Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 ANLISIS COMBINATORIO Y TEOREMA DEL BINOMIO UNIDAD II II.1 ANLISIS COMBINATORIO II.1.1 CONTEO Para calcular la cantidad de elementos que tienen los conjuntos formados con ciertas reglas, sin que sea necesariosaberenumerarlosunoaunoseutilizaelprincipiofundamentaldelconteo.Esteprincipio establecequesiuneventopuedetenerlugardemmanerasdiferentesy,luegodesucedidoste,un segundo evento puede suceder depmaneras distintas, el nmero de formas diferentes en que pueden realizarse los dos eventos es: p mEjemplo. Sienunareuninhay3hombresy4mujeres,decuntasmanerasesposibleseleccionarunapareja hombre-mujer? Solucin. Si 3 2 1, , h h h sonloshombresy 4 3 2 1, , , m m m m sonlasmujeres.Seapreciaquepuedehabercuatro parejas en las que 1hes el hombre, otras cuatro en las que 2hes el hombre y otras cuatro en las que el hombre es 3h . De esta manera se concluye que el nmero de parejas es12 4 4 4 = + + . Si se establece que 1ees el evento "elegir un hombre" y 2eal evento "elegir una mujer". Como 1epuede suceder de tres maneras diferentes y 2ede cuatro maneras diferentes, la cantidad de maneras de formar una pareja (esto es que sucedan los eventos 1ey 2e ) es( ) 12 4 3 = . Ejemplo. Consideremoselconjunto{ } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = A ,cuntosnmerosdecincocifrasdiferentessepueden formar con los elementos del conjuntoA? Solucin. Laprimeracifrapuedeelegirsedecincomanerasdiferentes,lasegundapuedeelegirsedecuatro maneras diferentes (no se puede usar el nmero colocado en el primer lugar), la tercera de tres maneras diferentes,lacuartadedosmanerasylaquintade1manera.Aplicandoelprincipiofundamentalde conteo, se obtiene:( )()( )( ) 120 1 2 3 4 5 = . Ejemplo. El juego de placas de un automvil consta de tres dgitos de los cuales el primero no es cero, seguidas de tres letras diferentes. Cuntos juegos de placas pueden formarse? (se consideran 26 letras y 10 dgitos). Solucin. Laprimeraletrapuedeelegirsede26manerasdiferentes,lomismosucedeparalasotrasdos.Enel primer lugar de las cifras pueden colocarse 9 dgitos porque el cero no puede estar en el primer lugar. En el siguiente lugar pueden colocarse 10 dgitos y lo mismo sucede en el tercer lugar. Aplicando el principio de conteo la cantidad pedida ser:( )( )( )( )( ) 400 , 818 ' 15 26 26 26 10 10 9 = . Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 2 II.1.2 FACTORIAL DE UN NMERO Sedefinecomofactorialdeunnmeronaturalnalproductodenportodoslosnmerosquele preceden. Se denota mediante! n : ( )( )( ) ( )( ) n n n 1 4 3 2 1 ! = Por definicin, el factorial de cero es uno:1 ! 0 El factorial de un nmero crece de forma muy considerable. Ejemplos: ( )( ) 6 3 2 1 ! 3 = =( )( )( )( ) 120 5 4 3 2 1 ! 5 = =( )( )( )( )( )( )( ) 320 , 40 8 7 6 5 4 3 2 1 ! 8 = =( )( )( ) ( )( ) 200 , 291 ' 178 , 87 14 13 4 3 2 1 ! 14 = = II.1.3 ORDENACIONES Seaunconjuntodep elementosdistintos.Sideellossetomangruposordenadosdeelementos diferentes, a cada una de estas disposiciones se les llama ordenaciones depelementos tomados deqenq .Estosignificaquesonlasdistintasagrupacionesquesepuedenformardemaneraquedos diferentes agrupaciones difieran de un elemento o en su orden. Ejemplo. Dado el conjunto M={a,b,c,d} se quiere formar los tros ordenados de elementos sin repetir. De cuntas maneras se puede hacer? Solucin. Seformaunatablacontrescolumnas.Enlaprimeraseponentodosloselementosdelconjunto.Enla segunda, los pares derivados de cada elemento y en la tercera, las tercias derivadas de cada par:

a ab abc abd ac acb acd ad adb adc b ba bac bad bc bca bcd bd bda bdc c ca cab cad cb cba cbd cd cda cdb d da dab dac db dba dbc dc dca dcb Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 3 De lo anterior, se puede resaltar que: Sehanconsideradodistintasaquellasdisposicionesque,teniendolosmismoselementos,estosse encuentran en distinto orden. Para cada elemento se obtuvieron tres disposiciones en forma de pareja. Para cada pareja se obtuvieron dos nuevas disposiciones en forma de tercia. Alasdisposicionesobtenidasalfinalselesllamaordenacionesde3elementostomadosdeentre4 dados. La cantidad obtenida es 24 y se denota como: 43O Supngasequesetieneunconjuntoconp elementosyquesedeseaformarordenacionesde elementos tomados deqenq . Siguiendo un criterio igual al usado en el ejemplo anterior, se construye una tabla en la que en la primera columna se ubica a lospelementos del conjunto tomndolos de uno enuno.Enlasiguientecolumna,secolocantodaslasparejasposiblesformadasporp ylos1 pelementos que quedan sin disponer en el conjunto. En la tercera columna se colocan las tercias formadas porlasparejasylos2 p elementosnousados.Assepuedecontinuarhastaformarlosarreglosde ordenq . Para cada elemento, el nmero de parejas( ) 2 = qest dado porpmenos1 q . Para cada pareja, el nmero de tercias( ) 3 = qest dado porpmenos1 q . Se aprecia que el proceso es sucesivo. Sepuedeconcluirqueapartirdecadaordenacindeorden1 q se forman( ) 1 q p ordenaciones deordenq .Lacantidadobtenidaser:( ) [ ] 11 =q p O Opqpq.Aplicandoestafrmuladeforma recurrente queda: ( ) [ ] ( ) p p p O p O Op p p= = = = 1 1 10 0 1 ( ) ( ) 1 11 2 = = p p p O Op p ( ) ( )( ) 2 1 22 3 = = p p p p O Op p Siguiendo el mismo razonamiento y teniendo en cuenta que( ) 1 1 + = q p q p , se llega a la frmula que permite calcular la cantidad de arreglos depelementos de ordenq : ( )( ) ( ) 1 2 1 + = q p p p p Opq Multiplicando y dividiendo por( )! q p , se obtiene: ( )!!q ppOpq= Ejemplo. Cuntassealesdiferentesdecuatrocolorespuedenformarsecon7reflectoresdedistintocolor puestos en una lnea? Solucin. ( )( )( )( ) 840 4 5 6 7! 4 7! 774= == OPgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 4 Ejemplo. Dados los dgitos 2,3,5,6,7 y 9. a) Cuntos nmeros de tres dgitos se pueden formar? Solucin. El nmero de ordenaciones distintas es: ( )1206720! 3 6! 663= == Ob) Cuntos nmeros mayores de 400 se pueden formar? Solucin. Para que sean mayores de 400 se deben descartar los dgitos 2 y 3 de la cifra ms significativa, as que paralaprimeracifrahay4posibilidades,paralasegundahay5yparalatercerahay4.Asquese pueden formar( )( ) 80 4 5 4 =nmeros. c) Cuntos nmeros menores de 400 se pueden formar? Solucin. Para que sean menores de 400 el primer dgito debe ser 2 3. es decir slo hay dos posibilidades. Para el segundo dgito puede ser cualquiera de los cinco restantes: ( )524120! 1 5! 551= == OPara el tercer dgito puede ser cualquiera de los cuatro restantes: ( )4624! 1 4! 441= == OPor lo tanto, se pueden formar:( )( ) 40 4 5 2 24151= = O Onmeros. II.1.4 PERMUTACIONES Dadosn objetos diferentes na a a a , , , ,3 2 1 , de cuntas maneras es posible ordenarlos? Por ejemplo, paraloselementos,,,hay6ordenaciones:,,,,,.Enelcasogeneralse tendrnn maneras de escoger un elemento que ocupar el primer lugar,1 nmaneras de elegir el que ocuparelsegundolugar,2 n formasdeescogerelqueocupaeltercerlugaryassucesivamente hastatenerunaformadeelegirelqueocupaelltimolugar.Porlotanto,lacantidaddemanerasde ordenarnelementosdiferenteses:( )( ) ! 1 2 1 n n n n = .Cadaordenacindelosnobjetosse llamaunapermutacinsimpledelosnelementosylacantidaddeestaspermutacionesserepresenta nP .Deestamanera! n Pn = .Esdecir,laspermutacionessonlasagrupacionesdelosp elementos tomados a la vez, de manera que dos agrupaciones difieran entre s en el orden de los elementos. Se puede concluir, a partir de lo anterior, que las permutaciones son un caso particular de ordenaciones, cuando se consideran todos los elementos del conjunto. Ejemplo. Cuntos son los anagramas (transposiciones de letras) de la palabra PRCTICO? Solucin. CadaanagramadePRCTICOesnadamsqueunaordenacindelasletrasP,R,A,C,T,I,C,O.De esta manera la cantidad de anagramas de la palabra PRCTICO ser320 , 40 ! 88= = P . Ejemplo. Cuntos son los anagramas de la palabra PRCTICO que comienzan y terminan en consonante? Solucin. Comolapalabratieneocholetrasyhaytresvocales,laconsonanteinicialpuedeserelegidade5 maneras.Alempezarconunaconsonante,laconsonantefinalslopuedeelegirsede4formas.Las Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 5 restantes pueden ser arregladas entre esas dos consonantes de720 ! 66= = Pformas. La respuesta es: ( )( ) 400 , 14 ! 6 4 5 = . Ejemplo. En un parque, de cuntas maneras pueden sentarse cinco chicosy cinco chicas en cinco bancas para dos, de modo que en cada banca queden un chico y una chica? Solucin. El primer chico puede escoger un lugar de 10 formas, el segundo de 8 maneras, el tercero de 6 modos, el cuarto de 4 formas y el quinto de 2 maneras. Colocados los chicos, debemos colocar las 5 chicas en los 5 lugaresquesobran,loquepuedeserhechode120 ! 55= = P formas.Larespuestaes: ( )( )( )( )( ) 800 , 460 ! 5 2 4 6 8 10 = . II.1.5 COMBINACIONES Sea el conjunto: B = {m,n,o,p,q} Todos los subconjuntos que tienen tres elementos son: {m,n,o}, {m,n,p}, {m,n,q}, {m,o,p}, {m,o,q}, {m,p,q}, {n,o,p}, {n,o,q}, {n,p,q},{o,p,q}. La eleccin de los elementos de los subconjuntos puede ser efectuada considerando las ordenaciones de cinco elementos tomados de 3 en 3. Sin embargo, algunos subconjuntos seran considerados diferentes siendoidnticos,porejemplo,lossubconjuntos{m,n,o},{m,o,n},{n,m,o},{n,o,m},{o,m,n},{o,n,m}. Estosucedeporqueenlasordenacionessondiferentesaquellasdisposicionesquetienenlosmismos elementosendiferenteorden.Estosignificaquelacantidad ( )60! 3 5! 553== O estcontandocada subconjuntounavezparacadaordenacindiferentedesuselementos.Comoencadasubconjuntolos elementos pueden ser ordenados de6 ! 33= = Pformas, el total de subconjuntos ser10660353= =PO. Definicin: Dado un conjunto A conpelementos, se denomina combinaciones depelementos tomados deqen q(conp q ), a todos los subconjuntos deqelementos cada uno tomados de entre lospdados. Esto significa que son todas las diferentes agrupaciones que pueden formarse de tal manera que desde dichas agrupaciones difieran entre s en al menos un elemento. Se denota mediante qp o como pqC . Generalizando,consideradoslosarreglosdep elementostomadosdeq enq ,sedebedescartar aquellos que, teniendo los mismos elementos, estn dispuestos en distinto orden. Entonces resulta: ( ) ! !!q q ppPOqpqpq= = Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 6 Ejemplo. Cuntas ensaladas conteniendo exactamente cuatro frutas se pueden hacer si se dispone de diez frutas diferentes? Solucin. Parahacerunaensaladabastaescogercuatrodelasdiezfrutas,loquepuedeserefectuadode ( )( )( )( )210247 8 9 10! 4 ! 4 10! 10410= == formas. Ejemplo. Decuntasformaspuedeescogerseuncomit,compuestodecuatrohombresytresmujeres,deun grupo de ocho hombres y seis mujeres? Solucin. De los ocho hombres, se pueden escoger cuatro: ( )( )( )( )70245 6 7 8! 4 ! 4 8! 848= ==maneras. De las seis mujeres, se pueden escoger tres: ( )( )( )2064 5 6! 3 ! 3 6! 636= ==maneras. Por lo tanto, la forma en que el comit puede escogerse es:( ) 400 , 1 20 703648= = Ejemplo. Semarcancincopuntossobreunarectar yochopuntossobreotrarectas paralelaar .Cuntos tringulos existen con vrtices en tres de esos trece puntos? Solucin. Para determinar un tringulo se debe tomar un punto sobrery dos sobreso uno sobresy dos sobrer .El nmero de tringulos en el primer caso es: 285El nmero de tringulos en el segundo caso es: 258 La respuesta ser:220 80 140258285 = + =+. II.1.6 ORDENACIONES CON REPETICIN Cuandoseexpusoelsubtemadeordenaciones,sesupusoqueloselementossedisponansinrepetir (las ordenaciones simples o sin repeticin). Ahora se abordar el caso en que un mismo elemento pueda aparecer repetido en una misma ordenacin. Sea el conjunto A = {a,b,c,d}.

Siguiendounrazonamientoanlogoaldelaformacindelasordenacionessimples,sedisponenlas ordenaciones con repeticin:

Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 7 a aa aaa aab aac ab aba abb abc ac aca acb acc b ba baa bab bac bb bba bbb bbc bc bca bcb bcc c ca caa cab cac cb cba cbb cbc cc cca ccb ccc Seapreciaqueenlaprimeracolumnasecolocaronloselementos,enlasegundalasordenacionesde dos en dos y en la tercera las ordenaciones de tres en tres. En este caso, por cada elemento se obtienen tantas ordenaciones con repeticin como elementos hay en el conjunto. Las ordenaciones con repeticin de 2 elementos tomados de entre 3 dados es 9 y las ordenaciones con repeticin de 3 elementos tomados de entre 3 dados es 27. Las ordenaciones con repeticin se denotan como: pqOR Deestamanera,sisetienenp elementos,lasordenacionesconrepeticinconordenelrespectivo sern: p ORp=1

( )22p p p ORp= =( )( )33p p p p ORp= = y as sucesivamente, por lo que: q pqp OR = Ejemplo. Conunacerraduradecombinacindeseisdiscos,dediezletrascadauno(lasmismasletrasencada disco), cuntas disposiciones pueden obtenerse? Solucin. Sern las ordenaciones con repeticin de diez letras tomadas de seis en seis. Por lo tanto:000 , 000 ' 1 106 106= = ORPgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 8 II.1.7 COMBINACIONES CON REPETICIN Deformaanlogaalasordenaciones,sepuedesuponerque,enunacombinacin,undeterminado elemento pueda figurar varias veces, es decir se tratan de combinaciones con repeticin. La cantidad de combinaciones con repeticin depelementos tomados deqenqse denota como pqCR . Este nmero puede ser, evidentemente, mayor queelde las combinaciones simples depelementos tomados deqenq . Para observar cmo se forman estas combinaciones, considrense los elementos a, by c. Para obtener las combinaciones de orden dos con repeticin, ser necesario agregar a las combinaciones simples de orden dos ab, ac, bc, los nuevos grupos donde una misma letra puede figurar hasta dos veces, o sea aa, bb, cc, teniendo en total las combinaciones con repeticin de orden dos: aa, ab, ac, bb, bc, cc. Se deduce que las combinaciones de orden dos con repeticin, depelementos, se obtienen agregando, sucesivamente,aladerechadecadacombinacindeordenuno,dichoelementoycadaunodelos subsecuentes. A partir de lo anterior, se puede concluir que para formar las combinaciones con repeticin depelementos tomados deqenq , se forman las de orden anterior1 q , y a la derecha de cada una deestassecoloca,sucesivamente,elltimodeloselementosquefiguraenellaycadaunodelos siguientes, hasta el ltimo de los elementos dados, supuestos alineados los elementos de cada grupo en orden numrico o alfabtico. La expresin que permite calcular la cantidad de combinaciones con repeticin es: ( )( ) ! ! 1! 1q pq pCRpq +=Ejemplo. Dados los elementos: {,,,} obtener:a) 4Pb) 41O , 42O , 43O , 44Oc) 44,34,24,14 d) 41OR , 42ORe)41CR , 42CR , 43CRf) Mostrar cada caso. Solucin. a)24 ! 44= = Pb) ( )4624! 1 4! 441= == O , ( )12224! 2 4! 442= == O ,( )24124! 3 4! 443= == O ,( )24124! 4 4! 444= == Oc) ( ) ( )41 624! 1 ! 1 4! 414= ==, ( ) ( )62 224! 2 ! 2 4! 424= ==, ( ) ( )46 124! 3 ! 3 4! 434= ==, ( ) ( )124 124! 4 ! 4 4! 444= == Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 9 d)4 41 41= = OR ,16 42 42= = ORe) ( )( ) ( )41 624! 1 ! 1 4! 1 1 441= = += CR , ( )( ) ( )102 6120! 2 ! 1 4! 1 2 442= = += CR , ( )( ) ( )206 6720! 3 ! 1 4! 1 3 443= = += CRf)a) {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} 244 = Pb1) {}, {}, {}, {} 441= Ob2) {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,} 1242= Ob3){,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} 2443= Ob4){,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,}, {,,,} 44424 P O = = c1){}, {}, {}, {} 441= Cc2){,},{,}, {,}, {,}, {,}, {,} 642= Cc3){,,}, {,,}, {,,}, {,,} 443= Cc4){,,,} 144= Cd1){}, {}, {}, {} 441= ORd2){,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,} {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,} 1642= ORe1){}, {}, {}, {} 441= CRe2) {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,} 1042= CRe3){,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} {,,}, {,,}, {,,}, {,,} 2043= CR Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 10 II.2 TEOREMA DEL BINOMIO Elteoremadelbinomio,tambinllamadobinomiodeNewton,expresalaensimapotenciadeun binomiocomounpolinomio.Eldesarrollodelbinomio( )nb a + poseesingularimportanciayaque aparececonmuchafrecuenciaenMatemticasyposeediversasaplicacionesenotrasreasdel conocimiento. II.2.1 FRMULA GENERAL DEL BINOMIO Sea un binomio de la forma( ) b a + . Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: ( ) b a b a + = +1 ( ) ( )( )2 2222 b ab a b a b a b aveces+ + = + + = +4 43 4 42 1 ( ) ( )( )( )3 2 2 3333 3 b ab b a a b a b a b a b aveces+ + + = + + + = +4 4 4 3 4 4 4 2 1 ( ) ( ) ( )4 3 2 2 3 4444 6 4 b ab b a b a a b a b a b aveces+ + + + = + + = +4 43 4 42 1 ( ) ( ) ( )5 4 3 2 2 3 4 5555 10 10 5 b ab b a b a b a a b a b a b aveces+ + + + + = + + = +4 43 4 42 1 ( ) ( ) ( )6 5 4 2 3 3 2 4 5 6666 15 20 15 6 b ab b a b a b a b a a b a b a b aveces+ + + + + + = + + = +4 43 4 42 1 De lo anterior, se aprecia que: a)El desarrollo de nb a ) ( +tiene1 + ntrminos b)Laspotenciasdeaempiezanconnenelprimertrminoyvandisminuyendoencadatrmino, hasta cero en el ltimo c)Laspotenciasdeb empiezanconexponenteceroenelprimertrminoyvanaumentandoenuno con cada trmino, hastan en el ltimo. d)Para cada trmino la suma de los exponentes dea ybesn. e)El coeficiente del primer trmino es uno y el del segundo esn. f)El coeficiente de un trmino cualquiera es igual al producto del coeficiente del trmino anterior por el exponente dea dividido entre el nmero que indica el orden de ese trmino. g)Los trminos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. Ejemplo. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ()51 5542 10433 103 224 52 315 14 5155 10 10 5 + + + + + = + b ab b a b a b a a b aes Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 11 Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene: ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )4 4 3 3 2 2 14 3 2 13 2 ) 1 (3 2 1) 2 )( 1 (2 1) 1 (1b an n n nb an n nb an nb ana b an n n n n n + ++ + = + ( )( )( )( )( )( )( )( )n nb b an n n n n+ + + 5 55 4 3 2 14 3 2 1 Ahora, si se introduce la notacin factorial, la frmula del binomio puede escribirse as: ( )( )( )4 4 3 3 2 2 1! 43 2 ) 1 (! 3) 2 )( 1 (! 2) 1 (! 1b an n n nb an n nb an nb ana b an n n n n n + ++ + = + ( )( )( )( )n nb b an n n n n+ + + 5 5! 54 3 2 1 Ejemplo. Obtener el desarrollo de 4) 5 2 ( y x Solucin. Haciendo x a 2 = yy b 5 =Aplicando la frmula se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )()( )( )( ) ( )4 3 2 2 3 4 45 5 2! 32 3 45 2! 23 45 2! 142 5 2 y y x y x y x x y x + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )4 3 2 2 3 4 45 5 26245 22125 2142 5 2 y y x y x y x x y x + + + + = ( )4 3 2 2 3 4 4625 1000 600 160 16 5 2 y xy y x y x x y x + + = II.2.2 EL R-SIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL En el desarrollo binomial: ( )n n n n n n n nb b anb an nb an n nb an nb ana b a + ++ + ++ + = + 1 1 2 2 3 3 2 2 1! 1 ! 2) 1 (! 3) 2 )( 1 (! 2) 1 (! 1 si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-simo termino, entonces se encuentra que: El exponente del trminobdel binomio es:1 rEl exponente del trminoa del binomio es:( ) 1 1 + = r n r nEl denominador del coeficiente es:( )! 1 rEl numerador del coeficiente es:( )( ) ( ) 2 2 1 + r n n n n En consecuencia el r-simo termino de la expansin de ( )nb a +es: ( )( ) ( )( )1 1! 12 2 1 + + rbr narr n n n n Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 12 Ejemplo. Encontrar el quinto trmino del desarrollo 6) 5 ( y x + Solucin. 5 , 6 , 5 , = = = = r n y b x a , aplicando la expresin: ( )( )( )( ) ( )4 2 4 2 4 2375 , 9 625 15 5! 43 4 5 6y x y x y x = = II.2.3 TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVS DE COMBINACIONES El desarrollo de la expresin( )nb a +tambin se puede obtener aplicado la teora del anlisis combinatorio. Si se multiplica el binomio por si mismo de forma reiterada se obtiene: ( ) ( )( )2 2 22 b ab a bb ba ab aa b a b a b a + + = + + + = + + = +( ) ( )( ) bbb bba bab baa abb aba aab aaa b a bb ba ab aa b a + + + + + + + = + + + + = +3 3 2 2 33 3 b b b a a + + + =( ) ( )( ) aabb aaba aaab aaaa b a bbb bba bab baa abb aba aab aaa b a + + + = + + + + + + + + = +4 bbbb bbba bbab bbaa babb baba baab baaa abbb abba abab abaa + + + + + + + + + + + + 4 3 2 2 3 44 6 4 b ab b a b a a + + + + = Puedeobservarseque el nmero de trminos o sumandosde( )3b a +esochoyesel doble que el de ( )2b a + , ya que los trminos se obtienen aadiendo al final de los cuatro unaa o unab . Por su parte, el nmero de trminos de( )4b a +es 16, ya que se aade al final de cada uno de los ocho trminos de ( )3b a +unaa o unab . De forma similar, para obtener( )5b a + , se procedera de la misma manera, partiendode( )4b a + y se obtendran 32 trminos.

Por ejemplo, los trminos del desarrollo( )4b a +pueden obtenerse a travs de un diagrama de rbol: abaaabbabbaaaaababaabbbaababbbabbbaaaaaaabaabaaabbabaaabababbaabbbbaaabaabbbaabbabbabababbbbbabbbb( (( (a aa a+ ++ +b bb b) )) )2 22 2( (( (a aa a+ ++ +b bb b) )) )3 33 3( (( (a aa a+ ++ +b bb b) )) )4 44 4( (( (a aa a+ ++ +b bb b) )) ) Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 13 Sisesumanlostrminosdecadacolumna,seobtienenrespectivamentelosdesarrollospara( )2b a + ,( )3b a + y( )4b a + .Cadatrminoseobtienedelacolumnaanterioraadiendoalfinallaletraaola letrab .

Como las letrasque aparecen estn multiplicandoentre s, la secuenciaabaa (por ejemplo) no es otra cosa queb a3, y por tanto, es igual a las secuenciasbaaa ,aaba yaaab.

Loquesetienequeencontrarescuntasvecesaparece 4a ,cuntasb a3,cuntas 2 2b a ,cuntas 3ab ,ycuntas 4b ?Afindedeterminaresto,seaplicarelconceptodecombinacionesantes expuesto. Comosedefinieron,lascombinacionesdep elementostomadosdeq enq ,sonlasposibles formasdehacerarreglosdeq elementos,escogindolosdeunconjuntodep elementos,con p q < ,demodoque dosdeesosarreglossondistintosslositienenalgnelementodiferente(es decir, si tienen los mismosqelementos, aunque estn colocados en diferente orden, se considera el mismo grupo). Porejemplo,paracalcular 24,sedebenformargruposdedoselementos,escogindolosdeentre cuatro elementos dados. Suponiendo que los elementos estn numerados del 1 al 4. Entonces los grupos de dos elementos sern: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}.

Regresando al desarrollo de( )4b a + , los trminos con dosbpueden tenerlas situadas en los lugares 1 y 2, 1 y 3, 1 y 4, 2 y 3, 2 y 4, y 3 y 4 (no hay distincin entre el caso 1 y 2 y el caso 2 y 1). Por tanto el trmino con dosbdel desarrollo de( )4b a + , es decir, el trmino 2 2b a , aparece un nmero de veces igual al nmero62442== C . De igual modo, los trminos de( )4b a +con unabaparecen un nmero de veces igual a41441== C . Siguiendo el mismo razonamiento se tiene que: ( )4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 44434241404b a b a b a b a b a b a++++= + De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una generalizacin del desarrollo del binomio: ( )n n n n n n nbnnb anb anb anb ananb a+ +++++= + 4 4 3 3 2 2 1 14 3 2 1 0 que en forma condensada se puede escribir como: ( ) 10= +=n b aknb ankk k n n que es el teorema del binomio expresado a travs de combinaciones. Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 14 Para encontrar el r-simo trmino del desarrollo se aplica la siguiente expresin: 1 11 + r r nb arn Ejemplo. Aplicando el binomio de Newton desarrollar( )6y x + Solucin: ( )== +606 66kk ky xky x

6 5 4 2 3 3 2 4 5 666564636261606y xy y x y x y x y x x++++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+++++=4 2 3 3 2 4 5 6! 4 6 ! 4! 6! 3 6 ! 3! 6! 2 6 ! 2! 6! 1 6 ! 1! 6! 0 6 ! 0! 6y x y x y x y x x

( ) ( )6 5! 0 6 ! 6! 6! 5 6 ! 5! 6y xy++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 5 4 2 3 3 2 4 5 6! 0 ! 6720! 1 ! 5720! 2 ! 4720! 3 ! 3720! 4 ! 2720! 5 ! 1720! 6 ! 0720y xy y x y x y x y x x + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 5 4 2 3 3 2 4 5 61 7207201 1207202 247206 672024 2720120 1720720 1720y xy y x y x y x y x x + + + + + + = 6 5 4 2 3 3 2 4 5 66 15 20 15 6 y xy y x y x y x y x x + + + + + + = Ejemplo. Obtener el cuarto trmino de la expresin( )20y x Solucin. Sustituyendo4 , 20 = = r n : ( ) ( )( )( )( )( )3 17 3 17 3 17 1 4 1 4 20! 17 ! 3! 20! 3 20 ! 3! 203201 420y x y x y x y x = = = +

( )( )( )3 17 3 171140618 19 20y x y x = = II.2.4 TRINGULO DE PASCAL El tringulo de Pascal es un esquema triangular de nmeros en cuyo vrtice hay un uno que corresponde a( ) 10= +b a . En el segundo rengln hay dos nmeros uno que correspondern a los coeficientes dea yb respectivamente.Lafilasiguienteseobtienesumandolosdosnmerosinmediatosalenlafila precedente y luego se le agrega un uno a cada extremo de la fila. Despus, se efecta una relacin entre los nmeros del tringulo de Pascal y la suma de las potencias dea y b , de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Grficamente esto es: Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 15 1 11 1 21 11 13 34 4 61 1 5 5 10 101 1 6 6 15 15 201 1 7 7 21 21 35 35( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )1 11 1( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )2 22 2( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )3 33 3( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )4 44 4( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )5 55 5( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )6 66 6( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )7 77 71( (( (a+b a+b a+b a+b) )) )0 00 0 Porejemplo,paraencontrarloscoeficientesdeldesarrollo( )5b a + ,seleaplicanlosfactoresdelafila correspondiente, tal y como se muestra en la siguiente figura: 1510 105 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a5 a4b a3b2a2b3 ab4 b5 Ejemplo. Aplicar el tringulo de Pascal para desarrollar( )63 46 2 b a + Solucin. Aplicando los coeficientes respectivos se tiene:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + = +432433342344 3546463 46 2 15 6 2 20 6 2 15 6 2 6 2 6 2 b a b a b a b a a b a ( )( ) ( )6353 46 6 2 6 b b a + + + + + + + + =15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24312 93 760 77 560 34 640 8 152 1 64 b a , b a , b a , b a , b a , a

18656 , 46 b + II.2.5 TEOREMA DEL BINOMIO CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS Lafrmulageneralparadesarrollarelbinomio( )nb a + tambinesaplicableenelcasodequeel exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla queb a >y0 > a . Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 16 Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma: ( )( )( )( )( )( ) + ++ + = + 333222! 32! 2b amm n m n nb amm n nb amna b amm nmm nmm nmnmn Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma: ( )( ) ( )( ) ++ +++ = + 3 3 2 2 1! 32 1! 21b an n nb an nb na a b an n n n n Ntese como en este caso, los signos de los trminos se alternan. Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un nmero infinito de trminos. Ejemplo. Obtener los seis primeros trminos del desarrollo( )52y x + Solucin. ( )( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = + 552345183513258535252! 5 125 3232 11! 4 625624! 3 12548! 2 25652y x,,y x y x y x y x x y x + + + + = 5523451835132585352000 375232 11000 156247504850652y x,,y x,y x y x y x x Ejemplo. Obtener los siete primeros trminos del desarrollo y x 3 21+ Solucin. ( )13 23 21+ =+y xy x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + 4 5 3 4 2 3 2 1 13 24243 2363 2223 2 2 3 2 y x!y x!y x!y x x y x ( ) ( ) ( ) ( ) + + 6 7 5 63 267203 25120y x!y x! ( ) + + + + = + 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 2 1 112872964243328116278943213 2 y x y x y x y x y x y x x y x II.2.6 CLCULO DE RACES POR MEDIO DEL BINOMIO Una de las aplicaciones que tiene el desarrollo del binomio es que pueden extraerse races considerando que( )nna a11 1 + = + . Esto es: ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) + + ++ + = + 44 1433 1322 12111143 1 2 1 1132 1 1121111 1 a! nn n na! nn na! nnanannnnnnnnnnPgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 17 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) + + ++ + = + 4433221! 43 1 2 1 1! 32 1 1! 21 11 1 ann n nann nannanan Para calcular la raz ensima de un nmero cualquiera, se descompone el nmero en dos sumandos, de forma tal que el primero sea la mayor potencia perfecta del orden de la raz y posteriormente se expresa como factor comn. Ejemplos. Calcular de forma aproximada las siguientes races: 1)30Solucin. 21511 52551 52551 25 5 25 30+ = + =+ = + =( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + ++ =44332251! 4 22 3 1 2 2 1 2 151! 3 22 2 1 2 151! 2 22 151211 5( ) ( ) 0954375 . 1 5 0000625 . 0 0005 . 0 005 . 0 1 . 0 1 5 + + + 4771875 . 5 2) 310Solucin. 313 33 3411 2821 2821 8 2 8 10+ = + =+ = + =( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + ++ =44332241! 4 33 3 1 3 2 1 3 141! 3 33 2 1 3 141! 2 33 141311 2( ) ( ) 07719264 . 1 2 00016075 . 0 00096450 . 0 00694444 . 0 08333333 . 0 1 2 + + + 15438528 . 2 Ntese como los trminos cada vez son ms pequeos, as que para fines prcticos, basta con calcular los primero cuatro trminos para tener una aproximacin razonable de la raz buscada. 3) 4260Solucin. 414 44 46411 425641 425641 256 4 256 260+ = + =+ = + = ( )( ) ( ) ( )( ) + ++ 3322641! 3 44 2 1 4 1641! 2 44 1641411 4( ) ( ) 03903982 1 4 00000020 0 00002288 0 0390625 0 1 4 . . . . + + 15615928 4. Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 18 II.2.7 INTERS SIMPLE E INTERS COMPUESTO Unintersesunbeneficioqueseobtienealprestarunacantidaddedinero,capital,duranteuncierto tiempo. Es decir, el inters es la diferencia entre el monto final y el capital inicial. Se llama tasa de inters o rdito al tanto por ciento al que est invertido un capitalCen una unidad de tiempo (por lo general se toma como unidad de tiempo el ao). La tasa anual de inters se representa por iy se expresa como un porcentaje (5%, por ejemplo) o como su equivalente en forma decimal (0.05). En los clculos normalmente se utiliza esta ltima expresin, aunque la informacin se transmita en forma de tanto por ciento. Inters simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversin, se deben nicamente al capital inicial (los intereses se retiran). Interscompuestoeselqueseobtienecuandoalcapitalselesumanperidicamente(engeneral,los periodossonanuales)losinteresesproducidos.As,alfinaldecadaperiodo,elcapitalquesetieneesel capital anterior ms los intereses producidos por ese capital en dicho periodo (los intereses se reinvierten). Frmula del inters simple El inters o rditoRque produce un capital es directamente proporcional al capital inicialC , al tiempot(en aos) y a la tasa de intersi(en decimal) : t i C R = Ejemplos. 1)Calcularacuntoasciendeelinterssimpleproducidoporuncapitalde$50,000invertidodurante4 aos a una tasa del 6% anual. Solucin ( )( ) 000 , 12 $ 4 06 . 0 000 , 50 = = R 2) Calcular el inters simple producido por $20,000 durante 90 das a una tasa de inters anual del 5%. Solucin. El ao bancario posee 360 das, as que:( ) 250 $3609005 . 0 000 , 20 == R 3) Al cabo de un ao, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses $1,200. La tasa de inters de esa cuenta de ahorro es del 2%. Cul es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese ao? Solucin. Sustituyendo:( )( ) 1 02 . 0 200 , 1 C =Despejando el capital: ( )( )000 , 601 02 . 0200 , 1= = C4)Unprstamode$40,000seconviertealcabodeunaoen$48,000.Culeslatasadeinters cobrada? Solucin. Los intereses han ascendido a:000 , 8 $ 000 , 40 $ 000 , 48 $ = Sustituyendo:( )( ) 1 000 , 40 000 , 8 i =Despejando la tasa de inters: ( )( )% 20 2 . 01 000 , 40000 , 8= = = iPgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 19 5)Uncapitalde$450,000invertidoaunatasadeintersdel3%duranteunciertotiempo,hasupuesto unos intereses de $9,000. Cunto tiempo ha estado invertido? Solucin. Sustituyendo:( )( ) t 03 . 0 000 , 450 000 , 9 =Despejando el tiempo: ( )( )meses aos t 83203 . 0 000 , 450000 , 9= = = Frmula del inters compuesto SeaCun capital invertido duranten aos a una tasaide inters compuesto por cada ao. Durante el primer ao el capital produce un inters i C , por tanto, el monto final 1M ser: ( ) i C i C C M + = + = 11 Despusdel segundoao, el monto 1Mproduceuninters( ) ( )21 i i C i i C + = + , por lo tanto,el monto final 2Mser: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 21 1 2 1 i C i i C i i C i C i i C M M + = + + = + + + = + + =

Prosiguiendodeformaanloga,sepuedeconcluirquealcabodenaoselcapitalinicialC ,invertido en la modalidad de inters compuesto se convertir en un monto final nM : ( )nni C M + = 1 Ntese como es un caso particular del teorema del binomio. Aunquelafrmuladelinterscompuestosededujoparaunatasadeintersanualdurantenaos,es tambinvlidasilosperiodosdeconversin(capitalizacin),sonsemestres,trimestres,das,etc.,slo que se tienen que convertir stos a aos. Por ejemplo: Si los periodos de conversin son semestrales, la expresin es: nniC M221+ =Si los periodos de conversin son cuatrimestrales, la expresin es: nniC M331+ =Si los periodos de conversin son trimestrales, la expresin es: nniC M441+ =La tasa de inters se encuentra despejando de( )nni C M + = 1 , esto es: ( ) 1 1 1 = = + + =nnnnnnCMiCMi iCM El capital inicial se halla despejando en la frmula original, esto es: ( )nniMC+=1 Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAMAnlisis combinatorio y teorema del binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 20 Por su parte,el tiempo deinversin tambin seobtienedespejando en la frmulaoriginal, utilizandolas propiedades de los logaritmos, esto es: ( ) ( )nnnni C M i C M + + = + = 1 log log log 1 log log10 10 10 10 10 ( )( ) iC Mn i n C Mnn+= + + = 1 loglog log1 log log log1010 1010 10 10 Ejemplos. 1)Determinarelmontoqueseobtendrdeuncapitalde$50,000despusde5aosaunatasade inters compuesto anual del 6%. Solucin. ( ) ( ) 27 911 66 338225578 1 000 50 06 0 1 000 5055. , $ . , . , M + = 2)Calcularlatasadeinterscompuestoanualquesehaaplicadoauncapitalde$90,000paraqueal final de 3 aos se haya convertido en $115,000. Solucin. % . . .,,i 51 8 0851 0 1 0851 1 1000 90000 1153 = 3)Unciertocapitalinvertidodurante8aosaunatasadeinterscompuestoanualdel12%seha convertidoen$2000,000.Calcularelcapitalinicial,sabiendoquelosinteresessehanpagado semestralmente. Solucin. De la expresinnniC M221+ =se despejaC : ( )56 . 292 , 787212 . 01000 , 000 ' 2218 2 2+=+=nniMC 4) Una persona solicit un prstamo bancario de $40,000 para comprar un automvil a una tasa de 24%. Sinoseefectuningnpago,calculareltiempoquetranscurriparaquesudeudasetransformaraen $70,000. Solucin. ( ) ( )aos ... .. log, log , logi logC log M lognn6015 2093421685 0602059991 4 845098040 424 0 1000 40 000 7011010 101010 10+=+=