TubosConcentricos_2015
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6. MODELAMIENTO Y CLCULO NUMRICO DE INTERCAMBIADORES DE
TUBOS CONCNTRICOS
6.1. Introduccin
La presente aplicacin desarrolla el modelo matemtico e implementa el clculo
numrico de un intercambiador de doble tubo o tubos concntricos sobre una Hoja
Electrnica. Se presentan dos versiones para la solucin del modelo matemtico y que
corresponden a: una visin clsica del mtodo integrado Mtodo de Colburn- y a una
solucin rigurosa del modelo diferencial del fenmeno continuo de transferencia de
calor. Inicialmente se desarrollan los elementos conceptuales mnimos para el
entendimiento del fenmeno asociado y as finalmente permitir, junto con los
programas elaborados, diferentes anlisis sobre la operacin y condiciones del
proceso. Adicionalmente se hace una exploracin de algunas situacionescorrespondientes a configuraciones no convencionales en la disposicin de los flujos de
los fluidos y a tratamientos ms rigurosos en la parte conceptual y en los clculos,
especialmente cuando se da la presencia de rgimen laminar o de transicin. Se
efectan comparaciones entre las soluciones obtenidas por los dos mtodos, que se
denominarn Aproximadoy Riguroso, para establecer lmites y recomendaciones a
nivel de clculo y sus restricciones. El clculo denominada Riguroso, despus de ser
desarrollado e implementado, se puede observar que es relativamente sencillo y an
ms si se dispone de una plataforma numrica de fcil manejo, como podra ser la
opcin que se propone en este trabajo como una posible alternativa.
El objetivo del clculo numrico es de rdenes didctico y acadmico; se instala sobre
una herramienta numrica Hoja Electrnica ExcelTM de fcil manejo, ampliamente
difundida y de caractersticas casi universales, bastante amigable e interactiva y con
una adecuada presentacin. Adicionalmente, se implementa para el modelo
matemtico y su clculo numrico una estrategia acorde con los desarrollos
computacionales actuales.
Una vez realizada la implementacin en la Hoja Electrnica se valida contra datos anivel de bibliografa y el resultado es bastante bueno. Adicionalmente, la estrategia
numrica resultante es muy estable y expedita en trminos del tiempo de
computacin. Finalmente, se presentan algunos anlisis, con base en datos obtenidos
directamente de los programa desarrollados, para poner en evidencia la incidencia de
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algunas variables y parmetros, lo mismo que los diferentes esquemas de flujo sobre
la operacin del intercambiador, y pone de manifiesto la utilidad y bondad de la
simulacin. En la parte inicial se hace una breve presentacin del equipo y algunos
elementos conceptuales del fenmeno como una referencia previa al anlisis de la
operacin.
Todo lo anterior se enmarca dentro del espritu investigativo para el desarrollo de
material con una intencin de aplicacin acadmica y quizs una posterior utilizacin a
nivel industrial. En general se estudia y analiza la posibilidad de implementar
programas de computacin para algunas operaciones de separacin y procesos
fisicoqumicos, a travs de herramientas que trabajan con lenguajes de alto nivel, que
se convierten en plataformas numricas relativamente sencillas, de una buena
presentacin y muy interactivas para el usuario.
2. Equipo
Los intercambiadores de doble tubo son los equipos de transferencia de calor ms
sencillos, fciles de operar y construir, y en algunas oportunidades una buena
alternativa econmica. Si el rea requerida en el proceso es relativamente baja o
moderada, menor de los 250 ft2, constituyen una buena opcin de solucin al
problema de intercambio de calor, fundamentalmente en el aspecto de costos y
construccin. Para situaciones que comprometan reas mayores, estos equipos
presentan problemas de eficiencia trmica, espacio, mantenimiento y problemas
hidrulicos; entonces son desventajosos frente a equipos ms compactos y eficientes
como los intercambiadores de tubos y coraza, intercambiadores de placas y otros
(12). Ver Aplicacin Intercambiadores de Placas en Anexo1.
El equipo, como su nombre lo indica, est constituido por dos tubos concntricos y
algunos pocos accesorios que los convierten en unidades muy sencillas y prcticas.
Sobre la parte descriptiva del equipo se puede consultar la bibliografa (5, 7, 8, 10).
La unidad bsica comnmente denominada horquillaest conformada por dos ramas y
con elementos adicionales, como puede verse en la figura 1. Los tubos utilizados son
algunos estndares, generalmente tubera IPS. Los dimetros usualmente van desde
2 hasta 4 en el tubo externo o nulo y de 1 hasta 3 en el tubo interno. Las
longitudes de la horquilla, longitud efectiva de cada rama, estn entre 12 hasta 20
pies. En el Anexose presentan los estndares de tubera IPS hasta un dimetro de
6.
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Figura 1. Unidad bsica de un intercambiador de tubos concntricos (7).
3. Coeficientes de transferencia de calor
En este tem se presentan algunas ecuaciones y observaciones para el clculo de los
coeficientes de pelcula en el tubo y en el nulo, y posteriormente la forma para la
evaluacin del coeficiente total de transferencia de calor.
3.1 Coeficiente de transferencia en el tubo
Fundamentalmente se busca que estos equipos operen en rgimen turbulento para
que originen valores ptimos de los coeficientes de pelcula. Para el caso de la
condicin de flujo turbulento en un tubo, Re>10000, se tienen varias expresiones y se
presentan algunas como elementos de ilustracin, pero en la bibliografa convencional
se encuentra una gran cantidad de ecuaciones empricas que pueden ser utilizadas
para situaciones especficas y que en algunas eventualidades pueden ser ms
precisas. No se reporta la bibliografa en la parte bsica de transferencia de calor pues
es abundante y muy conocida.
La ecuacin de DittusBoelter para un fluido que se calienta o enfra en un tubo es
qp
8.0
k
CDG023.0
khD
(1)
Siendo:k Conductividad trmica del fluido, Btu/h.ft.0Fcp Calor especfico, Btu/lb.0F
Viscosidad, lb/h.ftD Dimetro interno del tubo, inG Flujo msico, lb/h.ft2q Se toma igual a 0.4 0.3 cuando el fluido se calienta o se enfra,
respectivamente.h Coeficiente promedio de transferencia de calor, Btu/h.ft2.0F
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Dentro de las ecuaciones ms utilizadas a nivel prctico, debido a su consistencia y
precisin, se encuentra la expresin de Sieder y Tate la cual aglomera las condiciones
de calentamiento o enfriamiento y para ello utiliza el concepto de la temperatura de
pared, la cual ser motivo de una discusin posterior. La ecuacin es (7):
14.0
w
31
p8.0
k
CDG027.0
khD
(2)
w, es la viscosidad del fluido evaluada a la temperatura de pared.
Para rgimen de transicin, 10000 > Re> 2100, una de las expresiones ms utilizada
es (9)
14.0
w
31
p3/2
3/2
k
C125
DG)L/D(1116.0
khD
(3)
Donde L es la longitud bajo la cual se presenta el rgimen de transicin.
Para rgimen laminar, Re< 2100, flujo no desarrollado y descartada la presencia
simultnea de conveccin libre, se tiene la expresin (7)
14.0
w
3/1p L/Dk
CDG86.1
khD
(4)
El clculo de equipos con presencia de rgimen laminar a nivel de la bibliografa
convencional es quizs el que ms presenta error, debido a que se efecta sin tener
en cuenta algunas precisiones. Como se indic anteriormente la ecuacin es vlida
para flujo no completamente desarrollado, lo cual quiere decir que las capas lmites
trmica e hidrulica no se encuentran perfectamente definidas o, lo que es lo mismo,
los efectos de entrada no han desaparecido y que corresponde a la fase inestable.
Los efectos de entrada en el rgimen turbulento son relativamente despreciables y por
eso las expresiones anotadas anteriormente para esta condicin de flujo no los tienen
en cuenta, pues aqu predominan las fuerzas de inercia o sea las asociadas
fundamentalmente a la velocidad. Pero en rgimen laminar las fuerzas que
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predominan son las viscosas y por lo tanto los efectos de entrada son importantes.
Para mejorar la precisin del clculo es necesario caracterizar la circunstancia
particular, que como se indicar ms adelante puede ser bastante significativa en la
solucin final del problema.
Para ello, inicialmente es necesario calcular la longitud requerida para obtener el flujo
completamente desarrollado, la cual se denomina Longitud Trmica de entradaLth,
(1). Entre los modelos para hacer clculo integrado de equipos de transferencia de
calor se encuentra que el denominado Modelo de Temperatura de Pared
Constante, el cual es el que mejor lo representa y se utiliza como referencia para
encontrar la expresin de la longitud trmica de entrada. Para el modelo de
temperatura de pared constante se ha encontrado que para esta posicin (13), x =
Lth, el nmero de Nusselt local de transferencia de calor tiende a ser constante e igual
a
66.3KDhx (5)
Donde x es la distancia desde el punto de entrada y hxes el coeficiente de pelcula
local.
La ecuacin 4 permite el clculo del coeficiente de pelcula promedio del fluido entre
x = 0 y x = L. Este coeficiente de pelcula promedio se obtiene integrando elcoeficiente local a lo largo de la superficie, as
A
0
xdAhA1
h (6)
Donde A es el rea de transferencia de calor convectiva. Para rgimen laminar y con
un modelo de temperatura de pared constante se ha encontrado que (1)
3/1x Cxh
(7)
Siendo C una constante de proporcionalidad.
Al efectuarse el proceso de integracin anterior se obtiene que
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xh23
h (8)
La relacin anterior puede remplazarse en la ecuacin 4 y como para L = x = L thelnmero de Nusselt local es igual a 3.66, ecuacin 5, se obtiene finalmente la
expresin que permite calcular la longitud trmica de entrada
42.0
Wreth PRD039.0L
(9)
Lo anterior indica que la ecuacin 4 es vlida para L
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)Rlog()G01.01(25.2
L/Dk
CDG86.1
khD
e
3/1ra
14.0
w
3/1
p
(11)
Donde el nmero de Grashof, Gra, se expresa como
2112
22
21
2
23
ra
ss)tt(2)ss(
tgDG
(12)
Siendo:
, densidad del fluido
g, aceleracin de la fuerza de la gravedad
, expansin volumtrica
t, diferencia de temperatura convectiva
, viscosidad
s1, s2; densidades relativas del fluido a t1y t2, respectivamente
Las propiedades fsicas en la ecuacin 12 se evalan a la condicin media t12 del fluido
que se calienta, que para el caso se toma como ilustracin, pues la conveccin puede
aparecer en el fluido caliente y el procedimiento de clculo es similar. El factor de
correccin por la presencia de conveccin libre tiene sentido si es mayor que la
unidad, en caso contrario no se tiene en cuenta y el factor de correccin en la
ecuacin 11 es igual a uno.
3.2 Coeficiente de transferencia en el nulo
El clculo del coeficiente de pelcula cuando el fluido circula por la seccin anular seefecta usando el dimetro equivalente, que es la forma de llevar cualquier tipo de
configuracin geomtrica, como su nombre lo indica, al equivalente de un tubo, lo
cual permite la utilizacin de las expresiones encontradas para la forma tubular.
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Por definicin, el dimetro equivalente De, para transferencia de calor, es igual a
cuatro veces el rea de flujo de fluidos sobre el permetro de transferencia de calor, o
sea
1
21
22
1
21
22
e DDD
D)DD()4/(4D
(13)
Siendo D2y D1el dimetro interno del nulo y el dimetro externo del tubo interno,
respectivamente.
Para el caso actual el rea de flujo en el nulo es
)DD()4/(a 212
2a (14)
En las expresiones presentadas para el clculo del coeficiente en el tubo se remplaza
el dimetro interno por el dimetro equivalente y su respectiva rea de flujo aa.
3.3 Coeficiente total de transferencia
Figura 2. Resistencia total a la transferencia de calor.
Siendo DEy DIlos dimetros externo e interno del tubo interno.
El coeficiente total de transferencia de calor se calcula con base en todas las
resistencias que aparecen en el proceso, como se presenta en la figura 2.
oti RRRR (15)
R ioRtRo
Tc TW tc
nulo TuboPared
Lk2)D/D(L
Ah1
Ah1R
teoii
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En esta expresin, Ries la resistencia convectiva interna, Rt la resistencia conductiva
del tubo y Ro la resistencia convectiva externa. Expresando cada una estas
resistencias se obtiene
kL2 )D/D(LnAh 1Ah1R IEeoii (16)
Siendo Ai y Ae las reas convectivas interna y externa del tubo interno,
respectivamente; hi y ho los coeficientes de pelcula interno y externo,
respectivamente; DI y DE los dimetros interno y externo del tubo interno,
respectivamente; kt la conductividad trmica del tubo interno y L la longitud total de
transferencia de calor en el tubo.
Como aparecen dos reas convectivas, es necesario tomar una como referencia para
poder especificar el coeficiente total de transferencia. Convencionalmente, a no serque haya una especificacin diferente, el rea de referencia que se utiliza es la
externa del tubo interno (Ae).
La resistencia total en trminos del coeficiente total se expresa como
Lk2)D/D(Ln
Ah1
Ah1
UA1
t
IE
eoiie (17)
Reorganizando y simplificando la ecuacin 17 se obtiene
et
IE
oeiiA
Lk2)D/D(Ln
h1
A/Ah1
U1
(18)
Para el caso la relacin de Ai/Aees igual a DI/DEy el producto de hi(DI/DE) se designa
como hio, que indica el coeficiente del fluido que va por la parte interna corregido al
rea de referencia. Como Ae= DEL, la ecuacin 15 queda como
t
IEE
ooi k2)D/D(Ln.D
h1
h1
U1 (19)
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En la gran mayora de casos, el espesor del tubo es muy pequeo y la conductividad
trmica de su material es relativamente elevada; entonces por lo general el ltimo
trmino de la derecha se deprecia; la expresin final resultante es
ooi
ooi
hhhhU
(20)
En la eventualidad en que los valores de los coeficientes individuales sean muy
elevados es necesario tener en la cuenta la resistencia del tubo.
El coeficiente total considerado hasta este momento no tiene en cuenta el factor de
obstruccin, pero debido a su gran importancia se desarrollar con ms detalle en una
seccin posterior, despus de haber presentado otros conceptos. Por eso, al
coeficiente total de la ecuacin 20 se le denomina Coeficiente Total Limpio de
Transferencia de Calory se designa como UC.
4. Modelo integrado. Mtodo de Colburn.
A continuacin se presentan los diferentes elementos y conceptos que conforman la
metodologa del modelo integrado y especficamente el mtodo de Colburn (2).
4.1 Diferencia total de temperatura
En esta parte se presenta la metodologa y el desarrollo para originar una expresin
algebraica de la diferencia total de temperatura. Inicialmente se estudian arreglos
convencionales como el flujo en contracorriente, en paralelo, y posteriormente se
abordan algunos casos complejos.
4.1.1 Arreglos en paralelo y en contracorriente
Es necesario generar una expresin integrada que permita calcular la fuerza motriz
global del proceso, o diferencia total de temperatura, para poder as algebraicamente
disear o apreciar estos intercambiadores de calor. Para ello lo primero que se
observa es que existen varias posibilidades de disposicin de los fluidos en el equipo
(direccin relativa de los fluidos en el equipo) siendo los dos ms convencionales los
flujos en paralelo y en contracorriente. En la figura 3 se presentan los perfiles de
temperatura para los dos casos mencionados.
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Figura 3. Perfiles de temperatura para arreglos en contracorriente y paralelo
En este trabajo, el modelo de referencia o baseconsidera que el fluido caliente va
en el nulo y sus variables y parmetros se identifican con maysculas. Cuando el
fluido fro se ubica en el nulo posteriormente se indicar como quedan lasexpresiones del modelo.
Como puede observarse el comportamiento del perfil, en una forma cualitativa, es
bastante diferente y para saber cuantitativamente cul es ms ventajoso es necesario
plantear el modelo y originar una expresin integrada o integrar numricamente el
modelo diferencial del proceso. Lo que s se puede inferir en una primera visualizacin
de los perfiles es que el flujo en paralelo presenta un limitante termodinmico
desfavorable en el proceso de transferencia de calor. En el flujo en paralelo las
temperaturas a la salida tienden a parecerse y para un rea elevada las dostemperaturas de los fluidos son aproximadamente iguales, de tal forma que lo mximo
que puede lograrse es que t2 T2. Pero en el perfil para el flujo en contracorriente
puede observarse que t2 puede ser mayor que T2, y el limitante termodinmico es que
mximo t2podra ser aproximadamente igual a T1. Ello implica que en contracorriente
se puede dar que t2 > T2, aunque no necesariamente pues sto depende del rea del
equipo y de otros factores. A la diferencia (t2 -T2), cuando se presenta lo anterior, se
le denomina cruce de temperatura (7). Esto lgicamente constituye una ventaja
inicial muy importante para el flujo en contracorriente.
Para generar una expresin algebraica es necesario plantear el modelo matemtico del
proceso y hacer unas aproximaciones para poderlo integrar y uno de los ms
conocidos es el Modelo de Colburn (2). En el libro de Kern (7) se presenta la
deduccin en una forma detallada y aqu se precisan algunas cuestiones
T, t
t1
t2
T1
T2T
t t2t1
T1T
t
T2
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fundamentales del mtodo. El modelo se plantea para la condicin estable y para
situaciones sin cambio de fase (en la eventualidad de que se presente cambio de fase
debe ser total e isotrmico, o sea para una sustancia pura). Los calores especficos se
consideran constantes y evaluados a la temperatura media respectiva; el proceso
fundamentalmente es adiabtico con respecto al medio ambiente. La suposicin mscrtica es la de que el coeficiente total de transferencia de calor es una funcin lineal
de la temperatura, lo cual lleva posteriormente a valorar unas temperaturas
particulares denominadas temperaturas calricas, a las cuales se evalan los
coeficientes individuales de pelcula para completar el desarrollo del modelo algebraico
propuesto. Se presenta en forma simplificada, con una intencin que hace referencia a
la metodologa, la generacin de la expresin algebraica para un arreglo en
contracorriente.
La metodologa en general implica el planteamiento diferencial del modelo matemticode la conservacin de energa y la ecuacin del equipo; se intenta integrar la ecuacin
diferencial en trminos de una sola variable dependiente, por medio de relaciones
algebraicas entre ellas, y se aplican las condiciones de frontera dependiendo del
arreglo a estudiar. Se busca que la expresin final quede solamente en trminos de
las temperaturas del proceso. Inicialmente es necesario plantear un balance de calor
sobre un diferencial de rea, como se indica en la figura 4.
Figura 4. Esquema para el balance diferencial de calor. Flujo en contracorriente
Un balance de calor convectivo y de calor sensible para los dos fluidos sobre un
diferencial de rea origina
dx
t/x t/x+dx
x
T/x+dxT/x
t1
t2
T1
T2
T, tT
t
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dx"adAdonde);tT(dAUdTWCdtwcdQ xpp (21)
Donde a es el rea por unidad de longitud (ft2/ft) y que se encuentra generalmente
tabulada en las especificaciones de tubera IPS. Ver Anexo.
Debido a que el modelo considera que no se presentan prdidas, un balance de calor
desde la entrada hasta la posicin xgenera la siguiente relacin entre T y t,
)tt(WC
wcTT)TT(WCt)tt(wc 1
P
p22p1p (22)
La relacin anterior permite obtener la ecuacin diferencial en trminos de una
variable dependiente, en este caso t, que despues de algn manejo matemtico
resulta en
p
P
p1
P
p2x
wc
t)1WC
wc(t
WC
wcT''aU
dxdt
(23)
La solucin de esta ecuacin diferencial de primer orden es inmediata y se integra
desde x = 0 hasta x = L, donde t = t1y t = t2, respectivamente. Al utilizar la relacin
de un balance de calor global se obtiene
)tt(WC
wcTT)TT(WC)tt(wcQ 12
P
p1221p12p (24)
Finalmente, despus de algunas simplificaciones y reagrupamientos, para un arreglo
en contracorriente se obtiene
(25)
Como puede observarse en la ecuacin 25 la diferencia total es la media logartmica
de las diferencias de temperaturas en los extremos del intercambiador. A la diferencia
)tT()tT(Ln
)tT()tT()t(
12
21
1221T
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(T1- t2) se le denomina t2o thy a (T2 t1) como t1o tc, y corresponden a las
diferencias en los extremos caliente y fro, debido a que se encuentran all las mayores
y menores temperaturas para flujo en contracorriente, respectivamente.
Una forma comn de presentacin para la diferencia de temperatura total del procesopara flujo en contracorriente es
(26)
Si se efecta un desarrollo para el flujo en paralelo se encuentra una expresin
similar, pero las diferencias de temperatura en los extremos son diferentes
(27)
Para continuar con el anlisis de la eficiencia trmica de los dos arreglos es necesario
colocar algunos valores y se busca que cada caso sea representativo de alguna
situacin particular de inters.
Tabla 1. Datos para el clculo comparativo de la MLDT.
T1(0F) T2(0F) t1(0F) t2(0F)
300 200 100 180
300 300 100 180
300 200 100 220
300 200 100 200
Para la primera situacin se encuentra que MLDTC > MLDTP y el proceso puede
realizarse con cualquiera de los arreglos; aunque con una gran ventaja para el arreglo
en contracorriente. En el segundo caso el fluido caliente se comporta isotrmicamente(por ejemplo, condensacin isotrmica de vapor de agua) y por ello T1 = T2; se
observa que el clculo produce el mismo valor de la MLDT, o sea que para este caso
podra ser indiferente el tipo de arreglo, pero estrictamente no es correcto puesto que
es necesario ver otras variables que participan en el proceso global de transferencia y
1
2
12C
tt
Ln
tt)MLDT(
)tT(t
)tT(t
tt
Ln
tt)MLDT(
221
112
1
2
12P
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en particular cuando se presenta rgimen laminar. Para el tercer caso se requiere que
t2 > T2, lo cual implica que en un arreglo en paralelo no sea posible realizar este
proceso. De lo cual se infiere que en algunos casos el flujo en paralelo no solamente
es menos ventajoso, sino que el proceso no puede efectuarse.
En el ltimo caso t2= T2lo cual implica que para un arreglo en paralelo se requiere un
rea infinita y por ello necesariamente debe utilizarse flujo en contracorriente. Pero al
calcular la MLDT se presenta un problema numrico de indeterminacin del tipo 0/0,
debido a que t2 = t1. Para ello es necesario aplicar el teorema de LHopital y
matemticamente el problema puede plantearse, para los datos especficos del caso,
como
x-100MLDT (x)= ;si x 100
xLn( )100
(28)
y que al aplicar el teorema resulta
100x)
100x
(Ln
100x)x(MLDT
(29)
De todo lo anterior puede concluirse que el flujo en contracorriente es mucho ms
ventajoso en la gran mayora de oportunidades y el flujo en paralelo se podra utilizar
en situaciones muy particulares como cuando uno de los fluidos se comporta
isotrmicamente; y en especial cuando hay rgimen laminar con la presencia
simultnea de conveccin libre, la cual puede ser favorecida por la forma del perfil que
presenta este arreglo.
Como una gran conclusin puede decirse que el arreglo en contracorriente es la mejor
estrategia para transferir calor, en trminos que implica una mayor transferencia de
calor en un equipo especificado o una menor rea del equipo si se pretende
dimensionarlo. Esto es vlido en un proceso de transferencia de calor sin reaccin
qumica, pues en este caso particular no es la forma ms adecuada y correcta de
operacin. En la Aplicacin de Analisis Trmico en reactores de lecho fijo se
realiza un amplia discusin sobre el tema en particular y se advierte sobre la
extensin equivocada de utilizar el arreglo en contracorriente en equipos con
presencia de reaccin qumica. El esquema en contracorriente es el ms frecuente en la
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prctica industrial; probablemente se deba a que por extensin un reactor tubular se
asimila con un comportamiento anlogo al de un intercambiador de tubos. Sin embargo,
como lo seala Rase (11), la semejanza es slo remota.
De aqu en adelante el arreglo que se utilizar es en contracorriente, a no ser que sediga algo diferente. Ms adelante se generan expresiones, con base en estos dos
arreglos bsicos, para otros arreglos complejos, los cuales sern motivo de discusin
posterior.
4.1.2 Arreglos complejos
En algunas oportunidades se utilizan arreglos denominados complejos y generalmente
presentan en una forma simultnea los dos arreglos convencionales ya mencionados.
As el clculo de la diferencia total en estos arreglos complejos aprovecha lasexpresiones obtenidas para las disposiciones en paralelo y contracorriente y la
solucin del problema es fundamentalmente algebraica.
4.1.2.1 Arreglos en serie paralelo
Este tipo de arreglo se emplea usualmente como una alternativa de solucin cuando
se presentan problemas hidrulicos originados por elevadas cadas de presin en una
de las corrientes. Se indica en la figura 5.
Figura 5. Equipo con corrientes paralelas (7).
La corriente que tiene problemas de cada de presin se divide en corrientes paralelas
y la otra corriente fluye en serie a lo largo del intercambiador. Considrese la situacin
en que cada una de las corrientes paralelas atraviesa una parte proporcional igual de
la longitud del equipo. El resultado en la disminucin en la cada de presin es
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bastante bueno y es una mejor alternativa que la utilizacin de una derivacin, la cual
compromete un rea adicional importante mientras que la disminucin de la cada de
presin no es tan drstica. Adicionalmente, cuando se emplea una derivacin se
presenta una disminucin notable en la diferencia total de temperatura y en el
coeficiente total U, lo cual implica un rea adicional elevada para cumplir con losrequerimientos de calor del proceso; por esto, no es una buena alternativa como para
tener en cuenta.
Como se indica en la figura 5, si el fluido fro que va por el tubo y es el que presenta
problemas de cada de presin, y si para ello se utilizan dos corrientes paralelas, la
reduccin terica es de 1/8 con respecto al valor inicial, pues la longitud de friccin y
la velocidad msica se reducen a la mitad y P es proporcional a Gt2L. En la prctica
este valor es menor debido a que en la solucin integral del problema es necesario
suministrar ms rea, lo cual implica una cada de presin adicional por aumento en lalongitud del equipo. La gran ventaja que tiene la utilizacin de corrientes paralelas es
que la diferencia total de temperatura, con respecto a un arreglo inicial en serie, casi
no disminuye. En general, e independientemente del nmero de corrientes paralelas,
las diferentes zonas quedan operando en contracorriente.
Para encontrar la expresin de la diferencia total de temperatura del proceso es
necesario utilizar desarrollos algebraicos bsicos para que finalmente la expresin
quede en funcin nicamente de las temperaturas de proceso y del nmero de
corrientes paralelas. En (7) se encuentra el desarrollo para cuando se utilizan dos
corrientes paralelas en el fluido caliente y despus presenta expresiones
generalizadas; considera que es conveniente expresar la diferencia total del proceso
en trminos de la diferencia mxima (T1 - t1) as,
)tT(t 11 (30)
Para una corriente caliente en serie y ncorrientes paralelas del fluido fro se tiene la
expresin
11
12
12
21
n/1
tTtT
'P)tt(n
TT'R
'R1
'P1
'R1'R
Ln1'R'nR'P1
(31)
-
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Para cuando R = 1 se presenta una indeterminacin en la ecuacin 31 y aplicando el
teorema de LHopital se obtiene
(32)
Para una corriente fra en serie y ncorrientes calientes en paralelo se obtiene
11
21
12
21
n/1
tTtT
"P)tt()TT(n
"R
"R"P
1)"R1(Ln
"R1n"P1
(33)
4.1.2.2 Arreglo en serie paralelo
Figura 6. Arreglo en serie paralelo.
Para el arreglo correspondiente a la figura 6 se presentan dos zonas, con respecto a la
disposicin de los fluidos. En la zona I se observa que los fluidos van en paralelo,
mientras en la zona II estn en contracorriente. La idea es originar una expresin o
mtodo de clculo que permita valorar la diferencia total de temperatura del proceso.
Entre las dos zonas el fluido caliente lleva una temperatura intermedia que se
denominar Txy la cual es necesario expresarla en trminos de las temperaturas de
entrada y salida que son las que se conocen. Debido a que Txno se puede obtener en
forma completamente explcita, sto implica que es necesario un proceso de ensayo y
error.
Del balance global se tiene que
1
'P
1n
'P1n/1
t1
t2I
T1
T2
I
II
t2II
t2TX
-
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IIIIIIIIIIII )t(AU)t(AUQQQ (34)
con
IIC
IIIP
I MLDT)t(yMLDT)t( (35)
Si se considera que AI= AII= A/2 y que UI= UII= U, se obtiene de la ecuacin 34
)t(UA2
)MLDTMLDT(UAQ
IIC
IP
(36)
Lo cual implica que
2)MLDTMLDT(
)t(II
CI
P (37)
Tanto la MLDTPI como la MLDTCII son funciones de Tx, y como esta temperatura
intermedia del fluido caliente no puede obtenerse en una forma completamente
explcita, esto implica que necesariamente debe acudirse a un proceso iterativo.
Las ecuaciones de soporte son:
En la zona I un balance de calor entre el fluido caliente y el fluido fro produce
12
2112x
I2 tt
TTR;t)TT(
R2
t
(38)
En una forma similar en la zona II se origina
1X1II
2 t)TT(
R
2t (39)
Relacionando las zonas a partir de las ecuaciones de diseo y balances de calor en el
fluido caliente se tiene que
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IIC
IP
x12xMLDT
MLDT)TT(TT (40)
Las ecuaciones 38, 39 y 40 son funciones de Tx y puede plantearse el siguiente
proceso iterativo: suponer un Txy con este valor calcular t2Iy t2
IIde las ecuaciones 38
y 39, respectivamente. Con estos valores se pueden evaluar MLDTPIy MLDTC
IIy por
medio de la ecuacin 40 se obtiene un nuevo valor de Tx. Si no son iguales se sigue
iterando hasta que se satisfaga un criterio de error permitido entre el valor supuesto y
el valor calculado. Al tener el Txsolucin se calcula la diferencia total del proceso por
medio de la ecuacin 37.
4.2. Factor de obstruccin Rd
A medida que transcurre el tiempo en que funciona un intercambiador se desarrollauna resistencia adicional a la transferencia de calor debida a la sedimentacin,
incrustacin, deterioro del material u otra circunstancia que hace que se presente una
disminucin en la velocidad de transferencia de calor. A esta resistencia adicional se le
denomina factor de obstruccin Rd.
Figura 7. Perfiles de temperatura y el factor de obstruccin.
Cuando un equipo est nuevo o en condiciones limpias (recin efectuada su limpieza)las temperaturas de salida se conocen como temperaturas limpias de salida, t2 y T2.
Si se denomina el tiempo de operacin del equipo, se tiene que para = 0 se
originan las temperaturas limpias, que corresponden a los perfiles en lneas
punteadas, como se indica en la figura 7.
75
125
175
225
275
325
0 0.2 0.4 0.6 0. 1
Distancia Adimensional
t2'T2't2T2
Temperaturas
t,T
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Para el tiempo cero la ecuacin de diseo de Fourier es
'MLDTAU'Q C (41)
La MLDT se calcula con las temperaturas superindicadas como primas, lo mismo que
Q. UCes el coeficiente total limpio de transferencia de calor y es el calculado mediante
la expresin o ecuacin 20, con base en los coeficientes individuales de pelcula de los
fluidos.
Para un tiempo transcurrido de funcionamiento se habr desarrollado un factor de
obstruccin Rd y la ecuacin de Fourier ser
MLDTAUQ (42)
Siendo Q el flujo de calor, U el coeficiente global y la MLDT los valores que en ese
momento hay en el equipo. Como consecuencia de la aparicin de R dse presenta una
disminucin del flujo de calor y por ello t2es menor y T2es mayor, con respecto a las
condiciones limpias.
El coeficiente global U en ese momento se calcula como
dC RU
1U1
(43)
Es importante anotar que para efectos de clculo en el mtodo integrado se considera
que U cambia porque Rd va aumentando, pero el valor de UC permanece
sustancialmente constante (7). Lo anterior no es estrictamente cierto, pero para
efecto de clculos no completamente rigurosos es vlida la suposicin. Esta
aproximacin permite calcular UCcon las temperaturas del proceso, que son las que
en la prctica se conocen. Lo anterior permite dimensionar y apreciar
intercambiadores de calor en una forma muy rpida y sencilla. Dentro de los
programas elaborados se desarrolla una opcin de clculo menos imprecisa y all el UC
se calcula con las temperaturas de salida a condiciones limpias y sirve de contraste
para observar que tan vlida es la aproximacin indicada anteriormente.
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Cuando se tiene un tiempo de operacin especificado del equipo, generalmente
corresponde al perodo de mantenimiento de los equipos que existen en la planta, la
expresin de Fourier se expresa como
dCD
RU1
U1 (44)
UD se denomina el coeficiente global de diseo y Rd el factor de obstruccin para el
perodo especificado de la operacin.
El concepto del factor de obstruccin aparece inicialmente como un indicador de la
obstruccin que va apareciendo con el tiempo, pero puede utilizarse indirectamente
con otros propsitos. Una de las primeras aplicaciones es que permite predecir, con un
clculo relativamente sencillo, qu tan obstruido o sucio se encuentra un equipo, sinnecesidad de tener informacin previa de su funcionamiento, tanto del tiempo de
funcionamiento como de las temperaturas iniciales limpias. Para ello se valora la
ecuacin de Fourier, Q = UAMLDT, con los datos reportados en ese momento. Lo
anterior permite calcular el coeficiente U actual y adicionalmente con las expresiones
para los coeficientes de pelcula y sus temperaturas respectivas se calcula el UC.
Mediante la siguiente expresin se obtiene el factor de obstruccin que tiene el equipo
hasta ese momento.
UUUUR
C
Cd
(45)
Un valor de Rd= 0,003 para un perodo normal de operacin es un buen punto de
referencia que se puede utilizar para indicar qu tan obstruido est un equipo. Si el Rd
calculado de la ecuacin 45 es igual o mayor que el Rd de referencia, indica que el
equipo est obstruido o sucio y se recomienda su mantenimiento para limpieza. Si el
valor calculado es relativamente pequeo quiere decir que el equipo esta
sustancialmente limpio. Si el factor de obstruccin es menor que 0,003 puede
esperarse un perodo adicional de operacin, segn el valor calculado de R d.Si ste es
bastante pequeo y negativo, quiere decir que UCU y el equipo est sustancialmente
limpio. Si el Rdcalculado es mucho mayor que el de referencia se dice que el equipo
est obstruido y necesita limpieza.
-
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Otra aplicacin indirecta del concepto del factor de obstruccin es su utilizacin para
apreciar intercambiadores de calor. Apreciar un intercambiador es valorar si para
unas condiciones de proceso determinadas (flujos, temperaturas, factor de
obstruccin requerido y cadas de presin permitidas) un equipo disponible (con
geometra completamente especificada) sirve o no trmica e hidrulicamente, lo cualimplica que deba tener el rea suficiente y las cadas de presin adecuadas.
Con las condiciones del proceso y el rea del equipo se puede calcular el UDpor medio
de la ecuacin de Fourier, ecuacin 44, y con las expresiones respectivas para los
coeficientes de pelcula se puede conocer UCy por medio de la siguiente ecuacin se
puede evaluar el Rdofrecido por el equipo,
UU
UUR
C
C
d
(46)
Hay que tener en cuenta que el Rdcalculado en esta forma es ms un indicador de
rea que su concepto original de obstruccin. Si el Rd ofrecido es mayor que el
requerido el equipo sirve, pero puede tener un exceso de rea si la diferencia es
grande. Si el Rdofrecido es menor que el requerido implica que al equipo le falta rea.
Si es igual a cero o negativo quiere decir que le falta bastante rea y an en las
condiciones limpias no cumple con las condiciones del proceso, como ocurre cuando el
valor es negativo.
Otra aplicacin del factor de obstruccin se presenta cuando se pretende dimensionar
intercambiadores; para este caso el equipo no esta completamente configurado
geomtricamente, se requiere un determinado factor de obstruccin y se busca
calcular el rea total requerida para el proceso, para unas cadas de presin
permitidas. Si se conocen los dimetros de los tubos y las condiciones del proceso se
puede calcular UCy con el factor de obstruccin requerido se evala el coeficiente total
UD, y as se puede obtener el rea total por medio de la ecuacin de Fourier, ecuacin
44. En algunas ocasiones ms abiertas es necesario efectuar un proceso iterativo, el
cual implica suponer una pareja de tubos y efectuar el procedimiento anterior hasta
encontrar la mejor configuracin que cumpla con los requerimientos del proceso. Lo
anterior es una primera aproximacin de optimizacin trmica que hace referencia al
equipo ms pequeo que satisfaga los requerimientos trmicos e hidrulicos del
proceso.
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286
4.3 Temperaturas calricas
La mayor debilidad del modelo algebraico es suponer que el coeficiente global de
transferencia es constante, lo cual fue necesario aproximar para poder efectuar el
proceso de integracin y as lograr una expresin algebraica para la diferencia total de
temperatura. Se trata de encontrar ahora las temperaturas a la cual debe ser
evaluado el coeficiente total Uxpara que el proceso quede operando con una diferencia
total que corresponde a la encontrada, o sea la MLDT.
Para ello es necesario hacer lo supuestos indicados en la deduccin de la expresin de
la MLDT y adicionalmente considerar una forma de la variacin del coeficiente en
funcin de la temperatura. Colburn (7) presenta una expresin de la forma
testancons'by'a),t'b1('aU (47)
En un desarrollo de la ecuacin diferencial del fluido fro (7) y teniendo en cuenta la
forma de variacin del coeficiente total U e integrando a lo largo de la trayectoria de
transferencia se llega a que
)tUtU
(Ln
tUtUAQ
12
21
1221
(48)
Siendo U1y U2 los coeficientes totales evaluados en el terminal caliente (T1, t2) y el
terminal fro (T2y t1), para el flujo en contracorriente.
Colburn propone un coeficiente total de tranferencia U tal que el equipo opere con una
diferencia total correspondiente a la MLDT, al cual designa como Ux; entonces se
deben encontrar las temperaturas que denomin calricas tcy Tc. De tal forma que la
ecuacin inicial de Fourier se puede plantear como
)tUtU(Ln
tt
UA
Q
12
21
12x
(49)
Donde Uxse evala como
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287
1
2
12
12
21
1221
cx
t
tLn
ttt)t'b1('at)t'b1('a
Ln
t)t'b1('at)t'b1('a
)t'b1('aU
(50)
Para encontrar las temperaturas calricas se expresa la fraccin calrica como
12
1cc tt
ttF
(51)
Si se definen
h
c
2
1
1
12c
tt
tt
r
UUUK
(52)
al sustituir en la ecuacin 50 se obtiene
cc
cc K
1
rLn
)1K(Ln1
))1r/(r()K/1(F
(53)
Finalmente las expresiones para calcular las temperaturas calricas son
)TT(FTT
)tt(Ftt
21c2c
12c1c
(54)
El procedimiento para calcular las temperaturas calricas puede resumirse as: con las
respectivas temperaturas en cada uno de los terminales se evalan los coeficientes
totales locales U2 = f (hio(t2),ho(T1)), y U1 = f (hio(t1),ho(T2)). Con U2 y U1 puedecalcularse Kc= (U2, U1), ecuacin 52. Finalmente con Kc y r se obtiene Fc (ecuacin
53) y con ste se calculan las temperaturas calricas tcy Tc(ecuacin 54).
6.4.4 Temperatura de pared
-
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Para la elaboracin de modelos integrados y en particular cuando se presenta rgimen
laminar, en el clculo de intercambiadores de calor se pueden suponer varias
condiciones de frontera para flujo completamente desarrollado y esto implica que la
tendencia del nmero local Nusselt sea diferente (1). Ver tabla 2.
Tabla 2. Condiciones de frontera para flujo laminar completamente desarrollado (1).
Condicin de frontera
Temperatura de Pared Flujo de calor Perfil de Velocidad Numero local de NusseltConstante Variable Parablico 3.66Variable Constante Parablico 4.36
Constante Variable Uniforme 5.75Variable Constante Uniforme 8.00
Para la mayora de los casos prcticos cuando se utilizan intercambiadores de calor se
considera que el modelo es de temperatura de pared constante y un perfil de
velocidad parablico, lo que implica un flujo de calor variable, y el cual se ajusta
bastante bien al comportamiento real de lo que sucede en la operacin. Por eso en el
modelo integrado que se utiliza para dimensionar intercambiadores de calor, tanto
para flujo laminar como para flujo turbulento, se denominan Modelo de
Temperatura de ParedConstante. ste en s, es una aproximacin, pero quizs la
ms cercana al evento real de un clculo no completamente riguroso.
Con este concepto o aproximacin se completa el modelo integral y se habla de una
temperatura de pared del proceso, tw, que se calcula a partir de las temperaturas
calricas y los coeficientes individuales de pelcula. Es importante anotar que la
expresin respectiva de la temperatura de pared es diferente segn la ubicacin de los
fluidos en el equipo.
Q
Figura 8. Esquema de las temperaturas del modelo. Fluido fro en el tubo interno.
Tc
tc
twho
hio
-
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Si el fluido fro se calienta en el tubo interno, ver figura 8, un balance de calor
para generar la expresin de twdel proceso es
iooiooo
wc
io
cw
ioo
cc h/1Rh/1R;R
)tT(
R
)tt(
RR
)tT(Q
(55)
De estas expresiones se obtiene
)tT(hh
hTt
)tT(hh
htt
ccoio
iocw
ccoio
ocw
(56)
En una forma similar, si el fluido caliente se ubica en el tubo internose generan
las siguientes expresiones para la temperatura de pared del proceso
)tT(hh
hTt
)tT(hh
htt
ccoio
ocw
ccoio
iocw
(57)
En el modelo integrado desarrollado por Colburn se presenta un pequeo
inconveniente en el proceso de clculo y es que para evaluar la temperatura de pared
del proceso es necesario conocer las temperaturas calricas y para calcular stas es
necesario conocer la temperatura de pared. Lo anterior se puede resolver mediante un
proceso de ensayo y error o un proceso iterativo, lo cual implica suponer un valor de
tw y validarlo con la ecuacin respectiva. Para evitar el proceso iterativo (7) se
modifica la expresin para calcular la temperatura de pared y utilizando los
coeficientes de pelcula sin correccin por la viscosidad; as, cuando el fluido caliente
va en el tubo
)tT(/h/h
/hTt
)tT(/h/h
/htt
ccootio
ioiocw
ccootio
oocw
(58)
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Donde la viscosidad de cada uno de los fluidos debe evaluarse a su respectiva
temperatura calrica, segn las expresiones
c
14.0
wo
c
14.0
wt
T,;
t,;
(59)
En general el procedimiento anterior no introduce un error importante, y en los
programas pueden utilizarse las dos opciones de clculo para la temperatura de pared.
El modelo de temperatura de pared constante ha sido utilizado extensivamente en la
generacin de expresiones empricas para la valoracin de coeficientes de pelcula e
indirectamente es un elemento que permite corregir la circunstancia de calentamiento
o enfriamiento del fluido y como referencia se utiliza la temperatura de pared tw.
Generalmente se presenta en trminos de una correccin a la viscosidad del fluido
por medio de un grupo adimensional de la forma
q
w
(60)
El valor de q usualmente es de 0.14 que corresponde a los mejores ajustes a nivel
experimental. Si un fluido en el equipo se calienta, el valor de debe ser mayor que la
unidad, ya que la temperatura de pared twes mayor que la temperatura calrica del
fluido; al contrario si el fluido se enfra el valor de es menor que la unidad.
En la figura 9 se presenta un esquema ms detallado del clculo del coeficiente global
a las temperaturas calricas para una condicin de rgimen turbulento en ambos
fluidos y el procedimiento simplificado para el clculo de las temperaturas de pared.
Para rgimen laminar, que corresponde a situaciones muy particulares, en la parte
correspondiente a los programas se detalla su forma de clculo; lo mismo sucede con
el rgimen de transicin. En la figura 9 el clculo comienza en los terminales y hacia
abajo para poder evaluar U1y U2y con estos valores calcular Kcy as ascender por la
columna central y llegar finalmente al valor de Uc. Lo anterior constituye el mtodo
integrado de Colburn y especficamente para el clculo de intercambiadores de calor
de doble tubo en rgimen turbulento.
-
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Figura 9. Modelo Integrado de Colburn. Rgimen turbulento.
U1, Uc, hio(t1), ho(T2) UC, hio(tc), ho(Tc)
31
p8.0
t
t
io
k
CDGDEk
027.0h
o
o
oot
t
ioio
hh,
hh
,
ooi
ooiC hh
hhU
t
ioh
31
p8.0
ae
eo
o
k
CGDDk
027.0h
)tT(
/h/h/h
tt ccootio
oocw
;
14.0
wt
14.0
wo
o
oh
)tT(/h/h
/htt 12
ootio
oo11w
3
1p
8.0ae
eo
o
k
CGDDk
027.0h
t 2w
14.0
wt
,14.0
wo
3
1p
8.0t
Et
io
k
CDGDk
027.0h
t
oo
oot
t
ioio
hh,
hh
)TT(FTT
)tt(Ftt
21c2c
12c1c
h
ooi
ooic1 hh
hhUU
)K,r(fF;t/tr;
UUU
K cc211
12c
t1
T2
-
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292
4.5 Cadas de presin
El clculo de las cadas de presin en un intercambiador de tubos concntricos es fcil
debido a que su configuracin geomtrica es relativamente sencilla. La cada de
presin para el fluido que circula por el tubo se calcula mediante la expresin
Dg72LfG
P2
tft
(61)
Siendo
Gt, flujo msico, w/at, lb/h.ft2
L, longitud total efectiva de friccin, ftg, aceleracin de la fuerza de gravedad gravedad, ft/h2, 4.18e8, densidad del fluido, lb/h.ft3
D, dimetro interior del tubo, ftf, es el factor de friccin, adimensional
Esta ecuacin calcula cadas de presin en psi y donde f es el factor de friccin
adimensional y el cual puede calcularse mediante las siguientes expresiones
2300R;R16
f
2300R;R
264.00035.0f
ee
e42.0e
(62)
sta es la nica cada de presin importante debido a que los cambios de direccin del
fluido en el equipo, para el fluido que va en el tubo, se alivia mediante una U. Para el
caso del fluido que circula en la seccin anular hay que considerar las prdidas por
retorno.
Para el clculo de la cada de presin en el nulo se utiliza el dimetro equivalente
para fluidos y para el caso se denomina como De y es igual a
1221
21
22
e DD)DD()DD()4/(
4'D
(63)
Donde D2es el dimetro interno del nulo y D1el dimetro externo del tubo interno,
respectivamente.
-
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293
Para el clculo de la cada de presin por friccin se utiliza la misma expresin que
para el tubo con la salvedad indicada anteriormente. Para la cada de presin
originada por las prdidas por retorno se calcula por medio de la expresin emprica
144g2VnP
2
ar
(64)
Donde nes el nmero de horquillas y las prdidas por regreso se calculan en psi.
La prdida total de presin en el nulo es la suma de las prdidas por friccin ms las
de retorno, as
144g2V
nDg72LfG
P
2
e
2
tat
(65)
Estas cadas de presin, tanto en el tubo como en el nulo, no deben exceder el valor
permitido o recomendado, pero deben estar tan cerca de este valor como sea posible.
Para el caso generalmente no deben exceder de 10-12 psi, en el caso de lquidos, y la
calculada debe estar muy cerca de este intervalo. Si la cada de presin es baja el
equipo trmicamente no est bien dimensionado, pues estos valores bajos en la cada
de presin implican poca turbulencia y por lo tanto bajos coeficientes de pelcula.
5.Mtodo integrado de las NTU
Existe otra metodologa para el clculo y apreciacin de intercambiadores de calor
denominada Mt od o d e la s N TU y de la cual se hace una breve presentacin
indicando sus ventajas y limitaciones, con respecto al mtodo anteriormente
desarrollado, denominado Mto do de l a M LDT oMt od o d e Co l b u r n.
El concepto de la eficiencia de un intercambiador fue propuesto por Nusselt y hace
referencia a la razn entre la transferencia de calor real y la mxima terica posible,donde esta mxima transferencia de calor posible implica la utilizacin de un rea de
transferencia de calor infinita; posteriormente Kays y London en el libro Compact Heat
Exchanger (13) trataron tal concepto con ms detalle y con miras a generar una
tcnica ms eficiente en el clculo de intercambiadores.
-
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294
Figura 10. Perfiles de temperatura para arreglos en contracorriente y en paralelo
Para este enfoque se definen las capacidades calorficas de los fluidos WCpy wcpcomo
C; y al mayor valor se designa como CMXy al menor CMN.
En la figura 10 y para flujo en contracorriente, la mxima transferencia de calor se
presenta cuando la temperatura del fluido con CMNse aproxime a la temperatura de
entrada del fluido con CMX. Para flujo en paralelo un rea infinita produce unas
temperaturas de salida igual a las que se generan en un proceso de mezclado
adiabtico (t2= T2).
Para el caso en que wcp sea CMN y para flujo en contracorriente se tiene para la
eficiencia del intercambiador, ,
)tT(C
)TT(C
11MN
21MX
(66)
Si el CMNes el fluido caliente se tiene que
)tT(C
)tt(C
11MN
12MX
(67)
Para el flujo de calor se puede escribir la expresin
)tT(CQ 11MN (68)
T, t
t1
t2
T1
T2
T
t t2t1
T1T
t
T2
-
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295
Para evaluar el flujo el calor que se transfiere en un equipo es necesario disponer de
una expresin que permita calcular la eficiencia del intercambiador. Para flujo en
contracorriente y cuando el fluido fro sea el CMN, y utilizando la expresin encontrada
para la diferencia total de temperatura para la MLDT, se tiene que
)tT()tT(
Ln
)]tT()tT[(UA)tt(CQ
12
21
122112MN
(69)
Las diferencias de temperaturas en los extremos se pueden expresar como
)tt()C
C1()tT(
)tt()11
()tT(
12MX
MN12
1221
(70)
Al sustituir las expresiones de la ecuacin 70 en la ecuacin 69 se origina
)C
C1(
CUA
expC
C1
)C
C1(
CUA
exp1
MX
MN
MNMX
MN
MX
MN
MN (71)
El mismo resultado se obtiene si el CMNcorresponde al fluido caliente.
Si al cociente UA/CMN se denomina el nmero de unidades de transferencia NTU, se
obtiene para flujo en contracorriente la siguiente expresin
)
C
C1(NTUexp
C
C1
)C
C1(NTUexp1
MX
MN
MX
MN
MX
MN
(72)
En una forma similar se origina una expresin para flujo en paralelo y que
corresponde a
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MX
MN
MX
MN
C
C1
)C
C1(NTUexp1
(73)
Las expresiones 72 y 73 relacionan la eficiencia del intercambiador en funcin de las
NTU y de CMN/CMX, para intercambiadores en contracorriente y paralelo, en un solo
paso. En la figura 11 se presenta la ecuacin en forma grfica de la eficiencia del
intercambiador para un arreglo en contracorriente.
Una de las ventajas que presenta el mtodo de las NTU esque cuando se conoce el
valor del coeficiente total U de un intercambiador se pueden calcular rpidamente y en
una forma muy sencilla las temperaturas de salida del equipo, sin necesidad de un
proceso iterativo (13). Aunque sto no es completamente cierto, pues en el caso de
un intercambiador de doble tubo y con el mtodo de la MLDT, con las mismas
suposiciones, no es necesario efectuar el proceso de ensayo y error indicado. En
intercambiadores con varios pasos o en intercambiadores de placas quizs se aprecie
esta ventaja. Algunos simuladores de procesos qumicos como el HYSYS, utilizan el
mtodo de las NTU, como una opcin de clculo de apreciacin, si los cambios que se
presentan en el intercambiador son muy leves, lo cual permite suponer que el
Figura 11. Eficiencia de un intercambiador con un solo paso y flujoen contracorriente. R = CMN/ CMX
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5
NTU
Eficiencia,
R = 0.00R = 0.25R = 0.50R = 0.75R = 1.00
-
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coeficiente total U fundamentalmente permanece constante; sto facilita los clculos
al conectar el intercambiador en la simulacin de un proceso global. Pero inicialmente
debe existir un mtodo que permita el clculo del coeficiente total del equipo, el cual
se realiza por medio de un mtodo integrado como el de Colburn, o un mtodo
riguroso mediante un modelamiento diferencial.
En situaciones en que se presentan varios pasos en el intercambiador puede ser una
opcin a tenerse en cuenta, pero implica que para su utilizacin sean necesarios
procedimientos iterativos, muy similares a los que se emplean en el denominado
mtodo de la MLDT. En la Aplicacin Modelamiento y Calculo Numrico de
Intercambiadores de Placas se presenta como una opcin algebraica de
dimensionamiento, pero con expresiones obtenidas de simulaciones con modelos
diferenciales. En la presente Aplicacin no se trabaja en detalle esta opcin, pues se
considera que para el caso en particular no introduce ninguna ventaja yadicionalmente el mtodo de la MLDT se considera ms sencillo y ms fcil de
generalizar.
En general el mtodo de las NTUse recomienda para calcular aproximadamente las
temperaturas de salida en intercambiadores de calor donde se conozca el valor del
coeficiente U o para control de procesos en situaciones especficas que requieran
respuestas rpidas para el manejo de la operacin.
6. Modelo diferencial
Como una opcin adicional de modelamiento y clculo numrico se presenta y
desarrolla el modelo diferencial para los arreglos convencionales y algunos arreglos
complejos. Se pone de manifiesto su mayor rigurosidad, generalidad y flexibilidad,
aunque se anota que en todas las eventualidades implica la utilizacin de una
herramienta numrica para integrar las ecuaciones diferenciales y la solucin de
problemas de valores de frontera. Para ello se propone y elabora la implementacin
sobre una Hoja Electrnica y se recuperan sus bondades numricas, interactividad y
sus caractersticas pedaggicas.
6.1 Flujo en contracorriente y paralelo
El proceso de transferencia de calor en un intercambiador es un fenmeno continuo
sobre una superficie y como tal debe ser expresado y solucionado en una forma
-
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diferencial. Los modelos integrados son metodologas aproximadas que permiten
integrar las ecuaciones diferenciales y para ello es necesario efectuar una serie de
supuestos. En esta seccin se plantea y desarrolla un clculo diferencial riguroso y la
probabilidad de errores no es de la formulacin en s misma, sino en las ecuaciones de
soporte de propiedades o de la precisin de las ecuaciones empricas para lavaloracin de los coeficientes de pelcula.
En la figura 12 se presenta un diferencial de volumen como punto de partida para el
desarrollo del modelo.
Figura 12. Diferencial de volumen. Flujo en contracorriente.
En un diferencial de rea y para flujo en contracorriente se tiene que para el fluido fro
)ft/ft("a,dx"adAdonde);tT(dAUdTWCdtwcdQ 2
xpp
(74)
Lo cual origina las dos ecuaciones diferenciales
)tT(WC
"aUdxdT
)tT(wc
"aUdxdt
P
x
p
x
(75)
Con las siguientes condiciones de frontera
21
12
tt,TTLx
tt,TT0x
(76)
dQ
x
t/xt/x+dx
t1 t2
x=0
x=L
T2 T1
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Sistema de ecuaciones diferenciales que presenta un problema de valor de frontera. El
problema de valor de frontera se encuentra en x = 0 donde T = T2y cuyo valor no se
conoce, y el punto de contraste se encuentra en x = L donde T = T1que es un valor
conocido. En la Aplicacin Anlisis trmico dereactores de lecho fijo se presenta
en detalle el mtodo de Newton para la solucin de problema de valores de frontera yall mismo se discute y presenta la solucin de los problemas de frontera sobre una
Hoja Electrnica, sin utilizar el sistema variacional de apoyo que necesita el mtodo de
Newton y las diferentes variantes de los denominados Mtodos S h o o t i n g (3, 4). Para
ello, en la parte concerniente a los programas, se presenta una breve explicacin para
su implementacin. En general la implementacin consiste en integrar las ecuaciones
diferenciales mediante una programacin lgica sobre la Hoja Electrnica y dadas las
caractersticas numricas de la plataforma las integracines posteriores, despus de
efctuada la instalacin, es un proceso de clculo automtico ante cualquier cambio de
entrada y la solucin del problema de valor de frontera se realiza como un problemaalgebraico que acta sobre un campo diferencial y utiliza una herramienta para
solucionar races denominada BUSCAR OBJET I VO.
Para el flujo en paralelo y con fines meramente didcticos, pues ya se anotaron sus
desventajas, la implementacin es muy similar y adicionalmente ms sencilla. Para el
arreglo en paralelo las condiciones de frontera son
22
11
tt,TTLx
tt,TT0x
(77)
Lo cual constituye para su integracin un problema de valores iniciales y no
compromete procesos iterativos. Es importante indicar que para este arreglo la
ecuacin diferencial del fluido caliente tiene un signo negativo.
Otra alternativa es integrar solamente una ecuacin diferencial, por ejemplo la del
fluido fro, y llevar la otra variable dependiente mediante una relacin algebraica de
conservacin de energa. Para el caso de flujo en contracorriente es de la forma
)tt(WC
wcTT xdxx
P
pxdxx (78)
-
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6.2 Arreglo complejo
Figura 12. Arreglo complejo.
En la figura 12 se presenta un arreglo similar al descrito en el numeral 4.1.2.2y del
cual se gener una expresin que permite el clculo de la diferencia total de
temperatura. Se encuentr que para poder originar la expresin integrada fue
necesario efectuar una serie de suposiciones que hacen el clculo cada vez ms
aproximado. Se toma este caso como referente de ilustracin para comparar los
resultados y la precisin obtenidos entre los modelamientos integrado y el diferencial
para estudiar la bondad de las soluciones. Se observa que en el modelamientodiferencial las aproximaciones son casi nulas y la generalidad y flexibilidad del modelo
y su solucin son definitivamente mejores.
Las ecuaciones diferenciales para este arreglo son
)tT(WC
"aUdx
dT
)tT(WC
"aUdxdT
)tT(wc)F1(
"aU
dx
dt
)tT(wcF
"aUdxdt
IIII
P
xII
II
P
xI
IIII
p
xII
II
p
xI
(79)
t1
t2I
T1
T2
I
II
t2II
t2TX
x
-
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Para una mayor flexibilidad se puede dividir la corriente fra en cualquier proporcin y
para ello Fes la fraccin en que se divide el flujo del fluido fro correspondiente a la
Zona I y por ende (1-F) para la Zona II. El modelo est formado por cuatro
ecuaciones diferenciales de primer y un problema de valor de frontera. Las
condiciones de frontera son
II2
II1
II
I2
I1
I
1II
xII
2I
xI
ttLx;tt0x
ttLx;tt0x
TTLx;TT0x
TTLx;TT0x
(80)
El problema del valor de frontera aparece para el fluido caliente en x = 0 ya que T x no
es conocido. Es necesario suponer un valor de Tx y la condicin de contraste se
presenta en z = L y que corresponde a que TII= T1, que es un valor conocido. Este
problema de valor de frontera se resuelve en una forma similar al planteado en la
ilustracin inmediatamente anterior. El clculo de los valores de cada una de las
propiedades fsicas y coeficientes se realiza punto a punto y adicionalmente puede
manejarse cualquier fraccin del fluido en cada una de las ramas, lo mismo que su
longitud. Para el clculo final de t2 se realiza un balance de energa entre las dos
corrientes t2I y t2II, como un proceso adiabtico. Esto compromete un proceso de
ensayo y error que se resuelve con la Hoja en forma automtica.
Como una alternativa para solucionar problemas hidrulicos se elabora el modelo
diferencial cuando se utilizan corrientes paralelas; pero su desarrollo e
implementacin se detallan en la parte correspondiente a los programas, anlisis y
conclusiones.
7. Programas, anlisis y conclusiones
Una de las primeras aplicaciones del mtodo integral es el clculo de las temperaturas
de salida en un intercambiador de tubos concntricos, para una condicin simplificaday que implica conocer el valor del coeficiente total de transferencia de calor U. De las
ecuaciones de conservacin de calor y de la ecuacin de diseo
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UAMLDTQ
)TT(WCQ
)tt(wcQ
21P
12p
(81)
Se pueden calcular t2 y T2. El sistema algebraico es de dos por dos, pues las dosprimeras ecuaciones son dependientes. Mediante un procedimiento algebraico con
algunas adecuaciones se puede despejar una de las temperaturas de salida, la cual
depende del tipo de arreglo que se utilice. Para flujo en contracorriente se obtiene (7)
)1R)(wc/UA(1
)1R)(wc/UA(1
2p
p
eR1
Rt]e1[T)R1(T
(82)
y para flujo en paralelo se genera la expresin
)1R)(wc/UA(1
)1R)(wc/UA(1
)1R)(wc/UA(
2p
pp
e)1R(
Rt]1e[T]eR[T
(83)
Donde
12
21
P
p
ttTT
WC
wcR
(84)
Las ecuaciones anteriores se pueden solucionar por medio de un proceso de ensayo y
error o mediante un proceso iterativo. No se pueden calcular directamente debido a
que R es funcin de las mismas temperaturas de salida.
Sobre la Hoja Electrnica es muy fcil implementar una estrategia de clculo que
permita solucionar el problema numrico. Para ello existen varias opciones, pero en
particular se presenta una alternativa por la simplicidad, estabilidad y efectividad para
la solucin del problema. La idea fundamental es convertir el problema en la solucin
de una raz de una funcin no lineal y as poder utilizar la herramienta BUSCAR
OB JET I VO, que es un Mto do de N ew t o n para calcular races. El ProgramaNo_1
soluciona el clculo de las temperaturas de salida en un intercambiador de tubos
concntricos. En la figura 13 se presenta una imagen delPrograma No_1.
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Para convertirlo en un problema de una sola variable se supone t2y se obliga a que se
cumplan las dos primeras expresiones de la ecuacin 81,lo cual se realiza por medio
de un COP I A DO ,que se puede visualizar en el programa mencionado en la figura 13.
En la Hoja Electrnica un copiado realizado en una forma lgica permite iterar y
solucionar una raz, la cual se recalcula automticamente ante cualquier cambio en losdatos. Con el valor supuesto de t2y su respectivo T2se obtiene un valor calculado de
t2(t2calc.) teniendo en cuenta la ecuacin del equipo, as
p
c1.cal2 wc
MLDTUAtt (85)
Figura 13. Clculo de las temperaturas de salida en un intercambiador de doble tubo. Programa No_1.
El lado derecho de la ecuacin 85 se calcula con los valores supuestos y se consigue la
solucin cuando la diferencia entre los valores supuesto y calculado es inferior a cierto
error permitido. La funcin a solucionar es Fun = t2calc. t2sup., y la variable
independiente es t2sup., sobre la cual acta el Mtodo de Newton por medio de laHerramienta BUSCAR OBJET I VO y la Macro est conectada con los botones de
opcinpara cada tipo de arreglo. Como puede verse la solucin es bastante sencilla
y no hay necesidad de utilizar las ecuaciones explcitas, ecuaciones 82 y 83,
recomendadas por Kern (7).
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Algunas de las primeras observaciones que se pueden visualizar son: se transfiere
ms calor en un arreglo en contracorriente, lo cual se manifiesta en que la
temperatura t2 es mayor que su respectiva para flujo en paralelo, bajo una misma
referencia; el limitante termodinmico del flujo en paralelo y el cual aparece cuando A
-> lo que implica que t2= T2; en contracorriente, para reas grandespuede sucederque t2> T2, superando el limitante termodinmico del flujo en paralelo. Adems, si se
pretende dimensionar, clculo del rea, el flujo en contracorriente compromete
menores reas de transferencia de calor. El clculo que por defecto realiza el
Programa No_1puede efectuarse por medio del Mtodo de las NTU, pero tambin
implica un proceso iterativo y en general no presenta ninguna ventaja en particular.
Para solucionar el modelo integrado de Colburn, especficamente aplicado en un
primer intento al rgimen turbulento en ambos fluidos, se implementa y desarrolla el
Programa No_2. La restriccin, nicamente para rgimen turbulento, es ms de tipodidctico y facilidad de visualizacin que cualquier otro tipo de limitacin de la
plataforma numrica para buscar una generalizacin del clculo.La metodologa del
trabajo es presentar niveles de modelamiento y cobertura cada vez ms rigurosos y
generales y paralelamente desarrollar la parte conceptual, tanto de la fenomenologa
del proceso de transferencia como de la parte numrica. El programa tiene una
pequea base de datos de propiedades fsicas para algunas sustancias y las
dimensiones geomtricas de la tubera estndar IPS utilizada en estos equipos. Las
constantes para las propiedades fsicas se obtienen directamente de la Hoja
Electrnica y pueden ser cambiadas y revisadas por el usuario, si dispone deinformacin ms segura y precisa para el clculo en particular. El programa presenta
dos versiones en Hojas separadas dependiendo de la ubicacin de los fluidos en el
equipo y es con la intencin de desglosar un poco ms el clculo para una mejor
visualizacin y facilidad, para que el usuario de este material aprenda a desarrollar e
implementar sus propios programas y versiones.
El programa tiene los clculos trmicos e hidrulicos para el intercambiador de doble
tubo, de esta manera puede posteriormente utilizarse para dimensionamiento y
optimizacin en trminos trmicos e hidrulicos. El caso inicial del programacorresponde al problema 6.1 del libro de Kern (7) y sirve como referencia de
comparacin y validacin de los resultados, debido a que se presentan algunas
diferencias en el procedimiento de clculo.
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Figura 14. Imagen del Programa No_2. Mtodo integrado de Colburn. Flujo turbulento.
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El programa tiene una estructura numrica de clculo por defecto que no es arbitraria
sino que es producto del exmen de las caractersticas propias de la Hoja Electrnica y
que posteriormente permite solucionar una gran cantidad de opciones de clculo sin
necesidad de alterar la estructura bsica. Esta estructura base permite apreciar el
intercambiador de tubos concntricos para unas condiciones de proceso y un equipoespecificados. La apreciacin se hace a travs de valorar el factor de obstruccin R d
(Factor de obstruccin ofrecido por el equipo) y el cual se compara con una valor
requerido. Adicionalmente la macro Calcular No de Horquillas realiza el clculo
automtico del nmero de horquillas para un valor de Rd requerido,
dimensionamiento, y lo aproxima a un nmero entero inmediatamente superior,
para que corresponda a un resultado ms real y prctico; teniendo en cuenta que por
esta estructura siempre se presentar un ligero sobredimensionamiento, expresado
como un exceso de factor de obstruccin, y la solucin final en algunos casos es
criterio de la persona que dimensiona y que resulta de la cultura y formacin deldiseador. El programa permite manualmente visualizar lo que se hace y as ser un
elemento formativo y no solamente una herramienta que calcula y arroja resultados.
Figura 15. Mensajes aclaratorios en algunas celdas. Programa 2.
El usuario puede colocar parmetros geomtricos o de proceso y observar
inmediatamente el clculo del factor de obstruccin y las cadas de presin, y as de
esta forma puede analizar como debe ir variando o cambiando los parmetros para
una optimizacin del equipo. Los valores de las celdas en negrilla son datos deentrada y que se pueden cambiar. Las celdas en negrilla y con un fondo
amarillo claro tienen losvalores calculados de las variablesque se consideran
las ms importantes del proceso y cuyos resultados no pueden ser modificados por el
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ususario. Algunas celdas que contienen valores importantes poseen mensajes
aclaratorios de los mismos, como puede observarse en la figura 15.
El programa tiene la estructura de clculo sobre la Hoja Electrnica similar a la
presentada en el esquema de la figura 9. Para seguridad del programa la mayora del
mismo se encuentra protegido y solamente algunas pocas celdas, generalmente lascorrespondientes a valores de entrada, no estn protegidas; y hay otras que pueden
permitir algunos clculos adicionales elaborados por el usuario. Es importante indicar
la gran ventaja de la Hoja Electrnica, pues como es una matriz completamente
encadenada cualquier cambio de un valor de entrada o de un componente realiza un
clculo automtico de todo el problema, y en algunos casos, dependiendo del
problema, es necesario ejecutar la macro.
Para el caso de ilustracin los resultados son muy similares a los presentados en (7),
aunque en esta alternativa se precisa y efecta con mayor detalle y rigurosidad elclculo de las temperaturas calricas. Debido a que los dos fluidos son poco viscosos y
los cambios en las temperaturas de los mismos no son elevados, el clculo realizado a
las temperaturas promedios no introduce un error importante; pero sto no es
extensivo a todas las circunstancias. Al cambiarse la ubicacin de los fluidos la cada
de presin en el nulo se dispara debido a que la mayor velocidad msica se ubica en
el sitio de menor rea de flujo de fluidos. Por lo anterior se concluye que la mayor
velocidad msica debe ubicarse por la mayor rea de flujo, y as se compensan un
poco ms las cadas de presin. Adicionalmente si la menor velocidad msica va por la
mayor rea de flujo se presenta una disminucin de su coeficiente de pelcula lo cual
repercute en un menor valor del coeficiente total limpio UC, que para este caso de
ilustracin compromete una mayor rea de transferencia.
El programa permite encontrar el dimetro para una velocidad msica especificada
para obtener una cada de presin lo ms cercana a la requerida o tambin para un
dimetro conocido la velocidad msica mxima para que la cada de presin est muy
cerca del valor requerido o recomendado. Lo anterior es muy fcil de efectuar por
medio de la herramienta BUSCAR OBJETIVO y se deja como inquietud para el
usuario. Adicionalmente, cualquier valor de las condiciones del proceso que no se
conozca se puede calcular en una forma similar. Es importante anotar que por la
forma en que se desarrolla la estructura numrica del programa ste permite las dos
opciones de clculo ms importantes en los intercambiadores, como son la
evaluacin o apreciaciny el dimensionamiento. En el primer caso se dispone de
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un equipo completamente definido geomtricamente y todas las condiciones de
proceso requeridas, entre las que se encuentran el factor de obstruccin requerido y
las cadas de presin permitidas, la idea es valorar si el equipo sirve para esas
condiciones de proceso. En este caso de apreciacin simplemente se colocan todos los
valores conocidos en el programa y se observan los resultados del factor deobstruccin ofrecido y las cadas de presin y con base en esto se puede decir si el
equipo sirve o no. Para este evento no es necesario utilizar la macro para calcular el
nmero de horquillas pues ste es un dato de proceso. Para la circunstancia de
dimensionamiento se efecta lo anterior repetidamente con varias parejas de tubos y
se utiliza la macro para calcular el nmero de horquillas hasta que se llega al equipo
ptimo, por lo menos en las partes trmica e hidrulica.
Una de los suposiciones que en algunas eventualidades puede originar un error de
clculo importante es la de considerar que el coeficiente limpio se puede calcular alas temperaturas del proceso, como se efecta en el mtodo clsico de Colburn. El
Programa No_3calcula el coeficiente limpio a las temperaturas limpias del proceso
t2 y T2 y de esta forma mejora la precisin del mismo; adicionalmente suministra
otras informaciones interesantes como las temperaturas a las condiciones limpias,
que es importante conocerlas en algunos casos cuando es factible que se pueda
presentar una vaporizacin en los tubos o temperaturas indeseables para el proceso
siguiente. Como la que se puede necesitar a la salida del intercambiador cuando se
conecta con un reactor qumico que requiere un intervalo preciso de temperatura de
operacin.
El clculo se realiza mediante un proceso iterativo muy similar al presentado en el
Programa No_1, pero aqu el UC se evala directamente como se hace en el
Programa No_2. En el Programa No_3 se detalla el proceso iterativo y el cual en
este caso permite calcular las temperaturas limpias con las cuales finalmente se
evala el coeficiente limpio. En la figura 16 se presenta una imagen del Programa
No_3.
Para el caso de ilustracin anterior, el equipo para el perodo de operacin trabajaraentre las condiciones limpias calculadas y las condiciones de proceso especificadas. Si
se presenta un perodo de operacin elevado o se origina un factor de obstruccin
importante el error entre los dos clculos es cada vez ms importante. En general se
tiene ms informacin del proceso y en una forma ms precisa. Para efectuar el
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clculo numrico del nmero de horquillas es necesario anillar un proceso iterativo
para obtener dos races, L y t2, lo cual se realiza mediante la macro Temperaturas
Limpias.
Figura 16. Imagen del Programa No_3. Clculo de UCa condiciones limpias.
Es necesario que el programa cada vez tenga unas caractersticas ms generales y sea
ms flexible. Para ello es necesario que detecte la condicin de flujo que aparecen en
el nulo y en el tubo. Los Programas No_ 2y No_3corresponden a una condicin
turbulenta y se presentan por separado ms con una intencin acadmica y
pedaggica de facilidad de visualizacin y construccin que por limitaciones de la
herramienta numrica. El Programa No_4 tiene una cobertura para regmenes
laminar, de transicin, y turbulento; y se presenta en una versin original del Mtodo
de Colburn, o sea calculado con base en las temperaturas de proceso. En la figura 17
se presenta una imagen del Programa No_4.
En este programa se pueden precisar algunos conceptos del modelo integrado para
que no se originen algunos errores en el clculo. En general para flujo turbulento no
se presenta ningn cambio; los cambios y modificaciones se dan cuando aparece
rgimen laminar o de transicin.
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Figura 17. Imagen del Programa No_4. Mtodo de Coburn para cualquier condicin de f lujo.
Cuando el coeficiente global UCse evala a las temperaturas calricas corresponde a
un coeficiente promedio; para ello se utilizan las expresiones para los coeficientes de
pelcula promedio para los fluidos como las indicadas anteriormente. As,
14.0
w
3/1
p L/Dk
CDG86.1
khD
(86)
Para rgimen laminar; Re < 2100, con L < Lthy descartada la conveccin libre.
14.0
w
31
p3/2
3/2
k
C125
DG)L/D(1116.0
khD
(87)
Con 10000 > Re> 2100, para rgimen de transicin.
El valor de L en las ecuaciones inmediatamente anteriores es as: para el fluido
ubicado en el tubo L = nL, siendo n el nmero de horquillas y L la longitud de la
horquilla. Para el fluido en el nulo L= L/2, si presenta mezcla al final del paso en
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cada rama, y L = nL, si no se presenta mezcla. Para el caso se considera que se
presenta mezcla al final del paso debida al cabezal de retorno. Lo anterior implica que
se presenta regimen laminar o turbulento en toda la trayectoria, pues si se da cambio
en la condicin de flujo es necesario subdividir el clculo por zonas, lo cual se detallar
posteriormente.
Los coeficientes en los terminales, U1 y U2; son totales pero locales, lo cual implica
que los coef