Trigonometría 4.1º (reparado)

Trigonometría I.E.P. Corpus Christi

2 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

Síntesis histórica de la trigonometría

A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo

desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.

La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable,

pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.

LA TRIGONOMETRÍA

La palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos, Actualmente la trigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para

determinar distancias inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de esta

disciplina se ha ido enriqueciendo progresivamente. Así, abarca también el estudio de las funciones circulares y su aplicación en la vida cotidiana, en las telecomunicaciones, la mecánica, la astronomía,

etc. Como del modelamiento matemático, de gran utilidad en la explicación de fenómenos naturales como las ondas o vibraciones.

ORIGEN En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir

del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.

Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo

llegar tan lejos.

UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGEN

La época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la aceptación

que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.

Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en las

lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.

Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones del

ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año 140 a.C.

Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara

admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.

Históricamente fueron los geometrías y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C.

encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron a los problemas astronómicos.

Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien

se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de

valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.

Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el

Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).

Nociones Preliminares Cuarto Año

Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 3

Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica,

que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.

Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de

la trigonometría esférica.

Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor

parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus

contrarios científicos.

Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funciones

trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricos

aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.

Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculos

trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta

aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos. Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 –

1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto

analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.



Lado Inicial

Lado Terminal

0

A

B

A

B

0

Tema nº 01 : ángulo trigonométrico

Capacidades:

Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y

antihorario.

Graficar el ángulo trigonométrico en cualquiera de los sentidos conocidos.

Operar correctamente los ángulos trigonométricos.

Diferencia el ángulo como figura geométrica generada por la rotación de un rayo alrededor de un

punto fijo (vértice) en un mismo plano.

Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de

ángulo geométrico y observar las características de ambos.

Ángulo

Geometría Plana Trigonometría Plana

Definición

Abertura determinada por dos rayos a partir de un mismo punto.

Abertura que se genera por el movimiento de rotación de un rayo

alrededor de su origen, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una

posición final (lado final)

Características

Son estáticos

No tienen sentido de giro, por lo

tanto no hay ángulos negativos.

Están limitados (

º360 ricoTrigonomét º0 águlo )

Son móviles

Su sentido de giro está

definido:

Los ángulos positivos tienen sentido antihorario ().

Los ángulos negativos tienen sentido horario ().

Su magnitud no tiene límites.

Ángulo Coterminales: Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si

tienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).

Ángulo Trigonométrico Cuarto Año


Ejemplos:

410º y 50º son coterminales

–240º 30º no son coterminales

Propiedad: La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un

número positivo entero de vueltas.

Si son coterminales tal que > entonces se cumple:

– = k (360º) ; K Z+

Ejemplos:

1) 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas)

2) 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)

3) 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)

4) 450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas

Ejercicios Para La Clase

1. Del gráfico

Se cumple:

A) – = 180º B) = C) + = 90º D) – = 180º E) – = 90º

2. Si: “” es la octava parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

son coterminales

no son coterminales



3. Del gráfico:

Que relación se cumple:

A) – = 180º B) = C) + = 180º D) – = 180º E) – = 90º

4. Si: “” es la sexta parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/5 E) N.A.

5. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales: º3106 ; º854 y

º5186

6. Con respecto a los ángulos: º1370 ; º2450 y º3310 , indicar cuales son

coterminales

7. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales: º3106 ; y

º5186 , indicar

8. Sean º17 2 x y º31 2x ángulos coterminales, tal que Rx . Calcular el mínimo

valor que puede tomar ""

9. La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el

mayor esta comprendido entre 500° y 800°.

A) -90° B) 270° C) 720 D) -100° E) -80°

10. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales: º3106 ; º854 y

º5186

11. Con respecto a los ángulos: º1370 ; º2450 y º3310 , indicar cuales son

coterminales

12. A partir del grafico, calcular el suplemento de “x”

º854



13. De la figura, calcular x


15. De la figura indicar que relación existe entre y,

16. De la figura, calcular x , de acuerdo al gráfico

17. Dos ángulos coterminales son entre si como 1 es a 10. Calcular el mayor de dichos ángulos, si el

menor se encuentra comprendido entre 190° y 230°.

A) 1800° B) 1500° C) 2000° D) 1000° E) 800°


19. A partir del grafico, calcularp

c

n

b

m

a

20. En la figura se cumple que: 1823 x , calcular xE



Tarea domiciliaria Bloque I

1. En cada caso, tomando como inicio de giro

el rayo , dibuje un ángulo en sentido:

a. Horario:

b. Antihorario


el rayo , dibuje un ángulo en sentido:

a. Horario:

b. Antihorario:


al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use transportador).

a. 140º

b. -70º

c. -120º


al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use transportador).

a. 100º

b. -50º

c. -160º

5. Del gráfico, señalar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

a) + b) - c) -

d) - - e)F. D.

6. Del gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos.

a) + + b) - - c) - -

d) - + e) - -

7. Del gráfico, hallar "x" en función de los

otros ángulos trigonométricos mostrados.

a) 90º - b) - 90º c) 180º +

d) 90º + e) -90º -

O

P

O

P

P O

P O

O

P

O P

O

P

O

P

P O

O P

x B

C

AO

x

B

C

A

O

D

A

B

C

x

O



8. En el gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

a) - 90º b) 90º - c) 90º +

d) -90º - e) -180° +

9. Del gráfico, calcular "x".

a) 2 b) 4 c) 8

d) 12 e) 10

10. Del gráfico, calcular "x".

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

11. Indicar si los ángulos dados son o no coterminales

50º y 410º

160º y 880º 400º y 1480º

700º y 2880º

1950º y 3850º -150º y -510º

-80º y 640º

-340º y -1420º 40º, 400º y 760º

2580º, 1140º y 420º

-359º, 721º y 2521º

Bloque II

1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:

a) + = 180º b) - = 180º

c) = 180º d) + = -180º

e) + = 90º


a) + = 240º b) + = 120º

c) - = 240º d) - = 120º

e) - = 240º


a) + = 90º b) + = -90º

c) - = 90º d) - = 270º

e) + = 180º

4. Del gráfico, señale lo correcto:

a) x + y = 300º b) x - y = 300º c)x + y = 270º d)x - y = 270º

O DA

x

C

B

O BA

5xº

C

(12 - 11x)º

A

B

(9 - 9x)º

O

(5x + 1)º

-120º

y

x



e) x - y = 180º


a) x + y = 180º b) x + y = 360º

c) x - y = 360º d) x - y = 180º e) x - y = 270º

6. Del gráfico, señale lo correcto:

a) x - y = 180º b) x + y = 180º c)x - y = 300º d) x + y = 300º

e) x - y = 450º

7. Si en el gráfico es bisectriz del ;

calcular:

a) 4 b) - 4 c)

d) - e) -

8. Si en el gráfico, es bisectriz de ,

calcular "x/y".

a) 1 b) - 1 c)

d) - e) - 2

9. Del gráfico señale lo correcto, si: es

bisectriz del .

a) 2 - = 90º b) 2 - = 180º

c) 2 + = 90º d) 2 + = -90º

e) 2 + = 45º

10. Del gráfico señale lo correcto, si: es

bisectriz del .

a) 2 - = 360º b) 2 - = 360º

c) 2 + = 180º d) 2 + = 360º

e) 2 + = 360º

x

y

x

y

OP AOB

y

x

A

P

BO

x - y

3x + 2y

4

1

4

1

4

1

OP AOB

A

P

BO

2x - 3y

3x - 2y

2

1

2

1

OQ

AOB

A

B

C

Q

O

OP

AOB

C AO

P

B

Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año


Tema nº 02: Sistemas De Medidas Angulares

Capacidades:

Conoce y diferencia entre las principales unidades de medición angular.

Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.

Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:

Sistema Sexagesimal(S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado

sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.

Equivalencias:

)``(3600º1

)``(601̀

)`(60º1

)(360

1º1

gesimalSegunoSexa

agesimalSegundoSex

gesimalMinutoSexa

esimalGradoSexagv

Sistema centesimal (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado

centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.

Equivalencias:

)(100001

)(1001

)(min1001

)(400

11

tesimalsegundoCen

tesimalSegundoCen

malutoCentesi

simalGradoCentev

sg

sm

mg

g

Sistema radial (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian.

Equivalencias:

2 cuadrante IV

2

3cuadrante III

cuadrante II

2 cuadrante I



RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la

siguiente conclusión:

arad

RradCSg

g

2400º360

º

crad

RradCSg

g

200º180

º

krad

RradCSg

g

20

10º9

º

También una equivalencia de esta última relación es:

20

10

9

kR

kC

kS

OBSERVACIÓN

RELACIÓN DE MINUTOS:

. 5027

mM . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES

m: # MINUTOS CENTESIMALES RELACIÓN DE SEGUNDOS:

. 25081

ba . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES

b: # SEGUNDOS CENTESIMALES

También:

10

C

9

S ;

RS 180

;

R200C

Ejemplos: 1. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: = 12º

Resolución

Magnitud Equivalente Factor de Conversión

rad = 180º º180

rad

radrad

15º180º12

2. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: = 15g

Resolución

Magnitud Equivalente Factor de Conversión

rad = 200g g

rad200

radrad

gg

40

3

20015



3. Hallar: gm

g

E5

º9

1

1

'1

º1

Resolución

Recordando: 1º = 60’

1g = 100m 9º = 10g

Reemplazando en:

g

g

m

m

E5

10

1

100

'1

'60

.E. = 60 + 100 + 2 = .162.

4. Hallar: a + b, sabiendo que: 'º8

barad

Resolución

Equivalencia: rad = 180º

'º'ºº

ººººº

πradº

.radπ

conversiondeFactor

302230222

122

2

144

2

45

8

180180

8

Luego:

'30º228

rad

Comparando: a = 22

b = 30 .a + b = 52.

5. Convertir 5

rad a grados sexagesimales

Resolución

RS

180

5/

180

S S = 36

. º365

rad

.

6. Convertir 60g a radianes

Resolución

RC

200

R

200

60

10

3R . radg

10

360

.

7. Convertir 27º a grados sexagesimales

Resolución

109

CS

109

27 C C = 30

.27º = 30g.

8. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus

grados centesimales es 222 ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?

Resolución

Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en

grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos.

6S + 2C = 222.......... (1)

Sabemos:

?

200

180

200180KR

KC

KS

KRCS

Reemplazando en (1) 6(180K) + 2(200K) = 222



1480K = 222

20

3K

.20

3 KR .

9. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el valor simplificado de:

4 3 8

SCSC

SCSC

P

Resolución

KCS

109

KC

KS

10

9

Calculamos en forma particular

1919

910

910

KK

KKKK

SCSC

Reemplazando en “P”

4 3

27

81919 P

4 319P

4 16P

.P =2.


1. Convertir: 108º a centesimales y radianes

1000g a radianes y sexagesimales 45º a centesimales y radianes

150g a sexagesimales y radianes

5

7 rad a sexagesimales y centesimales

6

rad a sexagesimales y centesimales

2. Si: rad5

3

(7x + 17)º. Hallar “x”

3. Si: rad24

= aºb’.

Calcular: E = b – a

4. Si: 120º radB

A. Hallar P

BA

BABA.

5. Si: 9º 27’ g0a 0b m. Calcular: a + b

6. Reducir: s

m

P60

60

"100

'100

7. Reducir: '120

º10

200

18M m

g

8. Simplificar:



g

radH

180"60'59º26

2,0º99

9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de

cada uno de ellos

10. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?

11. Hallar “” de la figura

12. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial.

13. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica: 276

10

3

12

RCS

Calcular la medida radial de dicho ángulo

14. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir: SC

RSCE

60

15. Reducir la Expresión: 22

22

SCSC

SCSCE

16. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´´´.32

ZYXrad

; calcular

XZY 5

A) 2

1 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A.

17. Reducir la expresión: CSRE

9102

A) 1 B) 0 C) 10 D) 9 E) adr

18. Determinar la medida de un ángulo en radianes, talque verifique la siguiente condición:

SCCS

SC

181

922

A) rad3

B) rad

2

C) rad

4

D) rad

5

E) rad

6

19. Calcular la medida del ángulo expresado en radianes; si se cumple que: 25045

CRSR

A) rad3

B) rad

2

C) rad

4

D) rad

5

E) rad

6



20. Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°. Calcular la medida

del menor de dichos ángulos expresada en radianes.

Tarea domiciliaria

1. Calcular:

radN

g

10º216

º270360

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/3

2. Sumar gradP 409

7

A) 166º B) 158º C) 176º D) 186º E) 196º

3. Hallar “P” '120

º20

300

78 m

g

P

A) 6 B) 2 C) 16 D) 36 E) 7

4. Convertir 8000m a sexagesimales.

A) 45º B) 55º C) 68º D) 72º E) 75º

5. Simplificar: SC

RSCE

4023

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

6. Calcular rad

radE

g

g

640º64

350º25

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. Hallar “x”

A)

B)

3

C)

9

D)

4

E)

10

8. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en

radianes

A) /20 B) 3/20 C) 9/20 D) 22/45 E) /3

9. Siendo rad16

xºy'. Hallar xy

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?

A) rad6

B) rad

3

C) rad

30

D) rad

10

E) rad

21



11. Si: gxx 22 ; calcular el valor de x:

A) 43 B) 51 C) 36 D) 38 E) 39

12. Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: 17 xS ; xC 8

A) rad3

2 B) rad

3

2 C) rad

3

D) rad

5

E) rad

5

2

13. Un ángulo es tal que los números que indican su medida en grados sexagesimales (S), grados

centesimales (C) y radianes (R) respectivamente cumplen con la condición:

1200190180

CRSCRS. Hallar la medida de dicho ángulo en radianes:

A) rad B) rad20

C) rad

2

D) rad

40

E) 2rad

14. La diferencia de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales correspondientes a la

medida de un ángulo, es igual al doble del número de radianes de su medida entre 81. Luego dicha medida

en el sistema centesimal es:

A) 27g B) 30g C) 54g D) 60g E) 90g

15. Los ángulos internos de un triángulo miden: 27º; rad4

3 y

g

x

5; Hallar “x”

A) 0,25 B) 0,50 C) 1 D) 2 E) 4

16. Sean los ángulos complementarios de medidas: = (10x)g y = radx

30

Luego uno de ellos es:

A) 45º B) 63º C) 36º D) 60º E) 40º

17. Calcular la medida del menor de dos ángulos suplementarios, sabiendo que su diferencia es 0,1 rad.

A) 20g B) 110g C) 180g D) 220g E) 90g

18. Si: rad25

< > xºy’; calcular: x – y

A) 5 B) 7 C) –5 D) –12 E) 19

19. Se ha medido un ángulo en grados centesimales y sexagesimales; la diferencia de los números que

representan dichas medidas es 3,2. Indicar la medida de dicho ángulo en el sistema circular.

A) rad5

16 B) rad

5

8 C) rad

125

D) rad

25

2 E) rad

25

4

20. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10C de la igualdad: SC = CS

A) 9

10 B)

10

9

C) 9 D) 10 E) 1



Tema nº 03 : razones trigonométricas de ángulos agudos

Capacidades:

Reconocer los catetos opuestos, adyacentes e hipotenusa en un triángulo rectángulo

Definir las razones trigonométricas de ángulos agudos.

Aplicar las razones trigonométricas de ángulos agudos.

Definición: Se denomina de esta manera al resultado de dividir dos lados de un triángulo rectángulo

tomados con respecto a uno de sus ángulos agudos. Dichos resultados se nombran de la siguiente

manera:

Se lee:

Veamos como se observa esto en un triángulo, sea el triángulo ABC; recto en C.

Razones Trigonométricas Cuarto Año


OBSERVACIONES: 1. El valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo. 2. Conocido el valor de una razón trigonométrica se pueden encontrar los valores de las cinco restantes. 3. Como en todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, entonces: SenA y CosA 1 ; SecA y CscA 1

EJEMPLO 1 : En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, reducir: E = a . SenB + c . CtgC Resolución:

EJEMPLO 2 :

Tg = 2

3 ; determine: E = 13 .Sen + 6. Ctgademás "" es un ángulo agudo

EJEMPLO 3 : En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que: 4 . TgA=TgB, determine "SecA". Resolución: Graficando el triángulo rectángulo.



EJEMPLO 4:

Del gráfico; calcular:

EJEMPLO 5: En un triángulo rectángulo, un cateto es la mitad de la hipotenusa. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.

Razones Trigonométricas Recíprocas

Siendo un ángulo agudo se cumple:

1csc.1

csc

sensen

1sec.coscos

1sec

1.1

ctgtgtg

ctg

Ejemplo:

Si: 3

4csc

4

3sen 5sec

5

1cos

5

3

3

5 tgctg

3

2

2

3csc sen

" Tg Ctg ", si :AP 3PB.



Razones Trigonométricas De Ángulos Complementarios

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.

En la figura se muestra:

y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en

consecuencia:

coscb

sen ; sencacos

ctgab

tg ; tgba

ctg

cscsec ac

; seccsc bc

Debido a estas relaciones las razones:

seno y coseno

tangente y cotangente

secante y cosecante

Teorema del complemento de ocomplementRTcoαRT

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra

Ejemplos: sen40º = cos50º sec20º = csc70º

tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º

cos62º = sen28º csc24º = sec66º

Ejercicio:

si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle

Resolución

Por lo anterior se tiene:

(40º + ) + (10º + ) = 90º

2 = 40º = 20º

Ejercicios Para La Clase 1. Según el gráfico, hallar:

a) 5 b) 7 c) 9

d) 11 e) 13 2. Según los gráficos, hallar:

E = Tg + 2Cos

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. En un triángulo rectángulo ABC ( = 90°)

Ctg3Csc3E 2 ..

B



Reducir: E = senA . secC + senC . secA

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),

reducir: J = sen2A + sen2C + sec2A - ctg2C a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Calcular: Sen ,si" "es agudo; además:

a) b) c)

d) e)

6. Si " " es un ángulo agudo tal que:

Calcular: M = 8 Csc2 + Tg2

a) 15 b) 17 c) 21 d) 18 e) 16

7. Si: (Considere "

" y " " ángulos agudos); Calcular:

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

8. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple

que: 2 . TgA = CscC Calcular: SenA.

a) b) c)

d) e) 9. En un triángulo ABC, recto en A, se tiene

que: SenB = 2 . SenC

Calcular: E = CosB . CosC. a) 0,5 b) 0,4 c) 0,3

d) 0,2 e) 0,1

10. Del cuadrado ABCD, calcular:

M = Tg + Tg

a) 1 b) 2 c)

d) e) 3

11. Del gráfico, hallar:

a) b) 7 c)

d) e) 5

12. Siendo ABCD un cuadrado, hallar:

W = Tg . Ctg

13. De la figura, calcular: Ctg - Tg

a) 3 b) -1 c) -2 d) 1 e) 2

2

1Tg

3

33

4

3

6

6

2

1

6

3

1Cos

5

5Sen

5

1Sen

2

CscCscE

22

4

3

2

1

4

1

2

3

3

32

3

2

2

3

Ctg

CtgCtgCtgE

1

7

13

5

12

7



14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en A; se cumple que: CosB . CosC = 3/7,

Hallar: TgB + TgC.

a) b) c)

d) e)

15. Del gráfico, calcule "Tg ".

16. El perímetro de un triángulo rectángulo es

de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el

cateto menor?

a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m

17. Determinar la hipotenusa de un triángulo

rectángulo, sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el producto de los Senos

de los ángulos agudos es 0,22.

a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) 7 m

18. De la figura, hallar

a) 1 b) 4 c) 2

d) 3 e) 0

19. Del gráfico mostrado, calcular: , si: ABCD es un cuadrado.

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3

d) 0,4 e) 0,5

20. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

TAREA DOMICILIARIA

1. En un triángulo ABC, recto en B, reducir:

E = TgA.SenC - CosC

2. En un triángulo rectángulo ABC ( B= 90º) Reducir:

M = Cos2A + Cos2C + Csc2A - Tg2C

3. Si "" es agudo y Ctg = 2/3;

Hallar: M =

4. De la figura mostrada, calcular:

M = 2 Sen + Cos

5. Si:

Calcular: E= 6 .Tg + 10 .Sen

6. Si se sabe que: Sec =3 y además "" es

agudo, calcular: E = Sen . Tg

7. Si "" es un ángulo agudo y Cos = 3/4.

Calcular: E = Csc2 + 7

4Ctg

8. Siendo " " un ángulo agudo tal que:

Cos = 9

6 . Calcular:

5

4

8

35

3

7

3

7

2

2)2Tan(

m

n

2 mn

"TgwTg"

A

B C

D

E

2a

3a

w

3

2

SecB

SecA

CtgB3CosA13E

13 . Cos 8.Tg

3

5Sec



M = 5.Csc2 + 4.Tg2

9. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe que: TgA = 2,4 ; Calcular: J = CscC + CtgC.

10. Si: Sen = 5

2 Tg = ; (Si " " y

" " son s agudos)

Calcular:

11. En un triángulo rectángulo ABC ( B=90°) reducir:

12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B)

se sabe que: b2. SenA. SenC = 8

¿Cuál es el área del triángulo?

13. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96.

Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el perímetro de dicho triángulo.

a) 112 m b) 224 m c) 96 m

d) 52 m e) 412 m

14. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos

agudos es 2,6. Calcular la longitud del

mayor cateto. a) 20 u b) 30 u c) 40 u

d) 50 u e) 60 u

15. En el gráfico, hallar "Sec ".

16. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe: SenA = 2.SenC

Determine: T = Sec2A + Tg2A.

17. En un triángulo ABC, recto en C, se

cumple que:

Calcular: E = 13 .SenA + 6.TgB

18. Del gráfico, calcular: Ctg - Ctg .

19. Del gráfico mostrado, calcular:

20. Si " " es la medida de un ángulo agudo y

se cumple que: ; calcular:

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

21. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C"

se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular:

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

22. Del gráfico mostrado, calcular:

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 3/2

23. En un triángulo rectángulo, los lados

menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor

ángulo agudo de dicho triángulo mide " ".

Halle el valor de:

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5

d) 4,5 e) 5,5

7

11

Ctg7Csc4E

2

..

TgACosC

CtgC.SenAE

4

2

3

2

3

SecB

SecA

A BD

C

Tg

TgM

3

2Tg

Cot12Sen13T

TgB42ASen65E 2

A

B

CE

F

a2a

1Sen17W 2



Ejercicios de repaso 1. Si: Sen(x+ y - 20º) . Csc (70º - z) = 1

Calcular:

Cscx

zySec

Ctgz

yxTgD

)(

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Si:

Calcular: T = sen . tg

3. Siendo:

Tg =2

1Sen40º Csc40º -

3

1Cos10º . Sec10º

("" es agudo), calcular: C = 2 . Csc2 -17

a) 32 b) 57 c) 52

d) 53 e) 74

4. En el siguiente gráfico, hallar "x", si se

cumple que: Sen4 = Cos2

5. Sabiendo que:

Tg(30º+x) + tg(7x-20º) = Ctg(60º-x) + Ctg4x

Calcular el valor de "x" (agudo) a) 2º b) 4º c) 6º

d) 8º e) 10º

6. Hallar " + " tal que:

Tg(3-35°) = Ctg(90° -) ; 2-=15º

7. Reducir: J=(3.Sen40º+4 . Cos50º)Csc40º

8. Calcular el valor de "x" (agudo) en:

4Sen (22º+ x) .Cos(68º-x) = Tg(30º+x) . Tg(60º-x)

9. Si:

Calcular:

10. Indicar verdadero (V) ó falso (F) según

corresponda: I. Sen15º = Cos75º ...... ( )

II. Tg40º. Ctg50º = 1 ......... ( ) III. Sec20º = Csc20º .......... ( )

IV. Cos(x+y) . Sec(x+y) = 1 .. ( )

V. Tg10º . Tg80º = 1 ............. ( ) a) VFVFV b) FFVFV c) VFFVF

d) VFFVV e) VVVFF

11. Si: Tg = Ctg40º y Sec = Csc70º.

Hallar " +"

a) 40º b) 50º c) 60º

d) 70º e) 80º

12. Hallar "x"

Sabiendo que: Tg (8x - 9º) = Ctg3x. a) 1º b) 3º c) 5º

d) 7º e) 9º

13. Calcule el valor de "x"; en:

Sen2x. Csc40º = 1.

a) 10º b) 20º c) 25º d) 28º e) 30º

14. Siendo: Sen4x - Cosx = 0

Hallar: L = 5 . Sen(2x + 1º) + 2 . Sen(2x - 6º)

a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5

15. Si: Senx = Cos2x

Calcular: R = Tg2x . Tgx

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e)

16. Sabiendo que: Sen4x . Csc(x+30º) = 1

Calcular: J = Tg3x . Tg6x

17. Si: Tg7x = Ctg(2x+9°)

Sen4x . Csc3y = 1

Calcular: K = Cos5x . Ctg4y . Ctg(4x+6°)

18. Sabemos que:

Tg3x . Ctg (x+40º) = 2Sen30º.

Hallar: K = Cos3x + 4Tg(x + 17º)

19. Siendo "" un ángulo agudo donde se

cumple:

Tg3 . Ctg(2 + 10º) = Sen50º. Sec40º

Calcular: A = 1 + Tg3 . Tg4 . Tg5 . Tg6

20. Calcular:

D = (3sec40° + csc50°)cos40°

a) 1 b) 3 c) 4 d) 8 e) 12

3sec20 csc70sec

3csc70

º58Ctg

º32Tg+

º48Cos

º42Sen=n

n2Tg

n3SenP

2



3

32Csc60º

2sec60º

ctg60º

tg60º

cos60º

2

3sen60º

Csc30º

sec30º

ctg30º

tg30º

2

3cos30º

sen30º

Tema nº 04 : razones trigonométricas de ángulos Notables

Capacidades:

Aplicar las razones trigonométricas de ángulos notables.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se

encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son :

Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.

A partir de estos se determinarán otros adicionales como:

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º: Las razones

trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

RECTÁNGULOS NOTABLES:

Triángulo Notable de 30º Y 60º

Tenemos:

45º

45º

1

1

2

30º

60º

1

2

3

37º

53º

35

4

22º 30'

67º 30'

14 + 2 2

2 + 1

15º

75º

6 - 24

6 + 2

18º 30'

71º 30'

110

3

26º 30'

63º 30'

15

2

8º

82º

1

7

16º

74º

725

24

5 2

R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año


4

5Csc53º

3

5sec53º

ctg53º

tg53º

cos53º

sen53º

2Csc30º

sec45º

ctg45º

1tg45º

cos45º

2

2sen45º

3

5Csc37º

4

5sec37º

3

4ctg37º

tg37º

cos37º

sen37º

Triángulo Notable De 45º y 45º

Triángulo Notable De 37º y 53º

De los triángulos anteriores se obtiene:

Ángulo

R.T. 30º 37º 45º 53º 60º

sen 2

1

5

3

2

2

5

4

2

3

cos 2

3

5

4

2

2

5

3

2

1

tg 3

3

4

3 1

3

4 3

ctg 3 3

4 1

4

3

3

3

sec 3

32

4

5 2

3

5 2

csc 2 3

5 2

4

5

3

32

OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES

DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.



Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.

Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: ABBC

sen

Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: '

''

ABCB

sen

Luego:

'

''

ABCB

ABBC

Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos

para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.



Ejercicios Para La Casa 1. Indicar lo incorrecto:

a) b) Sec45º= 2

c) d)

e) Sec60º=2

2. Si: C = (Sen45º + Sec45º) Sec60º

S = 2Tg37º + Tg45º Calcular: C + S

a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9

3. Siendo:

T = 2sen30° + tg45°

R = sec60° + sec245° I = 5(sen53° - sen37°) Calcular: T - R + I

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Calcular:

a) 1 b) 1,5 c) 2,5

d) 1,75 e) 1,25

5. Calcular:

T =

a) 2

5 b)

4

5 c)

6

5

d) 5

4 e)

8

5

6. Resolver: 5x . Cos53° - Sec60° = x . Tg45°

a) 1 b) 2

1 c) 2

d) 3

1 e) 3

7. Resolver: 3x .Tg53º - Csc30º = 2x . Cos60º + 4 . Sec37º

a) 3

1 b)

3

5 c)

3

7

d) 2

5 e)

2

3

8. Siendo: Tg= Sen 60º.

Calcular "Sen"

a) b) c)

d) e)

9. Si: Csc = Tg260°

Calcular: T = . Cos+ Sen

a) 3

5 b)

3

4 c) 1

d) 2 e) 2,5

10. Sabiendo que: Sen = Cos60º.Cos45º (""

es agudo). Calcular:

M =

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Si: f(x) = xtg

xSenxSec

3

224

Calcular: f(15°) a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg".

a) 1 b) 2

1 c)

4

1

d) 2 e) 4

Si ABCD es un cuadrado, hallar: Tg

14. Si en el gráfico: AB = BC.

Calcule:

2

1º30Sen

5

4º53Sen

5

3º37Tg

Sen45 .Cos30 (Sec37 Tg37 )T

Sec45 .Csc60 (Csc53 Cot53 )

º53Cscº.37Secº.45Tgº.60Cosº.30Sen4

3

2

5

3

7

2

7

3

7

5

2

2Cot2

Tan



a) 9

2 b)

9

4 c)

3

2

d) 3

1 e)

5

2

15. Calcular:

a) 2 b) 2,25 c) 2,5

d) 2,75 e) 3

16. Según el gráfico, hallar: Ctg

17. En el gráfico, hallar: T = Tg + Ctg

18. Calcular: P = 10. Tg + 11Tg

19. Del gráfico mostrado, calcular: .

a) 1 b) 1,5 c) 2

d) 2,5 e) 3

20. Calcular: a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5

d) 8,5 e) 9,5

tarea domiciliaria

1. Determine "U + N + I", siendo: U = Sec53º + Tg53º.

N = Tg60º . Cos30º. I = Ctg45º + Sen30º.

2. Calcular: "T + R + I"; si:

T = Tg45º + Ctg45º - 1 R = 2Sen30º + 4Cos60º - 2

I = 5Sen37º - 4Ctg53º + 1

3. Calcular: E=Sen53º + 2Sen37º + Tg45º

4. Calcular: E= 3Tg53º - 2 Sec45º + 2Sen30º

5. Calcular:

6. Calcular:

7. Calcular "m" en:

m Csc30º + 6Tg53º = m + 20 . Sen37º

A

B

C

53º

M

º45Secº30Tg2

º45Cotº.60Secº.30CotE

22

2

"Cotw"

a

4a

45ºw

3Cos3

6Sen6

4Tg4E

º30Senº45Tg

º30Cscº45Secº60TgV

222

4 4

2

Tg 60º Sec 45ºE

(Sec30º Ctg60º )



8. Hallar "x" de la ecuación:

3xTg53°+2Sec245°=12x Sen30°- 17

9. Sabiendo que "" es agudo, y además:

Tg=Sen30º. Calcule: M=4 Sec2+ Ctg

10. Si: Tg - Sen45º . Tg60º = 0 ("" agudo)

Calcular: E = 10 . Sen2 + 6Csc2

11. Si:

Calcular el valor de:

12. Si: Sen = Tg37º

Calcular:

13. Si:

Calcular: f().

14. De la figura, calcular "Tg".

15. Del gráfico, calcular "Tg".

16. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x"

agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

17. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1

Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

18. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

20. Si:

Calcular:

a) b) c)

d) e) 0

Ctg Tg Sec (" " es agudo)

4 3

)CosSen(10

4

1Cos7P

2

x x xSec Tg 2Sen

3 4 6f(x)

x1 tg

3

Tgy.Tgx).3

yx(Cot).

2

yx(TgE

1nCos2

n2Tan

n3Cscf

)x(

)2(f

02 12 2232



TEMA nº 05 : Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud (R.T.C.M.)

Capacidades:

Definir las razones trigonométricas en el Plano Cartesiano

Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, conociendo un

punto de su lado final.

Reconocer los ángulos cuadrantales y sus razones trigonométricas

Ángulo En Posición Normal: Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si

su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.

Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO

CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.

Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.

Ejemplos:

I

II

III

90º a ningún cuadrante

no está en posición normal

ÁNGULO CUADRANTAL

Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.

Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.

Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año


Propiedad

Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:

Si I 0 < < 90º

Si II 90º < < 180º

Si III 180º < < 270º

Si IV 270º < < 360º

Ejemplos:

1. Si III ¿En qué cuadrante está 2/3?

Resolución

Si III 180º < < 270º

60º < 3

< 90º

120º < 32

< 270º

Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al:

.II Cuadrante.

2. Si II ¿A qué cuadrante pertenece º70

2

?

Resolución

Si II 90º < < 180º

45º < 2

< 90º

115º < º70

3

< 160º

Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces pertenece al:

.II Cuadrante.

ÁNGULO COTERMINALES

Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final y

el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).

Ejemplos:

SON COTERMINALES

NO SON COTERMINALES



70

410º y 50º SON COTERMINALES

–240º 30º NO SON COTERMINALES

1. Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un

número positivo entero de vueltas.

Si son coterminales tal que > entonces se cumple:

. – = k(360º). K Z+

Ejemplos: 1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas)

2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)

3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)

4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas)

Razones Trigonométricas De Ángulos En Posición Normal: Si es un

ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:

22 yxr

radior

ordenadaY

Abcsisax

VECTORRADIOORDENADA

ry

sen ORDENADA

VECTORRADIO

yrcsc

VECTORRADIOABCSISA

rx

cos ABSCISA

VECTORRADIO

xrsec

ABSCISAORDENADA

xy

tg ORDENADAABSCISA

yx

ctg

OBSERVACIONES: 1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP.

POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A

“r” COMO VECTOR.

2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:

CATETO OPUESTO = ORDENADA CATETO ADYACENTE = ABSCISA RADIO VECTOR = HIPOTENUSA



Signos De Las Razones Trigonométricas En Cada Cuadrante

1) Primer Cuadrante En el primer cuadrante TODAS las razones trigonométricas son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) la

ordenada (y) y el radio vector (r) son positivas.

2) Segundo Cuadrante En el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) y el RADIO

vector (r) son positivas. Las demás razones trigonométricas son negativas.

3) Tercer Cuadrante En el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y la

ordenada (y) son negativas. Las demás razones trigonométricas son negativas.

4) Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y el radio vector

(r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas.

5) Cuadro – Resumen Son Positivos

Razones Trigonométricas De Ángulos Cuadrantales: Como ejemplo modelo

vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones

trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.

Del gráfico observamos que x = 0 r = y =1 , por tanto:

Sen 90º = r

y

= y

y

= 1

Cos 90º = r

x

= r

0

= 0

Tg 90º = x

y

= 0

y

= No definido (N.D.) .

Ctg 90º = y

x

= y

0

= 0



Sec 90º = x

r

= 0

y

= No definido (N.D.) .

Csc 90º = y

x

= y

y

= 1

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos:

∢

R.T. 0º 90º 180º 270º 360º

Sen 0 1 0 –1 0

Cos 1 0 –1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Ctg ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND –1 ND 1

Csc ND 1 ND –1 ND

¡Muy importante!

1) En general podemos establecer lo siguiente:

2) Recuerda que:

La circunferencia trigonométrica hace coincidir su centro con el origen de coordenadas del plano

cartesiano, además de tener siempre un radio igual a la unidad.

Y

X

Q(–b;a )

P(a ;b)

R(–a ; b)–

M(b;–a)




1. Del gráfico, hallar "Tg".

a) 1,4 b) -1,4 c) 0,7 d)-0,7 e)-3,5

2. Hallar "Sen - Cos", según los datos de la figura adjunta.

a) 5

7 b) -

5

7 c)-

5

1 d)

5

1 e)

5

3

3. Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo "" en posición normal. Hallar "Csc".

a) -3

2 b)

2

3 c)-

2

13 d)

2

13 e)-

3

13

4. Si "" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-2; - 5 ). Calcular:

E = 5 Ctg + Sec

a) 1 b) -1 c) 2

1 d)-

2

1 e)-

2

3

5. Si los puntos (1; -2) y (b; -4) pertenecen al lado final del ángulo en posición normal "", hallar "b".

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6. Determine el signo de cada letra:

T = Sen100° + Tg250° R = Cos200° + Sec150°

C = (Sen140° + Cos350°)(Tg110° + Csc210°) a) (+)(+)(+) b) (+)(-)(+) c) (+)(-)(-) d) (-)(-)(-) e) (+)(+)(-)

7. A qué cuadrante pertenece "", si:

Sec < 0 y Sen > 0

a) I b) II c) III d) IV e) No se puede precisar

8. A qué cuadrante pertenece "", si:

Tg > 0 y Sec < 0

a) I b) II c) III d) IV e) Ninguno

9. Si: [210°; 300°], hallar el signo de:

I. Tg

2

.csc

x

y

-5

7



º60sec

º45sec

(1; 2)

a) + b) - c) + ó - d) + y - e) F.D.

10. Si: II C y Cos2=

9

2

Hallar "Cos"

a) 3

3 b) -

3

2 c) 2 d) 3 e)

2

3

11. Si: Ctg = 3 ( IIIC), calcular:

Q = 2Sen - Cos

a) 4

1 b) -

4

1 c)

10

1 d) -

10

1 e)-

10

5

12. Sabiendo que: Tg = - 3

2 ( IIC), calcular:

Q = Sen + Cos

a) 13

1 b) -

13

13 c)

13

5 d)

13

135 e)

13

3

13. Si: (SenSen = y Tg > 0

Hallar el valor de:

E = Sec - Tg

a) 2

3 b)

3

3 c)

2

2 d)

3

2 e) 1

14. Del gráfico mostrado, calcular "a".

a) -3 b) -1 c) 1 d)3 e) 0

15. Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg".

a) -3

.7 b) -

2

.7 c) -

7

3 d) -

7

2 e) -

7

4

16. Calcular "Tg".

a) 2 b) -2 c) -2

1 d)

2

1 e) 3

x

y

(-4; a+1)

(1-a; 2)



17. Diga usted qué ángulo no es cuadrantal.

a) 630º b) -450º c) 1170º d) 1100º e) 900º

18. Calcular: Q = (3Cos180º - Cos90º)2 + (2Sen180º - Sen90º)2

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

19. Calcular:

a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 3

20. Calcular el valor de:

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2

21. Reducir:

a) n + m b) m - n c) d) e)

22. Calcular:

a) 1 b) a c) b d) a - b e) 0

23. Calcular:

a) 4ab b) 4 c) 4a d) 4b e) b

24. Si:

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3

25. Si:

f(x) = cos4x - sen2x + sec8x Calcular:

a) 0 b) 1 c) -1 d) 3 e) -3

3Cos -Sen 4Csc

2 2E

Cos0 Tg4

Csc Sec( )2

3Ctg

3 32Sen - C sc

2 Cos( ) 2

2 7 2 4n Cos 180 m Sen 90

CmSen90 nCos0

nm

n-m

nm

nm 22

n-m

nm 22

ba

90aCsc180Sen)270bCosa(90aSen

2 2 2

4 3

(a b) Sen90 -(a-b) Cos 180Q

aSen 90 bCos 270

3Sen2x-Cos4x 2Sec8xf(x)

Tgx-Csc6x

4

f

4

f



2Sen Sen

2Cos Cos

2 2

2 2

a Cos0º-ab.Sen b Sec223

a Tg ab.Csc -b Cos4 2

26. Dos ángulos coterminales suman 960º, siendo positivos, determine el valor que puede tomar uno de ellos.

a) 120º b) 60º c) 100º d) 300º e) 320º

27. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a 1. Si su diferencia está comprendida entre

1000º y 1200º, ¿cuánto suman los ángulos?

a) 1300° b) 1310° c) 1320° d) 1580° e) 1620°

28. Halle el mayor de dos ángulos coterminales, si su suma es 1520º y el menor está comprendido entre

200º y 250º. a) 1100° b) 1200° c) 1300° d) 1750° e) 1800°

29. Del gráfico, calcular: Sec - Sec

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) - 2

30. Del gráfico, calcular: E =

a) 4

3 b)

8

5 c) -

12

5 d)

5

12 e) 1

31. Determine: E = A - aB

Si: A = aSen 2

- bcos

B =

a) 0 b) a c) b d) 2a e) 2b

32. Sabiendo que:

cifras

A99

...12121cos ;

cifrasB 100

...12121

sec

Calcular: A + B

A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) 100


3642sec2

9324cos3215

senR

A) 2 B) -2 C) 1/2 D) 0 E) N.A.

x

y

x

y

(-12; 5)



Tarea domiciliaria 1. Si "" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (3; -4). Calcular: E = Sec - Tg

2. El punto Q(-1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal ""; calcular: K = 10 Sec - Tg

3. Siendo "" un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-3; 2), determine: E = 13 Sen + 12Ctg

4. De acuerdo al gráfico, calcular:

K = Sec - Tg

5. Del gráfico, calcular:

L = 2Cos + Sen

6. Indicar lo correcto:

I. Si: Sec > 0; Tg < 0 IVC

II. Si: Cos < 0; Sen > 0 IIIC

7. Indicar el signo de: A = Tg100º . Cos200º

B = Tg300º + Sec190º

8. Si: Sen = - 3

2( IVC), calcular: R = 5 Ctg - Csc

9. Si: Secx = 5 , además: Secx > 0. Calcular: E = Tgx + 5 Cosx

10. Si "" es un ángulo canónico del tercer cuadrante el cual cumple: (Tg)2Ctg = 27

8

Calcule: R = 3Cos + 2Sen

11. De la figura, calcular "Tg"

(-12; 5)

x

y

(-4; 3)

x

y



Sen C sc-

C os S ec

De la figura, calcular: R = Sen2 + Ctg

13. Del gráfico, calcular: E =

14. Del gráfico, calcular "Tg", si G es el baricentro del triángulo AOB.

15. Del gráfico, hallar "Tg".

16. Indicar el orden creciente dados los siguientes valores.

a = Tg2 b = Csc 2

3 c = Sen

2

17. Calcular: E = 3Sen2

+ 2Cos - Csc

2

3 + Tg2

18. Calcular: E = Tg(Sen) + Cos(Tg2)

x

y

(4; 7)

x

y

45º

x

y

x

y

A(-6; 0)

B(0; 4)

G

O

x

y

37º



19. Calcular:

20. Calcular:

21. Calcular:

22. Calcular:

23. Calcular:

24. Calcular: Q = Sen

2cos

+ Cos(Sen0°) + Tg

2

3ctg

25. Señale la medida del mayor de dos ángulos coterminales, sabiendo que este es a la suma de los dos ángulos como 8 es a 11. Se sabe además que el mayor está comprendido entre 900º y 1100º.

26. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambas está comprendida entre 1200º y 1500º.

27. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 1320º y el mayor de ellos está

comprendido entre 900º y 1200º.

Si: Tg = 5

2 , calcular: E = 29 Sen + Tg

29. Si: Sen < Cos2

y Tg > Sen

Halle el signo de:

30. Siendo: f(x) = a2 . Senx + b2 . Cos2x

Calcular:

Sen 2Cos -Tg22P

3Csc -Sec0

2

Sec2 -Cos Sen2E

3Tg -Sen

4 2

3Cos0º-4Sen270º Sec360º

Cos180º Csc270º

9Sec0º-Sen270º 2Cos180º

Csc90º-Cos180º

Sen Sec2 -Cos2P

3Cos Tg -Sen

2 2

x

y

Ctg Cos CtgM

Sen Tg Csc

)(f

2

3f

2f



31. Calcular el valor de: 12537cos41236 senR

A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) N.A.


cifras100

1...1111sec

A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) 100

TEMA nº 06 : CIRCUNFERENCIA trigonométrica

Capacidades:

Representar, graficar y analizar las líneas trigonométricas seno, coseno y tangente en la

circunferencia trigonométrica

Interpretar el paso de una razón trigonométrica a un número real

Definir la circunferencia trigonométrica relacionada con los números reales.

Definición

Se llama circunferencia trigonométrica a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto tenemos:

A : Origen de arcos

M y N : Extremos de arco B : Origen de complementos de arcos

A' : Origen de suplementos de arcos B' : Sin nombre especial

Todo arco dibujado a partir de "A" se denomina arco en posición normal; y numéricamente (en rad) es

igual al ángulo central que le corresponde; siendo el extremo del arco, el punto más importante para el

análisis que sigue a partir de ahora. Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en grados sexagesimales, en radianes o como

números reales, para ello se recomienda tener en cuenta:

By

M

B' N

R = 1

A' Ax

(+)

(-)



Líneas trigonométricas Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; que van a representar los valores numéricos de las

razones trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre que esté definido. Vamos a estudiar tres razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

1. L.T. seno

El seno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado,

hacia el eje de abscisas. (, , y son arcos en posición normal)

Con lo mostrado en el gráfico anterior, trazar las L.T. seno de los arcos mostrados en:

I. Variación del seno de un arco: Significa determinar entre qué valores se encuentra el seno de un arco cuando éste varia en un cierto

intervalo. Si consideramos un arco "" que se desplaza sobre toda la circunferencia trigonométrica (de

0 a 2) notaremos que el "sen" toma como máximo valor 1, mientras que su mínimo valor es -1, es

decir:

y90º

180º

360º

270º

0º

x

y

2

2

0

x

3

2

y

0

x

1,57

6,28

4,71

3,14

y

Ax

Q

sen

(-)

-1

sen

(+)

M

1sen

(+)

N

sen

(-)

P

y

x

90º

0º

270º

180º

-28º

260º

150º

70º



mientras que la variación por cuadrantes será:

2. L.T. coseno

El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco

considerado, hacia el eje de ordenadas. (, , y son arcos en posición normal)

Con lo mostrado en el gráfico anterior, trazar las L.T. coseno de los arcos mostrados:

II. Variación del coseno de un arco:

Trabajando de la misma manera que en el caso anterior consideramos un arco "" que se desplaza

sobre toda la circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremos que el "cos" toma como máximo

valor 1, mientras que su mínimo valor es -1, es decir:

/2

2

3 /2

-1

1

O

1sen11.mínsen

1.máxsen

IC

0

2

IIC

2

IIIC

32

IVC

232

0 1 1 0 0 -1 -1 0

0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0

sen

y

x

N

M

cos

(-)

-1

1

cos

(+)

A

P

cos(-)

cos

(+)

Q

y

x

90º

0º

-80º

180º

270º

140º

50º

230º



mientras que la variación por cuadrantes sería:

III. Análisis de las variaciones en intervalos de IR:

Cuando te pidan la variación, extensión o rango de expresiones que dependan del seno o coseno de un arco; y este arco varíe en un intervalo restringido, se procede de la siguiente manera:

1. Reconocer de qué R.T. depende la expresión.

2. Reconocer de qué variable depende la R.T.

3. Ubicar en la C.T. el intervalo al que pertenece la variable, respetando si es abierto, cerrado o semicerrado.

4. Trazar las líneas trigonométricas correspondientes a la R.T. de la que depende la expresión (las más importantes).

5. Reconocer la mayor y menor de las líneas trigonométricas trazadas. 6. Ubicar la R.T. de la variable, entre los extremos encontrados en el punto anterior, respetando si

puede o no tomar dichos extremos.

7. Terminar de formar la expresión pedida, a partir de la variación encontrada en el punto anterior.

3. L.T. tangente Para representar la tangente de un arco, previamente se traza una recta tangente a la circunferencia

trigonométrica en el origen de arcos "A", para luego prolongar el radio que pasa por el extremo del

arco considerado hasta que se corte con la recta anterior. La tangente de un arco se representa por el segmento que une el punto "A" con el punto de intersección anterior. Por ejemplo, para representar

"tan" prolongamos hasta "T", luego AT representa "tan"; mientras que para representar "tan"

prolongamos NO hasta T1 luegorepresenta "tan"; y así también para "" y "".

/2

2

3 /2

O1

-1

1cos11.míncos

1.máxcos

IC

0

2

IIC

2

IIIC

32

IVC

232

0 11 0 0 -1 -1 0

0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0

cos

y

x

N

O

P

Q

M

T

T1

A

tan

tan

tan

tan



Con la ayuda del gráfico adjunto trazar la L.T. tangente de cada arco indicado.


1) Dibuje un arco positivo "" del IIC y

represente gráficamente: sen; cos y tan.

2) Ubique un arco que mide -110º y represente gráficamente: sen(-110º), cos(-110º) y

tan(-110º).

3) Señale verdadero (V) o falso (F), según

corresponda en: I. sen70º > sen20º

II. sen216º > sen254º

III. sen300º > sen320º a) VVV b) VFV c) VVF

d) FVV e) VFF

4) Señale la variación de: L = 7sen - 5; IR

a) [-7; 12] b) [-12; 2] c) [2; 12]

d) [-2; 12] e) [-6; 8]

5) Señale la variación de: C = 6cos - 3; IR

a) [-6; 6] b) [-6; 3] c) [-3; 6] d) [-9; 3] e) [-3; 9]

6) Señale la variación de: L = 3 - 2cos; IR

a) [1; 5] b) [1; 3] c) [-1; 3] d) [-3; 3] e) [-5; 5]

7) Sabiendo que IR, además:

¿cuál es la suma de los valores enteros que

toma "n"?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

8) Sabiendo que IR, además: 4cos = 3n + 1

¿cuál es la extensión de "n" para que la

igualdad anterior sea imposible de verificarse?

a) IR - b) IR - c) IR - d) IR -

e) IR -

9) Sabiendo que: IC; señale la extensión

de: L = 4sen - 1

a) <1; 4> b) <-1; 3> c) [-1; 3]

d) [-1; 4] e) [-5; 3]

10) Sabiendo que: IIC; señale la extensión

de: L = 4cos + 1

a) <-3; 5> b) [1; 5] c) <-1; 5>

d) <-3; 1> e) [-3; 1]

11) Sabiendo que: 40º < < 180º; señale la

extensión de: L = 3sen + 1

a) [0; 3> b) [1; 4> c) [1; 3>

d) [1; 4] e) <1; 4]

12) Sabiendo que: <70º; 270º>; señale la

variación de: L = 4sen - 1

a) <-3; 5] b) <-3; 5> c) <-5; 3]

d) <-5; 3> e) [-5; 3>

13) 10. Sabiendo que: <25º; 75º]; señale el

rango de: L = 4sen2(3- 45º) + 1

a) [1; 2> b) [1; 2] c) [1; 5>

d) <1; 5] e) [1; 5]

14) Señale la variación de:

L = sen(sen + 1); IR

a) [-1; 2] b) c)

y

Ox

32º

160º

242º

310º

7

1-n2sen

2;

4

1-

1;

2

1-



d) e) [-1; 3] 15) Señale el valor de:

Siendo: "L" real

a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) -2


corresponda en: I. cos70º > cos20º

II. cos100º > cos160º III. cos200º > cos230º

a) VVV b) FFF c) VVF

d) FVV e) FVF

17) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

I. tan50º > tan70º II. tan130º > tan150º

III. tan310º > tan340º

a) FFF b) FVV c) VVV d) VFV e) VFF


corresponda en:

I. sen1 > sen2 II. cos2 > cos3

III. tan5 > tan6 a) FFV b) FVV c) VVF

d) FVF e) FFF

19) En la C.T. mostrada, hallar la longitud de .

a) 1 - cos b) 1 + cos c) 1 + sen

d) 1 - sen e) -2cos

20) En la C.T. mostrada, hallar el área de la

región sombreada.

a) sen b) 2sen c) 2cos

d) -cos e) -2cos


región sombreada.

a) -sen b) -cos c) -sen

d) -cos e) -2sen

22) En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.

a) b)

c) d)

e)

23) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:

I. Si:

II. Si:

III.

2;

2

1-

coscossen

csc1-cos1-senL

By

B’

A’ AxP

M

By

B’

A’ Ax

M

By

B’

A’ Ax

M

By

B’

A’ Ax

M

T

2

cos)tan1(

2

cos)tan1(

2

tan)cos1(

2

tan)cos-1(

2

tan)sen1(

coscos2

sensen2

3

tantan22

3



a) FVV b) FVF c) FFV

d) VFF e) VFV

24) En la C.T. mostrada, hallar la longitud de .

a) b) c)

d) e)

25) Señale verdadero (V) o falso (F) según

corresponda en: I. sen(sen2) > sen(sen3)

II. cos(cos2) > cos(cos3)

III. tan(sen5) > tan(sen6) a) VVV b) VVF c) FVV

d) VFV e) FVF

26) Señale verdadero (V) o falso (F) según

corresponda en:

I. sen(sen70º) > sen(sen40º) II. cos(cos70º) > cos(cos40º)

III. cos(cos100º) > cos(cos160º)

Tarea domiciliaria

1) En una C.T. ubique aproximadamente un arco que mida 130° y trazar: sen130°;

cos130° y tan130°.

2) En una C.T. ubique aproximadamente un

arco que mida 220° y trazar: sen220°, cos220° y tan220°.

3) Señale los signos de desigualdad que deben colocarse en cada circulo, según

corresponda en: sen70° sen50°

sen140° sen160°

sen200° sen260°

4) Señale los signos de desigualdad que deben colocarse en cada circulo según corresponda

en: tan70° tan40°

tan130° tan160°

tan220° tan260°

5) Sabiendo que: 90° < < < 180°; señale

verdadero (V) o falso (F), según

corresponda en:

I. sen > sen

II. cos > cos

III. tan > tan


región sombreada:

7) En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada:

8) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de la región sombreada:

OP

By

B’

A’ Ax

M

P

O

cos1

sen

cos1

sen

sen1

cos

sen1

cos

)sen1(2

cos

M

y

B'

A' A

x

B

Ty

B'

A' A

x

B

M

y

B'

A' A

x

B



9) En la C.T. mostrada, determinar la longitud del segmento MP.

10) En la C.T. mostrada, hallar la longitud del segmento MP Y NQ.

11) En la C.T. mostrada hallar la longitud del

segmento .

12) En la C.T. mostrada, hallar la longitud del

segmento (sug: sen2a + cos2a = 1).

13) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de la región sombreada.

14) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de la región sombreada.

15) En la C.T. mostrada, determinar la superficie

de la región sombreada.

Sabiendo que IR; señale la extensión

de:

B = 5 + 2sen

17) Sabiendo que IR; señale la variación de:

D = 5 - 3sen

18) Señale el menor valor entero que puede

tomar:

F = 7 + 4sen; si IIIC

19) Señale el mínimo valor entero que puede

tomar:

H = 3 - 5sen; IC

20) Señale la suma del máximo y mínimo valor

que toma:

J = 5cos - 1; IR

Sabiendo que IIIC; señale la extensión

de:

L = 6 - 4cos

y

B'

A' A

x

B

MP

y

B'

A' A

x

B

M

N

Q

P

y

B'

A' Ax

B

M

T

PN

y

B'

A'

x

B

M

A

y

B'

A'

x

B

M

A

y

B'

A'

x

B

A

M

y

B'

A'

x

B

A

M

N



22) Sabiendo que IVC; sume los valores

enteros, máximo y mínimo, que puede

tomar:

N = 3cos+ 5

23) Señale la suma de los valores enteros que puede tomar "n" para que la relación:

3sen = 2n + 1; sea posible de verificarse.

24) Señale la variación de "n" para que la igualdad:

4cos = 7 - 2n; sea imposible de verificarse.

25) Sabiendo que: 30º < 180º; señale la

variación de:

Q = 4sen - 1

26) Sabiendo que: < 80º; 296º >; señale la

variación de:

S = 6sen + 5

27) Si: 20º < < 95º; señale la extensión de:

E = 4sen(2 - 10º) + 1

28) Señale el valor máximo de:

B = 2sen - cos + 1; y son

independientes

29) Halle el valor máximo de:

30) Halle el valor máximo de:

F = sen

2sen

1sen2D

2x2

Identidades Trigonométricas Cuarto Año


TEMA nº 07 : Identidades trigonométricas

Capacidades:

Aplicar correctamente las identidades trigonométricas en las demostraciones

Aplicar adecuadamente las identidades fundamentales en la simplificación de ejercicios.

Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son aquellas igualdades que relacionan funciones

trigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo admisible, clasificándose de la siguiente manera:

1.- IDENTIDADES RECIPROCAS

Sen . Cosec = 1 R - n

Cos . Sec = 1 R–(2n+1)

Tan . Cotan = 1 R – n /2

2. IDENTIDADES POR DIVISION

Tan = Sen / Cos R–(2n+1)/2

Cotan = Cos / Sen R – n

3. IDENTIDADES PITAGORICAS

Sen2 + Cos2 = 1 R

1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1)/2

1 + Cotan2 = Cosec2 R – n

4. IDENTIDADES AUXILIARES

sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x

sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x

tg x + cotg x = sec x . cosec x

sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x

5. DEMOSTRACIONES

A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios

de demostración, estas son:

Escoger el miembro más complicado de la identidad

Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos

Hacer uso de identidades algebraicas, según sea el caso

Cuando haya potencias puede ser útiles hacer factorizaciones

De las identidades fundamentales se podrán deducir otras.

Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos: Demostraciones, Simplificaciones, Condicionales, Eliminación del ángulo



Problemas para la clase

Demostrar las siguientes identidades:

1. (Csc 1

1

cos

cos

2. cos² ²

coscos

x

senx

sen x

xx senx

1 1

3. 1

secsec

tagtag

4. senxtgxx .cos

5. 1)1( 22 BsenBctg

6. xxsenxxsen 2244 coscos

7. 2)cos()cos( 22 xsenxxsenx

Simplificar las siguientes expresiones:

8. Px

senx sen x

cos³

³

9. Rx

sensen

cos³cos

1

10. Ttag

sensen

sec

²

11

Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones:

11. x = 3sen ....(1)

y = 2cos.......(2)

12. x = cos................... (1)

y = cos² - sen²...... (2)

13.

senx = m …........ (2)

14. Si: Secx - Tgx = 0,75; Entonces el valor de: Secx + Tgx , es:

15. Si cos + sec = 3

Calcular el valor de: sec² - sen²

16. Si Sen - Cos

Calcular el valor de: Sen4 + Cos

4

17. Si : + Tgx = asecx y Tgx = bsecx calcular a² + b²

18. Si csecα – cos α= 1 ;

Calcular T =

cos1

3

sen

a) 1 b) -1 c) senα

d) –senα e) cosα

19. Reducir Q =

sen

sen cos1

cos1

a) Senα b) cosecα c) 2cos

α d) 2cosec α e) 2 tagα

20. Simplificar la expresión

E = xxxsenxsen

xxxsenxsen6226

4224

coscos.2

coscos.

a) -1 b) 0 c) 1

d) tagx e) ctagx.

21. Reducir la expresión

xsenxtgx 22sec

a) Sen x b) Cos x c) Tg x d) Sec x e) Csc x

22. Si: 2cos1

2

x

senx

Calcular: tg x + 2ctg x a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 23. Si: csc x – sen x = a .........(1) Sec x – cos x = 2a .......(2) Hallar tg x

a) 24 b) 3 2 c) 2 d) 1 e) 2

24. Si: sec x – tg x = 0.75; entonces el valor

de sec x + tg x,es: a)2/3 b)4/3 c)3/2 d) 3 e) 4

25. Si: 2 ctgtg

Hallar: 33 ctgtg

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

26. Si: 21)( xxf

Simplificar:)(sec

)(cos

)(csc

)(

xf

xf

xf

senxfP

a) 1 b) -1 c) -2 d) 1/2 e) 2



27. Si: tgxsenx 2cos.

Hallar: )cos1)(1( 22 xxsenE

b) 22sen b) 2 c) 2sec2

d) 2cos e) 2tg

28. HallarM, si se cumple:

)cos2()2()21( 2222 senMsensen

a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

29. Simplificar:

sen

sentg

1

1 donde: º900

c) sen b) tg c) sec

d) cos e) 1

30. Eliminar "" de:

m cscsec ..............(1)

nctgtg ................. (2)

31. Eliminar "" en:

actg ...............(1)

bsen cos ................(2)

32. Eliminar "" en:

psen cos ................(1)

qsen cos ........(2)

Tarea domiciliaria


k = 3

sec

seccos

csen

a) Senα b) cosα c) tagα

d) ctagα e) 1

2. Calcular

a) Senx b) cosx c) tagx

d) ctagx e) 1

3. Al simplificar la expresión se halla:

xcxc

xctagxcsec

1sec3

23sec2 2

a) -1 b) 0 c) 1

d) ctagx e) csecx

4. Hallar M para que sea identidad

xcxMxctag

xctag

xtag

xtagsec.sec2

11 2

2

2

3

a) senx. b) cosx c) senx. Cosx

d) tagx. Secx e) ninguna

5. Hallar mnn

m ,si se cumple la identidad;

xxctsgxxctsg nm cos.cos22

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

6. Hallar el valor de M, si :

xsenxsenxsenxM 6423 1cos

a) 2secx b) 4tagx c) 2cosx

d) 3tagx e) senx

7. Calcular M - N, si

M = xctagxtagcsexx 222.sec

4422 sec.sec22 tagtagN

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Calcular el valor de P.

22

22coscos

ctagxtagxctagxtagx

xsenxxsenxP

a) 0 b) ½ c) 1

d) 2 e) ¼

9. Si cosx - senx = a .

Hallar: K = 4(cosx – senx) +3(senx – cosx)

a) 4a b) a c) 3a

d) 3a e) 2a

10. Si senα + cos α= 1/3;

Halar tagα + Ctagα

a) -4/9 b) -2/9 c) -9

d) -9/2 e) -9/4

11. Calcular tgα + Ctgα.

Sabiendo que tgα – Ctg.α = 3

a) 1 b) 15 c) 1,5

d) 2 e)2,5

ctagxtagxxcx

ctsgxxtagxSenx

1

secsec

.cos.



12. Simplificar:

A) B) C)

D) E)

13. Reducir:

A) 1 B) C)

D) E)

14. Calcule:

A) B) C)

D) E)

15. Simplifique:

A) B) C)

D) E)

16. Demostrar las siguientes identidades:

xtgxx 222 sec)cos1(

xsentgxxsenx 2.cos.

xxctgxsenx csccos.

xsenxtgxx cos.sec

17. Simplificar

senxsenx

1

1

1

1

xx cos1

1

cos1

1

xx

xsen3

3

coscos

senxx

xx

csc

cossec

18. Simplificar

tgxxtgxxE

sec

1

sec

1

19. Simplificar

x

senx

senx

xM

cos

1

1

cos

20. Reducir 22 )cos.().( xtgxsenxctgxM

21. Simplificar senx

x

x

senxP

cos1

cos1

Si: mtgxx sec Hallar: tgxx sec

22. Reducir: 22 )()( ctgxtgxctgxtgx

23. Si ctga ; cscb Hallar: 2

21

b

a

24. Si: 2cos xsenx

Hallar: xsenx cos.

25. Reducir:

senxctgx

senxtgxxxM

.

.sec.cos 23

26. Si: 5/1cos xsenx

Hallar: xxsenE 33 cos

27. Si: 73cos16 22 asena Hallar: tga

28. Hallar (a+b+c), para que la siguiente

igualdad sea una identidad.

cxbtgxasenxtgxxxsen 222222 7sec5cos34

29. Simplificar: ctgxtgxx

A1

sec

1

30. Si: sensena .

b = sen.cos

c = cos

Hallar: 222 cba

a) 2 b) -1 c) 3 d) 1 e) 4

31. Sabiendo que:

cos..sensena

senb .cos.cos

sensenc .

cosd

Hallar: 2222 dcba

a) 2 b) -1 c) 3 d) 4 e) 1

32. Eliminar en:

senx cos3y

E tg .cos .senx x x

senx cosx2

sen x

2cos x

3cos x

A sen ctg secx x x

cos x sec x

tgx senx

V tg ctgx x senx

cos x tgx sec x

senx csc x

2I ctg 1 cosx x

2sen x senx cosx

3cos x

2sen x

Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año


R T co RT

R T RT

.

.

90

270

180

306

R T n R T n. .360

TEMA nº 08: reducción al primer cuadrante

Capacidades:

Definir el valor equivalente de una razón de ángulos menores de 360º

Definir el valor equivalente de una razón de ángulos mayores de 360º

Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360° y negativos.

La conversión de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un

ángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al primer cuadrante”

También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier

ángulo en forma directa mediante reglas prácticas las cuales mencionaremos a continuación recordando

antes que:

- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.

- Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente.

- Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.

I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.

¡Importante!

- El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”.

- se considera un ángulo agudo.

Ejemplos de Aplicación:

1. Reducir al primer cuadrante:

a) Cos 150º b) Tg 200º

c) Sen 320º d) Sec 115º

e) Csc 240º f) Ctg 345º

II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta.

Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.

Ejemplos de Aplicación


a) Sen (548º) b) Cos (987º)

c) Tg (1240º)



Sen Sen

Tg Tg

Ctg Ctg

Csc Csc

Cos Cos

Sec Sec

( )

( )

Resolución

2a) Sen548° = sen(1 × 360° +

188°) = sen188°

Luego:

Sen548° = sen188 =

sen(180° + 8°) = -sen8°

ó

sen548° = sen188° =

sen(270 - 72°) = -cos72°

2b) Cos987° = cos(2 × 360° +

267º) = cos267°

2c) Tg1240º =Tg(3 × 360° +

160°) = Tg160°

III Regla: para ángulos negativos:

Para todo ángulo , se cumple:

Nota:

Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor

positivo. Veamos ejemplos:

Ejemplo de Aplicación


A) cos(-130°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)

Nota Importante: Todo el capítulo “Reducción al 1er Cuadrante” se desarrolló trabajando netamente en

el sistema sexagesimal la cual también se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos

los casos reglas y aplicaciones propuestas.



2.

2

3.

2

CscSec

CosSen

E

º1470Tgº.900aSec9º1140btg

º630Cscbº540Cos.390abSen4º810SenaR

22

22

34Tg.2Cos

32Tg..2Sen

Ejercicios de aplicación:

1) º180sen =

2) º180cos =

3)

2sen =

4)

2

3secc =

5) º100sen = 6) º200cos = 7) º2100secc =

8) 4

7sec

=

9) 3

5sec

c =

10) º130sen =

11) º4520cos =

12) º300tg =

13) º240ctg =

14) º540sen =

15) º720sec =

16) 15tg

17) 10ctg =

18) º630cos =

19)

2

5sen =

20)

2

33ctg =

21)

2

27sec =

Ejercicios para la clase

1. Simplificar:

AsenA

ActgAtgE

º902º180cos

º360.º540

A)secA B)-secA C)1/2

D)-1 E) N.A.

2. Calcular el valor numérico de:

º90cscº1352º1503 tgsen

A)5/2 B) -1/2 C)1/2 D)-1 E) N.A.

3. Calcular el valor numérico de:

º180cosº2702º225 baasentgbaQ

A)b-a B)2b - a C)2( b –a)

D)2a – b E) N.A.

4. Determinar el valor de:

º315secº.210cscº.210º.120cos

º300secº.330º.240cosº.135

ctg

tgsenE

A)-1/6 B)-1/3 C)-1/2

D)1/6 E) 1/2

5. Reducir:

xxxtg

xtgxxsenK

º180cos.º360cos.º180

º360.º180cos.º90

A) senx B)-1 C)1

D)cosx E) tgx

6. Reducir:

xctgxtg

xxsen

K

22

3

cos2

A) senx B)-senx C)-secx

D)cosx E) tgx


xsenxsenM

2

322 22

A)2 B)3 C)4 D)1 E) 0.5

8. Si: x + y = 2 . Calcular

E=Tg(x +10º) + Sen(y + 40º) + Tg(y - 10º) + Sen(x-40º)

9. Si: 5tgx .calcular:

xxctgx

xxtgxsen

F

2

3csc.2.

2

3cos

2sec..

A) 5 B)-2 C)5

D)- 5 E) 2

10. Calcular el valor de: Sabiendo que = 6

11. Simplificar:

12. Si y son complementarios reducir:



2

35Cos.2053Ctg

2

69Sen.92Sec

N

4

9.40.

2

91

90.2

37.99

TgxSenxCtg

xSecxCosxTg

º115Tgº155Tg

º115Tgº155TgK

2

3Tg.Tg

2

3CtgCtg

Ctg.2

Ctg

Tg.2

Tg

E

º310Senº1930Senº850Sen

320Senº860Senº4360SenR

4º1800Tgº.270Cos

º450Tg180Sen

322

)º590(Cos;1a

1º490Sen.

1a

a1

2

3Tg.Tg

2

3CtgCtg

Ctg.2

Ctg

Tg.2

Tg

E


y calcular: N.Cos

14. Simplificar:

15. Si: Tg25º = a Calcular

16. Si Sen40º = m. Calcular:

º320Cscº.410Secº.220Ctg

º230Tgº.130Cosº.140SenP


L = Sen(-350º) + Sen(-340º) + Sen(-330º)

+ … + Sen (-20º) + Sen(-10º)

18. Simplificar:

a) -2 b) 0 c) 1

d) -1 e) 2

19. Si a y b son ángulos complementarios,

simplificar la expresión:

b11a10Tg.a5b4Cos

a14b13Tg.b7a6SenM

a) -2 b) -1 c) 2

d) 0 e) 1

20. ¿Qué relación existe entre a y b?

sabiendo que:

04

b2a36Ctg

8

b3a2Tg

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/6

tarea Domiciliaria

1. Reducir:

2. Siendo IIC y además

Calcular: Sen Cos

3. Si: x + y = 2 . Calcular

E = Tg(x +10º) + Sen(y + 40º) + Tg(y -

10º) + Sen(x-40º)

4. La expresión:

º160Cscº.290Secº.340Ctg

)º470(Tg)º.520(Cosº650SenE

Es equivalente a:

a) Sen220º.Cos202º b) –Sen220º

c) Cos220º d) –Sen20ºCos220º

e) –Sen220.Cos20º

5. Si Tg(-230)º = a, entonces

Es igual a:

a) -2 b) 2 c) 3

d) 3 221 e) 0

6. Simplificar:

a) -2 b) 0 c) 1

d) -1 e) 2



º750Ctg.º300bTg.420Ctgº540aSec9

º1170Senbº540Cosº.750abSen4º990Csca2

22

4

7Csc

4

5Sec

4

3Tg

3

5Sec

6

7Cos

3

2Sen

7. Si a y b son ángulos complementarios,

simplificar la expresión:

b11a10Tg.a5b4Cos

a14b13Tg.b7a6SenM

a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1

8. Calcular el valor de :

º150Senº240Cosº330Cscº45Sec3C

a) -2 6 b) 1233

c) 26 d) 62 e) 26

9. Reducir la expresión:

aº360Tg.aº270Sen.aº540Cos

aº180Tgº.90aCos.aº180Sen

aº1170TgCº180Cos

º90cSen.aº450Ctg

a) 0 b) –Tg2a c) 2Tg2a

d)-2Tg2a e) Tg2a

10. Simplificar:

a)3

ba b)

3

ab

c) )ba(3

2 d)

3

ba e)

2

ba

11. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo

que:

04

b2a36Ctg

8

b3a2Tg

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/6

12. Simplificar :

x270Ctgx90Csc.x360Sen

x270Cosx360Sec.x180TgQ

a) 1 b) -1 c) Tg2x

d) Sen2x e) Senx


a) -2 b) -1 c) 1

d) 2 e) 0

14. Reducir la expresión:

270Secb90Sena540abCos2

360Secb360abTg60CosaP

22

22

a) ba

ba

b) a - b c) a + b

d) ba

ba

e) a2 – b2



TEMA nº 09 : razones trigonométricas de ángulos Compuestos

Capacidades:

Aplicar correctamente las identidades trigonométricas de los arcos compuestos.

Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares para dos arcos.

I. Para la Suma:

II. Para la Diferencia:

PROPIEDADES:

I.

II.

III.

IV.

V.

ó

TanyTanx1

TanyTanx)yx(Tan

SenySenxCosyCosx)yx(Cos

CosxSenyCosySenx)yx(Sen

TanyTanx1

TanyTanx)yx(Tan

SenySenxCosyCosx)yx(Cos

CosxSenyCosySenx)yx(Sen

ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos

ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen

22

22

CosyCosx

)yx(SenTanyTanx

: donde ; )x(SenbaK

R b, a bCosx aSenx K : Si

22

b

a

a + b2 2

22mín

22máx

baL

baL

R x , b, a ;bCosx aSenxL

: Si

Donde :

a b : constantes

x : variables

)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx

)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx

R.T: de Ángulos Compuestos Cuarto Año


x

1

4

37º

PROBLEMAS PARA LA ClASe

1. Reducir:

J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x) a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx

d) Senx e)

2. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x)

a) Cosx b) Senx c)

d) e)

3. Halle un valor agudo de "x" que verifique:

a) 6º b) 12º c) 18º

d) 21º e) 24º

4. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla: Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x =

0,5 a) 5º b) 10º c) 15º

d) 20º e) 30º

5. Si: Tgx = 2 Tgy = 3

Calcular: Tg(x+y) a) 1 b) -1 c) 2

d) -1/2 e) -2

6. Si:

Calcular:

a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17 d) -1/17 e) -1/19

7. Hallar el valor de: Sen7º

a) b) c)

d) e)

8. Calcular: Tg8º a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7

d) 1/9 e) 1/11

9. Si: Calcular: E =Sen(x+z); x z son agudos.

a) b) c)

d) e)

10. Simplificar:

a) 1 b) 2 c)

d) e)

11. Sabiendo que: Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y)

Cos(2x+y) = Calcular: Ctg3x

a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 d) 5/4 e) 3/5

12. Obtener: Sen23º

a) b) c)

d) e)

13. Del gráfico mostrado,

Calcular: "x".

a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13

d) 13/51 e) 3

14. Si: Calcular: Tg(45º-x)

a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3

d) 5 e) 3/7

15. Reducir:

a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º d) Cot45º e) Sen30º

16. Si:

Hallar : Cotx a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º

d) Csc37º e) 1

17. Simplificar:

a) b) c)

d) e) 1

18. Simplificar:

a) b) 1 c)

e) 2 e)

19. Siendo: x + y = 30º ; x - y = 37º

Calcular: J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)

Senx3

Cosx2

Cosx3 2

2

2

1Senx.x4SenCosx.x4Cos

5

2Tan;

3

1Tan

)(Tan

10

433

10

433

10

334

5

433

2

433

25

24Senzy

5

3Senx

225

127

117

125

222

117

125

117

25

39

)xº30(Sen)xº30(Sen

)xº30(Cos)xº30(CosM

3

3

3

33

5

4

10

3

10

433

10

433

10

334

10

334

Cosx

3

Senx

2

º40Cosº10Sen2º50SenC

)º45x(Cos2)º37x(Sen5

SenSen)(Cos

CosSen)(SenC

Tan Tan Cot

Cot

º10Senº30Senº40Cos

º30Cosº10Senº40SenJ

3 3

3

3

32



a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3

d) 1,4 e) 1,5

20. Siendo:

Calcular:

Tarea domiciliaria

1. Hallar:

a) Cosx-Senx b) Senx-Cosx

c) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx)

e)

2. Simplificar:

L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x

a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x

d) Cos4x e) Cos5x

3. Reducir:

a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º

d) Cot45º e) Sen30º

4. Si:

Hallar : Cotx

a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º

d) Csc37º e) 1

5. Simplificar:

a) b) c)

d) e) 1

6. Simplificar:

a) b) 1 c)

e) 2 e)

7. Siendo: x + y = 30º ; x - y = 37º

Calcular: J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)

a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3

d) 1,4 e) 1,5

8. Siendo:

Calcular:

a) b) c)

d) e) 3

9. Siendo: x + y = 60º ;

Calcular:

a) b) c)

d) e)

10. Señale el valor máximo que toma la

expresión:

C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x - Cos2x) + Senx

a) 1 b) c) - 1

d) e)

11. Sabiendo que: Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny

+ 3Cosy = 0 Donde:

Calcular: L = Sen(x + y) + Cos(x - y)

a) b) c)

d) e)

12. Si: y Tanb = 3

Calcular: Tan (a - b + c)

a) b) c)

d) e)

º60

22 )SenSen()CosCos(C

)xº45(Sen2M

2

2

º40Cosº10Sen2º50SenC

)º45x(Cos2)º37x(Sen5

SenSen)(Cos

CosSen)(SenC

Tan Tan Cot

Cot

º10Senº30Senº40Cos

º30Cosº10Senº40SenJ

3 3

3

3

32

º60

22 )SenSen()CosCos(C

32 )32(2 )32(3

32

4

3Tany

)yx(Tan)TanxTany1(M

28

3

28

35

28

33

14

33

14

35

12

14

1

3

2

IIC y; IIICx

213

32

13

62

13

6

213

3 2

13

5

5

3)cba(Tan

7

6

7

21

11

27

17

29

27

11

R.T. de Ángulos Compuestos Cuarto Año


x

7

2 3

30º

13. A partir de la figura, hallar "x".

a) b) 3 c) 4

d) 6 e) 7

14. Si: A + B + C = 180º

El valor de:

E = TanA+ TanB+TanC - TanA TanB TanC

a) 1 b) - 1 c) 2

d) 0 e) - 2


Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º

a) b)

c) d)

e) 1

16. Simplificar la siguiente expresión:

a) b) c) Ctg7a

d) Ctg3a e)

17. Si: ; Tan(y - z) = 1

Entonces: Tan(x - z) es igual a:

a) b) c)

d) e)

18. Los ángulos , y satisfacen la relación:

Hallar la suma de:

(K : Número entero)

a) 0 b) c)

d) e)

19. En la siguiente figura, la medida del lado x

es:

a) b) c)

d) e)

20. Nos situamos a una distancia de 500 metros

de un edificio de 100m de altura, que tiene

25 pisos idénticos.

Hallar el valor de la Tangente del ángulo

mostrado.

a) b) c)

d) e)

3

22 21

2

21

2

2

a2Ctga5Ctg

1

a2Tana5Tan

1

a3Sen

a7Cos

a7Sen

a3Cos

a7Sen

a3Sen

ba

ba)yx(Tan

b

a

a

b

ba

ba

ba

ba

a

ba

TanTanTanTanTanTan

k2

k

2

k4 k

x

2

6

4

64 234 134

173 63

10mo. piso

9no. piso

500

3143

5

500

3143

274

1

3143

25

3143

36



Tema 10: razones trigonométricas de ángulo Doble

Capacidades:

Reconocer las identidades de arco doble

Aplicar correctamente las identidades del arco doble en la resolución de problemas.

1. Fórmulas básicas

I. Para el seno del doble: (sen2)

II. Para el coseno del doble: (cos2)

III. Para la tangente del doble: (tan2)

También:

2. Fórmulas de Degradación:

Ejemplos:

Sen80° = 2Sen40°Cos40° 2Sen3xCos3x = Sen6x Cos72° = Cos

236° – Sen

236°

Cos10x = 2Cos25x – 1

Cos5x = 1 – 2Sen2

2

x5

2Cos2

8

– 1 = Cos

4

1 – 2Sen225° = Cos50°

30Tg

15Tg1

15Tg2

2

3. Propiedades: I.

II.

sen2 = 2sen cos

sen2 =

sen40º =

sen8 =

cos = cos - sen 2 2

2

cos2 =

cos40º =

cos4 =

tan2 =

tan2 = __________________

tan2 =

__________________

2tan

1 - tan

2

xSen21x2Cos 2

1xCos2x2Cos 2

x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2

x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2

42

42

x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222

x2Csc2TanxCotx

R.T. de Ángulo Doble Cuarto Año


III.

IV.

V.

4Cos8

3

8

5CosSen

4Cos4

1

4

3CosSen

66

44

Ejemplos: 2Sen

43x = 1 – Cos 6x

2Cos218

= 1 + Cos

9

1 – Cos60° = 2Sen230°

1 + Cos74° = 2Cos37° Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Tg3x = 2Cot6x

Sen415° + Cos

415° =

4

1

4

3 Cos60°

Sen6

8

+ Cos

6

8

=

2Cos

8

3

8

5

4. Triángulo del Ángulo Doble:

Ejemplos:

Sen18° =

9Tg1

9Tg2

2

Cos8x = x4Tg1

x4Tg1

2

2

PROBLEMAS PARA LA ClASe

1) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: cot

= 4, calcular "sen2".

a) b) c)

d) e)

x2Sen1)CosxSenx(

x2Sen1)CosxSenx(

2

2

CosxSenxx2Sen1

CosxSenxx2Sen1

1x2SecTanx

x2Tan1x2SecxTanx2Tan

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

15

4

17

4

15

8

17

8

17

15



2) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: tan

= 2/5, calcular "sen2".

a) b) c)

d) e)

3) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: sen

= , calcular "cos2".

a) b) c)

d) e)

4) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: tan

= , calcular "cos2".

a) b) c)

d) e)

5) Siendo: cos = ; IVC, calcular

"tan2".

a) b) c)

d) e)

6) Del gráfico, calcular "cos", si: CP = 3

y DQ = 5

a) b) c)

d) e)

7) Del gráfico, calcular "cos".

a) b) c)

d) e)

8) Siendo: sen = IIC; calcular

"tan2"

a) b) c)

d) e)

9) Demostrar que:

(sen2.sec)2 + (sen2.csc)2 = 4

Demostrar que: (sen2.sec + sen2.csc)cot = 3cos

Demostrar que: 1 + cos2 = 2cos2

12) Simplificar:

C = (sen2 + 2sen) (1 - cos)

a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3

d) cos3 e) 2sen2

13) Simplificar:

L = (2cos - sen2) (1 + sen)

a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3

d) cos3 e) cos2

Señale el equivalente de:

C = sen.cos.cos2.cos4

a) sen4 b) 4sen4 c) sen4

d) 8sen8 e) sen8

Señale el equivalente de:

L = sen.cos.cos2

a) sen4 b) 2sen4 c) sen

d) 4sen4 e) sen4

Reducir: C = cos4 - sen4

a) cos22 b) cos4 c) cos2

d) cos2 e) 2cos2

Reducir: L = sen.cos5 - sen5.cos

a) sen4 b) sen4 c) 2sen4

d) sen4 e) 4sen4

18) Siendo:

a) b) c)

d) 9 e)

29

21

29

20

29

10

29

17

29

19

61

3

2

3

1

6

5

3

2

6

3

61

3

2

6

5

7

5

4

3

3

1

3

1

2 22 2-

22- 24-

A

o BPQ

D

C

3

2

5

3

6

5

12

5

6

1

2 RP

Q

ba

b

a

a

b

b

a2

b2

a

a2

b

;6

5

52- 5- 5

2

5-

2

5

4

1

8

1

2

1

4

1

2

1

2

1

4

1

:calcular;3

xcos

2

senx

x2cos1

cos2x-1C

3

2

9

1

4

9

9

4

R.T. de Ángulo Doble Cuarto Año


19) Siendo

a) 2 b) 4 c)

d) e) 16

20) Siendo: senx + cosx = calcular "sen2x".

a) b) c)

d) e)

21) Siendo: senx - cosx = calcular "sen2x".

a) b) c)

d) e)

Tarea domiciliaria

1) Reducir: L = 8cos4 - 8cos2 + 1

a) cos4 b) 4cos22 c) 2cos4

d) cos24 e) 2cos24

2) Siendo:

tanx.tan2x + tany.tan2y + tanz.tan2z = 6 Calcular:

C = cotx.tan2x + coty.tan2y + cotz.tan2z

a) 3 b) 6 c) 9

d) 12 e) 15

3) Siendo: cos2x + cos22x + cos32x = 1 Calcular:

L = tanx + tan2x + tan3x

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Demostrar que: sen2 sec = 2sen

Demostrar que: sen2 csc = 2cos

6) Demostrar que: (sen40º + cos40º)2 = 1 + sen80º

Demostrar que:

(sen - cos)2= 1 - sen2

8) Demostrar que: tan + cot = 2csc2

Demostrar que: 1 - cos2 = 2sen2

10) Demostrar que:

cos410º - sen410º = cos20º

Demostrar que: (1 - tan2) tan2 = 2tan

12) Demostrar que:

(1 - tan2)(1 - tan22)(1 - tan24) tan8 = 8tan

13) Siendo "" un ángulo agudo tal que:

tan = 2/5; calcular: sen2


sen = 1/3; calcular: sen2


cot = ; calcular: cos2

18. Siendo "" un ángulo agudo, tal que:

tan = ; calcular: tan4

16) Simplificar:

A = (sen2 - 2sen) (1 + cos)

17) Simplificar:

B = (sen2 + 2cos) (1 - sen)

18) Simplificar:

19) Simplificar:

20) Simplificar:

E = [(sen + cos)2 - 1 + cos2]2 - 1

21) Simplificar: F = cos20º cos40º cos80º

Siendo: sen + cos = ; calcular:

sen2

Siendo: sen - cos = ; calcular: cos 4

24) Señale el valor máximo de:

C = sen cos5 - sen5 cos

25) Si: 2sen2x + 3senx cosx + 4cos2x = a +

bsen2x + c cos2x Señale el valor de: L = a + 4b - 2c

:calcular;xcos4

senx

x2senx2cos1

sen2xcos2x-1L

4

1

16

1

;2

3

2

1

4

1

3

2

4

3

3

1

;3

2

3

2

3

1

6

1

6

5

4

3

7

2

sen2cos21

sen2cos2-1C

2)cos(sen

sec)sen22cos4-1(D

5

6

2

1



26) Se puede verificar que el máximo valor de:

asenx + bcosx es según esto,

determine el valor máximo de:

J = 3sen2 + 4sen cos + 5 cos2

22 ba



Tema 11: razones trigonométricas de ángulo mitad

Capacidades:

Reconocer las identidades del arco mitad.

Aplicar correctamente las identidades del arco mitad.

1. Fórmulas básicas

2

cos1

2

xxsen

2

cos1

2cos

xx

x

xxtg

cos1

cos1

2

x

xxctg

cos1

cos1

2

Nota: El signo + ó – dependerá del cuadrante a que pertenece .

2. Propiedades:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si: cosx = 3/8; x 1Q , Calcular sen x/2

2. Si: tgx = 3 7 ; x 1Q , Calcular cos x/2

3. Calcular tg22º30`

4. Calcular ctg18º30´

5. Si: secx = 6; x 4Q ; Calcular cos x/2

6. Reducir: R = senx

xcos1

7. Si: tg x = 2 ; x 3Q , calcular el valor de:

12

2 x

tgK

8. Si: cosA = 60/61; A 4Q , calcular ctg A/2

9. Calcular: sen 296º30`

10. Calcular el valor de: P = 88

tgctg

11. Calcular: 24

ctg

12. ¿A qué es igual: Ctg8º?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

13. Reducir: E = Sec40º-Tg40º

a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25º d) -Ctg25º e) 1

x

2

CotxCscx2

xCotCotxCscx

2

xTan

2

x de Cotangente

2

x de Tangente



2

x

2

x

14. Si:

Calcule:

a) 0 b) 1 c)

d) 2 e) 2

15. Indique la expresión simplificada de:

a) b)

c) d)

e)

16. Si : ;

Halle:

a) b) c)

d) e)

17. Señale el valor de

a) b)

c) d)

e)

18. Reducir:

a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3º

d) Cos3º e) Sen12º

19. Si : , hallar

:

a) 3 b) c) - 3

d) e) 1

20. Si : , donde ,entonces cuál

de las siguientes alternativas es la correcta.

a) b)

c) d)

e)

tarea domiciliaria

1. Si: Calcule el valor de: Sen

a) b) - c)

d) e)

2. Si:

Calcule el valor de:

a) b) c)

d) e)

3. Si:

Calcule el valor de:

a) b) c)

d) e)

4. Si: , calcule: a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4

d) -1/3 e) -2/3

5. Si: Calcular el valor de: Tg

a) 3 b) c) -3

d) - e) 5

4

3Cos

2

2Cos

2Sen.7E

ZK ; 2

K ;

4Cos1

2Cos1M

2Cos42Cos

2

1

2Sen2

12Csc

4

1

2Sen4

13

5Cos

2

3

2Cos

13

2

13

3

13

2

13

3

26

5

8Cos

2

22

2

22

2

12

2

12

2

24

2

2

º24Cos11

H

270º180º y5

4Cos

2Tan

5

4

4

5

n2

xTan

x

22

2

n1

2nCosx ;

n1

n1Senx

22

2

x1

2xCosx ;

x1

x1Senx

2

2

2 n1

n1Cosx ;

n1

n2Senx

2

2

2 x1

x1Cosx ;

x1

x2Senx

22

2

n1

n2Cosx ;

n1

n1Senx

º180xº903

2Cosx

6

6

6

6

12

6

12

6

3

62

º270º18025

7Sen

2Sen

10

2

10

23

10

25

10

27

10

25

º180º904

3Cos

2Cos

2

2

3

2

4

2

3

2

4

2

3

1

2Cos

Cos

º180xº903

1Cosx

2 2 2

2 2



6. Si:

Calcule:

a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4 d) -3/4 e) 1

7. Si: cosx= -5/13; x 3Q , Calcular sen x/2

8. Si:

Calcular:

9. Si:

Calcular:


a) sen 22º30'

b) cos 22º30'


P = sen18º30' cos26º30'

12. Simplificar:

13. Simplificar:

14. Reducir:

15. Simplificar:

16. Reducir:

17. Sabiendo que:

Calcular:

18. Reducir:

E = tg10º + ctg20º + tg70º

19. Si: cscx – ctgx = 2

Calcular:

20. Simplificar:


E = tg7º30' – ctg7º30'

22. Simplificar:

23. A qué es igual:

a) b) c)

d) e)

º270º18021

20Tg

2Tg

5sen ; ;

13 2

E 5 sen cos2 2

3cos ; 3 ;2

5 2

sec2

R tg 45º – – sec2

ctg 45º – – tg2

E

sec – tg 45º –2

xx

xx

M csc 20º csc40º csc80º tg10º

2K tg 2 sen ctg2 2

·

P sen tg ctg – 12

·

cos ; cos ; cos– – –

a b c

b c a c a b

2 2 2P tg tg tg2 2 2

P tg – ctg2 2

x x

ctg – csc2K

tg ctg2

xx

xx

2K ctg – 2 cos ctg2 2

·

4

xCtg

4

xCscE

2

xTg

2

xCtg

8

xTg

8

xCtg

8

xCtg



Tema 12: razones trigonométricas de ángulo triple

Capacidades:

Reconocer las identidades de arco triple.

Aplicar correctamente las identidades del arco triple.

1. Formulas Básicas:

xTg31

xTgTgx3x3Tg

Cosx3xCos4x3Cos

Sen4Senx3x3Sen

2

3

3

3

2. Formulas Especiales:

1x2Cos2

1x2Cos2Tgxx3Tg

)1x2Cos2(Cosxx3Cos

)1x2Cos2(Senxx3Sen

3. Formulas de Degradación:

CosxCosx3xCos4

x3SenSenx3xSen43

3

4. Propiedades:

x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg

x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4

x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4

5. Observación:

4

1536Cos

4

1518Sen

Ejercicios para la clase

1. Calcule cos111º

2. Calcule:

3. Si:

Hallar: sen3x

4. Si:

4

72º

18º

5 – 1

10+ 2 5

4

36º

5 + 1

10 – 2 5

2

sen 3 senM

cos

x x

x

1sen

2x

1tg

2x

R.T. de Ángulo Triple Cuarto Año


Hallar: tg3x

5. Del grafico, calcular la longitud de AB

6. Reducir:

7. Calcular:

8. Calcular:

9. Reducir:

10. Simplificar:

11. Simplifique la expresión:

12. De la expresión:

Calcule el valor de P.

13. Reduzca la expresión:

14. Si se cumple que:

Dar el valor de cos3q.

15. Calcular: tg3x

Si: 2tg3x = 3tg

2x + 6tgx – 1

16. Calcular:

H = 2 sen70º sen10º + sen10º

17. Si:

Calcule el valor de: sen6x

18. Si:

Calcule: cos2q

19. Calcular:

20. Si:

Calcule el valor de: tg3x

21. Reducir:

4

120Cos20Sen3K 33

22. Simplificar:

2

a3Cos

)1Cosa2(SenaM

23. Simplificar:

Sen

3SenSen

Cos

3CosCos 33

24. Si: Tg3 = x + 1; Tg = 2

Calcular: el valor de x.

2

B

A C

6

2

M

34sen sen3

Esen

x x

x

M 4sen10º sen50º sen70º · ·

M tg20º tg40º tg80º · ·

sen3 cos 3M –

sen cos

x x

x x

2

2

3 – tg tg3M –

tg1 – 3 tg

x x

xx

3

3

cos – cos 3K

sen sen3

3 P4 cos18º –

cos18º ctg18º

2M 4 cos 11º –1 sen11º

1

cos 60º4

2sen – cos

3x x

cos 3 2

cos 3

1

E ctg18º tg18º 1 ctg18º –12

1

tg 60º2

x



tarea domiciliaria

1. Si:

Calcule: cos2q

2. Simplificar:

3. Si:

Calcular: cos3x

A) B)

C) D)

E)

4. Si:

Calcular tg3q

A) B)

C) D)

E)

5. Simplifique:

A) senx B) cosx C) tgx

D) ctgx E) secx

6. Simplificando:

Se obtiene:

A) –3 B) 3 C) –1

D) –2 E) 1

7. Si: A = 3 – 4sen2q

B = 4 cos2q – 3

Calcular:

A) B)

C) D)

E)

8. Simplificar:

22 CosSen

3SenSen


10Tg

40Tg50TgK

10. Reducir:

P = (4Cos211° – 1)Sen11°Cos33°

11. Reducir:

xCosx2SenSenx

x2SenxSenx3SenK

2

12. Reducir:

M = Cos10° – 2Sen10°Cos70°

13. Siendo: 212

xTg

Calcular: Cot3x

14. Simplificar:

64Cos56Cos4Cos

66CosP

15. Simplificar:

20Sen

30Csc40Sen80SenM

2

16. Simplificar:

R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x

a) 27Senx b) 40Senx c) 30Senx d) 21Senx

e) N.A.


M = Cos5°Cos55°Sen25°

a) 4

6 b)

16

26

c) 4

2 d)

4

26

e) 4

26

sen3 4

sen 3

sen9K – 2cos3

tg3

xx

x

2cos

3x

2–13

27

2–5

9

2–21

27

2–19

27

2–4

9

1tg

3

13

4

10

3

11

4

11

9

13

9

3sen – sen3E

2sen sen2

x x

x x

·

2 cos 3E 4 cos –

cos

xx

x

A

B

ctg3 tg · tg3 ctg ·

ctg3 ctg3 tg2 ·

tg3 ctg2

R.T. de Ángulo Triple Cuarto Año


18. Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1

a) 5 b) 2

c) 3 d) 7

e) 11

19. Si: 3

2Senx ,

Calcular: Sen3x

a) 3

22 b)

20

27

c) 27

22 d)

5

23

e) N.A.

20. Si: Cosx + Cosy + Cosz = 10° Calcular:

szCosxCosyCo

0Coszy3Cosx3CosP

a) 6 b) 12 c) -12 d) -6

e) 9

21. Si: Sen3x = nSenx

Hallar: Cos2x

a) n – 1 b) 3

1n

c) 2

1n d) )1n(

2

1

e) n + 1

22. Calcular:

B = Cos20° + Cos40°Cos80°

a) 2

1 b)

8

1

c) 7

1 d)

3

1

e) 4

1

23. Simplificar:

Y = Sen3Csc – Cos3Sec

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4



Tema nº 13: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

Capacidades:

Aplicar reglas prácticas en la solución de problemas.

ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (ver gráficos).

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. El Ángulo de elevación con el cual se

observa la parte superior de un edificio es

15º, acercándose 15 m. el nuevo ángulo de elevación es el doble del inicial. Calcular

la altura del edificio

2. A 9.6m. de un poste, una persona de 1.8m

de estatura divisa lo más alto del poste con un ángulo de elevación de 37º.

Calcular la altura del poste

3. Desde lo alto de un edificio de 60m. de

altura se observa una señal en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. ¿a que

distancia del edificio se halla la señal observada?

4. Dos personas están colocadas en ambos

lados de un poste. Una de ellas observa la

parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 45º y la otra con un ángulo

de elevación de 37º. Si la distancia entre

ambas partes es 28m. ¿cual es la altura

del poste?

5. Un farolero situado a 12m. sobre el nivel del

mar observa un barco que se aleja con un ángulo de depresión “x”; 0.4s. más tarde se

observa al barco en la misma dirección,

ahora con un ángulo de depresión “y”. calcular la velocidad del braco en Km/h,

siendo: ctgx = 2 y ctgy = 3

6. Una persona observa la parte más alta de

un edificio con un ángulo de elevación de 45º, y el techo del sexto piso con un

ángulo de elevación de 37º. Calcular el número de pisos que tiene el edificio.

7. Desde un avión que esta por aterrizar se

observa en su misma trayectoria la pista

de aterrizaje, al extremo más cercano con un ángulo de depresión de 60º, al extremo

más alejado con un ángulo de depresión de 30º. calcular la longitud de la pista de

Línea Horizonta l

Línea Visu

a l

h

: Ángulo de Elevación

H

Línea Horizonta l

Línea Visual

: Ángulo de Depresión

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es

el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note

que deben trazarse las dos visua les; una hacia

la parte alta y la otra hacia la parte ba ja.

Luego " " es el ángulo formado por las dos

visuales.

Ángulo de Elevación y Depresión Cuarto Año


aterrizaje, si el avión se encuentra a 600

3 m. de altura.

8. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de

45º, acercándose 48m. el nuevo ángulo de elevación es de 53º. Calcular la altura del

edificio.

9. Un niño de 1.3m. de estatura esta situado

a 5.4m. de la base de un poste y observa la parte más alta de un poste con un

ángulo de elevación de 53º. Calcular la altura del poste.

10. Una persona situada en la parte superior

de una torre de 15 3 m. de altura

observa 2 personas con ángulos de

depresión de 30º y 60º respectivamente. Calcular las distancias que separan a las

personas.

11. Dos personas están colocadas a ambos lados de un poste, de tal forma que una

de ellas observa la parte mas alta con un

ángulo de elevación de 45º y la otra observa el punto medio del poste con un

ángulo de elevación de 37º. Calcular la distancia del poste si las personas están

separadas una distancia de 25m.

12. Una persona observa la parte superior de

una torre con un ángulo de elevación de 50º, después de caminar 1km. En

dirección hacia la torre la elevación

angular es ahora de 70º ¿a que distancia en km. Se encuentra de la torre?

13. Desde la parte superior de un edifico se observa a una persona que se acerca hacia

ésta con un ángulo de depresión “x” y cuando la persona ha recorrido una

distancia igual a la altura del edificio es

observada con un ángulo de depresión que es el complemento de x. calcular la

tgx.

14. Una persona observa la parte superior de

un edificio con un ángulo de elevación de 37º. se dirige hacia el edificio y cuando ha

caminado 8m el nuevo ángulo de elevación es de 45º ¿Cuántos metros más debe

caminar para que el ángulo de elevación sea de 53º?

15. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de

53º y el techo del noveno piso con un ángulo de elevación de 37º.- calcular el

número de pisos que tiene el edificio.

Tarea domiciliaria

01. Desde un punto de tierra se observa lo alto

de un edificio con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m, determinar la altura

de edificio. a) 3 m b) 12 c) 15

d) 18 e) 24

02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo

alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A

qué distancia de el se halla la persona?

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 32

03. Desde un punto ubicado a 24 m de una

torre, se divisa su parte más alta con un

ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 24 b) 36 c) 32 d) 42 e) 48

04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de

37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A

qué distancia del poste se encuentra el punto de observación?

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se

encuentra entre ellos con ángulos de

elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte alta y baja un poste con ángulos de

elevación y depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la altura del

poste.

a) 15 m b) 24 c) 30 d) 36 e) 48

07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de

una torre con un ángulo de elevación " " (Tg =1/4). ¿A qué distancia de la torre se

halla el punto de observación, si la altura de

la torre es 7 m? a) 14 b) 28 c) 56



d) 21 e) N.A.

08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de

un poste con un ángulo de elevación de

37º. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación

es " ". Calcular: "Tg ". a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

09. Desde un punto ubicado a 15 m de un

poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Caminamos 3 m en

dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es " ". Calcular:

"Ctg ".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

10. Una hormiga observa la copa de un árbol

con un ángulo de elevación de 37º, luego

se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular

la altura del árbol. a) 10 b) 12 c) 14

d) 16 e) 20

11. Desde dos puntos separados 52 m se

observa lo alto de un poste con ángulos de

elevación 53º y . Si el poste se

encuentra entre los dos puntos. Determine su altura.

a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11

12. Se observa un poste con ángulo de

elevación " " nos acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la altura de

poste es "2 L". Determinar: Tg .

a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 1/2 e) 3/2

13. Desde un edificio de 12 m de altura se

observa un automóvil con ángulo con

ángulo de depresión " " . Luego se

observa una señal más cerca del edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la

distancia entre la señal y el automóvil.

a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10

14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de

un poste con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto ubicado en la mitad

de la distancia que hay entre el primer

punto y el poste, el ángulo de elevación es "

". Calcular: "Tg ". a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 16 15. Desde un punto ubicado a 30 m de una

torre se divisa su parte más alta con un

ángulo de elevación " " (Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la altura

de la torre, el ángulo de elevación es " ".

Calcular: "Ctg ".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

16. Desde las partes superiores del primero,

segundo y tercer piso de un edificio se

observa lo alto de otro edificio con ángulos

de elevación , , , respectiva-mente.

Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se

ve un punto en tierra con un ángulo de

depresión de 45º. Cuánto mide cada piso del edificio, si el punto observado se halla a

24 m del mismo? a) 2 b) 2,5 c) 3

d) 3,5 e) 4

18. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de

un poste con un ángulo de elevación " "

; y si nos acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.

¿Cuál es la altura del poste?

a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m

19. Desde el puesto del vigía de un barco que

tiene 48 m de altura se observa que el

ángulo de depresión de un bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el barco.

a) 48 b) 48 c) 12

d) 24 e) 6

20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo

de elevación de 45º, el mismo punto es

observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular

la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m.

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

5

2Tg

3

1Tg

)6

1Tan(

3

3

Ángulo de Elevación y Depresión Cuarto Año


miscelánea

Capacidades:

Resolver problemas de trigonometría, aplicando sus propiedades.

01) La medida de un ángulo es el sistema sexagesimal es (20 + x)° y en el sistema centesimal es (20 – x)g. Calculare la medida de dicho ángulo en radianes.

02) Sabiendo que “S”, “C” y “R” son al medidas de los 3 sistemas para un

ángulo, se cumple: 5R2

SC

.

Calcular la medida del ángulo en radianes.

03) Dos ángulos y son coterminales y

además complementarios. Hallar la

medida del ángulo ,

Si: 200° < < 300°

04) El número de grados sexagesimales que

mide un ángulo más el número de grados centesimales que mide otro ángulo e 196. calcular la medida del menor ángulo en radianes, sabiendo que son complementarios.

05) El perímetro de un triangulo es 330m. Si

la tangente de uno de los ángulos agudos vale 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?

06) Si: Sec = Csc2.

Hallar: )63330(Sec2

TgR

07) De la figura, expresar h en términos de

, y x

08) El perímetro de un triangulo rectángulo

ABC (B = 90°) es 180. Calcular su área

si la secante de su mayor ángulo agudo es 2,6.

09) En la figura, MNPQ es cuadrado. B es punto medio y AB = MN. Calcular: Sen

10) Se tiene un triangulo ABC, tal que AB =

6,5 y AC = 12. Calcular el área de dicho

triangulo si 12

5TgA

11) ¿A qué cuadrante pertenece ?

2

3920

12) ¿A que cuadrante pertenece ?

2

403201

13) Si es un ángulo en posición normal, tal

que en un punto de su lado final es (-5 ; -12). Hallar la Csc

14) Si: 3

2Tg ; IVC.

Calcular: Sen – Cos

15) Si 13

12Cos

, además: IIIC.

Hallar: N = Csc + Cot

16) Sabiendo que: Secx4

x3Cot

2

xSenF )x(

Calcular: F() + F(2)

17) Si y son ángulo positivos menores

de una vuelta, tal que; IVC y IIC.

x

h

A

M

N

Q

B

P



¿A que cuadrante pertenece: 5

32 ?

18) Calcular el valor de “ + ”, sabiendo que se cumple:

Sen – Cos = 0 …….. (1)

SenCsc4 = 1 …….. (2)

Además, y son ángulos agudos.

19) Si 8CotxTgx .

Calcular: Tg2x + Cot2x 20) Si: Sen2

+ Sen = 1

Calcular: 24 CotSecM

21) Del grafico mostrado calcular: “aTg”

22) En un triangulo ABC, se cumple:

TgC = 2TgB = 3TgA Calcular: Cos2A

23) Calcular: Sen2, si: 3VersSen

24) Calcular el valor de:

M = Cos40°Cos20° + Cos120°.Sen70°

25) Hallar el valor de “k”, a partir de:

KSen40° = Sec40° + Sec100°

26) Reducir:

7

577Csc

14

897Q

27) Si: = 72° y = 63°. Calcular:

)317(Cos)75(Cos

)59(Sen)97(SenR

28) Sabiendo que se cumple la identidad:

nmCosSenxx2Sen

x3Sen

Indicar un valor de: m – n

29) Hallar el valor de: P = A + B, si además:

A = Sen210° + Sen250° + Sen280° B = Cos220° + Cos240° + Cos280°

30) Simplificar:

2CotSec

Tg2

Cos2Cos2

Cot

M

2

31) Hallar el mínimo valor de la expresión:

R = Sen2x + 9Cos2x + 6SenxCosx 32) Se tiene tres triángulos, tales que si los

sumamos de dos en dos, se obtiene

respectivamente: 50°, 80g y /6rad. Hallar el menor de los ángulos en grados sexagesimales.

33) Si X e Y son dos nuevos sistemas de

ángulos, tales que 120 grados X equivale a un ángulo llano y 50 grados Y equivale a un ángulo recto. ¿Cuántos graos x equivalen 80 grados Y?

34) Los números S y C que expresan las

medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal están expresados como sigue:

S = n2 + 7 C = 3n2 + 2

Donde “n” es un número cualquiera. Luego el ángulo en radianes mide:

35) Dado el sistema de ecuaciones:

Sen(x – 18°)Sec(y + 18°) = 1 Cos(x – 18°)Sec(y + 18°) = 1 Hallar x/y

36) El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es: 2,4; ¿Cuánto mide el cateto menor?

37) Una semicircunferencia de radio )13(

cm. Se divide en 30 arcos iguales. Hallar la medida de la proyección sobre el diámetro del arco comprendido entre la quinta y la décima división.

38) En la figura adjunta, hallar (x + y),

si:

y

x

3;

2

a

(-2 ; -a)

Misceláneas Cuarto Año


3AB y 16

27AC

39) Si (-3 ; -4) es un punto del lado terminal de “” y (5 ; 12) es un punto del lado

terminal de , Calcular:

CscCsc

SecSecK

40) En un circunferencia trigonométrica se

tiene que:

21 xx2

Luego, señale las proposiciones verdaderas: I) Senx1 > Senx2 II) |Cosx2| > |Cosx1| III) Cosx2 < Cosx1

41) Si “” es un arco del IIC, positivo y

menor que una vuelta. Hallar la extensión de Cos( + ), si:

46

42) Si: 7

7CosSen , calcular el valor de

la expresión:

22 CscSec

CotTgK

43) La expresión:

CosSen

CosSen

CotTg

CotTgE

En términos de “Tg” es:

44) Si: mCosSen

CosSen

66

44

, hallar K en

termino de “m”: K = Sec2 + Csc2

45) Sabiendo que: ,62CscxSecx

calcular (Tgx + Cotx); 2

x0

46) Calcular el valor de la expresión: K = Sen16° + Cos16°

47) Calcular el valor de la expresión:

K = Sen75° + Cos75°

48) Si: 2

1)yx(Tg y

3

1)yx(Tg

Hallar el valor de “x”: 49) Calcular:

K = (1 + Tgx)(1 + Tgy), Si: x + y = 15°

50) Simplificar:

)(Cov)(Cov

)(Vers)(VesK

51) Simplificar:

)()(2 22

2

yxCosCosxCosyyxCosyCos

xSenE

52) Si:

2

yxCot)ba(bCotyaCotx

Entonces la expresión equivalente a: K = aSeny – bSenx es:


2

3Sec)(Cot

2

3Cos

2Csc)(Tg

2Sen

M

54) Hallar el valor de “x” en la figura

adjunta:


E = 5Sen2x + 7Cos2x

Si 7

5Tgx

56) Simplificar la expresión:

CosxSenx1

CosxSenx1K

A

C

B x

y

2

6

4

x



57) Simplificar:

Cosx1

Cosx

x2Cos1

x2SenK

58) Si sen2x = 4/5, calcular el valor de la expresión:

844

633

)CosxSenx(xCosSen

)CosxSenx(xCosSenP

59) Simplificar: Cosx

x3Cos

Senx

x3SenK

60) Calcular:

40Cos20Cos

40Cos20CosM

33

61) Simplificar:

221

221

2

21

CosSen

CosSen

SenSen

CosCosQ

62) Si: Tgx = 1/3, el valor de la expresión:

x2Covx4Ver

x4Covx2VersK

63) Si la expresión: 0c2

xbTg

2

xaTg2

Es idéntica a: mCosx + Senx + p = 0, Hallar (m + n + p)

64) Si: a

1aCos2 , entonces “2Cos3x” es

igual a: 65) Simplificar:

xSenxSen

xCosxCos

xSenSenx

CosxxCosK

3

3

33

333

3

66) De la figura adjunta, calcular Tgx.

Si 6AB ; 2CD

67) Reducir: A = Csc40° + Csc80° + Tg10°

68) Si: 12

5Tgx ; x IIIC

Calcular:

2

xCos

2

xSen

69) Si se cumple: 3

1)x60(Sen

Calcular el valor de Sen3x 70) Si: Tg3 = x + 1 ; Tg = 2

Calcular el valor de x 71) Calcular: 8Cos340° – 6Cos40° + 1 72) Hallar el rango de la siguiente función:

f(x) = Cos2x – 2Cosx 73) Hallar el máximo valor de:

f(x) = Senx(Senx – 6) + 4 74) De la figura adjunta, calcular la longitud

de AB , si: 2BM,6CM

75) Hallar el rango de f: Cosx2

3f )x(

76) Hallar el dominio de la función f:

Senx

CosxTgxf )x(

77) Del problema anterior, hallar su rango. 78) Hallar el periodo de la siguiente función:

f(x) = 2Sen3x + 1 79) Hallar el periodo de la siguiente función:

3

xTg1g )x(

80) Hallar el periodo de la siguiente función:

h(x) = 2Cos4x – 3

81) Hallar P: y2Senx2Sen

)xy3(Cos)yx3(CosP

Para: 6

yx

B

A

D

C

3x

x

A B

C

2

M

Índice

TRIGONOMETRÍA - 4TO

AÑO DE SECUNDARIA Pág. Índice ......................................................................................................................................

Historia del Álgebra ...................................................................................................................... 2

T e m a 1 Ángulo Trigonométrico ................................................................................... 4

T e m a 2 Sistema de medidas angulares ....................................................................... 11

T e m a 3 Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos ................................................ 18

T e m a 4 Razones Trigonométricas de Ángulos Notables ............................................... 26

T e m a 5 Razones Trigonométricas de Ángulos en Cualquier Magnitud............................ 31

T e m a 6 Circunferencia Trigonométrica ........................................................................ 43

T e m a 7 Identidades Trigonométricas .......................................................................... 51

T e m a 8 Reducción al Primer Cuadrante ...................................................................... 45

T e m a 9 Razones Trigonométricas de ángulos Compuestos ........................................... 60

T e m a 1 0 Razones Trigonométricas de Ángulo Doble ..................................................... 64

T e m a 1 1 Razones Trigonométricas de Ángulo Mitad .................................................... 68

T e m a 1 2 Razones Trigonométricas de Ángulo Triple .................................................... 71

T e m a 1 3 Ángulos Verticales ........................................................................................ 75

Misceláneas ................................................................................................................................. 78

Trigonometría 4.1º (reparado)

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