Trigonometría 3 APA

REVISIN DE CONCEPTOS BSICOS

12ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA______ ______ PERUANO ALEMN8ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA______ ______ PERUANO ALEMN

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

3.1 Sistema de coordenadas rectangulares.Es el sistema que consta de dos rectas dirigidas (rectas numricas) las cuales se cortan perpendicularmente en el nmero cero. Estas dos rectas numricas se denominan ejes coordenados.

O

:Origen de coordenadas

X'X:Eje de abscisas

Y'Y:Eje de ordenadas

OX:Semieje positivo de las abscisas

OX:Semieje negativo de las abscisas

OY:Semieje positivo de las ordenadas

OY: Semieje negativo de las ordenadas

Al plano que contiene ests rectas numricas se el denomina plano cartesiano y, como se puede observar, est dividido en cuatro regiones, denominados cuadrantes (I, II, III, IV).Se denomina coordenadas de un punto "P" al par ordenado en donde "x" es la abscisa e "y" la ordenada dependiendo de estos valores se sabr a que cuadrante pertenece.

Observaciones:A. Ubicacin de un puntoDado P(x;y)

Si:

Si:

Si:

Si:

Casos particulares:

Si:

Si:

Si:

B. Punto medio de un segmentoEl punto medio de un segmento del cual se conocen las coordenadas de sus extremos se calcula de la siguiente manera:

C. Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos A y B se calcula se la siguiente manera:

D. Clculo del radio vector (R)La distancia de un punto al origen de coordenadas se denomina radio vector el cual siempre ser positivo y se calcula de la siguiente manera:

3.2 ngulos en Posicin NormalSe denominan ngulos en posicin normal, a alguien cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, su vrtice con el origen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano (cuadrantes o sobre los ejes coordenados).

A estos ngulos tambin se les denomina ngulos en posicin estndar.

A continuacin se muestra algunos ejemplos de ngulos en posicin normal.

3.3 ngulos Cuadrantales

Se denominan ngulos cuadrantales, a aquellos ngulos en posicin normal cuyo lado final coincide con algn semieje del sistema de coordenadas rectangulares.

A continuacin se muestra algunos ejemplos de ngulos cuadrantales.

Como se puede observar, todos los ngulos cuadrantales son de la forma , donde k pertenece a los nmeros enteros.

Los principales ngulos cuadrantales son:

;

;

;

;

Para determinar si un ngulo es cuadrantal se hace lo siguiente:

El ngulo dado "x" se divide entre 90 dependiendo si "x" est en grados sexagesimales o en radianes. Si el resultado es un nmero entero, entonces, dicho ngulo "x" es cuadrantal.

Observacin:Ubicacin de un ngulo en el plano cartesianoPara poder ubicar el cuadrante al que pertenece un ngulo tomaremos como referencia un punto del lado final del ngulo.

Conociendo un punto del lado final del ngulo se puede determinar el cuadrante al cual pertenece dicho ngulo. Para ello debemos tener en cuenta la observacin 1 dado anteriormente (ubicacin de un punto).

3.4 Razones Trigonomtricas de los ngulos en posicin normalSea un punto que pertenece al lado final del ngulo "(" (ngulo en posicin normal) y tal como muestra la figura.

Se definen las razones trigonomtricas de "(" de la siguiente manera:

IMPORTANTE:Los signos de las razones trigonomtricas dependen de los signos de la abscisa y ordenada del punto P. Adems el radio vector "R" siempre es positivo.

3.5 Signos de las razones trigonomtricas.

Cuadrantes

RazonesI CII CIII CIV C

SENO++--

COSENO+--+

TANGENTE+-+-

COTANGENTE+-+-

SECANTE+--+

COSECANTE++--

3.6 Razones trigonomtricas de los ngulos coterminalesSi "(" y "(" son dos ngulos coterminales, cumplen con las siguientes propiedades:

Poseen los mismos elementos (vrtice, lado inicial y lado final)

Se diferencian en un nmero entero de vueltas

Las razones trigonomtricas de "(" son iguales a las razones trigonomtricas de "(" es decir:

3.7 Razones trigonomtricas de los ngulos cuadrantalesA continuacin se mostrar las razones trigonomtricas de los ngulos cuadrantales ms importantes:

ngulos

Razones090180270360

0rad

SENO010-10

COSENO10-101

TANGENTE0

0

0

COTANGENTE

0

0

SECANTE1

-1

1

COSECANTE

1

-1

AHORA VAMOS A PRACTICAR1.- Dado: ; .

Hallar:

a)

b)

c) d)

e)

2.- Dado: ; . Calcular:

a)

b) -3

c) 3

d)

e)

3.- Si: III Q;

. Hallar:

a) 0,3

b) 0,666(

c) 0,333( d) 1

e) 0,6

4.- Si: ; II Q.

Hallar:

a) 3

b) 10

c) 7

d) 4

e) 9

5.- De la figura, hallar:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

6.- De la figura, calcular:

a) -1

b) 1

c) 2

d)

e) 0

7.- Si el punto A(-3 ; 2) pertenece al lado final del ngulo "(" en posicin normal. Calcular:

a)

b)

c) d)

e)

8.- De la figura, hallar:

a) 2

b) 4

c)

d)

e) 1

9.- Hallar el valor de:

a) 0

b) 2

c) 1

d) 3

e) 1,5

10.- Simplificar:

a)

b) 0

c) 1 d)

e) -1

11.- Determinar el signo de:

a) ()

b) ()

c) ()

d) Absurdo

e) () ()

12.- Si: , indicar el signo de:

a) ()

b) ()

c) ()

d) Absurdo

e) () ()

13.- Determinar el signo de la expresin de la expresin, y .

a) ()

b) ()

c) ()

d) Absurdo

e) () ()

14.- Si: ( y ( ngulos coterminales del IIIQ, adems: . Calcular:

a)

b)

c) d) 1

e)

15.- En la figura mostrada. Hallar:

a) 0

b) 0,5

c) 1

d) 1,5

e) 2

16.- Si: . Hallar:

a) 0

b) 2

c) 1

d) -2

e) -1

17.- Si: ; . Hallar el valor de:

a) 1

b) 7

c) 3

d) 9

e) 5

18.- Si:

. Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

19.- Sabiendo que:

EMBED Equation.DSMT4 . Calcular:

a) 3

b) 9

c) 5

d) 11

e) 7

20.- Si:

;

y . Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

SIGAMOS PRACTICANDO!!!!!1.- De la figura, calcule ""

a)

b)

c)

d)

e)

2.- En la figura mostrada calcule:

a) 6

b) 8

c) -6

d) -8

e) -10

3.- De la figura adjunta, calcule: ""

a)

b)

c)

d)

e)

4.- De la figura, calcule:

a)

b)

c)

d) 2

e) 1

5.- De la figura mostrada, calcule:

a) 1

b)

c) -1

d)

e) 3

6.- Dada la siguiente figura, halle: "".

a)

b)

c)

d)

e)

7.- Si "(" es un ngulo en posicin normal del segundo cuadrante, donde: .

Calcule:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8.- Si se sabe que: y . Calcule:

a) 24

b) 10

c) 15

d) 12

e) 20

9.- Dado: y . Calcule el valor de:

a) 18

b) 17

c) 16

d) 19

e) 20

10.- Si: y . Calcule:

a) 0

b) -1

c) 2

d) 4

e) 3

11.- Si: Si: ; y . Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

12.- Si: . Calcule:

a) 3,5

b) 3,75

c) -3,5

d) -3,75

e) -3,25

13.- Dado: y .

Calcule:

a) -1

b) 5

c) 1

d) 2

e) 3

14.- Si "(" es un ngulo del segundo cuadrante y . Luego el valor de "m" en la expresin:

es:

a) 1

b) -1

c) -2

d) 2

e) -3

15.- Siendo: . Calcule:

a) 0

b) 0,5

c) 1

d) 1,5

e) 2

16.- Del grfico, calcule "".

a)

b)

c)

d)

e)

17.- Dada la relacin: . Hallar el signo de la expresin:

a) ()

b) ()

c) ()

d) () ()

e) Depende de "("

18.- Indicar el signo de:

a) ()

b) ()

c) ()

d) () ()

e) Depende de "("

19.- Indique la proposicin verdadera (V) o falsa (F).

I.

II.

III.

a) VVV

b) VFF

c) VFV

d) FVV

e) FFV

20.- Dado:

Calcule el valor de:

a) 0,5

b) 2

c) 0,25

d) 4

e) -0,25

21.- Reducir:

a) 1

b) 0

c) -1

d) 2

e) -2

22.- El lado final de un ngulo en posicin normal "(" pasa por el punto (-2 ; 3).

Calcular:

a)

b) 0

c)

d)

e) 1

23.- Siendo un punto del lado final del ngulo "(" en posicin estndar. Hallar el valor de:

a)

b)

c)

d)

e)

24.- Si:

y

( ( II Q; hallar:

a)

b)

c)

d)

e)

25.- Si:; ( ( III Q, calcular:

a) 2

b) 2

c) 1

d) 1

e) 0

26.- Si: y ; calcular:

a) 2

b) 2

c) 0

d) 6

e) 6

27.- Si: y

Se pide calcular:

a) 0

b) 3

c) 8

d) 11

e)

28.- Siendo "(" un ngulo en posicin normal: ( ( IV Q que cumple:

Calcular:

a) 6

b) 7

c) 5

d) 4

e) 3

29.- Si:

Hallar: ; ( ( IVQ.

a)

b) 5

c)

d) 5

e) 1

30.- Si: ( ( III Q tal que:

Calcular: .

a)

b)

c)

d)

e)

31.- Siendo:

;

Calcular el valor de:

a)

b)

c)

d)

e)

32.- Si:

; x ( IIIQ.

Calcular:

a)

b)

c)

d) 1

e) 0

33.- Si:

y adems: ( ( II Q; Hallar "".

a) 1

b) 1

c) 2

d) (1

e)

34.- Si:

siendo: . Luego el valor de:

"" es:

a)

b)

c)

d)

e)

35.- Si: ( ( II Q y se cumple que:

Calcular:

a) 5

b) 5

c) 3

d) 3

e) 25

36.- Sabiendo que:

Indicar un valor de: ""; si:

a)

b) 1

c)

d)

e)

37.- Calcular:

a) 1

b) 1

c) 2

d) 2

e) 0

38.- Evaluar:

a) 5

b) 1

c) 3

d) 3

e) 2

39.- Hallar:

a)

b)

c)

d) 3

e) 1

y

Y

x

x'

O

I C

II C

III C

IV C

EMBED Equation.DSMT4





d

y

x

(

( ( pertenece al II C

y

x

(

R

(

O


y

x

R:radio vector de "P"

x:abscisa de "P"

y:ordenada de "P"

90

0

180

270

I cuadrante

II cuadrante

III cuadrante

IV cuadrante

todas

son

ositivas

(+)

S

eno

Cosecante

(+)

P

T

angente

Cotangente

(+)

C

oseno

Secante

(+)



y

x

(

(



y

x

(

(


y

x

(

y

x

(


y

x

(


y

x

(


(


y

x

(


y

x

(



y

x

(


y

x

(


y

x

(

(

y

x

(

37


TRIGONOMETRATRIGONOMETRA

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Trigonometría 3 APA

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