Trigo. Concepos Fundamentales-15

7/25/2019 Trigo. Concepos Fundamentales-15

1/17

Unidad 1. Conceptos Fundamentales Trigonometra Prof. Oscar Rodrguez Salazar

1

UNIDAD I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La palabra TRIGONOMETRA significa etimolgicamente medicin de tringulos, sus racesetimolgicas son: TRI = Tres, GONOS = Angulo y METRON = Medicin o medida. Entonces la trigonometra es la rama de las matemticas que se encarga del estudio de loselementos de los tringulos (lados y ngulos) y sus relaciones.

Historia de la Trigonometra.Tomado de Historia y didctica de la trigonometra (Luis Francisco Flores Gil, 2008).Los comienzos de la trigonometra se remontan a las matemticas de la antigedad. Vamos a irviendo su evolucin por los distintos pueblos y culturas donde se ha ido desarrollando.

Babilonia y Egipto.Hace ms de 3.000 aos los babilonios y los egipcios ya empleaban los ngulos de un tringulo ylas razones trigonomtricas para realizar medidas en agricultura los primeros, y nada ms y nadamenos que en la construccin de las pirmides por los segundos. Tambin se aplicaron en losprimeros estudios de astronoma para el clculo de la posicin de cuerpos celestes y la prediccinde sus rbitas, en los calendarios y el clculo del tiempo, y por supuesto en navegacin para mejorarla exactitud de la posicin y de las rutas. Fueron los egipcios quienes establecieron la medida de losngulos en grados, minutos y segundos, criterio que se ha mantenido hasta hoy en da.

Grecia antigua.Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a Grecia, donde destac el matemtico yastrnomo Hiparco de Nicea en el S.II A.C, siendo uno de los principales desarrolladores de latrigonometra. Hiparco construy las tablas de cuerdas para laresolucin de tringulos planos, quefueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonomtricas de la actualidad. En ellas ibarelacionando las medidas angulares con las lineales. Para confeccionar dichas tablas fue recorriendouna circunferencia de radio r desde los 0 hasta los 180 e iba apuntando en la tabla la longitud dela cuerda delimitada por los lados del ngulo central y la circunferencia a la que corta.Esa tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor que us Hiparcopara el radio r de esa circunferencia, pero s se conoce que 300 aos ms tarde el astrnomo

Alejandrino Tolomeo utiliz r = 60, ya que los griegos adoptaron el sistema numrico sexagesimal(base 60) de los babilonios. Tolomeo incorpor tambin en su gran libro de astronoma El

Almagesto unatabla de cuerdas con un error menor que 1/3.600 de unidad. Junto a ella explicabasu mtodo para compilarla, y a lo largo del libro daba bastantes ejemplos de cmo utilizar la tabla

para calcular los elementos desconocidos de un tringulo a partir de los conocidos.Adems de eso Tolomeo enunci el llamado teoremade Menelao, utilizado para resolver tringulosesfricos, y aplic sus teoras trigonomtricas en la construccin de astrolabios y relojes de sol. Latrigonometra de Tolomeo se emple durante muchos siglos como introduccin bsica para losastrnomos.

India.Al mismo tiempo que los griegos, los astrnomos de la India desarrollaron tambin un sistematrigonomtrico, pero basado en la funcin seno en vez de en cuerdas. Aunque, al contrario que elseno utilizado en la actualidad, esta funcin no era una proporcin, sino la longitud del lado opuestoa un ngulo en un triangulo rectngulo de hipotenusa dada. Los matemticos indios utilizarondiversos valores para esa funcin seno en sus tablas.

Arabia.A finales del siglo VIII los astrnomos rabes continuaron con los estudios de trigonometra

heredados de los pueblos de Grecia y de la India, pero prefirieron trabajar con la funcin seno.De esta forma, a finales del siglo X ya haban completado tanto la funcin seno como las otras cincofunciones trigonomtricas: coseno tangente, cotangente, secante y cosecante. Tambindescubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometra, tanto para tringulosplanos como esfricos, donde incorporaron el tringulo polar.Estos matemticos rabes fueron quienes sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r= 60, lo quedio lugar a los valores modernos de las funciones trigonomtricas.Todos estos descubrimientos los fueron aplicando a la astronoma, logrando medir el tiempoastronmico, e incluso los utilizaron para encontrar la direccin de la Meca, tan fundamental a la horade realizar las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islmica orientados en esa direccin. Los


2/17


2

cientficos rabes tambin compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y dela tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenan un error menor que 1dividido por 700 millones.

Adems, el primer estudio de las trigonometra plana y esfrica como ciencias matemticasindependientes lo realiz el gran astrnomo Nasir al-Din al-Tusi en su obra Libro de la figuratransversal.

Occidente.La trigonometra se introdujo en occidente sobre el siglo XII a travs de traducciones de libros deastronoma arbigos. En Europa fue el matemtico y astrnomo alemn Johann Mller, msconocido como Regiomontano, quien realiz el primer trabajo importante en esta materia, llamadoDe Triangulus.Durante el siguiente siglo otro astrnomo alemn, Georges Joachim, conocido como Retico, introdujoel concepto moderno de funciones trigonomtricas como proporciones en vez de como longitudesde ciertas lneas. Ya en el S.XVI el matemtico francs Franois Viete incorpor en su libro Canonmatemticasel triangulo polar en la trigonometra esfrica, y encontr formulas para expresar lasfunciones de ngulos mltiples en funcin de potencias de las funciones de los ngulos simples.Desde entonces, la trigonometra como estudio de las lneas circulares, y el lgebra de lospolinomios, se prestan mucho apoyo.Trigonometra en tiempos modernos.

A principios del S.XVII se produjo un gran avance en los clculos trigonomtricos gracias almatemtico escocs John Napier, que fue el inventor de los logaritmos. Tambin encontr reglasmnemotcnicas para resolver tringulos esfricos, y algunas proporciones para resolver tringulosesfricos oblicuos, llamadas analogas de Napier.Medio siglo despus, el genial Isaac Newton invent el clculo diferencial e integral, logrando asrepresentar muchas funciones matemticas mediante el uso de series infinitas de potencias de lavariable x. En la rama de trigonometra, Newton encontr la serie para el sen x, y series similarespara el cos x y la tg x. Con la invencin del Clculo, las funciones trigonomtricas fueron incorporadasal Anlisis, donde todava hoy desempean un importante papel tanto en las matemticas purascomo en las aplicadas.Por ltimo, en el siglo XVIII, el matemtico suizo Leonhard Euler fue quien verdaderamente fund latrigonometra moderna, definiendo las funciones trigonomtricas mediante expresiones conexponenciales de nmeros complejos. Esto convirti a la trigonometra en slo una de las muchasaplicaciones de los nmeros complejos. De hecho, Euler demostr que las propiedades bsicas de

la trigonometra eran simplemente producto de la aritmtica de los nmeros complejos.

Breve historia de la Trigonometra. Es una de las ramas ms antiguas de las matemticas. Haca 1550 A.C. un pergamino llamado Ahmes contiene problemas resueltos con tringulos

semejantes. Haca 1100 A.C. los chinos hacan mediciones de distancia y alturas. El astrnomo griego Hiparco (180-125 A.C.) realiz las primeras tablas trigonomtricas. Se

le llama padre de la Trigonometra. En el siglo XV la trigonometra se desarroll en Europa por Johan Muller (1436 - 1476). En el siglo XVIII Leonard Euler (17071783) mencion que la trigonometra no es solamente

en tringulos rectngulos, surgiendo nuevas aplicaciones. Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en la agrimensura, la astronoma,

la navegacin y la ingeniera.Adems, la trigonometra se usa como herramienta para estudiar fenmenos vibratorios operidicos como: el sonido, la luz, la electricidad, etc.


3/17


3

NGULOS

ngulo:Es la abertura que forman dossemirrectas unidas por un vrtice (O).

La figura muestra al

AOB o bien

Cuando dos o ms ngulos tienen el mismo vrtice se usa.

TIPOS DE NGULOS

ngulo Positivo: Se mide ensentido contrario a lasmanecillas del reloj.

ngulo negativo: Se mide enel mismo sentido de lasmanecillas del reloj.

ngulo de Elevacin: Seforma cuando una personaobserva objetos que estn porarriba de su campo visual.Ejemplo: observar unhelicptero, etc.

ngulo de Depresin: Seforma cuando una personaobserva objetos que estn porabajo de su campo visual. Porejemplo: observar unamoneda tirada en el piso.


4/17


4

CLASIFICACION DE NGULOS

a) Por su MAGNITUD

ngulo agudo.Mide menos de 90

ngulo Recto.Mide 90

ngulo obtuso.Mide ms de 90 ymenos de 180.

ngulo colineal ollano.Mide 180

ngulo entrante.Mide ms de 180 ymenos de 360.

ngulo perigonal.Mide 360.Una revolucin es ungiro de 360.


5/17


5

b) Pareja de ngulos por su POSICION

ngulosComplementarios.Son dos ngulos quesumados dan 90.

ngulosSuplementarios.Son dos ngulos quesumados dan 180.

ngulosConjugados.Son dos ngulos quesumados dan 360.

ngulosconsecutivos.Son ngulos quetienen un lado comn.

c) ngulos adyacentes y opuestos por el vrtice:

Si dos rectas se cruzan en un punto, forman cuatro ngulos, los pares de ngulos consecutivos sonngulos adyacentes y suman 180, los ngulos ubicados frente a frente se llaman ngulosopuestos por el vrticey tienen la misma medida.


6/17


6

SUMA DE NGULOS.

El grado es unidad bsica de medicin angular del sistema sexagesimal y la base de este sistemaes el nmero 60.

Una circunferencia tiene 360, por lo tanto: 360

11

de una revolucin.Para ngulos menores que 1 se utilizan subunidades.Un grado est formado por 60 minutos, cada minuto tiene 60 segundos y un grado tiene 3600segundos.

"360036001

"6060'1

'60min601

segundos

segundos

utos

Suma los siguientes ngulos: "53'47115"39'46203"48'54123

"53'47115

"39'46203

"48'54123

"140'147441

Se suman en forma separada los segundos, los minutos ylos grados.

Los segundos y los minutos deben ser cantidadesmenores de 60.

1202

"20'149441

Con 140 segundos se forman 2 minutos (120 segundos) ysobran 20 segundos, se suman los 2 minutos para

obtener 149.

1202"20'29443

Con 149 minutos se forman 2 grados (120 minutos) ysobran 29. Se agregan los 2 grados para obtener 443.

"20'29443 El resultado de la suma es: "20'29443

1. Realiza las siguientes sumas de ngulos.

a) 43 1439125 3208238 3553

b) 2303225784031

821633

c) 81 2214201 5217401 3917

d) 4191737530821922845


7/17


7

RESTA DE NGULOS.

Efecta la siguiente operacin con ngulos: "53'48116"36'25249

_"53'48116

"36'25249

Observe que los minutos y los segundos en el minuendoson menores a los del sustraendo.

_"53'48116

"96'24249

"43

Tomamos un minuto de los 25 quedando 24. Los 60segundos del minuto se suman a los 36 segundos paraobtener 96 y se le restan 53 obtenindose 43 segundos.

_"53'48116

"96'84248

"43'36132

Tomamos un grado de los 249 quedando 248. Los 60minutos del grado se suman a los 24 minutos para obtener84 y se le restan 48 obtenindose 36 minutos.Los grados se restan directamente.

"43'36132 El resultado de la resta es: "43'36132

2. Resuelve las siguientes restas de ngulos.

a) 1452527324952

b) 1002536193628

c) 20133081451016

d) 3140822821431

NGULOS EN POSICIN NORMAL

En un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, se dice que un ngulo est en posicinnormal si su vrtice se encuentra en el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje

""x .


8/17


8

NGULOS FORMADOS POR RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

ngulos correspondientes: Son dos ngulos, uno interno y otro externo, situados en el mismo ladode la transversal y en distinta paralela.

ngulos Alternos Internos: Son dos ngulos situados entre las paralelas y en distinto lado de la

transversal.


9/17


9

ngulos Alternos Externos: Son dos ngulos situados fuera de las paralelas y en distinto lado dela transversal.

ngulos Colaterales: Son dos ngulos internos o externos ubicados en el mismo lado de latransversal y en distinta paralela.


10/17


10

SISTEMAS DE MEDICIN ANGULAR

SISTEMA UNIDAD BSICA EQUIVALENCIAS

SEXAGESIMAL

Grado sexagesimal

360

11

utosmin'601

segundos"60'1

segundos"36001

CICLICORadin

Es un ngulo central decualquier circunferencia,formado por dos radios y unarco de longitud igual alradio.

1801 Radin

"81.44'17571

2957.571

rad

rad

.0175.01

1801

rad

rad

RELACIN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

En la tabla anterior se observa que un ngulo de un radin se obtiene al dividir 180 entre ,

matemticamente se expresa

180

1 rad . De tal forma que rad180

Las equivalencias se pueden apreciar en la siguiente figura.

Con el uso de las equivalencias mostradas en la figura anterior podemos convertir un ngulo a losdiferentes sistemas de medicin angular, como se muestra a continuacin:


11/17


11

Conversin de un ngulo sexagesimal a decimales.

Ejemplo: Convertir 2494541.4 a grados decimales.

Dividimos los segundos entre 3600:

0115.0

3600

4.41

0.0115

Dividimos los minutos entre 60:

75.060

45

0.7500

Sumamos la cantidad de grados a los resultados

anteriores: 249 249.0000

El resultado obtenido es: 249.7615

Conversin de un ngulo decimal al sistema sexagesimal.

Ejemplo: Convertir 7615.249 a grados sexagesimales.

El nmero entero es la cantidad de grados 249Los minutos se obtienen multiplicando la parte

decimal por 60:0.7615*60 = 45.69

45

Los segundos se obtienen multiplicando la partedecimal obtenida por 60:

0.69*60 = 41.4Slo los segundos se redondean

41.4

El resultado obtenido es: 2494541.4

CONVERSION DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA

De Grados a Radianes: De Radianes a Grados:

180

gradosradianes

180radianesgrados

Ejemplos: Convierte a radianes.

ngulo Proceso y resultado Observaciones

90 .2180

90 rad

Simplificando la

fraccin

123 .1467.2180

123 rad

Se realizaron las

operaciones

"52'48236

8144.236 .1331.4

1808144.236 rad

Se usa el ngulo

decimal


12/17


12

Ejemplos: Convierte los ngulos de radianes a grados, minutos y segundos.ngulo Proceso y resultado

rad3

5

300

3

900180

3

5

rad5

9

"57''071031324.103

5

1620180

5

9

rad43.12 "12''117121865.712180

43.12

TRINGULOS

Polgono: Es un espacio delimitado por lneas o lados, son ejemplos de polgonos el tringulo,cuadriltero, pentgono, hexgono, etc.

Un polgono est formado por vrtices, lados y ngulos.

Vrtice: Es el punto donde se unen dos lados.Lado: Segmento de recta que une a dos vrtices.ngulo:Abertura que existe entre dos lados unidos por un vrtice.

TRINGULO: Es un polgono limitado por tres lados que forman entre s tres ngulos.

En un tringulo los vrtices se denotan con tres letras maysculas consecutivas y en los ladosopuestos se colocan las letras minsculas correspondientes, como se observa en las siguientesfiguras.


13/17


13

ngulos interiores y exteriores.

Propiedades generales de los tringulos

Los ngulos interiores de cualquier tringulo suman 180

180CBA Los ngulos exteriores de cualquier tringulo suman 360

360FED Dos ngulos consecutivos (uno interior y otro exterior) suman 180.

Ejemplo: 180EA Un ngulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a l.

Ejemplo: CAF Un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

}

Clasificacin de tringulos.

a) Por la medida de sus lados los tringulos se clasifican en:

Equiltero.- Es aquel tringulo que tiene sus tres lados iguales.

Issceles.- Es aquel tringulo que tiene dos lados iguales y uno desigual.


14/17


14

Escaleno.- Es aquel tringulo que tiene sus tres lados desiguales.

b) Por la medida de sus ngulos los tringulos se clasifican en:

Acutngulo.- Es aquel tringulo que tiene sus tres ngulos agudos.

Rectngulo.- Es aquel tringulo que tiene un ngulo recto.

Los lados del ngulo recto se llaman catetos (a y b), enfrente se encuentra la hipotenusa (c),que es el lado ms grande del tringulo rectngulo.

Obtusngulo.- Es aquel tringulo que tiene un ngulo obtuso.


15/17


15

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO

Altura: Perpendicular trazada desde un vrticeal lado opuesto o a su prolongacin.

Ortocentro: Punto de interseccin de las

alturas.

Mediana: Segmento de recta trazado desde unvrtice al punto medio del lado opuesto.Baricentro: Punto de interseccin de lasmedianas.

Mediatriz: Recta perpendicular a cada lado deltringulo que pasa por el punto medio.Circuncentro: Punto de interseccin de lasmediatrices y centro de la circunferenciacircunscrita.

Bisectriz: Recta que divide un ngulo en dos

partes iguales.Incentro: Punto de interseccin de lasbisectrices y centro de la circunferencia inscrita.

3. Escribe en el parntesis la letra de la figura que corresponda.

A. B. C. D.

( )

MEDIATRICES YCIRCUNCENTRO

( )

MEDIANAS YBARICENTRO

( )

ALTURAS YORTOCENTRO

( )

BISECTRICES EINCENTRO


16/17


16

TRINGULOS CONGRUENTES O IGUALES

Dos tringulos son congruentes o iguales si tienen la misma forma y tamao, es decir; sus ngulosy lados correspondientes son iguales.

Criterios de congruencia.

L.A.L. (lado-ngulo-lado).- Se refiere a dos lados y al ngulo que forman en dos tringulos, si soniguales, entonces los tringulos son congruentes.

A.L.A. (ngulo-lado-lado).- Se refiere a dos ngulos ubicados en los extremos de un lado en dostringulos, si son iguales, entonces los tringulos son congruentes.

L.L.L. (lado-lado-lado).- Se refiere a los lados en dos tringulos, si los correspondientes son iguales,entonces son congruentes.


17/17


17

TRINGULOS SEMEJANTES

Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son iguales y sus lados sonproporcionales, es decir tienen la misma forma pero diferente tamao.

Los ngulos correspondientes son iguales DA ; FB y EC ; y los lados son

proporcionales (los cocientes dan el mismo resultado).

66.18.1

0.3;66.10.3

0.5;66.15.3

83.5

fb

DEAC

da

EFBC

ec

DFAB

Criterios de semejanza.

a) Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente iguales.

b) Dos tringulos son semejantes si tienen un ngulo igual y proporcionales los dos lados quelo forman.

c) Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.

Trigo. Concepos Fundamentales-15

Documents

Transcript of Trigo. Concepos Fundamentales-15