Triángulos

P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a

Tema:

Triángulos

Clasificación de triángulos.................................................................................................................................... 2Ángulos interiores ................................................................................................................................................ 3Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo .......................................................................................... 4Líneas Notables................................................................................................................................................... 5

Mediatriz de un Segmento.......................................................................................................... 5Bisectriz de un Ángulo................................................................................................................ 8

Líneas Notables en un Triángulo......................................................................................................................... 10Puntos Notables de Triángulo.............................................................................................................................. 11

Bisectriz de un Triángulo............................................................................................................ 11Mediatrices de un Triángulo...................................................................................................... 14Alturas de un Triángulo............................................................................................................... 17Medianas de un Triángulo.......................................................................................................... 20

Área...................................................................................................................................................................... 24Perímetro.............................................................................................................................................................. 24Criterios de Igualdad............................................................................................................................................ 24Criterios de Igualdad de Triángulos..................................................................................................................... 25Relaciones que Vinculan los Lados con los Ángulos de un Triangulo................................................................ 26Triángulos Rectángulos........................................................................................................................................ 30Propiedad de los ángulos agudos de un Triángulo Rectángulo ......................................................................... 31Propiedad de la hipotenusa de un Triángulo Rectángulo ................................................................................... 31Criterios de igualdad de Triángulos Rectángulos ............................................................................................... 32Teorema de Pitágoras.......................................................................................................................................... 32Razones Trigonométricas.................................................................................................................................... 36Resolución de Triángulos Rectángulos............................................................................................................... 37

Año: 2011 1


Clasificación de los Triángulos

Según sus lados

• Equiláteros (sus tres lados iguales)

• Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)

• Escaleno (tres lados desiguales)

Según sus ángulos

• Rectángulos (un ángulo recto)

• Acutángulos (tres ángulos agudos)

• Obtusángulos (un ángulo obtuso)

Año: 2011 2


Ángulos Interiores En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º

H) ∆abc

χβα ˆ,ˆ,ˆ ángulos interiores

T) R2ˆˆˆ =++ χβα

D)

Se traza por c la recta M paralela al lado ab . Se prolonga al lado ac , con

vértice c quedan determinados tres ángulos cuya suma es un llano

R2ˆ'ˆ'ˆ =++ χβα (1)

Pero αα ˆ'ˆ = (correspondientes entre M//ab y ac transversal).

Año: 2011

α χ

β

a

b

c

α χ

β

a c

b

β’ α’

M

3


y ββ ˆ'ˆ = (alternos internos entre M // ab y bc transversal)

reemplazando en la expresión 1:

Rba 2ˆˆˆ =++ χ

Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo

en todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de lo ángulos

interiores no adyacentes a él.

H)

∆abc

∧γ ángulo exterior adyacente a

∧c

T)

∧γ =

∧a +

∧b

D)

∧a +

∧b +

∧c = 2R propiedad de los ángulos interiores

∧γ +

∧c =2R por ser adyacentes

⇒ ∧a +

∧b +

∧c =

∧γ +

∧c

⇒ ∧a +

∧b =

∧γ por propiedad cancelativa

Año: 2011

χa

b

c

4


Líneas Notables

Mediatriz de un Segmento

Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en

dos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar

geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

En la figura, la recta m es la mediatriz del segmento AB , pues:

ABm ⊥ en o.

Y o es el punto medio de AB , es decir:

OBAO =

Teorema: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos

del mismo y todo punto que equidista de los extremos de un segmento

pertenece a su mediatriz.

H ) m, mediatriz del AB

Año: 2011 5

A B o

m


T ) 1º Todo punto de m equidista de A y de B.

2º Todo punto que equidista de A y de B pertenece a m.

Demostración:

1º se considera un punto cualquiera de la mediatriz: por ejemplo, el P. uniendo P

con A y B, quedan formados los triángulos ∆POA y

∆POB , rectángulos en o, por

ser ABm ⊥ , y tales que:

Luego estos dos triángulos tienen sus dos catetos iguales, por lo tanto, en virtud

del primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos, son iguales, y , en

consecuencia, las hipotenusas también son guíales, es decir:

PBPA =

Luego, P equidista de A y de B; y como P es un punto cualquiera de la mediatriz,

queda demostrada la primera parte de la tesis.

2º Se considera un punto R tal que equidista de A y de B, es decir:

Año: 2011 6

A B o

m

P

y tienen tie nti ne t i n e 1sd e


RBRA =

Se une R con el punto medio o del AB , y resultan los triángulos:

Por lo tanto estos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales;

luego, en virtud del tercer criterio de igualdad de triángulos, son iguales, es decir:

∆AOR =

∆ROB

En consecuencia, todos sus elementos homólogos son iguales; entre ellos:

AOR ˆ = BOR ˆ

Como estos ángulos son adyacentes, al ser iguales las rectas que los

determinan son perpendiculares, es decir:

ABRO ⊥

y como o es el punto medio de AB es RO la perpendicular al AB en su punto

medio. Luego:

RO es mediatriz del AB

o sea:

Año: 2011 7

ñ ñ 20 1 1 i

=

=

RBRA

OBAO

RO RO

RO 20 1 t r iz d el lrR

R 20 1 t

2


R pertenece a la mediatriz del AB

Igual razonamiento podría hacerse con cualquier otro punto que equidistara de

los extremos del segmento, luego queda demostrada la segunda parte de la

tesis.

Bisectriz de un Ángulo

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en dos

ángulos iguales. por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de

los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

Teorema: todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del

mismo, y todo punto interior de un ángulo que equidista de los lados del mismo

pertenece a la bisectriz.

H ) BN bisectriz de CBA ˆ

T ) 1º todo punto de BN equidista de BA y de BC

Año: 2011 8

8

::

:


2º Todo punto que equidista de BA y de BC pertenece a la

bisectriz BN .

Demostración:

1º se considera un punto cualquiera de la bisectriz, el M , por ejemplo.

Trazando las distancias de M a los lados BA y BC , que son respectivamente

MP y MQ , resultan los triángulos ∆

BPM y ∆

BQM rectángulos en P y en Q por ser

BAMP ⊥ y BCMQ ⊥ , y tales que:

Estos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo

respectivamente iguales; luego, por el tercer criterio de igualdad de triángulos

rectángulos, son iguales y, en consecuencia son iguales los catetos que se

oponen a ángulos iguales entre ellos: MP y MQ , es decir:

MP = MQ

Luego, M equidista de BA y BC , y como M es un punto cualquiera de la

bisectriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.

2º sea R un punto tal que equidista de BA y BC del ángulo CBA ˆ , es decir:

RTRS =

Uniendo R con B resultan los triángulos:

∆RSB y

∆RTB rectángulos en S y en T

respectivamente, que tienen:

Año: 2011 9

ñ ñ : 2

= QBMMBP

BM

ˆˆ

ˆ M :

ˆ M 2 0 1 a me n t e , u e

M 2 0 1 a n t e , M 2 2 2


Estos triángulos rectángulos tienen entonces la hipotenusa y un cateto

respectivamente iguales; luego, por el cuarto criterio de igualdad de triángulos

rectángulos, son iguales, y por lo tanto, todos sus elementos homólogos son

iguales; entre ellos los ángulos RBS ˆ y TBR ˆ , que se oponen respectivamente a

los catetos SR y RT , o sea:

RBS ˆ = TBR ˆ

en consecuencia:

BR es la bisectriz del ángulo CBA ˆ ,

Es decir:

R pertenece a la bisectriz del ángulo.

Como igual razonamiento puede hacerse para cualquier punto que equidista de

los dos lados del ángulo, queda demostrada la segunda parte de la tesis.

Líneas Notables en un Triángulo

Altura "h": Es la recta perpendicular (AH) trazada desde un vértice al lado

opuesto.

Año: 2011 10

A

R

S

T

B

C

R


Bisectriz: Es la recta que parte de un vértice y que divide al ángulo interior en

dos ángulos iguales.

Mediana: Es la recta (AM) que une el vértice con el punto medio del lado

opuesto.

Mediatriz: Es la recta (MF) perpendicular a un lado, trazada desde su punto

medio M.

Ceviana: Es la recta (AQ) que une un vértice con cualquier punto del lado

opuesto.

Puntos Notables de Triángulo

Los correspondientes puntos de intersección de estos elementos cumplen

importantes propiedades. por eso se llaman puntos notables del triángulo.

Analizamos la variación de los correspondientes puntos de intersección

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Bisectriz de un Triángulo

Se llaman bisectrices de un triángulo a los segmentos de bisectrices de sus

ángulos comprendidos entre el vértice y el ángulo opuesto.

Año: 2011 11


Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior al mismo.

el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo se llama incentro

Si trazas las distancias de “o” a cada lado del triángulo puedes verificar que

dichas distancias son iguales. Decimos que “o” equidista de los lados del

triángulo.

De acuerdo con las observaciones realizadas enunciamos la siguiente

Propiedad: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista

de sus lados.

H)

Año: 2011 12


T)

1.

2.

D)

Como todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho

ángulo, resulta:

⇒

Entonces:

de resulta que:

Si

se cortan en o y además o es interior al triángulo

CONSECUENCIA: La circunferencia que tiene por centro el punto de

intersección de las bisectrices y por radio la distancia del centro a cada lado es

Año: 2011 13


tangente a los lados del triángulo y se llama circunferencia inscripta en el

triángulo

Dist (o, ) = dist (o, ) = dist (o, )

Entonces:

, y son tangentes a la circunferencia.

el centro de la circunferencia inscripta es el incentro del triángulo.

(o, ) = radio

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto

medio.

Mediatrices de un Triángulo

Se llaman mediatrices de un triángulo a las mediatrices de sus lados.

Año: 2011 14


El punto de intersección de las mediatrices se llama circuncentro del triángulo:

Si trazas las distancias de o a cada uno de los vértices del triángulo puedes

verificar que dichas distancias son iguales. Decimos que o equidista de los

vértices del triángulo.

De acuerdo con estas observaciones enunciamos la siguiente

PROPIEDAD: Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que

equidista de sus vértices

H)

triángulo

Año: 2011 15


T)

1. , y concurren en o.

2. equidista de (vértices).

D)

Consideramos dos de las tres mediatrices.

Sean, por ejemplo y .

si corta a entonces corta a en un punto o.

Efectivamente, si fuera // entonces sería // y no existiría el

triángulo.

Como todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del

mismo, resulta:

:

Recíprocamente, si un punto equidista de los extremos de un segmento

pertenece a su mediatriz.

Año: 2011 16


Consecuencia

Si entonces pertenecen a una circunferencia de centro o y

cuyo radio es la distancia de o a cualquier vértice (

).

La circunferencia que tiene por centro el punto de intersección de las

mediatrices de un triángulo y por radio la distancia de dicho punto a cada

vértice se llama circunferencia circunscripta al triángulo.

Por esta razón, el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo se

llama circuncentro.

Alturas de un Triángulo

Se llaman alturas de un triángulo a las distancias perpendiculares de cada

vértice al lado opuesto.

Año: 2011 17


El punto de intersección de las alturas de un triángulo se llama ortocentro.

se cortan en o.

o es el ortocentro de

Como resultado de estas observaciones enunciamos lo siguiente

PROPIEDAD: Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan

en un punto.

Año: 2011 18

vv

v vv

v

c

c

c


H)

Triángulo

alturas

T)

se cortan en o.

D)

Si se traza por cada vértice la paralela al lado opuesto, resulta:

Además, como los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes, se

verifican las siguientes relaciones:

Año: 2011 19

vp r � c ïícï • ô Ö ™�ö ·r �› ¼ Hvp r � c ï c • ô™� ö · �› ¼ Hvp r � ï c • ô ™� ö · › vp � ï


de (1) y (4); es mediatriz de pues ⊥ y punto medio de .

de (2) y (5); es mediatriz de pues ⊥ y b punto medio de .

de (3) y (6); es mediatriz de pues ⊥ y c punto medio de .

por lo tanto mediatrices de

Medianas de un Triángulo

Se llaman medianas de un triángulo a los segmentos determinados por cada

vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior al mismo.

el punto de intersección de las medianas se llama baricentro.

Año: 2011 20


PROPIEDAD del baricentro

Trataremos de encontrar alguna relación entre las medianas y la distancia entre

el baricentro a los vértices.

Consideremos dos medianas. por ejemplo:

y , que se cortan en o, pues es semirrecta interior a y tiene sus

extremos sobre los lados de .

El segmento es la base media del triángulo y en consecuencia:

Año: 2011 21

, y se cortan en o. o es el baricentro de .

v

r �

r

� c ï


Si consideramos m punto medio de y n punto medio de , el segmento

es la base media de y por lo tanto:

Comparando (1) y (2) resulta:

mncb =''

Entonces es un paralelogramo y sus diagonales se cortan en el punto

medio.

Como consecuencia resulta:

Y además por ser m un punto medio de

⇓ ⇓ y n punto medio de

Entonces

⇓ ⇓

Consideremos ahora otro par de medianas. Por ejemplo y que se cortan

en un punto tal que:

Y como

Año: 2011 22

p


Resulta

Y entonces coincide con o.

Es decir, hemos demostrado que las medianas de un triángulo se cortan en un

punto que cumple la siguiente

PROPIEDAD: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto cuya

distancia a cada vértice es igual a dos tercios de la mediana correspondiente.

ÁreaÁrea: Superficie comprendida dentro de un perímetro expresada en una

determinada unidad de medida

Año: 2011

Definición Punto de intersección

BISECTRIZ

Semirrecta interior al ángulo interno

de un triángulo, que lo divide en

dos ángulos congruentes.

INCENTRO

MEDIATRIZRecta perpendicular al lado de su

punto medio.CIRCUNCENTRO

ALTURA

Segmento perpendicular

comprendido entre un vértice y el

segmento al que pertenece el lado

opuesto a él.

ORTOCENTRO

MEDIANA

Segmento que tiene por extremos

el vértice y la mitad del lado

opuesto a él.

BARICENTRO

23


Superficie: Conjunto de puntos continuados en dos, que son longitud y latitud.

El área de un triangulo se calcula multiplicando la base por la altura del mismo

dividido por 2.

PerímetroPerímetro: Contorno de una figura

El perímetro de un triangulo se calcula sumando la longitud de sus lados

Criterios de IgualdadIgualdad de Triángulos.

Definición: se dice que un triangulo es igual a otro, o congruente con

otro, si tiene todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y

ángulos del otro.

Año: 2011

vp r �

r � íc

r � c r � c �í cï � � ¤

vp rv

vp r � íc ï�í ï� ¤ Á �· �r dÖvp r

vp rvp r

24


En símbolos:

===

===

`ˆˆ`ˆˆ`ˆˆ

``

``

``

CC

BB

AA

ACCA

CBBC

BAAB

Criterios de Igualdad de Triángulos

Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos

respectivamente iguales; pero en realidad, no es necesario conocer la igualdad

de todos sus elementos, pues basta que se cumpla la igualdad de algunos de

ellos para que, como consecuencia, los demás resulten también iguales.

El conjunto de elementos que deben ser iguales para que como consecuencia

sean iguales los restantes elementos y por lo tanto los triángulos sean iguales,

da origen, en cada caso, a un criterio de igualdad de triángulos.

Primer criterio: dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido

respectivamente iguales, son iguales.

Segundo criterio: Dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos

igualmente dispuestos, respectivamente iguales, son iguales.

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen los tres lados respectivamente

iguales, son iguales.

Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al

mayor de ellos respectivamente iguales, son iguales.

Año: 2011 25

⇔=∆∆

``` CBAABC


Relaciones que Vinculan los Lados con los Ángulos de un Triangulo.

Teorema: en todo triangulo isósceles a los lados iguales se oponen ángulos

iguales.

H) ∆ABC isósceles

BC = AB

T) A= C

Demostración: se traza la bisectriz del ángulo B que corta al lado AC en el

punto M

Quedan así formados los triángulos:

Luego, estos dos triángulos tienen dos lado y el ángulo comprendido

respectivamente iguales; por lo tanto, satisfacen el primer criterio de igualdad

de triángulos, y en consecuencia son iguales, es decir

CMBAMB∆∆

=

Año: 2011 262

2 6 o 2 0 1 1 u

2 6 o 2 6 o 2 0 1 1 u l o s2 6 o 2 0 2 6 2 0 1 u l o ,

==

CBMMBA

BCAB

BM

ˆˆ

<

<

<<


Y particularmente A= C , como se quería demostrar.

Si se considera un triangulo, por ejemplo ∆PQR , en que dos lados son

desiguales, en este caso, el ladoPQes mayor que el

lado QR , se observa que el ángulo R , que se

opone al lado mayor PQ , es mayor que el ángulo P

, que se opone al lado menor QR . Esta observación es general y se enuncia en

el siguiente teorema.

TEOREMA: si en un triangulo dos lados son desiguales, al mayor lado se

opone mayor ángulo.

H) BCAC

CBA

>

∆;

T) AB ˆˆ >

Demostración: sobre el lado CA se determina, a partir de C, el BCCM = . Como

por hipótesis, BCAC > , el punto M es interior al CA , es decir: CACM ⊂ .

Uniendo B con M, resulta el triangulo MCB∆

, que es isósceles, dado que

BCCM = por construcción.

Luego, por el teorema anterior, a los lados iguales se oponen ángulos iguales,

es decir:

Año: 2011 27

v

v

v

v r

r

r

β

α


βα ˆˆ = [1]

por pertenecer el punto M al segmento AC , es M interior al ángulo B ; luego la

semirrecta BM es también interior a dicho ángulo.

Además, como β es exterior al BMA∆

es mayor que cada ángulo interior no

adyacente, por lo tanto:

Aˆ >β

Aplicando el carácter transitivo de la relación de mayor a las expresiones [2] y

[3], resulta

AB ˆˆ >

Como se quería demostrar.

TEOREMA: en todo triangulo un lado es menor que la suma de los otros

dos y mayor que su diferencia.

H ) CBA ˆ

Año: 2011 28

[3]

por lo tantoy como

Resulta: [2]


T )

−>

−>

−>

+<

+<

+<

ABACBC

BCABAC

BCACAB

BCACBC

BCABAC

BCACAB

º2

º1

Demostración: 1º Para que queden establecidas las relaciones con respecto a

la suma, que figuran en el primer grupo de la tesis, basta demostrar una de

ellas, porque para las otras, el procedimiento es análogo.

Si se supone que el lado AB es el mayor, bastara demostrar la desigualdad

que corresponde a ese lado, es decir que:

BCACAB +<

Se traza la semirrecta opuesta a CA , y sobre ella se construye el segmento

BCCM = . Al unir B con M, resulta el ∆

BCM isósceles, puesto que BCCM = ,

por construcción, luego los ángulos que se oponen a los lados iguales son

iguales, es decir

αˆ =M [1]

y como, por ser BC interior a γ ,

χα ˆˆ < [2]

de [1] y [2] resulta:

χˆ <M

y como, en todo triangulo, a menor ángulo se opone menor lado, en el ∆

ABM es:

AMAB <

Pero;

CMACAM +=

Año: 2011 29

AC

α

B

M

χ


Reemplazando en la desigualdad anterior AM , por su valor se tiene:

CMACAB +<

y reemplazando CM por su igual BC , resulta:

BCACAB +<

Que es la relación que se quería demostrar.

2º análogamente, para demostrar la segunda parte bastara demostrar la

validez de una de esas relaciones; por ejemplo la primera, es decir:

BCACAB −>

BCACAB −> ⇒ ACBCAB >+

entonces

BCABAB −>

Como se quería demostrar.

Triángulos RectángulosDefinición: triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.

Así el ∆PQS

Es rectángulo, por que Q es un ángulo recto.

Año: 2011 30

ACBCAB >+

y comorestando m. a m.

SQ

P


los lados que concurren al vértice del ángulo recto se llaman catetos, y el lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

en la figura, los catetos son: PQ y QS , y la hipotenusa es PS .

Propiedad de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo.

Como la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º, y en el triangulo

rectángulo un ángulo es recto, es decir, de 90º, resulta que los otros dos

ángulos sumados deben vales 90º, y por lo tanto tienen que ser ángulos

agudos y complementarios.

Así, si en un triangulo rectángulo uno de los ángulos agudos es de 40º, el otro

ángulo debe ser de 50º.

Propiedad de la hipotenusa de un triangulo rectángulo. Como el

ángulo recto es mayor que cualquier ángulo agudo, y en todo triangulo

rectángulo la hipotenusa se opone al ángulo recto y los catetos a los ángulos

agudos, resulta que la hipotenusa se opone siempre al mayor de los ángulos.

Pero se sabe que en todo triangulo, a mayor ángulo se opone mayor lado, por

lo tanto se puede enunciar la siguiente propiedad de la hipotenusa:

En todo triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los

catetos.

Criterios de igualdad de triángulos rectángulos. Siendo el triangulo

rectángulo un triangulo especial en el que se conoce siempre un ángulo, el

recto, los criterios dados para la igualdad de triángulos cualesquiera, en que

intervienen ángulos, es decir el 1º, el 2º y el 4º criterio, se reducen según se ve

a continuación:

Año: 2011 31


Primer criterio: dos triángulos rectángulos que tienen sus dos catetos

respectivamente iguales son iguales.

Segundo criterio: si dos triángulos rectángulos tienen un cateto y un ángulo

agudo respectivamente iguales, son iguales.

Tercer criterio: si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo

agudo respectivamente iguales, son iguales.

Cuarto criterio: si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto

respectivamente iguales, son iguales.

Teorema de Pitágoras

Hipótesis:

Sea EFGH un cuadrado inscripto en el cuadrado ABCD.

Se quiere probar que: z2 = x2 + y2

Tesis:

Sea ABCD un cuadrado de lado x + y.

Ubicamos los puntos E, F, G y H, de modo que:

ABEBAE =+ , BCFCBF =+ , CDGDCG =+ y DAHADH =+ ,

Donde:

Año: 2011

x

x

x

x

y

y

y

y

A

B C

D

E

G

H

F

z

z

z

z

32


DHCGBFAE === y HAGDFCEB ===

y

DHCGBFAE === = x y HAGDFCEB === = y

Entonces:

x + y = DACDBCAB ===

Trazamos los segmentos:

EF ,FG , GH Y HE .

Quedan conformados los triángulos:

∆HAE ;

∆EBF ;

∆FCG y

∆GDH rectángulos (ya que ABCD es un cuadrado)

Donde

DHCGBFAE === = x y HAGDFCEB === = y

Tenemos que en los cuatro triángulos, los catetos son iguales, por lo tanto por

el criterio de igualdad de triángulos rectángulos:

∆HAE ;

∆EBF ;

∆FCG y

∆GDH serán iguales.

Particularmente

Año: 2011 33


EF = FG = GH = HE = z

GHDFGCEFBHEA ˆ;ˆ;ˆ;ˆ son iguales y complementarios a HGDGFCFEBEHA ˆ;ˆ;ˆ;ˆ

respectivamente (por la suma de los ángulos interiores)

Como:

GHD ˆ = HEA ˆ y HEA ˆ es complementario con EHA ˆ ,

GHD ˆ es complementario con EHA ˆ (por propiedad transitiva)

Es decir que GHD ˆ + DHG ˆ + EHA ˆ =180º (por la suma de ángulos consecutivos

hacia un lado de la recta)

Como

GHD ˆ + EHA ˆ =90º (por ser complementarios)

DHG ˆ + GHD ˆ + EHA ˆ =180º

DHG ˆ + 90º = 180º

DHG ˆ = 180º - 90º

DHG ˆ = 90º

de igual forma para

GFEFEH ˆ;ˆ y HGF ˆ

Año: 2011 34


por lo tanto

DHG ˆ ; GFEFEH ˆ;ˆ y HGF ˆ son rectángulos, entonces HEFG es un cuadrado de

lado z.

Demostración:

Sup. ABCD = (x + y)2

Sup. EFGH = z2 y Sup. EFGH = sup. ABCD – 4 sup. ∆

HAE

Es decir

Sup. EFGH = sup. ABCD – 4 2

yx ⋅

Sup. EFGH = (x + y)2 – 4 2

yx ⋅

Entonces:

z2 = (x + y)2 – 4 2

yx ⋅

z2 = x2 + 2xy + y2 – 2xy (resolviendo el binomio y

simplificando)

z2 = x2 + y2 (por propiedad cancelativa)

s.q.d.

Entonces, en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a

la suma de los cuadrados de los catetos.

Año: 2011 35


Razones Trigonométricas

Año: 2011

Δ ABC en función de θ

a = longitud BC a = cateto opuesto

b = longitud AC b = cateto adyacente

b= longitud AB c = hipotenusa

36

B

b

ac

C A θ


Seno : sen θ =longitud cateto opuesto a θ

longitud hipotenusa=

a

c

Coseno : cos θ =longitud cateto adyacente a θ

longitud hipotenusa=

b

c

Tangente : tg θ =longitud cateto opuesto a θ

longitud cateto adyacente a θ=

a

b

Resolución de Triángulos RectángulosCuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas

sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la

medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un

ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo.

Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

Dos Lados

o Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras

o Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar

los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación

entre los ángulos de un triángulo. Tenemos este triángulo y

sabemos que

Año: 2011 37


Ejemplo

Un Ángulo Y un Lado

o los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo

que tenemos y con la longitud del lado que tenemos

o el ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de

un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo Tenemos este triángulo y conocemos

Año: 2011 38

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