones seno y coseno, que tienen periodo de
. Si se hiciera una combinacin lineal (cualquiera que esta fuera) de esas funciones el
periodo seguira siendo . Se debe sealar que la funcin que modela una seal
cuadrada no podra ser expresada as, ya que las combinaciones presentadas son
continuas. Otro ejemplo es la funcin tangente, con periodo fundamental (Nagle, Saff &
Snider, 2005).
3.2.1. Definicin de las series de Fourier
En 1822, Jean Baptiste Joseph Fourier, cientfico de Francia, present en su escrito, la
teora analtica del calor, una teora sobre su conduccin, haciendo uso de series
trigonomtricas con coeficientes que determin de manera ingeniosa (Carmona & Filio,
2011). l afirmaba que cualquier funcin que tuviera como periodo poda ser
representada con series trigonomtricas de tipo infinito, que tuvieran la siguiente forma
A las series que presenten la forma anterior les llamaremos series de Fourier (Edwards &
Penney, 2009).
-
Ecuaciones diferenciales
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Autores como Zill, D. G. (1997) presentan pequeas variaciones en sta definicin,
declarando que para una funcin que est definida en su serie de Fourier es
en donde
A stos ltimos, se les conoce como coeficientes de Fourier de la funcin.
Para conocer cmo se obtienen los coeficientes de Fourier, lee el tema 10.2 del libro de
Zill, D. G. (1997, p. 444-445), series de Fourier. Una vez ledo, deber resultar ms clara
la forma en que fueron calculados. En el tema 3.2.3, se profundiza en ello.
Un ejemplo de la aplicacin de estos coeficientes, presentado por el mismo autor, es el
siguiente (Zill, 1997):
Supn que se tiene el diagrama
el cual puede ser modelado como
-
Ecuaciones diferenciales
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Si se desear desarrollar el comportamiento de la funcin anterior en una serie de Fourier
se tendra que dejarlo representado para que quedara en la forma de
Se puede notar que para el periodo , utilizando las ecuaciones para el clculo de los
coeficientes de Fourier de la funcin, se tiene que
Esto es debido a que
Por ltimo,
Sustituyendo los coeficientes obtenidos en la forma de la serie de Fourier
-
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Como se mencion que el periodo es ,
Revisa los ejemplos 1 y 2 del captulo 9.1 del libro de Edwards & Penney (2009, p.585-
587). Para el primero necesitars la siguiente figura y funcin para una seal cuadrada.
Una vez que lo hagas estars listo para realizar los ejercicios que ms adelante se te
indicar.
Funcin de onda cuadrada. Fuente: tomado de Edwards & Penney, (2009).
La funcin que modela el diagrama anterior y dada por los autores se representa por
(20)
Estas series sern frecuentemente aplicadas en fenmenos peridicos, como corrientes,
vibraciones, oscilaciones, movimientos telricos, resonancias, y muchos otros ms.
Representar funciones haciendo uso de stas es uno de los mtodos ms usados para
solucionar ecuaciones diferenciales parciales.
Realiza los ejercicios 10.2 del captulo 10 de Zill, D. G. (1997, p. 448), del ejercicio 1 al
16, y ya que los termines consulta las respuestas correctas para los ejercicios impares en
-
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la pgina R-24 del apndice de respuestas. Una vez que lo hagas, podrs valorar los
conocimientos que adquiriste en este primer tema.
Ahora que se ha visto la definicin de las series de Fourier, y para entender el fundamento
que tienen, se estudiar lo que son las series trigonomtricas y las funciones peridicas,
ya que Fourier las necesit para crear la propia.
3.2.2. Series trigonomtricas y funciones con periodicidad
Se ha visto al inicio del tema 3.2. que una funcin peridica es en la que existe un nmero
positivo que hace que se cumpla
siendo conocido como el periodo de . Observa que al nmero positivo mnimo que
pudiera ocupar para que esto se cumpliera era conocido como el periodo o periodo
fundamental de la funcin.
Un ejemplo de esto es la funcin seno, que como ya se haba mencionado, tiene periodo
. Esto significa que se repite en , por lo que
. Esta propiedad servir para probar algunos teoremas que se expresarn
ms adelante.
En ocasiones se requiere calcular el mnimo periodo, el cual va a encontrarse as
esto es, el coeficiente del ngulo es (Carmona & Filio, 2011).
Algunos autores suelen utilizar otras letras para denominar al periodo, por ejemplo, la letra
.
Esto servir para entender y tratar las series trigonomtricas.
Una serie trigonomtrica tendr una forma como esta
-
Ecuaciones diferenciales
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Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 44
siendo y coeficientes constituidos por nmeros constantes reales. Es comn que el
periodo de estas series sea pero puede ser utilizada la parte terica para resolver
cualquier periodo.
Carmona, I. y Filio, E., (2011) presentan tres teoremas que sern de utilidad:
1 Supn que y son funciones peridicas con periodo , entonces, si
donde tanto como pertenecen a los nmeros reales, tambin es funcin peridica con periodo .
2 Si tiene como periodo a , entonces es periodo tambin, donde es
nmero entero.
3
y
, para todo entero positivo , son funciones que satisfacen en
las propiedades de ortogonalidad mostradas a continuacin
a
Para dar certeza a las afirmaciones hechas, se comprueban los teoremas.
Para el primero, como es funcin peridica con un periodo tal que , y es funcin peridica a la vez con periodo tal que , se tiene que
Comprobando el segundo, si tiene como periodo a tal que y debido a que es peridica en , entonces
-
Ecuaciones diferenciales
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Para comprobar el tercer teorema, se resuelve la integral del inciso a) para ver que
su resultado sea primero si y si . Las integrales del inciso b) y c)
tienen una comprobacin similar, nicamente cambiando las identidades
utilizadas, por lo que no se resolvern.
En el primer caso
Se sabe que , por lo que se puede reescribir como
En el segundo caso, ,
Se sabe que
, por lo que se puede reescribir como
-
Ecuaciones diferenciales
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Para que veas la utilidad de incluso lo ms bsico, como pudiera ser el clculo del periodo
mnimo, se pondra par de ejemplos de su aplicacin.
Supn que deseas saber el periodo fundamental de la funcin . Se sabe que el periodo de la funcin seno se encuentra en 2, por lo que, aplicando la
frmula para encontrar el mnimo periodo,
El periodo natural es 2, y el coeficiente del ngulo en es , por lo que,
sustituyendo
-
Ecuaciones diferenciales
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Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 47
Por lo tanto, en .
Para hacer las cosas un poco ms interesantes.
Trata de encontrar el periodo fundamental de
Se tiene que
Sustituyendo en la frmula los valores conocidos
Entonces,
en
.
Para comprobar que los conceptos te hayan quedado claros, resuelve los ejercicios 8.1
nmeros 1, 2, 16, 27 y 28, del captulo 8 de Carmona & Filio (2011, p. 434-436) y compara
tus resultados con los de los autores (para los ltimos dos ejercicios las respuestas se
encuentran en la p. 438). Ya que lo hagas, habrs valorado el aprendizaje obtenido de los
periodos de una funcin.
A continuacin, se presenta una tabla de integrales que son utilizadas comnmente al
solucionar problemas relacionados:
-
Ecuaciones diferenciales
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Esto plantea algunas de las bases para la serie de Fourier, pero an existen elementos
que no se han descifrado, por ejemplo, de donde surgen los coeficientes de la serie, por
qu vara la forma de escribirla entre distintos autores, y por qu las frmulas para los
coeficientes son diferentes en alguno de ellos dependiendo del libro que se elija. Para
responder a stas preguntas se debera ver las frmulas de Euler y su aplicacin, siendo
stas tratadas en el siguiente subtema.
3.2.3. Frmulas de Euler
Como seguramente ya habrs notado, para esta parte de la Unidad 3 se ha estado
desplazando de lo general a lo particular, de la definicin de las series de Fourier a los
fundamentos matemticos que le dan soporte y permiten justificar su uso.
Recordars que al inicio, en el 3.2.1, se habl de los coeficientes de Fourier e incluso se
utilizaron haciendo ejercicios para poder sustituirlos en la serie por los valores que la
resolvieran, de acuerdo a clculos efectuados sobre su modelo matemtico, pero no se
profundiz en cmo se obtuvieron ni el porqu de su forma.
Su origen puede centrarse en las frmulas de Euler.
Retomando lo visto en el 3.2.1, Fourier deca que las funciones con periodo podan
representarse con series infinitas de la forma
-
Ecuaciones diferenciales
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y se dice que algunos autores generalizaban an ms la forma, representndola como
Observars, ahora que conoces la teora detrs del uso de los periodos, que la segunda
forma es igual a la primera si las funciones tienen periodo . Esto es, si , entonces
Al ver diferentes libros de clculo que incluyan el tema de las series de Fourier, podrs
notar que la frmula, dependiendo de los autores, puede ser escrita ligeramente diferente,
llegando a encontrarla de la siguiente manera
En esta forma ya no se encuentra dividida entre .
Entonces, cul de las dos formas es la correcta? Si ambas representan a , entonces
deberan ser iguales entre ellas, y al desaparecer indiscriminadamente el divisor crean
una incongruencia, no es as?
-
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.
La respuesta a la incgnita es que ambas son correctas.
Se debe recordar que, a final de cuentas, son modelos matemticos los que se
encuentran representados por el conjunto de caracteres que permiten formularlos, siendo
ms importante que estos el concepto detrs de ellos.
Algunos autores, como lo indican Zill, (2009), eligen por conveniencia escribir el primer
coeficiente como
en lugar de para que la frmula de vista en el 3.2.1 coincida para
, ya que de no hacerlo as, podra causar confusin entre algunos al verlo como un
coeficiente calculable de forma distinta a la del resto pero que comparte su notacin.
Como ahora ests al tanto de esto, se utilizar la siguiente forma, ya que deber ser
indistinto para ti hacer los clculos con cualquiera de las dos siempre y cuando recuerdes
cmo definiste la serie y al coeficiente con su subndice.
Si es peridica, con , se calcularn los valores de los coeficientes para todo
que sea entero positivo.
Se empieza calculando . Para hacerlo, se debe integrar la funcin desde hasta , que es su periodo.
para
-
Ecuaciones diferenciales
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Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 51
Como lo que deseas encontrar es el coeficiente , se despeja
Si se compara con lo que se haba dicho en el tema 3.2.1, para reforzar el entendimiento
del porqu algunos autores por conveniencia escriben en la serie el coeficiente como
o
Observa que el coeficiente que se acaba de obtener se parece, para , pero faltara
completar multiplicando ambos lados por
para que quedaran iguales ambas
expresiones, tal que
Ahora s, tanto la expresin mostrada en el lado derecho para el coeficiente que se acaba
de calcular como la del 3.2.1 son iguales, pero observa que el lado izquierdo es diferente. Dependiendo de la forma que se utiliza para expresar la serie de Fourier ser la forma de
expresar el primer coeficiente, .
Si se expresa como
entonces
-
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En cambio, si se expresa como
entonces
La diferencia entre ambas es que en una el coeficiente ya incluye a la divisin entre 2
en su definicin.
Con esto se espera que ya sea claro el por qu podrs encontrar escrita de manera
diferente la serie de Fourier, dependiendo de cmo definas al coeficiente .
Contina ahora calculado el coeficiente .
Para hacerlo, se debe multiplicar por ambos lados de la funcin e integrarlos en el
periodo, esto es, de a .
para
-
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Recuerda que se haba multiplicado al principio ambos lados de la ecuacin por
Como lo que se desea es encontrar es el coeficiente , se despeja
Si se quiere generalizar para un periodo
que es la frmula que se haba presentado en el 3.2.1.
Por ltimo, para obtener el coeficiente se seguir un procedimiento parecido al llevado
a cabo para obtener .
Se debe multiplicar por ambos lados de la funcin e integrarlos en el periodo, esto
es, de a .
para
-
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Recuerda que se haba multiplicado al principio ambos lados de la ecuacin por
Como lo que se desea encontrar es el coeficiente , se despeja
Si se quiere generalizar para un periodo
que es la frmula que se haba presentado en el 3.2.1.
Ahora ya sabes de donde salen los coeficientes de la serie de Fourier, tambin conocidos
como coeficientes de Fourier.
Revisa los ejemplos 1 al 4 del captulo 8 de Carmona & Filio (2011, p. 442-449). Ya que lo
hagas, habrs entendido la forma de aplicar los conocimientos adquiridos para encontrar
la serie de Fourier de funciones.
3.2.4. Convergencia de series
Al utilizar la serie de Fourier para modelar alguna funcin peridica se desea tener las
condiciones necesarias para tener la certeza de que converja cuando menos en los
valores de en los que la funcin tiene continuidad.
Recuerda, una funcin se dice que es continua por tramos en mientras existan
segmentos finitos del intervalo con extremos en los que la
funcin tenga continuidad para cada segmento y en cada extremo el lmite desde el
interior del sub intervalo exista y sea finito (Edwards & Penney, 2009).
Zill (2009) especifican en un teorema las condiciones suficientes de convergencia puntual
para una serie de Fourier, en el que dicen que si y presentan continuidad en un
intervalo por tramos, o lo que es lo mismo, son discontinuas en una cantidad finita
de puntos en el intervalo, entonces la serie de la funcin converge a en un punto de
continuidad, y en un punto de discontinuidad converge hacia el promedio de
-
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en el que representa el lmite de en por la derecha y el lmite por la izquierda.
Nagle, Saff y Snider (2005) los definen con la siguiente notacin,
, y
Carmona & Filio (2011) agregan a las definiciones anteriores la caracterstica ya muy
particular de que sea peridica con , y que y son continuas por tramos en
convergiendo la serie a para el caso en que sea un punto de continuidad, o si
es punto de discontinuidad a
Las tres diferentes formas de decirlo significan lo mismo, y establecen las condiciones de
convergencia en un punto.
Para comprobarlo se basar en la ltima forma, y se va a suponer para ello que la funcin
tiene continuidad en su primera y segunda derivadas.
Si se toma la definicin del coeficiente de Fourier
Resuelve la integral
Haciendo de nuevo la integracin
Observa que la segunda vez que se resolvi la integral, debido al periodo de el primer
trmino se anula, como ocurri durante la primera ocasin.
Al tener continuidad en el intervalo entonces , siendo constante
apropiada.
-
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Tambin se tiene que , por lo que
Resolviendo para el coeficiente se tendra que
Esto lleva a que cada elemento, en su valor absoluto, de la serie de Fourier de es,
cuando mucho, igual al de la serie convergente
por lo que se podra decir, entonces que la serie de Fourier tambin es convergente.
Para que puedas entender por medio de un ejercicio prctico el concepto, un ejemplo
sencillo de convergencia que Nagle, Saff & Snider (2005, p.600) presentan es el que se
encuentra a continuacin:
Si se desear saber a qu funcin tiene convergencia la serie de Fourier de definida
como
lo resolveras de la siguiente forma.
Por el teorema de convergencia, se sabe que la serie de Fourier converge a una funcin
con .
Se sabe tambin, por la descripcin del problema, que esa funcin a la que converge
se encuentra descrita por
-
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Una forma de graficar sera
De esta manera conoces ahora la funcin a la que se converge y su forma.
Es importante que sepas que las series de Fourier pueden derivarse e integrarse.
Observa ahora lo que dicen los teoremas respectivos (Nagle, Saff & Snider, 2005).
Para derivar una serie de Fourier se supondr que tanto como tienen
continuidad en tramos para . La serie de puede ser calculada haciendo uso de
la serie de derivando trmino por trmino. Esto es, si se tiene
entonces
Esto aplica para peridica y continua en el intervalo con
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Para integrar una serie de Fourier se supondr que tiene continuidad por tramos para
y que su serie es
entonces
funcionando para cualquier en .
Haciendo uso de lo que se sabe ya de los coeficientes de Fourier, de la periodicidad, y
habiendo entendido la convergencia de las series, se observaran las series de senos y
cosenos de Fourier (Nagle, Saff & Snider, 2005).
Si tiene continuidad por tramos en , la serie de cosenos de Fourier para en el
intervalo resulta ser
con el coeficiente modelado como
para
Si tiene continuidad por tramos en , la serie de senos de Fourier para en el
intervalo resulta ser
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con el coeficiente modelado como
para
Lee el tema 10.4 del libro de Nagle, Saff & Snider (2005), series de senos y cosenos de
Fourier, Cuando termines, habrs reforzado tus conocimientos del tema y sers capaz de
entender sus bases.
Como puedes observar, la forma en que se presentan las series de senos y cosenos de
Fourier es sencilla, gracias a los conocimientos adquiridos hasta el momento, pero falta
de revisar una ltima caracterstica que te permitir adems aplicarla en el siguiente tema.
Esta caracterstica es la de la paridad de las funciones y sus respectivas series.
Se dice que una funcin es par en s y slo s se cumple que para toda dentro del intervalo.
Caso contrario, se dice que una funcin es impar en s y slo s se
cumple que para toda dentro del intervalo.
Observa un par de ejemplos.
a Supn que se tiene una funcin tal que
, por tanto, se
puede decir que la funcin es impar.
b Supn ahora que se tiene una funcin tal que
, por tanto, se puede
decir que la funcin es par.
c Si se quisiera saber si es par o impar para , slo se tendra que desarrollar de acuerdo a los criterios definidos.
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Las funciones no tienen por qu caer forzosamente en alguna de las dos categoras. Si
alguna funcin no cumple con ninguno de los criterios para poder ser clasificada como par
o impar, se puede decir que la funcin no es par ni impar. Este es el caso de la funcin
, que con lo que has visto en los ejemplos podrs comprobar por ti mismo. El
que una funcin sea par significa que es simtrica con respecto al eje de , y que sea
impar significa que la simetra estar con respecto al origen.
Carmona & Filio (2011) presentan un conjunto de 7 teoremas al respecto de las funciones
pares e impares.
1 Si y son funciones pares, entonces el resultado de ser una funcin par.
2 Si y son funciones impares, entonces el resultado de ser una funcin impar.
3 Si y son funciones pares, entonces el resultado de ser una funcin par.
4 Si y son funciones impares, entonces el resultado de ser una
funcin par.
5 Si es par y es impar, entonces el resultado de ser una funcin
impar.
6 La transformada de Fourier de una funcin peridica par con se
representa en serie de Fourier de cosenos, esto es
y sus coeficientes sern
,
.
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7 La transformada de Fourier de una funcin peridica impar con se
representa en serie de Fourier de senos, esto es
y sus coeficientes sern
,
,
.
Una de las propiedades de las funciones simtricas es que, si una funcin continua
por partes en el intervalo es par,
Recuerda que la integral es el rea bajo la curva, por lo que grficamente es entendible
esta caracterstica, ejemplificando con el siguiente diagrama.
Este representa la funcin en el intervalo indicado.
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Ahora, si la funcin continua por partes en el intervalo es impar,
Grficamente puede ejemplificarse con el siguiente diagrama.
Este representa la funcin en el intervalo indicado.
Lee los ejemplos 1 al 6 del captulo 8 de Carmona & Filio (2011) y, una vez hecho esto,
realiza los ejercicios 8.2 del nmero 1 al 8 (p. 451-457). Cuando termines, habrs
clarificado la forma de aplicar los conocimientos adquiridos para encontrar la serie de
Fourier de funciones descritas, ya sea por medio de diagramas o por modelos
matemticos por tramos.
Has aprendido a calcular las series de Fourier para funciones peridicas, incluyendo
aquellas continuas por tramos, pero pueden ser desarrolladas funciones no peridicas en
series de Fourier. En el siguiente subtema se revisar cmo hacerlo.
3.2.5. Funciones no peridicas en series
Para poder desarrollar en series a funciones no peridicas, se har uso especialmente de
lo aprendido en el ltimo tema.
Una funcin no peridica puede ser tomada como peridica para un tramo en el que
presenta continuidad. Para saber cmo conseguirlo aplicando los conocimientos de la
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unidad en su tema 3.2 hasta el momento, se har uso de un par de ejemplos basados en
los de Carmona & Filio (2011).
Supn que se tiene una funcin . Esta funcin podra ser desarrollada como una
serie de Fourier de cosenos o de senos, significando esto que se considerara como
par o impar, para el primer y segundo casos respectivamente.
A continuacin, se define la funcin de las dos formas para que puedas ver cmo se
comportara.
Se define primero de forma completa acotndola en
en donde
esto es, es impar.
Su grfica sera
Ahora, si se toma como peridica solamente para un tramo, en ste caso el derecho,
representndola como funcin par se tendra
en donde
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esto es, es par.
Su grfica sera
Expandiendo la funcin impar se tiene una grfica como la que sigue
Si en cambio se expande la funcin par, quedar una grfica as
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En cualquiera de los dos casos, se puede ya realizar un desarrollo en series de Fourier de
senos o cosenos, dependiendo de si se elige la primera o la segunda grfica.
Un segundo ejemplo puesto por los autores es el de desarrollar en serie de senos y de cosenos la funcin
Para hacerlo, si se expande la funcin de forma impar (cosenos) se tendra que
lo que puede graficarse como
Recuerda que en el tema anterior la transformada de Fourier de una funcin peridica
impar con representada en serie de Fourier de senos es
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con coeficientes ,
,
.
esto es,
por lo que sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en senos para la
funcin dada es
Para desarrollarla en cosenos el procedimiento es idntico, solamente haciendo uso de la
definicin de la serie par.
Se tiene, de esta manera, que
la cual puede graficarse como
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Tomando tambin del tema anterior la definicin de la transformada de Fourier de una
funcin peridica par con que se representa en serie de Fourier de cosenos,
se tiene que
y sus coeficientes sern
,
,
.
esto es,
Sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en cosenos para la funcin
dada es
Con estos ejemplos has visto como una funcin no peridica puede ser tomada como
peridica para un tramo en el que presenta continuidad, facilitando su desarrollo en
series.
Realiza ahora los ejercicios 8.6 del nmero 1 al 15 del libro de Carmona & Filio (2011, p.
485-486), comparando tus resultados con los de los autores. Una vez que lo hayas hecho
habrs practicado y comprobado tu aprendizaje respecto de cmo desarrollar funciones
en series senoidales y cosenoidales.
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3.2.6. Aplicaciones de las series de Fourier en fenmenos fsicos
Las series de Fourier hacen uso de desarrollos en series trigonomtricas, y esto permite
que puedan ser utilizadas para expresar funciones presentes en distintos fenmenos
fsicos.
Fenmenos que requieren dentro de su anlisis expresar funciones en forma de series
trigonomtricas son los que presentan flujo de calor, cuerdas que vibran, movimientos de
masas, fuerzas peridicas, resonancias y oscilaciones amortiguadas, entre muchos otros.
Edwards & Penney (2009) muestran ejemplos en donde se aplican las series de Fourier
de los cuales se presentarn algunos de forma general, agregando al final un par de
lecturas que debers hacer para observar cmo se hace uso de estas abstracciones una
vez que se introducen valores.
Supn la existencia de un sistema, con una masa situada en el extremo de un resorte
con constante de Hooke que se encuentra con la influencia de , siendo sta una
fuerza externa peridica, en donde el movimiento de la masa es del tipo no amortiguado.
El sistema puede representarse grficamente de la siguiente forma
La distancia que se mueve desde el punto en donde se encuentra en equilibrio cumple
con la ecuacin que seguramente viste en tus cursos de fsica,
cuya solucin general tiene una forma como
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La frecuencia natural, como puede observarse, es , el cual es igual a
, y los
coeficientes pueden ser determinados por los valores iniciales, siendo una solucin
particular.
Se puede hacer uso de la serie de Fourier para hallar una solucin particular peridica de
. A sta solucin se le conoce como peridica estacionaria, y ser
representada por .
Se considera que la fuerza externa es funcin impar con , por lo que podr ser
representada como una serie de senos de Fourier.
Si la frecuencia de la funcin seno no es igual a la natural, o lo que es lo