1Puntos

Un punto no tiene dimensiones.Sirve para indicar una posicin.Se nombran con letras maysculas.2Rectas

Una recta tieneuna dimensin: longitud.Se designan mediante dos de sus puntos o medianteuna letra minscula.Dos puntos determinan una recta.

Dos rectas que se cortan determinan un punto.

Una recta indica una direccin y dos sentidos contrarios, segn se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.3Semirectas

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura.Se nombran mediante letras griegas: (alfa), (beta)...Dos planos que se cortan determinan una recta.

Un plano viene determinado por:1Tres puntos no alineados:2Dos rectas que se cortan:3Dos rectas paralelas:4Por un punto y una recta:Semiplanos

Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.Posiciones relativas de rectas en un plano1Rectas paralelasSon las que estando en el mismo plano, no son secantes.2Rectas secantesSon las que se cortan en un nico punto, llamado punto de interseccin.3Rectas coincidentesSon aquellas en las que todos sus puntos se superponen.4Rectas perpendicularesSon dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.Segmento es la porcin de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.Se designa porlospuntos que lo limitan o por una letra minscula.

Tipos de segmentos:1Segmento nulo:Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.2Segmentos concatenados:Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en comn.3Segmentos consecutivos:

Dos segmentos son consecutivos cuando adems de tener un extremo en comn pertenecen a la misma recta.4Mediatriz de un segmento:La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a l.Operaciones con segmentos1Suma de segmentos:

La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento ycomofinal el final del segundo segmento.La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.2Resta de segmentos:

La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor.La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.3Producto de un nmero por un segmento:

El producto de un nmero con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el nmero por el que se multiplica.La longitud del segmento obtenido es igual al nmero por la longitud del segmento inicial.4Divisin de un segmento por un nmero:

La divisin de un segmento por un nmero es otro segmento tal que multiplicado por ese nmero da como resultado el segmento original.La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el nmero.Divisin de un segmento en partesDividir el segmento AB en 3 partes iguales:1Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2Tomando como unidad cualquier medida, se sealan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.3Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la ltima divisin sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Un ngulo es la regin del plano comprendida entre dos semirrectas con origen comn.A las semirrectas se las llama lados y al origen comn vrtice.

Medicin de ngulosPara medir ngulos utilizamos el grado sexagesimal ()Grado sexagesimal es la amplitud del ngulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.1 = 60' = 3600''1' = 60''RadinRadin (rad) es la medida del ngulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.1 rad= 57 17' 44.8''360 = 2rad1Suma de ngulosGrfica:La suma de dos ngulos es otro ngulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes delosdos ngulos iniciales.

Numrica:1Para sumar ngulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2Si los segundos suman ms de 60, se divide dicho nmero entre 60; el resto sern los segundos y el cociente se aadirn a los minutos.

3Sehacelo mismo para los minutos.

2Resta de ngulosGrfica:La resta de dos ngulos es otro ngulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ngulo mayor y la del ngulo menor.

Numrica:1Para restar ngulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuacin restamos los segundos.>3Hacemos lo mismo con los minutos.

3Multiplicacin de ngulosGrfica:La multiplicacin de un nmero por un ngulo es otro ngulo cuya amplitud es la suma de tantos ngulos iguales al dadocomoindique el nmero.

Numrica:1Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el nmero.

2Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho nmero entre 60; el resto sern los segundos y el cociente se aadirn a los minutos.3Se hace lo mismo para los minutos.4Divisin de ngulosGrfica:La divisin de un ngulo por un nmero es hallar otro ngulo tal que multiplicado por ese nmero da como resultado el ngulo original.:4 =Numrica:Dividir 37 48' 25'' entre 51Se dividen los grados entre el nmero.

2El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3Se aaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4Se aaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

1Clasificacin de ngulos segn su medidaAgudo < 90

Recto = 90

Obtuso > 90

Convexo < 180

Llano = 180

Cncavo > 180

Nulo = 0

Completo = 360

Negativo < 0

Mayor de 360

2Tipos de ngulos segn su posicin2.1.ngulos consecutivosngulos consecutivos son aquellos que tienen el vrtice y un lado comn.

2.2.ngulos adyacentesngulos adyacentes son aquellos que tienen el vrtice y un lado comn, y losotroslados situados uno en prolongacin del otro. Forman un ngulo llano.

2.3.ngulos opuestos por el vrtice:Sonlosque teniendo el vrtice comn, los lados de uno son prolongacin de los lados del otro.Los ngulos 1 y 3 son iguales.Los ngulos 2 y 4 son iguales.3Clases de ngulos segn su suma3.1.ngulos complementarios:Dos ngulos son complementarios si suman 90.

3.2.ngulos suplementariosDos ngulos son suplementarios si suman 180.

4ngulos entre paralelas y una recta transversal4.1.ngulos correspondientesLos ngulos 1 y 2 son iguales.

4.2.ngulos alternos internosLos ngulos 2 y 3 son iguales.

4.3.ngulos alternos externosLos ngulos 1 y 4 son iguales.

5ngulos en la circunferencia5.1.ngulo centralEl ngulo central tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.La medida de un arco es la de su ngulo central correspondiente.>

5.2.ngulo inscritoEl ngulo inscrito tiene su vrtice est en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.Mide la mitad del arco que abarca.

5.3.ngulo semiinscritoEl vrtice de ngulo semiinscrito est en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco que abarca.

5.4.ngulo interiorSu vrtice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

5.5.ngulo exteriorSu vrtice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ngulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.6ngulos de un polgono regular

6.1.ngulo central de un polgono regularEs el formado por dos radios consecutivos.Ejemplo:Sines el nmero de lados de un polgono:ngulo central = 360 : nngulo central del pentgono regular= 360 : 5 = 726.2.ngulo interior de un polgono regularEs el formado por dos lados consecutivos.ngulo interior = 180 ngulo centralngulo interior del pentgono regular = 180 72 = 1086.3.ngulo exterior de un polgono regularEs el formado por un lado y la prolongacin de un lado consecutivo.Los ngulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180.ngulo exterior = ngulo centralngulo exterior del pentgono regular = 72La bisectriz de un ngulo es la recta que pasando por el vrtice del ngulo lo divide en dos ngulos iguales.

Trazar la bisectriz1Se traza un arco correspondiente al ngulo2Desdelosdos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del comps, dos arcos que han de cortarse en un punto.3La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vrtice.

Otra forma de dibujar la bisectriz de un ngulo1Con centro en el vrtice del ngulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.2Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ngulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.3La recta que pasa por el vrtice del ngulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.

IncentroEl incentro es el punto de corte de las tres bisetrices de un tringulo.El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el tringulo.Ejercicios