GEOMETRÍA

Razonamiento

1 Prof. FÉLIX QUISPE Y.

COLECCIÓN

TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN: Es la figura geométrica que se forma al

unir tres segmentos rectilíneos, de manera que cada

par de estos segmentos, tengan un extremo común.

Elementos.

TEOREMAS FUNDAMENTALES.

Suma de las medidas de los s interiores.

Se cumple:

Suma de las medidas de los s exteriores.

Se cumple:

Cálculo al ángulo exterior.

Se cumple:

Suma de las medidas de dos ángulos exteriores

distintos

Se cumple:

Propiedad de correspondencia

Relación de existencia

TEOREMAS ADICIONALES.

1.

Se cumple:

2.

Se cumple:

3.

Se cumple:

4.

Se cumple:

α β

Φ

θ

δ

γ

A

B

C

- Lados: AB , BC y AC - Vértices: A, B y C - s interiores α, β, 𝜑 - s exteriores δ, 𝜃, γ

- perímetro (2p) 2p= a+b+c

α β

θ

𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 180°

x

y

z 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 360°

xα

β

𝛼 + 𝛽 = 𝑥

α

x

y

𝑥 + 𝑦 = 180 + 𝛼

β

θα

acSi: 𝛼 > 𝛽 > 𝜃, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:

𝑎 > 𝑏 > 𝑐

b

ac

Si: 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:

b – c < a < b + c

a – c < b < a + c

a – b < c < a + b

α θ

β

x

𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 𝑥

α

β

x

y

𝛼 + 𝛽 = 𝑥 + 𝑦

α

β

x y𝛼 + 𝛽 = 𝑥 + 𝑦

β

x

𝛽 = 𝑥

GEOMETRÍA

Razonamiento

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COLECCIÓN

5.

Se cumple:

6.

Se cumple:

Clasificación

Los triángulos se clasifican teniendo en cuenta a sus lados y a sus ángulos.

I. Por la Medida de sus Lados A. Triángulo escaleno

Es aquel que tiene los lados de diferentes longitudes.

B. Triángulo isósceles Es aquel que tiene dos lados de igual longitud

C. Triángulo equilátero

Es aquel que tiene los lados de igual longitud

II. Según sus ángulos internos

A. Triángulo oblicuángulo

Es aquel triángulo que no tiene un ángulo interno que mida 90°

a.1) Triángulo acutángulo: Si sus ángulos internos son agudos.

a.2) Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso.

B. Triángulo rectángulo Cuando tiene un ángulo recto. Los lados que determinan ángulo se llaman catetos y el tercer es la hipotenusa.

01. Si ABC es un triángulo equilátero y ,

calcule el valor de “x” A) 140°

B) 160°

C) 150°

D) 120°

E) 165°

02. De la gráfica calcule el valor de “x”

A) 60°

B) 30°

C) 22.5°

D) 45°

E) 15°

03. Del gráfico mostrado, exprese “x” en términos de

a, b, y c. (CEPRE-UNSCH) A) c - a - b

B) c - 2a – b

C) c - a + 2b

D) c – (a + b)/3

E) c – (a + b)/2

α β

xy

𝛼 + 𝛽 = 𝑥 + 𝑦

α β

x𝛼 + 𝛽 = 180 + 𝑥

α β

θ 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 < 90°

AB

C

α𝛼 > 90°

AB

C

ba

cα

β𝛼 + 𝛽 = 90°

𝑎 = 𝑏 + 𝑐

EJERCICIOS

x

80°

A

B

C

L2

L1

A

x x

D C

E

B

a c

b

x

•

base

•α°α°

•

60° 60°

60°

• •

•

GEOMETRÍA

Razonamiento

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COLECCIÓN

04.De la gráfica calcule “x” si + = 98° A) 38°

B) 50°

C) 48°

D) 62°

E) 98°

05.En la siguiente figura, calcule el valor de “x”, si + = 24° y BE=BD A) 29°

B) 30°

C) 31°

D) 32°

E) 33°

06. Del gráfico mostrado, calcule el valor de “X”.

(CEPRE-UNSCH)

A) 130°

B) 90°

C) 50°

D) 150°

E) 105°

07. En el gráfico mostrado, AB=AD, calcular “x”

(CEPRE-UNSCH) A) 30°

B) 40°

C) 50°

D) 10°

E) 60°

08. En la figura mostrada. Calcular “x”.

A) 30°

B) 60°

C) 45°

D) 22.5°

E) 15°

09. Según el grafico + = 120°. Calcular “x” A) 30°

B) 20°

C) 15°

D) 22°

E) 19°

10. Los ángulos de un triángulo ABC miden: = + , = y la = 2 . ¿Cuál es el mínimo valor de y? A) 20° B) 50° C) 60° D) 40° E) 46°

11.Del gráfico mostrado AD = 2(BC) = 2(AC), Calcule “x”

A) 120°

B) 150°

C) 100°

D) 140°

E) 130°

12.En la figura, los triángulos ABD y BEC son

equiláteros, el triángulo ABC es isósceles. Calcular el valor de “x”.

A) 12°

B) 15°

C) 10°

D) 14°

E) 13°

13.Según el gráfico, AB=BQ=QC. Calcule el valor de “x” A) 20°

B) 25°

C) 30°

D) 28°

E) 24°

14.En el gráfico, calcular el valor de “x”

A) 29°

B) 30°

C) 15°

D) 20°

E) 10°

15.En el gráfico mostrado halle DB si CF=a, AD=b y

AB=BC. (CEPRE-UNSCH)

A)

B) +

C)

D)

E) + 3

16. En un triángulo ABC obtuso en B, si AB=4cm,

AC=13cm, halle BC sabiendo que es el mayor entero posible. (CEPRE-UNSCH) A) 7cm B) 9cm C) 11cm D) 12cm E) 13cm

a b

x

A DC

B

EX

βα

θ

α α

θ

x

50°

20°

A

B

C

D

50°10°

X50°

βα

x

2β 2α

x

2X

m

n

x

120°

2α α

x

α

A

B

D

C

A

B

E

C

D

X

A

B

CQ

X

75°

30°120°

45°

x

A

F

E

D

B

Cαα

GEOMETRÍA

Razonamiento

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17.En el exterior de un triángulo ABC y relativo al

laso se ubica el punto P talque AB=BC=AP. Si = 12°. Halle la . (CEPRE-UNSCH) A) 20° B) 15° C) 16° D) 14° E) 18°

18.En un triángulo ABC, halle el menor valor entero que puede asumir AB sabiendo que =3 y BC=12u. (CEPRE-UNSCH) A) 2u B) 5u C) 6u D) 4u E) 7u

19. Se tiene un triángulo donde dos de sus lados miden 6cm y 5cm. Hallar el perímetro del triángulo sabiendo que el tercer lado es el doble de uno de sus lados. (CEPRE-UNSCH) A) 23cm B) 22cm C) 25cm D) 20cm E) 21cm

20.En el interior de un triángulo isósceles ABC se toma un punto P de modo que = 70°, = , halle . (CEPRE-UNSCH) A) 120° B) 125° C) 130° D) 135° E) 140°

21.En el gráfico mostrado halle + + (CEPRE-UNSCH) A) 380°

B) 400°

C) 420°

D) 440°

E) 460°

22. En el gráfico mostrado halle “x”. si AB=BD=AE

(CEPRE-UNSCH) A) 68°

B) 72°

C) 70°

D) 74°

E) 76°

23. En la figura mostrada, halle el valor de “x” si + = 30° (CEPRE-UNSCH) A) 75°

B) 70°

C) 72°

D) 75°

E) 68°

24. Halle el máximo valor entero que puede tomar el lado BC de un triángulo ABC sabiendo que = 4 , AB=5m. (CEPRE-UNSCH) A) 10m B) 15m C) 16m D) 19m E) 20m

25. En el gráfico mostrado halle el valor de “x”, si AB=BD. (CEPRE-UNSCH) A) 53° B) 69° C) 72° D) 74° E) 68°

26. En la figura mostrada BC=CD, AD=AB+BC, halle el

valor de “x” (CEPRE-UNSCH) A) 100°

B) 120°

C) 110°

D) 130°

E) 115°

27. En el lado de un triángulo ABC se toma un punto D de modo que AD=BD+BC, halle si = 40° y = 20°. (CEPRE-UNSCH) A) 20° B) 30° C) 25° D) 35° E) 40°

28. Del gráfico mostrado, calcule “x” si PQ=QC. (CEPRE-UNSCH) A) 50°

B) 40°

C) 80°

D) 100°

E) 60°

29. Del gráfico mostrado, calcular “x”. (CEPRE-

UNSCH) A) 60°

B) 54°

C) 72°

D) 45°

E) 30°

30. En un triángulo ABC recto en B, se traza la altura

, y la bisectriz interior del que interseca

a en E y a en F de manera que BF=5u y BH=8u. calcule HE. (CEPRE-UNSCH) A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u

31. Los dos lados que forman el ángulo obtuso en un triángulo obtuso miden 6m y 7m. Calcular el menor valor entero que puede tener el semiperimetro de dicho triángulo. (CEPRE-UNSCH) A) 12m B) 9m C) 10m D) 8m E) 11m

•

˜

••

˜ ˜

α

βθ

A

B

C

60°

X

Φ

D

3Φ

A

B

C

D

E

60°

X

αβ

θ

F

A

B

CD

X

42°

θ

θ

42°

A

B

C

D80°

60°

X

A

B

CP

X

θ

θ

50°

x72° 72°

θθ

θθ

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