Las Relaciones Trigonométricas y el

Círculo trigonométricoProf. Irene Mar Condori

Área: Matemética

Especialidad: Trigonometría

5to de Secundaria

Contenido Temático

Recursos

Evaluación

Bibliografía

Presentación

Click para finalizar

Inicio

Las funciones trigonométricas se pueden estudiar

teniendo en cuenta el triángulo rectángulo y

relacionandolo con el círculo trigonométrico.

Presentación

Inicio

Relacionamos Ángulos y longitudes con tablas y cuerdas

Construcción de Tablas

Funciones trigonométricas en el Círculo

Funciones Trigonométricas a partir de un Triángulo Rectángulo

Funciones trigonométricas de ángulos arbitrarios

Signos de las funciones Trigonométricas

Ejercicios

Problemas

Evaluación

Contenido Temático

Inicio

Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

Inicio

a2 + b2 = c2

c

a

b

a/c

b/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

pasamos a

1

de 1

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

Inicio

Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de Cuerdas

En un comienzo, a cada ángulo se

asoció la cuerda subtendida por él

en una circunferencia de radio fijo.

cuerda

Inicio

blas de cuerdas

Para conseguir nuevos valores se

usa la identidad

cos 1 2

sen 2 2 cos 1

sen

y se obtienen tablas de cuerdas que

van de 5o en 5o.

Inicio

Construcción de Tablas

ángulo cuerda seno coseno tangente

60o 11/2

30o 1/2

15o

45o ? 1

2

3

2

3

3

3

1

2

2

22

32

2

32

32

1

32

2

2

Inicio

La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

sen

cos

tan

cotan

cosec

sec

secante

co

se

ca

nte

se

no

coseno

Inicio

Tablas de cuerdas

Razonando con la figura al

lado se muestra que

2sen

2

cuerda

/2/2

Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo

c

b

hipotenusa

adyacente cateto cos

a

b

cb/c

a/c1

Inicio

Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo

a

b

c

b/c

a/c1

b

a

adyacente cateto

opuesto catetotan

a

b

opuesto cateto

adyacente catetocotan

Inicio

Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo

a

b

c

b/c

a/c1

b

c

adyacente cateto

hipotenusa sec

a

c

opuesto cateto

hipotenusa cosec

Inicio

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.

P

PPero no es necesario tener todo el rectángulo, bastacon tener la recta que une con el origen.

P

Inicio

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:

Pl

sen

la abscisa de

la ordenada de

cos P

lP

Inicio

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada

P

l

l

ta

n

P

ta

n

Inicio

Signos de las Funciones Trigonométricas

P

l

I II III IV

sen + + - -

cos + - - +

tan + - + -

P

P

P

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

P

III

III VI

II

III VI

Inicio

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

Como la circunferencia unitaria mide 2, un cuarto de circunferencia mide /2 y como un ángulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide /2 radianes.

Inicio

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

/2 90oComo

Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,

Rad

180

Grad

Inicio

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

Rad

180

Grad

ángulo en radianes ángulo en grados

1

1

/3

45

120

Inicio

Actividad I…

Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen.Nota: cada quien es libre de escoger la escala

Inicio

Actividad II…

Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo:

a) Cateto opuesto e hipotenusab) Cateto adyacente e hipotenusac) Cateto opuesto y cateto adyacente

Inicio

… Actividad II

Inicio

Ejercicio

En una circunferencia de centro O y radio 5 estátrazada una cuerda que mide 3.5 ¿cuánto mideel ángulo central asociado?En la misma circunferencia, halle la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo de 72o.

O

5

Inicio

ProblemaCon apoyo del círculo unitario, construyala gráfica de la función sen

)(sen

15 30 45 60 75 90 120 150 ···105 135

(0,1)

(-1,0)

(-1,-1)

(0,1)

Inicio

Problema…

1. Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos:

a) (0,0), (8,0), (8,6)b) (0,0), (-4,0), (-4,3)c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)d) (0,0), (8,-6), (8,0)

2. En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.

3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.

Inicio

Seguimos con los ejercicios

III

III IV

I II III IV

sen() + + - -

cos() + - - +

tan() + - + -

Inicio

Preguntas de Evaluación

a

b

c

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función coseno ?

¿alguno de los catetos puede sermayor que la hipotenusa?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función seno ?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función tangente ?

Inicio

Recursos

http://www.youtube.com/user/julioprofe

Sopa de letras de trigonometría

Inicio

Evaluación

¿Qué es un círculo trigonométrico?

¿Para que se utiliza el triángulo rectángulo en el círculo

trigonométrico?

¿Qué unidades de medida se utilizan en el círculo

trigonométrico?

Inicio

Bibliografía

http://ileanafumero.blogspot.es/

http://es.wikipedia.org/wiki/Computadora

http://www.hiru.com/matematicas/funciones-trigonometricas

http://personal.iddeo.es/ztt/For/F3_Funciones_Trigonometricas.htm