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Existen algunas técnicas que nos permiten Resolver Integrales que no podrían integrarse ni con fórmula directa

ni realizando operaciones.Estas TÉCNICAS se llaman

ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN

Son tres principalmente y sus

nombres son:

INTEGRACIÓN POR PARTES

MÉTODO DEL TRIANGULO

FRACCIONES PARCIALES

2

dx .X2 √ 4 + X2∫ Sec(z) dz .

4 Tg2 (z) ∫.

Integral Original Nueva Integral

Pasos del método

Trigonométrico

POR EJEMPLO supongamos que ésta es la Integral Original. La variable que aquí se puede

observar es la “X”

Una NUEVA INTEGRAL en términos de la variable “Z” esta integral es más fácil de

resolver que la ORIGINAL

Si a la INTEGRAL ORIGINAL le aplicamos los PASOS DEL

MÉTODO DEL TRIANGULO tendríamos como resultado…

Este artificio de integración consiste en cambiar una integral compleja en una nueva integral.

La Integral Original está en términos de la

variable “X” y la Nueva Integral estará en

términos de la variable “Z”

El Artificio que vamos a explicar en este pequeño tutorial se llama:

INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DEL TRIÁNGULOO

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

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Sustitución Trigonométrica o Método del triángulo

La única condición necesaria para

cambiar una Integral algebraica y

convertirla en Integral Trigonométrica usando este

artificio de integración, es que en la integral original se encuentre una raíz

cuadrada con dos términos al cuadrado, sumándose o restándose, en su interior .

Esta raíz puede estar en el

Denominador o en el Numerador

de la Integral Original

ejemplo ejemplo ejemplo

4 – 9 x2 5 + x2 6 x2 – 9

a2 – b2 x2 a2 + b2 x2 b2 x2 – a2

Ahora tenemos tres términos

1. La raíz

2. La “X”

3. La raíz de la constante

√ 4 + X2

Para lograr la transformación de algebraico a trigonométrico se emplea un TRIÁNGULO RECTÁNGULO que se forma con la RAÍZ de la INTEGRAL ORIGINAL colocando sus términos en los lados del TRIÁNGULO de la siguiente manera…

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z

Sustitución Trigonométrica o Método del triángulo

Por ejemplo

Supongamos que la Integral Original es:

dx .X2∫

Aquí está la raíz

√ 4 + X2

La separamos de la Integral y sacamos la raíz cuadrada de cada uno de sus términos

X

√ 4 + X2

X

2Lo primero que tenemos que hacer es identificar una raíz con dos términos al cuadrado en su interior

2

Estos tres términos se colocan en la hipotenusa y en cada cateto del triángulo rectángulo, este triángulo es el que nos va a ayudar a realizar nuestra transformación de la integral original a una nueva

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z

Si la raíz de la INTEGRAL ORIGINAL es positiva, la raíz se coloca en la hipotenusa del triángulo rectángulo, la constante se pone siempre en el adyacenteSi la raíz es

negativa, el primer término dentro de la raíz es la hipotenusa.Si la constante no es la hipotenusa, se acostumbra ponerla siempre en el adyacente, y la variable en el opuesto

Sustitución Trigonométrica o Método del triángulo

Sec (z) = hip/ady a2 + x2 = a Sec (z)

Tg (z) = op / ady x = a Tg (z)

Sen (z) = op/hip x = a Sen(z)

Cos (z) = ady/hip a2 – x2 = a Cos(z)

Sec (z) = hip/ady x = a Sec (z)

Tg (z) = op / ady a2 – x2 = a Tg (z)Estas funciones nos van a ayudar a transformar la integral original por una nueva integral en términos de Z

Vamos a ver algo de teoría con respecto a cómo se forma el triángulo. El acomodo de los tres datos de la raíz cambia de acuerdo a que si ésta es positiva o negativa, veamos la teoría.

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Pasos para usar el Método del Triángulo

Sustitución Trigonométrica o Método del triángulo

1. Identificar una raíz cuadrada con dos términos al cuadrado en su interior.

2. Seleccionar el triángulo adecuado para la raíz cuadrada identificada. 3. Sacar de cada triángulo DOS funciones trigonométricas; de una función

trigonométrica despejar raíz, de otra despejar la X y derivar la X para obtener dx

4. Remplazar cada elemento de la integral original por su equivalente en términos trigonométricos

5. Resolver la nueva integral empleando fórmulas directas o bien identidades y principios trigonométricos

6. Remplazar el resultado final por términos de X empleando el triangulo seleccionado anteriormente.

dx .X2 √ 4 + X2∫ √ 4 + X2

X

2

Sec (z) = hip/ady 4 + x2 = 2 Sec (z)

Tg (z) = op / ady x = 2 Tg (z)dx = 2 Sec2(z) dz

Paso 1 Paso 2 Paso 3

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Pasos para usar el Método del Triángulo

Sustitución Trigonométrica o Método del triangulo

Pasos del Método del Triángulo

dx .X2 √ 4 + X2∫ 4 + x2 = 2 Sec (z)

x = 2 Tg (z)dx = 2 Sec2(z) dz

Integral Original Nueva Integral

2Sec2(z) dz .(2Tg(z))2 2Sec(z)∫

4. Remplazar cada elemento de la integral original por su equivalente en términos trigonométricos

En los pasos anteriores 1,2 y 3 se obtuvieron estas igualaciones. Con ellas vamos a remplazar cada término de la integral original (x, raíz y dx) por funciones trigonométricas

Esta es la X2Esta es la RAIZEsta es la dx

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Pasos para usar el Método del Triángulo

Sustitución Trigonométrica o Método del triangulo

Sólo haremos ejercicios con este método hasta el paso 4 que consiste en transformar una integral algebraica en trigonométrica empleando un triángulo rectángulo. Los pasos 5 y 6 son para resolver la integral pero esos se verán en otra ocasión

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Ejemplo 1

Paso 1

Paso 2

Paso 3

x = 2 Tg Z 4 + x2 = 2 Sec Z dx = 2 Sec2Z dz

La “x” siempre se deriva

∫

Pasos del Método del Triángulo

dx .X2 √ 4 + X2∫ 4 + x2 = 2 Sec (z)

x = 2 Tg (z)dx = 2 Sec2(z) dz

Integral Original Nueva Integral

2Sec2(z) dz .(2Tg(z))2 2Sec(z)∫

Paso 4

Primer Paso:Identificar una raíz cuadrada con dos términos al cuadrado en su interior.

Tercer Paso:Sacar de cada triángulo DOS funciones trigonométricas; de una función trigonométrica despejar raíz, de otra despejar la X y derivar la X para obtener dx

Cuarto Paso:Ahora con estos tres elementos ( x, dx y ) se hace la transformación de la integral cambiando todas las “x” por su equivalente trigonométrico. La raíz también se cambia e igualmente la “dx” se quita y se coloca lo que vale según la derivada

Segundo Paso:Seleccionar el triángulo adecuado para la raíz cuadrada identificada. En este caso la raíz es positiva por lo que debe de colocarse en la hipotenusa del triángulo

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Ejemplo 2

Paso 1

Paso 2

Paso 3∫

Paso 4

Primer Paso:Identificar una raíz cuadrada con dos términos al cuadrado en su interior.

Tercer Paso:Sacar de cada triángulo DOS funciones trigonométricas; de una función trigonométrica despejar raíz, de otra despejar la X y derivar la X para obtener dx

Cuarto Paso:Ahora con estos tres elementos ( x, dx y ) se hace la transformación de la integral cambiando todas las “x” por su equivalente trigonométrico. La raíz también se cambia e igualmente la “dx” se quita y se coloca lo que vale según la derivada

Segundo Paso:Seleccionar el triángulo adecuado para la raíz cuadrada identificada. En este caso la raíz es negativa por lo que debe de colocarse el primer término en la hipotenusa del triángulo

Pasos del Método del Triángulo

dx .√ 4 – X2∫ 4 + x2 = 2 Cos (z)

x = 2 Sen (z)dx = – 2 Cos(z) dz

Integral Original Nueva Integral

2Cos(z) dz .2Cos(z)∫

Antes de Pasar al SEGUNDO EJEMPLO, no debemos de olvidar que este método nos ayuda a pasar una INTEGRAL ORIGINAL que está en términos de “x”, a una NUEVA INTEGRAL que estará en términos de “z” . La única condición para usar este método es que EL PROBLEMA TENGA A LA VISTA UNA RAÍZ CUADRADA CON DOS TERMINOS AL CUADRADO EN SU INTERIOR, RESTANDOSE O SUMANDOSE

Por hoy ha sido todo.Ahora a practicar, este tema lo podrás

repasar en tu manual, se llama:

“ARTIFICIO DE INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DEL TRIÁNGULO O

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA”

GRACIAS