EJERCICIOS TRIÁNGULOS

Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I

1

EJERCICIOS TRIÁNGULOS

1. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 metros que

forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo

que el hilo esté tirante , hallar la altura de la cometa.

2. Hallar el área de un pentágono regular de lado 10 cm.

3. En un triángulo ABC se conoce el lado a=BC =10 metros el

ángulo ABC que vale 105º y el ángulo ACB que vale 30º .Hallar los

lados y el área del triángulo.

4. En una circunferencia de 100 m de radio se unen dos puntos con

una cuerda de 50 m ¿Cuánto vale el ángulo central?

5. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6

m.

6. La base de un triángulo isósceles mide 20 m y el ángulo opuesto

80º .Calcular los lados y el área del triángulo .

7. Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama

mide 12 cm .Hallar el ángulo que forman las ramas del compás.

8. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada

rama tiene 12 cm de longitud , hallar el radio de la circunferencia

que puede trazarse.

9. Dos circunferencias de 4 y 6 cm respectivamente tiene sus centros

distantes 12 cm .Calcula la inclinación sobre la línea de sus centros

de a) la tangente común interior b) la tangente común exterior.


2

10. Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre

formando una ángulo de 30º con la horizontal .Si nos acercamos

75 m hacia el pie de la torre ese ángulo mide 60º .Halla la altura de

la torre.

11. Desde cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de

42º.¿bajo qué ángulo se verá colocándose a distancia doble?

12. En el triángulo ABC los lados miden 24m , 28 m y 36 m :hallar la

tangente del mayor de los ángulos.

13. Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y elángulo

comprendido vale 60º.Hallar los otros dos ángulos.

14. Hallar el área del triángulo ABC sabiendo que a=1 m ,B = 30º y C

= 45º.

15. Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un

plano vertical que pasa por ellos .La distancia entre los dos es de 4

Km .Los ángulos de elevación del globo desde los observadores

son 46º y 52º .Hallar la altura del globo y su distancia a cada

observador.

16. Tres pueblos están unidos por carreteras llanas y rectas :la distancia

desde A hasta B es de 6 Km , la de B hasta C es de 9 Km y el

ángulo que forman AB y BC es de 120 º¿Cuánto distan A y C?

17. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un

punto de la calzada .Si se apoya sobre una de las fachadas ,forma

un ángulo de 45º y si se apoya sobre la otra de 30º.Hallar la

anchura de la calle .¿A qué altura se alcanza con dicha escalera

sobre cada una de las fachadas?

18. Sea AB una altura de pie accesible situado en terreno horizontal

:desde el punto E situado a 23,41 m de A con un aparato colocado

en C a un metro del suelo, se dirige una visual a B que forma un

ángulo de 4º 12’ con la horizontal ¿Cuánto mide la altura AB?


3

19. Sean A y B dos puntos inaccesibles pero visibles desde otros

puntos accesibles C y D separados por la longitud 73,2

m.Suponiendo que los ángulos ACD =80º 12’ ,BCD =43º 31’

,BDC = 32º y ADC = 23º 14’ ,determinar la distancia AB.

20. Un barco pide socorro y las señales son recibidas por dos

estaciones de radio que distan entre sí 80 Km .La recta que une B y

C forma con la dirección norte un ángulo de 48º .B recibe señales

con una dirección 135 º con el norte , mientras que C las recibe

con una dirección 96º con el norte ¿A qué distancia de cada

estación se encuentra el barco?

A

B

D

C

A C

B

N


4

21. Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la

carga hasta una altura de 15 metros,¿Qué ángulo se deberá inclinar

la cinta? (SOL: 36º52’11’’)

22. El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor de 38º ¿Cuánto

miden las diagonales del rombo? (SOL : d= 5,2 , D= 15,2)

23. Calcula los lados de un triángulo en el que A=55º ,B=40º c= 15

m.(SOL : a=12,33,b=9,68)

24. Dos amigos situados en dos puntos A y B que distan 500 mts ,ven

la torre de una iglesia C ,bajo los ángulos BAC = 40º y ABC = 55º

¿Qué distancia hay entre cada uno de ellos y la iglesia?(SOL :a=

322,62, b= 411,14)

25. Hallar los ángulos del triángulo ABC en el que a=11 m , b = 28 m

,c = 35 m .(SOL:A= 15º34’41’’ ,B = 43º7’28’’,C=121º17’51’’)

26. Una estatua de 2,5 m de alto está colocado sobre un pedestal

.Desde un punto se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la

estatua bajo un ángulo de 40º .Calcula la altura del pedestal..(SOL:

0,58 m)

27. Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80 km :las

visuales desde el avión a A y B forman ángulos de 29º y 43º con la

horizontal ,respectivamente.¿A qué altura está el avión? (SOL:

b=27,8 km)

28. En una circunferencia de radio 6 cm trazamos una cuerda AB a 3

cm del centro Halla el ángulo AOB. (SOL : 120º)

29. Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman

un ángulo de 127º :El primero sale a las 10 h de las mañanas con

una velocidad de 17 nudos y el segundo a las 11,30 con un a

velocidad de 26 nudos .Si el alcance de sus equipos de radio es de

150 km ¿Podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde?

30. Hallar la altura de árbol QR de pie inaccesible y más bajo que el

punto de observación con los datos de la figura a= 50 m , A = 40º,

B = 20º,C=30º.(SOL: 79,82 m )

A P

R

Q

a

B

C


5

31. Calcula la altura QR con los siguientes datos.

A=22º,B=18º,C=32º,a=50. (SOL: 74,97 )

EJERCICIOS

TRIGONOMETRIA

32. Pasar a radianes los siguientes ángulos expresados en grados

a. 90º

b. 210º

c. 115º

d. 75º

e. 780º

f. 330º

33. Pasar a grados los siguientes ángulos expresados en radianes

a. /5

b. 3/8

c. 11/6

d. 5/12

e. 2

f. 3/2

34. Hallar el resto de las razones trigonométricas sabiendo que :

a. sen =

3

5 , del

2º cuadrante.

b. cos =

-4

5 , del

3º cuadrante.

c. tg =

1

3 , del

3º cuadrante.

d. cotg =

-12

13 ,

del 4º cuadrante.

e. sec =

2 , del

4º cuadrante.

35. Hallar los dos valores de la primera vuelta que cumplen que :

A

P

R

Q

a B C


6

a. sen =

3

4 ( en

grados ,minutos y

segundos)

b. cos =

1

3(en

radianes y con tres

decimales)

c. tg =

2 ( en grados

,minutos y

segundos)

d. sen =

5

3(en

radianes y con tres

decimales)

e. sen =

-0,6(en

radianes y con tres

decimales)

f. cos = -0,21( en

grados ,minutos y

segundos)

g. tg = -3,5(en

radianes y con tres

decimales)

36. Sabiendo que sec = x , hallar el valor de cotg .

37. Sabiendo que sen =

2

3, determinar el valor exacto de

sec2 tg2

sec2 tg2.

38. Sabiendo que arc sen x = , determinar el valor de cotg .( en

función de x)

39. Simplificar la siguiente expresión :

sen cos 2 sen cos

2


sen cot g

seccos tg

cosec

41. Simplificar la siguiente expresión

:

sec cosec 2 sec cosec

2

1 cot g2


1 tg

1 tgcosec sec

cosec sec

43. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica :

cot g cot g2 1

cot g tg

44. Si tg a=

3

4,hallar tg(a+30º) y tg(45º-a)

45. Sabiendo que tga =2 ,calcula el valor de sen 4a.

46. Si tg a=

3

4 y a del 2º cuadrante ,hallar de modo exacto las razones

trigonométricas del ángulo

a

2


7

47. Si a la tg

a

2 la llamamos t ,expresar en función de t el seno y el

coseno del ángulo a .

48. Demostrar que cos4 x – sen4 x – 2cos2 x +1 =0 cualquiera que sea

x.

49. Demostrar la igualdad :

2 sen a

tg 2a cosa

sen2a

cosa

50. Demostrar la igualdad : sen 3a = sen a ( 3 cos2 a – sen2 a)

51. Demostrar que :

sen( )

sen( )tg tg

tg tg

52. Demuestra que : cos a cos(a-b)+sen a sen(a-b) = cos b

53. Demuestra que :

2sen sen2

2sen sen2 tg2

2

54. Simplificar la expresión

sen 2

1 cos 1 tg2

2


2cos(45º)cos(45ºx)

cos2


cos 5

2 x

sen

2 x

cos

3

2 x

sen

7

2 x

57. Resolver : sen 2x=cos x.

58. Resolver : cos 2x +3 sen x =2.

59. Resolver : sen 2x cos x = 6 sen3x.

60. Resolver :tg 2x tg x =1.

61. Resolver :

3senx cosx 1

62. Resolver :senx cos x =

1

2

63. Resolver :cos 2x –cos 6x = sen 5x +sen 3x.

64. Resolver el sistema :

senx seny 3

2

senx seny 1

2


x y 120º

senx seny 1

2


senx cosy 3

4

cos x seny 1

4


8


senx seny 3

2

senx seny 1

2

68. Simplificar :sen4 x –cos4 x +cos2 x. ( Sol : sen2 x)

69. Simplificar :

1 secx

tgx senx ( Sol : cosec x)

70. Demostrar que :

sec4x tg 4x

sec2x 1 sen2x

71. Demostrar que :

senx cosx

cos x1 tg x

72. Resolver : 2tgx sec x –tg x =0. ( Sol : 180ºk)

73. Resolver : tg 2x =1. ( Sol : 22º30’ +90ºk)

74. Resolver : sen x + cos x = 1. ( Sol : 0º+360ºk,90º+360ºk)

75. Resolver : cos x = sen x. ( Sol : 45º +180ºk)

76. Resolver : 2 cos3 x = cos x ( Sol : 90º +180ºk , 45º+90ºk)

77. Calcular sen 3x ( Sol : 3 sen x – 4 sen3 x)

78. Calcular cos 3x. ( Sol : -3 cos x + 4 cos3 x)

79. Resolver : cos x – sen 2x = 0. ( Sol : 90º +180ºk ,

30º+360ºk,150º+360ºk)

80. Resolver : sen 2x – 2 cos x + sen x -1 =0. ( Sol : 90º +360ºk ,

120º+360ºk, 240º+360ºk)

81. Demostrar que :

sen 6x - s en 4x

cos6x +cos 4x tgx

82. Resolver : sen 3x + sen 5x =0. ( Sol : 0º+45ºk)

83. Resolver : cos 2x +cos x =0. ( Sol : 60º+120ºk)

84. Resolver : sen2x +3senx +2 =0. ( Sol : 270º+360ºk)

85. Resolver: cos x+ 2 sen x tg x=1( Sol : 0º+360ºk)

86. Resolver : tg2x + 2sec2 x =1. ( Sol : no hay)

87. Simplificar : cos 2x cos 3x + sen 2x sen 3x ( Sol : cos x)

88. Demostrar que si x e y son complementarios sen2x + sen2y =1.

89. Demostrar que :

tgx

2

senx

1 cosx

90. Demostrar que :

1 tgx

1 tgx

1- sen 2x

cos 2x

91. Resolver : cos x +sen 2x= ( sen x +cos x )2. ( Sol : 0º+360ºk)

92. Resolver : 2sen2 x – sen x =1. ( Sol : 90º +360ºk , 210º+360ºk,

330º+360ºk)


9

93. Demostrar que sen(30º+x) –sen(30º-x) =

3 sen x.

94. Demostrar que sen(a+b) sen(a-b) = sen2a - sen

2b.

95. Resolver :

x y 90º

senx seny 1

( Sol : x=90º,y=0º ; x=0º,y=90º)

96. Sabiendo que : sena = 1/3 ,a del 2º c , hallar el valor exacto de sen

2a. ( Sol :

2 8

9)

97. Sabiendo que a+b+c =180º ,demostrar que : tg a + tg b + tg c= tg

a tg b tg c

98. Si a+ b+ c = 90º , demostrar que tg a tg b + tg b tg c +tg c tg a =1

99. Demostrar que sen a sen(b-c)+sen b sen (c-a) sen c sen (a-b) = 0.

100. Si a ,b y c son los ángulos de un triángulo ,demostrar que

:

cos(a b) cos c

2cos a cos b

101. Demostrar que:

sen5a +sen a

sen 3a - sen a 1 2cos 2a

102. Demostrar que :

sen a +sen b

sen a - sen b

cos a - cos b

cos a + cos b tg2 a b

2

103. Resolver

cos(x y) 1

2

sen(x y) 1

2

y dar las soluciones del primer cuadrante.(

Sol : x=45º,y=15º )

104. Resolver

sen x + sen y 3

2

cos(x y)

2

3

2

.(Sol : x=90º , y =30º ; x=150º, y =90º)

105. Resolver

sen x + cos y 3

2x y 90º

.(Sol : x=135º , y =45º ; x=405º, y

=315º)

106. Resolver

sen x + cos y 1

2cosec x + sec y -1

(Sol : x=90º , y =120º,240º ;

x=240º,330º, y =0º)


10

107. Resolver

cosec x cosec y = 4

cosec x sec y = 2

Sol : x=33º59’16’’ ,y=26º33’54’’)

NUMEROS COMPLEJOS:

108. Resolver en C la ecuación z2 +6z+ 25 =0.

109. Realizar las siguientes operaciones en forma binómica

a.

b.

c.

110. CALCULAR RAZONADAMENTE: i + i2+ i3+ i4+ i5+……….+

i4000.

111. Determina a para que el producto (-2+4i)(3+ai) sea un nº imaginario puro.

112. Hallar x para que el cociente sea un nº imaginario puro.

113. Determinar un nº complejo cuyo cuadrado que coincida con su conjugado.

114. Comprobar que los complejos 2+3i y2-3i verifican la ecuación x2-4x+13=0.

115. Buscar el valor ( o valores de a) en i a

ia

)1(2

3)1(

para que dicho

cociente tenga como parte real 1.

116. Calcula x para que el módulo del cociente .5sea 1

31

xi

i

117. Dado el nº complejo 2 - 2 3 i .,calcular :

a. Su cuarta potencia. b. Sus raíces cuartas.

118. Hallar la potencia ( -1+i)30 y dar el resultado en forma binómica.

119. Resolver en C la ecuación (1+i)z4 +16+16i=0 y dejar los

resultados en forma polar.

120. Calcular el valor de a para que el siguiente producto de complejos

sea un nº imaginario puro.(a0 + 290)(4270 + 3180)


11

121. El producto de un nº complejo de módulo 5 por otro de

argumento 60º nos da como resultado el nº complejo -6 +6 3 i.

Hallar el argumento del 1º y el módulo del 2º.

122. Hallar el mínimo valor de n N para el cual Zn sale un nº real

positivo siendo Z=( 1+i ) ( -2+ 2i)(1+ 3 i)

123. Calcular las soluciones reales y complejas ( en forma binómica) de la siguiente ecuación Z3 +8i= 0

124. Resolver :z6 +64i = 0 y obtener sus soluciones reales y complejas dejándolas en forma polar.

125. Los afijos de los números complejos z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero cuyo incentro es el origen de coordenadas. Sabiendo que z1 es 1+i , calcular z2 y z3.

126. Se considera el complejo z =1+ i , se efectúa un giro de centro el

origen de coordenadas y amplitud 30º .Hallar el complejo z’ transformado de z en el citado giro.


12

EJERCICIOS VECTORES

Ejercicios para clase

126. Efectuar las siguientes operaciones

a. -2(3,4) + 3(7,-1)

b. -2 [( 3,4) +(7,-1)]

127. Sobre el paralelepípedo de la figura , decir cuál de las siguientes

igualdades es cierta :

f=b i=d

e=g b=-h

c=-g i=g

c=e c=-e

128. Dado el rectángulo de vértices ABCD ,completar las siguientes

igualdades

a

b

c

d e

f

g

h i

A

B

C D

O


13

AB+BC= ¿? AD+¿? =AC

AC+CB = ¿? CB+¿?=AB

AD+DB =¿? BC+¿?=BA

129. Dado el hexágono irregular de la figura ,expresar dando su origen

y extremo ,los siguientes vectores

x+y

x+y+z

x+y+z+t

x+y+z+t+u

x+y+z+t+u+v

130. En el prisma triangular de la figura inferior sea AB =x ,AD = y

BE = z .Expresar los siguientes vectores en función de x , y ,z : EF,

DF , AF , AE .

131. En la pirámide de la figura superior ,expresar los siguientes

vectores en función de a, b ,c : DA , AD, CO, BO, BA, OD, CB.

132. Dado el ortoedro de vértices ABFDCHGE representado en la

figura , indicar qué vectores qué vectores son equipolentes. Expresar

las diagonales EF y AG en función de los vectores AB,AC,AD.

A

B C

D

E F u

y

x z

t v

x z

y

A

B

E

C

F D

O

C

B A

a b

c


14

133. Considerar el vector u ( 4, -7) referido a la base canónica

.Encontrar dos vectores que tengan la misma dirección que u y sean

unitarios.

134. Calcular el valor de m y n para que los vectores u = i +mj , v =

2i+nj sean

a. Unitarios.

b. Ortogonales

135. Hallar el ángulo formado por estos vectores u = -5i+12j , v = 8i-6j

136. Hallar el valor de k para que los vectores u = i+j , v

=

2i kjformen un ángulo de 45º.

137. Dados los vectores u(2,4) , v ( 3,1) , hallar el módulo del vector u-

v.

138. Dos vectores son tales que

a 10, b 10 3, a b 20.Hallar el

ángulo que forman los vectores a y b .

139. ¿Puede ser el módulo del vector suma de dos vectores de módulos

10 y 5,respectivamente, mayor que 15? ¿ Y menor que 4?

A B

D

C

F

E G

H


15

EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN

DE LA RECTA

140. Dados A( 2,3) ,B(5,7 ) ,hallar las coordenadas del vector que

determinan y las coordenadas de su punto medio.

141. Conocida la coordenada del vector PQ= (2,1) y siendo Q(5,4)

hallar las coordenadas del punto P.

142. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,5) y lleva

la dirección del vector u(2,-4)

143. Hallar la pendiente de las siguientes rectas :

a.

x 3

2y 5

1

b. 5x+3y+6=0

c.

x 2 t

y 5 3t

144. Determinar si los puntos A(3,1) ,B(5,2) y C(1,0) están alineados.

145. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,3) y

tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos B(1,6)

y C(4,9)

146. Hallar la ecuación de la mediana que parte de A en el triángulo

que forman los puntos :A(3,1) , B( 0,2) y C(1,-2)

147. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,5) y

forma un ángulo de 135º con la parte positiva del eje OX.

148. Hallar el área limitada por la recta 3x+5y-30 = 0 y los ejes

coordenados.

149. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5,3) y tal

que la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de

abscisas es 3.


16

150. Dadas las rectas de ecuaciones a)y = 5x+3 ,b) y = 3x+5 , c)y =

3x-3 , d)y = 5x-3 , e)y = 3x-3 , f)y = 5x+5 . Señalar cuáles son

coincidentes y cuáles paralelas .

151. Comprobar si las rectas son secantes , paralelas o coincidentes:

a.

3x 2y 3 0

6x 4y 2 0

b.

4x 3y 5 0

3x 4y 2 0

c.

x 2y 3 0

2x 4y 6 0

152. Hallar el haz de rectas que pasa por el punto de intersección de las

rectas r : 2x + 4y -5 =0 y s: x+y-1 =0.

153. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección

de las rectas r : 2x- y + 4 =0 y s : 3x + 2y -9 =0 y es paralela a la recta

t : 2x + 3y +11 = 0 .

154. Dadas las rectas r : de vector director (3,5 ) y s : de vector

director (a,2 ) , hallar a para que las dos recta sean secantes.

155. Dadas las rectas r : 3x + my – 7 = 0 ,s: 4x + y -14 =0 , t : 7x+2y -

28 =0 , hallar m para que sean rayos de un mismo haz.

156. Dado el segmento de extremos A ( 3, 5 ) y B( 6,15 ) , Calcular las

coordenadas de los puntos C , D y E que dividen al segmento en

cuatro partes iguales.

157. La recta y +2 = m ( x+3) pasa por el punto de intersección de las

rectas s: 2x + 3y + 5 =0 y t: 5x -2y -16 = 0.Hallar m .

158. Un paralelogramo tiene por vértices A(-1,-3 ) , B(6,0) ,C(8,2)

.Hallar el cuarto vértice sabiendo que hay tres soluciones .

159. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 5) y

forma con los semiejes coordenados positivos un triángulo de área

40 u2.


17

PROBLEMAS MÉTRICOS 160. Calcular el módulo de los siguientes vectores: u(2,3) , v ( 6,9) ,w(-

3,2)

161. Hallar el ángulo formado por u( 2,3) y v(6,9)

162. Calcular el ángulo formado por las siguientes rectas :

a. r: x-2y +4 =0 , s: 3x-y –1 =0.

b. 2

1y

4

3x:r

, s: y = 2x+3

c.

t-2y

t3x:r , s: 2x+y-1=0

163. Hallar la distancia entre los puntos : A( 5,4) y B( -2,3)

164. Hallar la distancia de los siguientes puntos a las rectas dadas :

a. P(2,3) , r: 2x-3y+5=0.

b. Q(-1,3) 3

4y

2

1x:r

165. Calcular la distancia entre las siguientes rectas :

a. r:x-2y+4 =0 , s:3x-y-1=0

b. 3

1y

2

1x:r

,s:-3x+2y=4

166. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4,3) y es

perpendicular al vector n(3,-2)

167. Calcular la ecuación de la recta que tiene la misma ordenada en el

origen que la recta 2x-3y+6 =0 y cuyo vector normal es n(1,2)

168. determinar a para que las rectas r : ax +(a-1) y –2(a+2) = 0 y s: 3ax

–(3a+1)y –(5a+4)=0 sean a) paralelas y b) perpendiculares.

169. Averiguar el valor de m para que las rectas r : mx+y=12 ,s : 4x-3y

= m+1 sean paralelas y calcular su distancia.

170. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB siendo A(1,-2)

y B(3,0)


18

171. Hallar la distancia del punto (-1,1) a la recta que corta a los ejes a

las distancias 3 y 4 del origen.

172. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que

determinan las rectas r : 3x+4y –2=0 s: 4x+3y –12 =0

173. Dada la recta r : ax + by = 1, determinar a y b sabiendo que la

recta dada es perpendicular a la recta s : 2x+4y-11=0 y que pasa por

el punto A(1,2).

174. Las rectas de ecuaciones ax-y = 4 , x+b= y son perpendiculares y

cortan al eje OX en dos puntos distantes 5 unidades .Hallar a y b .

175. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A(-3,0) y

forma con la recta de ecuación 3x-5y+9 =0 un ángulo cuya tangente

sea 1/3.

176. Hallar las coordenadas del punto simétrico del origen respecto de

la recta 4x+3y =50.

177. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son vértices de un triángulo isósceles

que tiene el tercer vértice en la recta x+2y-15=0, siendo AB y AC los

lados iguales. Calcular las coordenadas de A.

178. Calcular el área del triángulo de vértices ABC siendo A ( 2,-2) , B(

-3,5) y C(4,0)

179. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto A(2,-3)

forme un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0.

180. La recta 4x-3y =12 es mediatriz del segmento AB .Sabiendo las

coordenadas de A (1,0), hallar las de B.

181. Hallar la ecuación de la recta que corta al eje OX en el punto de

abscisa 3 y forma con él un ángulo de 60º.

182. Calcular las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto

A(1,-2) disten 2 unidades del punto B(3,1).

183. Dado el triángulo de vértices A(0,1) , B(2,3) y C(3,0) .Se pide

calcular:


19

a. La mediana que parte de A .

b. La altura que parte de B.

c. La mediatriz del segmento AB .

d. La bisectriz del ángulo que forman AB y AC

184. Dados los puntos A(2,1) , B(-3,5) y C ( 4,m) ,hallar el valor de m

para que el triángulo ABC tenga un área de 6 u2.

185. Calcular el pie de la perpendicular trazada por el punto P(-1,2) a la

recta 3x-5y -21=0 .

186. Hallar el valor de k para que las rectas r :

x 2 t

y 2t

,s :

x 1 2s

y 2 ks

formen un ángulo de 45º.


20

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

Circunferencia:

187. Dibujar dos puntos A y B en el plano ¿Cuál es el lugar geométrico

que equidistan de ellos?

188. Dibujar dos rectas a) paralelas y b) secantes Dibujar en ambos

casos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas.

189. Dibujar dos puntos en el plano . Trazar algunos ángulos rectos

cuyos lados pasen por A y B .¿Podrías decir cuál es el lugar

geométrico de los vértices?

190. Dibujar en unos ejes de coordenadas varios segmentos AB

sabiendo que A(a,0) y B(0,a) ¿Cuál es el lugar geométrico de los

puntos medios de los segmentos?

191. Escribir la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya

distancia al (0,0) es 6 unidades.

192. Escribir la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya

distancia al centro de la circunferencia x2 +y2 =4 es el doble que los

de ésta.

193. Hallar la ecuación de la circunferencia en los siguientes casos :

a)Centro (0,0) y radio 3


21

b)Centro ( 3,-2) y radio 3.

194. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a)x2 +y2 -8x+2y+13=0.

b)2x2 +2y2 -8x -4y – 8 =0.

c)x2 +y2 +4y-13=0.

195. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C( 1,4) y pasa por

el punto P(-6,-1)

196. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por extremos de

un diámetro los puntos A(2,3) y B(3,1)

197. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(1,0) , B(3,-2) y C( 1, -4).

198. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(3,2) que es

tangente a la recta 3x + 4y +2 = 0.

199. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en r :

x+y-2 =0 y pasa por los puntos A( 4,-1) y B( -1,-2)

200. Calcular la ecuación de la circunferencia de radio 5 unidades , que

pasa por el punto A(3,5) , sabiendo que su centro se encuentra en la

recta r: 3x-y+1=0.

201. Hallar la posición relativa de la recta r: 2x-y+3=0 respecto de la

circunferencia x2 +y2 -2y-1=0.

202. Calcular la potencia del punto A(1,-2) respecto de la circunferencia

C: x2+y2-2x+3y-18=0.

203. Hallar el eje radical de las circunferencias de centros C1(0,1) C2(1,-

1) y radios r1=2 y r2=3.


22

204. Hallar el centro radical de las circunferencias de ecuaciones : C1:

x2+y2+2x-4y=0, C2: x2+y2-2x=0, C3: x

2+y2+2x-6y-16=0.

205. Dados los puntos P(0,2) y B(0,-2) ,se pide: calcular la ecuación de

todas las circunferencias que pasan por esos puntos. De esas

circunferencias , determinar el radio y el centro de aquella que es

tangente a la recta y = 3x +2.

206. Calcular la longitud del segmento de tangente comprendido entre

el punto P(2,-1) y la circunferencia : x2+y2+3x-2y-4=0.

207. Dada la ecuación de loa circunferencia : x2+y2-6x+10y-66=0 ,

hallar las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas a la recta de

ecuación 4x-3y+2=0.

Elipse :

208. Hallar la ecuación de la elipse de focos F(2,0) y F’(-2,0) y suma de

distancias 5.

209. Hallar la ecuación de la elipse conociendo que los vértices son

A(10,0) y A(-10,0) y su excentricidad es e=0,2 .

210. Hallar la ecuación de la elipse de focos F(3,0) y F’(3,4) y suma de

distancias 8.

211. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que :

a. C(0,0) F(0,2) , a=4

b. C(0,0) F(-3,0) , a=5

c. C(0,0) F(0,2) , a=4

212. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que :

a. Semieje mayor es 5 y la semidistancia focal 3.

b. Semieje menor es 4 y la semidistancia focal 3

213. Hallar todos los elementos de la elipse ( eje mayor, eje menor ,

distancia focal y excentricidad) de :

a. 16x2 + 9y2 = 144


23

b. x2 + y2 = 9

Hipérbola:

214. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene :

a. F(3,0) y F´(-3,0) y diferencia de distancias 4.

b. F(0,6) y F´( 0,-6) y diferencia de distancias 2.

c. F(1,3) y F´( 4,2) y diferencia de distancias 6.

d. F(0,0) y F´( 0,8) y diferencia de distancias 6.

215. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene por vértices :

a. A(10,0) A´(-10,0) y la excentricidad e=2.

b. B(0,4) y B´(0,-4) y la excentricidad e=3

216. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que :

a. El semieje focal es 3 y la semidistancia focal es 5.

b. El semieje no focal es 6 y la semidistancia focal es 10.

217. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que :

a. Un vértice en A(6,0) y distancia focal es 16.

b. Un vértice es B(0,4) y su distancia focal es 10.

218. Hallar todos los parámetros(eje focal , eje no focal ,distancia focal

y excentricidad) de las siguientes hipérbolas:

a. x2 –y2=9

b. 16x2- 9y2= 144.

c. xy=10

219. Hallar la ecuación referida a los ejes de la siguiente hipérbola : xy

=8

Parábola:

220. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta

x+4 =0 y del punto P(3,0).

221. Halla la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y

+5 =0 y por foco el punto P(0,5) .


24

222. Halla la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(4,0)

y por vérice el punto V(1,0)

223. Halla el valor del parámetro p de modo que la parábola de

ecuación y2= 2px pase por el punto P(3,-1)

224. Halla la ecuación de la parábola de eje paralelo al de abscisas

sabiendo que su vértice es el punto V(1,-2) y que pasa por el punto

P(4,1)

225. Calcula el radio vector del punto de la parábola x2 = 4y cuya

abscisa es -4.

226. Halla la intersección de la recta x-2y -7 = 0 con la parábola x = y2

+ 4y +4.

227. Halla la longitud de la cuerda común con la circunferencia

x2+y2=13 y la parábola y2 = 3x+3

228. Calcula las coordenadas de los puntos de la parábola y = x2 +x +

1 que distan 3 unidades del eje de abscisas.

229. La máxima distancia de la Tierra al Sol es 94,56 millones de millas

y su distancia mínima es de 91, 45 millones de millas ¿Cuál es la

excentricidad de su órbita y cuales sus diámetros mayor y menor?

EJERCICIOS TRIÁNGULOS

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