TRIGONOMETRIA_1_

Profesor: Marco Andrade R Ingeniería

UNICITGUÍA DE TRIGONOMETRÍA


UNICIT


UNICITComprobar las Siguientes Identidades Trigonométricas


UNICITIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplos Resueltos.-

1.-

2.-

3.-


UNICITGuía de Ejercicios

1. Demuestra, utilizando para ello las definiciones de las funciones trigonométricas dadas, las siguientes relaciones:

a)

b)

2. En la siguiente figura, calcula las funciones trigonométricas del ángulo a siendo:

a) AC = 6 cm. y BC = 8 cm.

b) BC = cm. y AB 3 cm.

3. Si a es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y sen a = 1/3, determina tg a y sen(90 - a).

4. Sabiendo que sen 28º = 0,469; calcula:

a) cos 28º

b) tg 28º

c) cosec 28º

d) tg 62º

e) sec 62º

5. Si sen b = p, determina cos b.

6. Si cos a = a, determina cot a.

7. Calcula las siguientes expresiones:

a) 5 cos a - 2 sen a + cot a, si sen a = 0,6.


UNICITb) 2 sen a + cos a - 2 cosec a, si sec a = 2.

8. En el triángulo ABC de la figura, AC = 10 cm. y AB = 4 cm. Si el área de dicho triángulo es 12 cm2, determina el valor de sen a y de a.

9. En un triángulo ABC, rectángulo en C, AB = 4 cm. y tg a = 5/12, entonces, ¿cuánto mide BC?

10. Si x = cos a y sen a = y:5, determina el valor numérico de 25x2 + y2.

MAS EJERCICIOS

2. Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo de elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.

De esta figura podemos obtener dos ecuaciones:

;

O sea ;

Despejamos x en ambas ecuaciones y por igualación obtenemos que 1,88y = 0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.

Reemplazando este valor de y, nos da que x = 78 metros.

La altura del edificio es de 78 metros.


UNICITGUÍA DE EJERCICIOS Nº 2

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones, utilizando valores aprendidos:

2. Resuelve los siguientes problemas:

a) Desde un OVNI que vuela a 1.200 metros de altura. un ET mide con su pistola espacial, los ángulos de depresión de dos personas que caminan por la calle, siendo estos de 28º y 42º. ¿Qué distancia separa a los dos peatones?

b) Una escalera de 4,5 m. de largo está apoyada sobre la pared de una casa. Si la base de la escalera está a 2,2 m. de la casa. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso? Basándote en el resultado anterior, ¿a qué altura está apoyada la escalera en la pared?

c) En el triángulo ABC obtusángulo de la figura, se tiene que el ángulo CAB = 28º y el ángulo ABC = 140º y AB = 6 m. Calcula la altura CD.

d) Al romperse, por el viento, la parte superior de un árbol, cae formando con el suelo un triángulo rectángulo. Calcula la altura que tenía el árbol, si la parte superior


UNICITforma con el piso un ángulo de 38º y la distancia desde el tronco hasta la cúspide caída es de 6 m.

e) Al mirar la cumbre de un cerro desde un punto en el llano se observa que el ángulo de elevación es de 32º. Al acercarse horizontalmente 2.500 metros, el ángulo es ahora 55º. ¿Cuál es la altura del cerro?

f) El piloto de un avión que vuela a 250 Km/hora observa un barco, ubicado más adelante, en su linea de vuelo, bajo un ángulo de depresión de 14º. Si después de 8 minutos lo ve bajo un ángulo de 25º. Calcula la altura del vuelo del avión y la distancia entre el avión y el barco, en la segunda observación.

g) Un globo se encuentra amarrado al suelo por una pita de 170 m. de largo. Con el viento, el hilo se desvía en 35º de su vertical. ¿Cuál es, ahora, la altura del globo sobre el suelo?

h) Un hasta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. A 34 m. de distancia , los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 54º y 47º respectivamente. Determina la longitud del asta.

3. Resuelve el triángulo de la figura si:

a) a = 5 cm.; b = 7 cm. y c = 8 cm.

b) a = 3 m.; b = 7m. y = 95º

c) = 103º; = 60º y b = 4 cm.

d) a = 2 cm.; c = 6 cm.; = 75º

e) = 45º; = 105º y c =

4. En el triángulo ABC de la figura siguiente, se tiene que AC = BC = 6 m. y AB = 3 m. Calcula tg .

Prueba las siguientes identidades:


UNICIT

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


UNICIT

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.


UNICIT

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

ECUACIONES TRIGONOMËTRICAS

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, pero considerando en su solución

que

1.

2.


UNICIT

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

1. Calcula las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo ,

sabiendo que:

a.

b.


UNICIT

c.

d.

2. Expresa en forma más simple:

a.

b.

c.

d.

3. Si el valor de:

a. , calcula

b. , calcula

4. Comprueba las siguientes identidades:

a.

b.

c.

d.

e.

5. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:


UNICIT

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD

Ya aprendimos que

Hagamos , con lo que obtendremos que:

o sea

De forma análoga podemos determinar que:

Para determinar las funciones trigonométricas del ángulo mitad, hagamos

Sabemos que:

reemplazando obtenemos


UNICIT

Despejando:

/

Consideremos ahora que

Entonces

despejando

Por último, ya que las otras las puedes determinar tú, trabajaremos con la identidad

reemplazando obtenemos


UNICIT

o sea

Ejemplos:

1. Si , calculemos

2. Si , calculemos

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS MAS USADAS

Sen (x+y) = sen x cos y + cos x sen y


UNICITSen (x-y) = sen x cos y – cos x sen y

Cos (x+y) = cos x cos y – sen x sen y

Cos (x-y) = cos x cos y + sen x sen y

sen x cos y = ½ sen (x+y) + ½ sen(x-y)

cos x sen y = ½ sen (x+y) - ½ sen(x-y)

cos x cos y = ½ cos (x-y) + ½ cos(x+y)

sen x sen y = ½ cos (x-y) – ½ cos(x+y)

sen x + sen y = 2 sen ½(x+y) cos ½(x-y)

sen x – sen y = 2 cos ½(x+y) sen ½(x-y)

cos y + cos x = 2 cos ½(x+y) cos ½(x-y)

cos y – cos x = 2 sen ½(x+y) sen ½(x-y)

senysenx

senysenx

= )½(tan

)½(tan

yxg

yxg

yx

yx

coscos

coscos

= )½(tan

)½(cot

xyg

yx

yx

senysenx

coscos

= senysenx

xy

coscos

= tang ½(xy)

tan (xy) = gygx

gygx

tantan1

tantan

cot (xy) = xy

yx

cotcot

1cotcot

Tan xtang y = yx

yxsen

coscos

)(

Cot y cot x = senxseny

y) ( xsen

cot x tang y = ysenx

yx

cos

)cos(


UNICIT cos x sen y = 2 sen (45º-½(xy)) cos(45º-½(xy))

sen ² x – sen ² y = cos ² y - cos ² x = sen(x+y) sen(x-y)

cos ² x – sen ² y = cos ² y- sen ² x = cos(x+y) cos(x-y)

1+cos x = 2 cos ² ½ x

1-cos x = 2 sen ² ½x

1+sen x = 2 sen² (45º+ ½x) = 2 cos² (45º-½x)

1-sen x = 2 sen½ (45º-½x) = 2 cos² (45º+½x)

tang ½ x = x½cot

1

= x

senx

cos1 = senx

xcos1

= x

x

cos1

cos1

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